MASARYKOVA UNIVERZITA
EKONOMICKO-SPRÁVNÍ FAKULTA
Brno 2009
Finanční matematika
Distanční studijní opora
Petr Červinek, František Čámský
Lektoroval: Ing. Boris Šturc
© Petr Červinek, František Čámský, 2009
Předmluva
Distanční studijní opora (DSO) je určena především studentům kombinované formy
studia, kteří absolvují předmět Finanční matematika na Ekonomicko-správní fakultě
Masarykovy univerzity. DSO mohou využít i studenti prezenčního studia.
DSO obsahuje shrnutí základních znalostí, které by měl student mít po absolvování
předmětu Finanční matematika. Dále obsahuje náznaky uplatnění těchto znalostí i
v situacích, které nejsou přímo řešeny v rámci DSO ani v rámci dostupné
(doporučené) literatury a přesto je možno takovéto situace řešit za použití získaných
znalostí a (prostého) logického uvažování. DSO vychází ze studijní opory, která byla
napsána RNDr. Františkem Čámským a vydána v roce 2005 (viz. použitá a
doporučená literatura). V předkládané DSO jsou zahrnuty i poznatky autora ohledně
pro studenty problematičtějších částí probírané látky. Tyto poznatky autor zohlednil
při výkladu jednotlivých problémových témat. Autor doufá, že se mu podařilo
zmíněné problematické části vyložit srozumitelně a pochopitelně.
Předmět Finanční matematika se zabývá základy rozsáhlého oboru. Probírána je
především problematika jednoduchého, složeného a kombinovaného úročení,
spoření krátkodobého i dlouhodobého, důchodů dočasných i věčných a úvěrů. Důraz
je kladen především na princip fungování jednotlivých vztahů mezi různými
veličinami (počáteční kapitál versus koncový kapitál, spořená částka versus
naspořená částka atd.). Tyto obecné principy jsou využity v konkrétních situacích (u
konkrétních produktů finančního trhu). Na základě znalostí obecných principů a
pochopení ukázkové aplikace, by měl student být schopen vyřešit obdobný problém
(např. na základě obecných principů spoření a po pochopení „obyčejného“ spoření
na bankovní účet by měl student být schopen řešit problematiku stavebního spoření).
Není nutné učit se všechny vzorce uvedené v DSO. Přestože je mnohem důležitější
pochopení principů a získání schopnosti patřičný vzorec odvodit, zapamatování si
některých vhodně vybraných vzorců může některé situace urychlit, a tím usnadnit.
Přesto mohou nastat situace, kdy je nutno zapamatovaný vzorec modifikovat, aby
jsme dospěli ke správnému výsledku. Proto mějte na paměti, za jakých předpokladů
jste se daný vzorec naučili a zda jej můžete využít i v situaci, kterou budete právě
řešit. Nebuďte jako většina strojů, které pro daný problém mají zapamatovaný
(naprogramovaný) jeden postup a nejsou schopny bez zásahu obsluhy řešit ani
lehce modifikovanou úlohu. Život dokáže přichystat širokou paletu úloh, které jsou
v principu stejné, ale je nutno řešit odlišnosti.
Přestože autor předpokládá, že studenti mají dostatečné znalosti středoškolské
matematiky, jsou důležitá témata středoškolské matematiky shrnuta i v předkládané
DSO.
DSO obsahuje nejen řešené příklady, ale i neřešené příklady s výsledky.
Označení „*“ u příkladu znamená, že daný příklad je těžší a jeho řešení není
přímočaré jako u ukázkových příkladu kapitoly; je ovšem možné daný příklad vyřešit
za použití logiky konstrukce vzorečků dané kapitoly resp. všech předchozích kapitol
a za použití logického uvažování.
Časová náročnost na prostudování DSO závisí od schopnosti studenta propočítat
všechny příklady. Tento požadavek je zásadní, protože jedině propočítáním
uvedených příkladů student zjistí, zda prostudovanou látku opravdu pochopil.
Celková studijní zátěž pro absolvování předmětu by měla být 151 hodin (včetně
přípravy a zpracování Práce opravované tutorem a přípravy na průběžné testy a na
zkoušku).
Autoři
Obsah
1 Potřebné základy z matematiky....................................................................................................... 7
1.1 Procentový počet.................................................................................................................... 7
1.2 Funkce.................................................................................................................................... 8
1.2.1 Pojem funkce..................................................................................................................... 8
1.2.2 Lineární funkce.................................................................................................................. 9
1.2.3 Exponenciální funkce ...................................................................................................... 10
1.2.4 Logaritmická funkce........................................................................................................ 11
1.3 Průměry................................................................................................................................ 12
1.3.1 Aritmetický průměr ......................................................................................................... 12
1.3.2 Geometrický průměr........................................................................................................ 13
1.3.3 Harmonický průměr......................................................................................................... 13
1.4 Posloupnosti a řady.............................................................................................................. 14
1.4.1 Aritmetická posloupnost.................................................................................................. 14
1.4.2 Geometrická posloupnost ................................................................................................ 16
2 Jednoduché úročení....................................................................................................................... 18
2.1 Úvodní poznámky................................................................................................................ 18
2.2 Základní pojmy .................................................................................................................... 18
2.3 Typy úročení ........................................................................................................................ 19
2.3.1 Jednoduché úročení polhůtní........................................................................................... 19
2.3.2 Základní rovnice pro jednoduché úročení ....................................................................... 22
2.3.3 Diskont a diskontování.................................................................................................... 23
2.4 Příklady k procvičení ........................................................................................................... 26
3 Složené úročení a kombinované úročení....................................................................................... 28
3.1 Základní vztahy pro složené úročení ................................................................................... 28
3.2 Kombinace jednoduchého a složeného úročení................................................................... 31
3.3 Výpočet doby splatnosti....................................................................................................... 34
3.4 Výpočet současné hodnoty .................................................................................................. 38
3.5 Výpočet úrokové sazby........................................................................................................ 42
3.6 Srovnání jednoduchého a složeného úročení....................................................................... 45
3.7 Příklady k procvičení ........................................................................................................... 46
4 Nominální a reálná úroková sazba ................................................................................................ 48
4.1 Efektivní úroková sazba....................................................................................................... 48
4.2 Úroková intenzita................................................................................................................. 49
4.3 Nominální a reálná úroková sazba....................................................................................... 51
4.4 Příklady k procvičení ........................................................................................................... 52
5 Spoření .......................................................................................................................................... 53
5.1 Spoření krátkodobé.............................................................................................................. 53
5.1.1 Spoření krátkodobé předlhůtní ........................................................................................ 53
5.1.2 Spoření krátkodobé polhůtní ........................................................................................... 55
5.2 Spoření dlouhodobé ............................................................................................................. 58
5.2.1 Spoření dlouhodobé předlhůtní ....................................................................................... 59
5.2.2 Spoření dlouhodobé polhůtní........................................................................................... 61
5.3 Kombinace krátkodobého a dlouhodobého spoření............................................................. 63
5.3.1 Kombinované spoření předlhůtní .................................................................................... 63
5.3.2 Kombinované spoření polhůtní ....................................................................................... 65
5.4 Příklady k procvičení ........................................................................................................... 68
6 Důchody ........................................................................................................................................ 70
6.1 Problematika důchodů ......................................................................................................... 70
6.2 Důchod bezprostřední .......................................................................................................... 71
6.2.1 Důchod bezprostřední předlhůtní .................................................................................... 71
6.2.2 Důchod bezprostřední polhůtní........................................................................................ 73
6.2.3 Důchody vyplácené m -krát ročně .................................................................................. 74
6.3 Důchod odložený ................................................................................................................. 76
6.3.1 Důchod odložený předlhůtní ........................................................................................... 76
6.3.2 Důchod odložený polhůtní............................................................................................... 78
6.4 Důchod věčný ...................................................................................................................... 78
6.4.1 Důchod věčný předlhůtní................................................................................................. 78
6.4.2 Důchod věčný polhůtní.................................................................................................... 80
6.5 Příklady k procvičení ........................................................................................................... 82
7 Umořování dluhů........................................................................................................................... 84
7.1 Umořování dluhu nestejnými splátkami .............................................................................. 85
7.2 Umořování dluhu stejnými anuitami.................................................................................... 86
7.3 Určování počtu anuit............................................................................................................ 88
7.4 Příklady k procvičení ........................................................................................................... 90
7
1 Potřebné základy z matematiky
1.1 Procentový počet
Procento - vyjadřuje jednu setinu celku
Pro jedno procento platí:
1 % =
100
1
= 0,01 ze základu
100 % = jeden celek = celý základ
V jednoduchých úlohách s procenty se setkáváme s těmito veličinami.
a) základ - označujeme jej z
b) počet procent - označujeme jej p
c) procentová část - označujeme ji x
Obecně při řešení jednoduchých úloh většinou známe dvě hodnoty a chceme
vypočítat třetí, kterou neznáme a podle toho rozlišujeme tři základní typy úloh:
a) výpočet procentové části :
100
.pz
x 
b) výpočet základu :
p
x
z
100.

c) výpočet počtu procent :
z
x
p
100.

K výpočtům bez použití uvedených vzorců můžeme použít úměru nebo trojčlenku.
Příklad 1.1
Prodejna měla sjednaný podíl na zisku ve výši 10% z prodejní ceny výrobku. Kolik je
to procent z výrobní ceny výrobku, jestliže prodejní cena byla 115 % výrobní ceny?
Řešení:
Máme tedy zjistit, jak velkou část činí zisk ve výši 10 % z prodejní ceny vzhledem
k výrobní ceně.
z = 115
p = 10 % %50,11
100
10.115
100
.

pz
x
x =?
Zisk činil 11,50 % z výrobní ceny.
8
Příklad 1.2
Daň z příjmu činila při daňové sazbě 25,5 % částku 1250 Kč. Jak vysoký byl příjem?
Řešení:
x = 1250 Kč
p = 25,5 % Kč901,96084
25,5
250.1001
p
100.

x
z
z =?
Tuto úlohu můžeme vypočítat také pomocí úměry:
25,5 % ... odpovídá... 1250 Kč
100 % ... odpovídá... z Kč
Zapíšeme: z: 1250 = 100: 25,5 nebo
5,25
100
1250

z
Hrubý příjem činil 4.901,9608 Kč.
1.2 Funkce
Pro pochopení závislostí ve finanční matematice si zopakujeme některé funkce, na
které se budeme při vysvětlování finanční matematiky odvolávat.
1.2.1 Pojem funkce
Funkcí rozumíme předpis, kterým každému číslu x z určité množiny D přiřazujeme
právě jedno číslo y z množiny M .
Veličinu x nazýváme nezávisle proměnnou.
Veličinu y nazýváme závisle proměnnou (závisí na volbě hodnoty x ).
Množinu D všech čísel x , pro něž je funkce definovaná, nazýváme definičním
oborem funkce f .
Množinu M všech čísel y , kterých daná funkce nabývá pro Dx  , nazýváme
oborem hodnot (oborem funkčních hodnot nebo závislým oborem) funkce f .
Zapisujeme:  xfy 
Poznámka:
Říkáme, že dvě veličiny jsou přímo úměrné, jestliže podíl každých dvou
odpovídajících si hodnot ix , iy je roven konstantě. Tedy:
k
x
y
x
y
x
y
n
n
 
2
2
1
1
9
Příklad 1.3
Cena za 1 kg pomerančů je 23 Kč. Jaká bude cena za 3 kg pomerančů?
Řešení:
Cena za 3 kg pomerančů je závisle proměnná, počet kilogramů závisí na naší
volbě - hodnota nezávisle proměnná.
Potom zapíšeme:
Kčxy 6932323 
V matematice na základní i střední škole jste jistě probírali řadu funkcí. Pro naši
potřebu ve finanční matematice si vysvětlíme pouze ty funkce, které budeme
potřebovat pro vysvětlení některých funkčních závislostí a vytvořili si potřebné
předpoklady jejich pochopení.
1.2.2 Lineární funkce
V ekonomických úvahách se často setkáme se závislostí, kterou nazýváme přímá
úměrnost. Tato přímá úměrnost je dána lineární funkcí.
Lineární funkci zapisujeme vztahem: qxky  Rx
kde k , q jsou konstanty - k udává směrnici přímky a můžeme jí vyjádřit jako
tgk  , kde  je úhel, který svírá přímka s osou x ; q je úrovňová konstanta –
udává hodnotu průsečíku s osou y .
Grafem lineární funkce je přímka v rovině.
Graf 1.1 Lineární funkce
- 6
- 4
- 2
0
2
4
6
8
1 0
1 2
1 4
- 1 - 0 , 8 - 0 , 6 - 0 , 4 - 0 , 2 0 0 , 2 0 , 4 0 , 6 0 , 8 1
x
y qxky 
10
1.2.3 Exponenciální funkce
Pod pojmem exponenciální funkce rozumíme takovou funkci, která má nezávisle
proměnnou v exponentu.
Exponenciální funkci zapisujeme vztahem: x
ay  ,   ;0a
Definiční obor:     ;fD
Obor hodnot:     ;0fH
Pro a > 1 je funkce rostoucí a pro 0 < a < 1 je funkce klesající.
Pro 0x je 1y pro každou exponenciální funkci ať je a (základ) jakékoliv reálné
číslo.
Funkční hodnoty exponenciální funkce jsou pro libovolné hodnoty nezávisle
proměnné x vždy kladné.
Speciálním případem exponenciální funkce je x
ey  , jejímž základem je Eulerovo
číslo ( 8459052,71828182e ) a která je rostoucí pro všechna   ;x .
Exponenciální funkcí můžeme vyjádřit složené úročení, jestliže nezávisle proměnou
je čas t a závisle proměnnou je velikost zúročeného kapitálu tK , při zvolené úrokové
sazbě.
Graf 1.2 Exponenciální funkce
x
y
x
ay 
x
ey 
0
1
11
1.2.4 Logaritmická funkce
Ze střední školy je známo, že logaritmická funkce je inverzní funkcí k funkci
exponenciální. Definiční obor exponenciální funkce je oborem funkčních hodnot
funkce logaritmické a obor funkčních hodnot exponenciální funkce je definičním
oborem funkce logaritmické.
Pro logaritmickou funkci tedy platí:     ;0fD ,     ;fH
Logaritmickou funkci zapisujeme vztahem: xy alog , kde   ;0x
Platí: xaxy y
 alog
Číslo x určíme, jestliže umocníme základ logaritmu na logaritmus čísla x .
V praxi se používají především dva speciální logaritmy. Jeden má základ ( a ) roven
10, pak mluvíme o (dekadickém) logaritmu a píšeme xy log . Druhý má základ
roven Eulerovu číslu, pak mluvíme o přirozeném logaritmu a píšeme xy ln .
Graf 1.3 Logaritmická funkce
Příklad 1.4
Určete číslo x jestliže platí: 3x2log
Řešení:
8823
 x
Tedy 38 2log
Pro početní úkony s logaritmy platí tato pravidla:
Jestliže x a y jsou libovolná čísla pak platí (při splnění určitých podmínek, které
vyplývají z jednotlivých vztahů):
1.   yxyx aaa logloglog 
2. yx
y
x
aaa logloglog 





x
y
xy alog
0 1
12
3. xnxn
aa loglog 
4. x
n
m
xn m
aa loglog 
5.
y
x
x
a
a
y
log
log
log 
Příklad 1.5
  984,28678,134984,28678,134 loglogloglog x
5073,3903591455,34621583,11292967,2  xxlog
Příklad 1.6
984,28678,134
984,28
678,134
loglogloglog 





x
646633,46671384,04621583,11292967,2  xxlog
Příklad 1.7
1,0205,010005,0100 05,0
 logloglog x
25893,11,0  xxlog
Příklad 1.8
420511,236532125,1166667,1445
24,0
4,3
45
24,0 4,3
 logloglog x
23
106333646,2420511,23  xxlog
1.3 Průměry
1.3.1 Aritmetický průměr
Aritmetický průměr ax je pro n čísel naaaa ,,,, 321  definován jako součet těchto
čísel dělený jejich počtem.
Tedy:




n
i
i
n
a a
nn
aaa
x
1
21 1
Jestliže jsou mezi danými čísly ia některá čísla stejná, potom můžeme výpočet
aritmetického průměru zjednodušit.
Mějme počet 1n čísel 1a , 2n čísel 2a , …, rn čísel ra , přičemž rnnnn  21
potom
r
nn
a
nnn
ananan
x





21
2211
13
V tomto případě mluvíme o váženém aritmetickém průměru, kde čísla rnnn ,,, 21 
jsou váhy čísel raaa ,,, 21  .
S aritmetickým průměrem se setkáváme při výpočtu například střední doby splatnosti
více pohledávek, očekávané výnosnosti cenných papírů atd.
1.3.2 Geometrický průměr
Druhým druhem průměru je geometrický průměr gx .
Mějme pro n kladných čísel naaaa ,,,, 321  , potom je geometrický průměr definován
jako n -tá odmocnina součinu n čísel.
n
1
n321 a.aa 

n
i
i
n
g aax 
Jsou-li mezi danými čísly některá čísla stejná, můžeme stejně jako u aritmetického
průměru definovat vážený geometrický průměr
 rnnn n
g ax 
 
21 r321 n
r
n
3
n
21 aaa
1.3.3 Harmonický průměr
Třetím druhem průměru je harmonický průměr hx , který je pro n čísel dán
výrazem:



 n
i in
h
a
n
aaa
n
x
121
1111

Stejně jako v předchozích případech, jsou-li mezi danými čísly ia některá čísla stejná
můžeme definovat vážený harmonický průměr vztahem:
r
r
r
h
a
n
a
n
a
n
nnn
x





2
2
1
1
21
Vztah mezi aritmetickým,geometrickým a harmonickým průměrem
Mezi aritmetickým, geometrickým a harmonickým průměrem existuje vzájemný vztah
Pro všechna ji aa  , kde nji ,,2,1,  vždy platí:
ax > gx > hx
14
1.4 Posloupnosti a řady
Ve finanční matematice se velmi často setkáváme s aplikacemi posloupností a řad.
Základní pojmy:
Jestliže přiřadíme každému přirozenému číslu n , určité číslo na , potom čísla
 ,,,,, 321 kaaaa nazýváme posloupnost.
Výraz (součet členů posloupnosti)   kaaaa 321 nazýváme řadou a čísla
 ,,,,, 321 kaaaa členy řady.
Jestliže má řada konečný počet členů, nazývá se konečnou řadou. Jestliže má řada
nekonečný počet členů, nazývá se nekonečnou řadou.
1.4.1 Aritmetická posloupnost
Posloupnost, u které rozdíl (diference) dvou po sobě jdoucích členů je konstantní,
se nazývá aritmetická posloupnost.
dkaa kk 1 , kde k je konstanta
Odvození:
  dnaa
daddadaa
daa
aa
n
a




1
.2
1
1123
12
11
2


Takže n -tý člen aritmetické posloupnosti vypočítáme podle vztahu:
  dnaan 11 
1a - je první člen řady n - je počet členů
na - je poslední člen řady d - je diference aritmetické řady
Pro aritmetickou řadu platí, že každý její člen je aritmetickým průměrem svých
sousedních členů.
 11
2
1
  kkk aaa
Pro součet n členů (n -tý částečný součet) aritmetické řady platí:
 nn aanS  1
2
1
Dosadíme-li do našeho výrazu za   dnaan 11  můžeme součet n členů vyjádřit:
  dna
n
Sn  12
2
1
15
Ze vzorce vyplývá, že můžeme spárovat vždy dva členy řady - první a poslední,
druhý a předposlední atd., přičemž součty těchto dvojic jsou konstantní.Takových
dvojic můžeme sestavit polovinu z celkového počtu členů řady -
2
n
.
Příklad 1.9
Aritmetická posloupnost má diferenci 12d a n -tý člen 15na . Kolik prvních členů
posloupnosti má součet 456nS ? Kterému číslu se rovná první člen?
Řešení:
Vycházíme ze součtu aritmetické řady a výrazu pro výpočet n -tého členu:
    1212
2
456 1  na
n
   12115 1  na
Po úpravě budeme řešit jako soustavu dvou rovnic o dvou neznámých.
 12122912 1  nan
31212n12-15 11  naa
Dosadíme do rovnice  12122912 1  nan za 1a hodnotu 312  n a
dostáváme jednu rovnici o jedné neznámé
    
  nnnn
nnnnnn


18121812
121262412123122912
2
15232091218120 22
 nnnn
Což je kvadratická rovnice, kterou vyřešíme např. pomocí diskriminantu a
dostaneme dva výsledky:
81 n
8
38
2
n
Protože počet členů nemůže být ani záporné číslo ani necelé číslo, je správné
první řešení, tj. počet členů zadané aritmetické posloupnosti, jejichž součet je
456 je 8.
Nyní dosadíme do výrazu: 993812312 11  ana .
První člen aritmetické řady se rovná číslu 99.
16
Příklad 1.10
Máme vypočítat n -tý částečný součet, jestliže je 31 a , 1d .
Řešení:
Použijeme výraz pro výpočet součtu řady:   dna
n
Sn  12
2
1
        n
n
n
n
n
n
Sn  7
2
16
2
1132
2
 n
n
Sn  7
2
1.4.2 Geometrická posloupnost
Posloupnost, u níž podíl kterýchkoliv dvou po sobě jdoucích členů je konstantní, se
nazývá geometrická posloupnost.
Podíl těchto dvou členů nazýváme kvocientem a značíme jej písmenem q .
Odvození:

1
1
2
1123
12
11
2





n
n
a
qaa
qaqqaqaa
qaa
aa

Takže n -tý člen vypočítáme:
1
1

 n
n qaa
Je-li 1q  je řada rostoucí
Je-li  0;1q  je řada klesající
Je-li 0q  je řada alternující (střídavá)
Je-li 1q  řada konstantní (obsahuje stejné členy)
Pro součet n -členů geometrické řady pro 1q  platí:
1
1
1
.1 


 q
q
q
aS pro
n
n 1)(0,
1
1
.1 


 q
q
q
aS pro
n
n
Můžeme prokázat, že uvedené výrazy jsou ekvivalentní a je tedy jedno, který
použijeme.
17
 
 
  1;0
1
1
1
1
1
1
111 








 qpro
q
q
a
q
q
a
q
q
aS
nnn
n
Každý člen geometrické řady je geometrickým průměrem z jeho dvou sousedních
členů:
11.  kkk aaa
Příklad 1.11
V geometrické posloupnosti je součet prvních dvou členů roven 4 a součet jejich
druhých mocnin je roven 10. Máme určit tuto posloupnost.
Řešení:
Zadání můžeme přepsat následovně:
421  aa
102
2
2
1  aa
Z první rovnice si vyjádříme 2a .
12 4 aa 
Tento výraz dosadíme za 2a do druhé rovnice a vypočítáme první člen 1a .
  104
2
1
2
1  aa
10816 2
11
2
1  aaa
0682 1
2
1  aa
034 1
2
1  aa
Řešením této rovnice jsou dva kořeny – první je roven 3 a druhý je roven 1.
Úloha má tedy dvě řešení.
Prvním řešením je klesající posloupnost s parametry
3
1
1,3 21  qaa .
Druhým řešením je rostoucí posloupnost s parametry 33,1 21  qaa .
Příklad 1.12
Máme vypočítat součet geometrické řady kde 5n , 4q a 20001 a .
Řešení:
6820003412000
3
1023
.2000
3
11024
.2000
14
14
.2000
1
1
.
55
15 








q
q
aS
18
2 Jednoduché úročení
2.1 Úvodní poznámky
Tato kapitola společně s následující kapitolou je základem pro všechny následující
kapitoly. Proto je nutno probíranou látku zcela pochopit. Propočítejte si ukázkové
příklady i příklady na konci kapitoly. Pokud nebudete něco chápat, je potřeba se
zdržet u této i následující kapitoly do doby, než opravdu pochopíte základní princip
úročení, respektive odúročení.
Abyste pochopili problematiku kombinovaného úročení, je nutné znát velmi dobře
problematiku jednoduchého i složeného úročení. Tato kapitola se věnuje první
problémové oblasti – jednoduchému úročení.
V celé DSO budeme využívat některých předpokladů (postupně si je budeme
uvádět), které nám umožní zkoumat jednotlivé problémové oblasti. Pokud bychom se
chtěli přiblížit více realitě, stačí dané předpoklady přizpůsobit nebo zcela opustit.
Daná problematika se potom většinou zkomplikuje, ale ve většině případů je možno
dojít zažitými postupy ke správným závěrům.
Jednoduché úročení je svou podstatou „jednoduchá“ problematika. Přesto je třeba si
dávat pozor na některé ne zcela evidentní „chytáky“, které hodně lidí přehlíží
v domnění, že při řešení triviálních problémů nemůže být nic komplikovaného.
2.2 Základní pojmy
Úrok je odměna za dočasné užívání peněžité částky (kapitálu). Z pohledu vkladatele
(věřitele) je úrok odměnou, kterou dostává za to, že poskytl svůj kapitál dočasně
někomu jinému. Naopak z pohledu dlužníka je úrok cena, kterou platí dlužník za
získání kapitálu (úvěru). Úrok se řídí procentním poměrem k užívané částce a dobou
užívání této částky.
Vyjádříme-li úrok v procentech z hodnoty kapitálu, obdržíme úrokovou sazbu
(úrokovou míru).
Úrokové období je doba, za kterou se úroky pravidelně připisují. Úrokové období
bývá zpravidla:
roční a značí se p. a. (per annum)
pololetní a značí se p. s. (per semestre)
čtvrtletní a značí se p. q. (per quartalae)
měsíční a značí se p. m. (per mensem)
týdenní a značí se p. sept. (per septimanam)
denní a značí se p. d. (per diem)
Předpoklad 1
V dalším textu budeme předpokládat, že nebude-li uvedeno, o jaké úrokové období
se jedná, bude se jednat o roční úrokové období, tj. úroky se budou připisovat jednou
za rok.
19
Pro vyjádření délky úrokového období se vychází z různých zvyklostí, z nichž se
nejčastěji užívá:
Anglická metoda: je založena na skutečném počtu dnů úrokového období a
délce roku 365 dní, v přestupném roce pak 366 dní.
Francouzská metoda: je založena na skutečném počtu dnů úrokovacího období
a délce roku 360 dní, (mezinárodní).
Německá metoda: je založena na kombinaci započítávání celých měsíců jako
30 dní a délky roku pak 360 dní, (obchodní).
V běžné praxi se můžeme setkat se všemi metodami.
Předpoklad 2
V našich úvahách a řešených příkladech budeme pro jednoduchost používat
německou metodu, pokud nebude uvedeno jinak.
2.3 Typy úročení
Rozlišujeme dva základní typy úročení:
Jednoduché úročení: úroky se počítají stále z původního kapitálu 0K
Složené úročení: úroky se připisují k původnímu kapitálu (peněžní
částce) a spolu s ním se dále úročí
Úročení dělíme také podle toho, kdy dochází k placení úroku:
Jestliže se úroky platí na konci úrokového období, mluvíme o úrokování polhůtním
(dekurzivním).
Jestliže dochází k placení úroků na začátku úrokovacího období, mluvíme
o úrokování předlhůtním (anticipativním).
2.3.1 Jednoduché úročení polhůtní
U jednoduchého úročení se úročí stále pouze základní kapitál (peněžní částka).
Vyplácené úroky se k ní nepřičítají, nevzniká tedy úrok z úroků. Protože uvažujeme
o úrokování polhůtním, úroky budou vypláceny vždy po uplynutí úrokového období,
ke kterému se vztahují.
Označme si: u – úrok v Kč
K – kapitál (peněžní částka) v Kč
p – úroková sazba úrokového období v procentech
d – doba splatnosti kapitálu ve dnech
20
Potom úrok vypočítáme ze vztahu1
:
Jestliže vyjádříme: i
p

100
a t
d

360
potom obdržíme úrokovou sazbu jako desetinné číslo a splatnost v letech, potom
úrok vypočítáme:
tiKu 
kde: i = úroková sazba vyjádřená v setinách. Je to úrok z 1 Kč za 1 rok.
t = doba splatnosti vyjádřená v letech
Graf 2.1 Závislost výše kapitálu na čase a výšce úrokové sazby
Z grafu je vidět, že konečný kapitál při stálé úrokové sazbě je lineární funkcí času
(lineární funkce).
Jestliže se bude měnit výše ukládaného kapitálu při stejné úrokové sazbě během
úrokovacího období, potom pro výpočet úroků používáme tzv. úrokových čísel a
úrokových dělitelů.
Úrokové číslo UC:
100
dK
UC

 ,
kde d – splatnost ve dnech
K – kapitál
1
Předpokládáme, že se jedná o roční úrokovou sazbu a roční úrokovací období. Pokud bychom chtěli
spočítat úrok za např. měsíční úrokovací období a měli bychom měsíční úrokovou sazbu mp , pak by
vzorec vypadal následovně:
30100


dpK
u m
360100


dpK
u
u = 20 %
u = 10 %
počáteční kapitál K
kapitál
úrok
úrok
t
21
Úrokový dělitel UD:
p
UD
360

Úrokový dělitel nám vyjadřuje počet dní, za které získáme úrok 1 Kč ze 100 Kč,
kde p je úroková sazba v %.
Potom úrok vypočítáme:
Jestliže částka 1K je uložena a tedy úročena 1d dní, částka 2K je uložena a úročena
2d dní, …, částka nK je uložena a tedy úročena nd dní a přitom všechny při stejné
úrokové sazbě p , potom úroková čísla budou:
100
,...,
100
,
100
22
2
11
1
nn
r
dK
UC
dK
UC
dK
UC






Protože se nemění úrokový dělitel, můžeme jej vytknout před závorku a úrok
vypočítat:
 nUCUCUC
UD
u  ...
1
21
nebo:
UD
UC
u
n
j
j

1
Tohoto způsobu se nejvíce využívá při výpočtu úroků na běžných účtech.
Příklad 2.1
Podnikatel si postupně vypůjčil: 16.1. částku … 60 000 Kč
21.2. částku … 40 000 Kč
8.3. částku … 30 000 Kč
Roční úroková sazba u všech půjček je 12 %. Chceme zjistit, kolik zaplatí koncem
roku na úrocích.
Řešení:
16.1..30.12d,Kč00060K 11      dní344163030112d1 
21.2.30.12.d,Kč00040K 22      dní309213030212d2 
8.3.30.12.d,Kč00030K 33      dní29283030312d3 
UD
UC
u 
22
 
Kč92013
30
60087600123400206
100
29200030
100
30900040
100
34400060
360
12
100
dK
100
dK
100
dK
360
p
UCUCUC
UD
1
UD
UC
u 332211
321
3
1j
j








 










 






Podnikatel koncem roku zaplatí na úrocích 13 920 Kč.
2.3.2 Základní rovnice pro jednoduché úročení
V předcházející kapitole jsme si řekli, jakým způsobem vypočítáme výši úroku za
určité období. V praxi nás však zajímá výše zúročeného kapitálu (včetně úroků) po
určitém období.
Konečnou výši kapitálu ( tK ) za období t obdržíme jako součet počátečního
kapitálu a úroků za toto období.
Tedy:
uKKt  0
dosadíme-li do tohoto výrazu za
tiKu  0
obdržíme
 tiKtiKKKt  1000
0K – počáteční hodnota kapitálu (základní peněžní částka, základní kapitál)
tK – konečný kapitál za dobu t (stav kapitálu po zúročení za dobu t )
i – roční úroková sazba v setinách
t – doba splatnosti kapitálu v letech
Jestliže vyjádříme v našem výrazu splatnost ve dnech a úrokovou sazbu
v procentech obdržíme:









360100
10
dp
KKt
23
Jestliže zvolíme KčK 10  a 1t bude iKt 1 .
Výraz i1 se nazývá úrokovací faktor (úročitel). Udává, na kolik vzroste 1 Kč za
1 rok při úrokové sazbě i .
Ze základní rovnice můžeme vypočítat další důležité hodnoty: 0K , t , i
Výpočet počáteční hodnoty 0K :
ti
u
ti
K
K t




1
0
Odvození: víme, že  tiKKt  10 . Tento výraz roznásobíme a dostaneme:
uKKtiKKtiKK tt  0000
Potom:
ti
u
K

0
Výpočet doby splatnosti (doby úročení) t :
iK
u
iK
KK
t t





00
0
Výpočet úrokové sazby i :
tK
u
tK
KK
i t





00
0
2.3.3 Diskont a diskontování
Často se ve finanční a ekonomické praxi setkáváme s tím, že potřebujeme porovnat
hodnoty kapitálu v čase. Kapitál v čase má různou hodnotu. Čím dříve kapitál
budeme mít, tím dříve jej můžeme investovat a za dobu t se nám zúročí – ponese
nám úrok.
Abychom mohli porovnávat kapitál v čase, potřebujeme znát pojem současná
hodnota. Současnou hodnotou kapitálu rozumíme kapitál, který po zúročení
v časovém období dosáhne budoucí hodnoty.
Jestliže označíme současnou hodnotu 0K a budoucí hodnotu tK , potom současnou
hodnotu vypočítáme:
ti
K
K t


1
0
Výpočet současné hodnoty se nazývá též diskontování.
Jestliže je KčKt 1 a i úroková sazba v setinách a 1t , potom 0K udává
současnou hodnotu 1 Kč splatné za rok při úrokové sazbě i .
24
Potom výraz:
i1
1
nazýváme diskontním faktorem. Diskontní faktor udává současnou hodnotu 1 Kč
splatné za 1 rok při úrokové sazbě i .
Příklad 2.2
Co je výhodnější při koupi daru? Zaplatit za něj nyní v hotovosti 8 000 Kč nebo si na
něj vypůjčit a zaplatit za rok s úrokem 8 300 Kč, když banka nabízí úrokovou sazbu
7 % p. a.?
Řešení:
Nejdříve si spočítáme, jaká je současná hodnota budoucích 8 300 Kč.
Obecně:
ti
K
K t


1
0
Numericky: KčK 7577009,7577
07,1
3008
107,01
3008
0 


Pokud bychom tedy do banky uložili 7 757 Kč na 7 % p.a., po roce bychom
obdrželi 8 300 Kč (přesněji 8 299,99 Kč), což odpovídá částce, kterou bychom
museli po roce splatit, pokud bychom si vypůjčili 8 000 Kč.
Porovnání obou způsobů:
a) platba v hotovosti 8 000 Kč
b) platba na půjčku 7 757 Kč
V tomto případě je výhodnější zažádat o půjčku, neboť současná hodnota
8 300 Kč, které máme zaplatit za rok, je právě dnes 7 757 Kč. Tedy, zaplatímeli
za rok 8 300 Kč, je to, jako bychom dnes zaplatili 7 757 Kč. Hotovostní
způsob placení je méně výhodný.
Diskont je úrok ode dne výplaty do dne splatnosti. Diskontem rozumíme částku,
o kterou je základ půjčky menší, než splatná částka.
Diskont můžeme počítat z budoucí hodnoty tK nebo ze současné hodnoty 0K a
podle toho rozeznáváme:
Diskont obchodní obD – výpočet diskontu z budoucí hodnoty
Diskont matematický matD – výpočet diskontu ze současné hodnoty
25
Diskont obchodní
Obchodní diskont vypočítáme jako úrok z budoucí hodnoty.
Tedy:
tiKD Dtob 
kde Di je diskontní sazba v setinách.
Označme obK obchodní kapitál (tj. částka, kterou banka vyplatí), potom:
 tiKtiKKDKK DtDttobtob  1
Při zaplacení pohledávky banka nevyplatí věřiteli (klientovi) celou nominální hodnotu
(budoucí hodnotu), ale hodnotu kapitálu sníženou o obchodní diskont obD .
Příklad 2.3
Máme vypočítat, kolik dostane vyplaceno klient, jemuž banka eskontuje (zaplatí
dříve) směnku o nominální hodnotě 20 000 Kč 35 dní před dobou splatnosti při
diskontní sazbě 0,09 p. a. Předpokládáme, že banka neúčtuje další provize.
Řešení:
    KčtiKKTedy
rokůdnítiKčKK
Dtob
Dtob
8251999125,0000200972,009,01000201:
2097,035;09,0;00020;?


Klient dostane peníze od banky o 35 dní dříve, ale místo 20 000 Kč pouze
19 825 Kč, neboť banka si započítala obchodní diskont.
Diskont matematický
Matematický diskont vypočítáme jako úrok ze současné hodnoty.
Tedy:
tiKD Dmat  0
Jestliže do daného výrazu dosadíme za
ti
K
K
D
t


1
0 obdržíme:
ti
tiK
D
D
Dt
mat



1
Z obchodního diskontu víme, že tiKD Dtob  . Dosadíme-li tento vztah do čitatele
z předcházejícího výrazu, obdržíme vztah mezi matematickým a obchodním
diskontem.
26
2.4 Příklady k procvičení
1. Klient měl od 8.3.2000 do 5.5.2000 uloženo ve spořitelně 15 000 Kč na 8 %
úrokovou sazbu p.a. Kolik Kč činil úrok za tuto dobu?
[190 Kč]
2. Vypočítejte úrokový výnos a konečnou hodnotu při vkladu K0 = 3 000 Kč při 4%
p.a. za 2 roky.
[240 Kč]
3. Na jakou dobu musíme investovat 800 Kč při při úrokové sazbě 5% p.a.,
abychom získali na úrocích 120 Kč?
[3 roky]
4. Jaká byla roční úroková míra při vkladu 700 Kč, abychom na úroku získali 42 Kč
za 3 roky?
[2 % p.a.]
5. Vypočítejte současnou hodnotu K0, jestliže za 2 roky při 6% p.a. byla hodnota
vkladu 784 Kč
[700 Kč]
6. Klient si vypůjčil 7 500 Kč při úrokové sazbě 7% p.a. dne 10. dubna. 10. května
splatil polovinu dluhu a celou částku úroku dlužnou k 10. květnu. Kolik celkem
zaplatil bance?
[3 793,75 Kč]
7. Vypočítejte úrok pomocí UC, UD, jestliže klient uložil do banky 4.1. částku 8 000
Kč, dne 18.2. částku 4 500 Kč a 14.4. částku 2 400 Kč. Úroková sazba byla 6%
p.a. Kolik Kč získal klient za tuto dobu na úrocích?
[811,07 Kč]
8. Na jakou hodnotu se zúročil vklad 120 000 Kč za 2 roky, 8 měsíců a 21 dní, je-li
úročen v bance při úrokové sazbě 6% p.a.
[139 620 Kč]
9. Podnikatel prodá bance směnku v nominální hodnotě 200 000 Kč, která je
splatná za 2 roky. Podle stavu nabídky a poptávky po cenných papírech na
burze jí banka kupuje s diskontní sazbou 15 % p.a. Kolik Kč obdrží podnikatel
za směnku?
[140 000 Kč]
10. Dlužník vystavil dlužní úpis na 20 000 Kč, splatných i s úrokem za 8 měsíců při
8% p.a. Za měsíc po vystavení dlužního úpisu jej věřitel prodal jiné osobě, která
diskontuje dlužní úpisy 9% p.a. Kolik dostane věřitel za dlužní úpis? Jak dlouho
matob
D
ob
mat DD
ti
D
D 


1
27
musí prvotní věřitel čekat od vystavení úpisu, aby při prodeji obdržel alespoň
půjčenou částku?
[19 960,67 Kč; 38 dnů]
28
3 Složené úročení a kombinované úročení
Doposud jsme vycházeli z toho, že se úroky počítají stále ze stejného základu –
úroky rostly lineárně.
Složené úročení vychází z toho, že se úroky připočítávají k původnímu kapitálu a
v následujícím období se tento zúročený kapitál bere jako základ pro další úročení.
Úročí se tedy zúročený kapitál. Složené úročení je možno rozdělit na úročení
předlhůtní a polhůtní.
3.1 Základní vztahy pro složené úročení
Označme: 0K – původní (počáteční) kapitál
i – úroková sazba v setinách
t – doba splatnosti kapitálu v letech
tK – výše kapitálu v době ,3,2,1t
Tabulka 3.1 Odvození základní rovnice složeného úročení
Rok Stav kapitálu na konci roku
1  iKiKKK  10001  iK  10
2      iiKiKiKKK  111 01112  2
0 1 iK 
3      iiKiKiKKK  111
2
02223  3
0 1 iK 
  
t      iiKiKiKKK
t
tttt 

 111
1
0111  t
iK  10
Přirozené mocniny úrokovacího faktoru nazýváme úročitelé a udávají, jak vzroste
vklad 1 Kč za dobu t při úrokové sazbě i za předpokladu, že KčK 10  .
Celkový úrokový výnos neroste jako u jednoduchého úročení lineárně, ale
exponenciálně.
Základní rovnice pro složené úročení:
 t
t iKK  10
Tato rovnice platí za předpokladu, že t je celé kladné číslo a úročení probíhá
koncem každého roku.
29
Graf 3.1 Závislost úroku a výše kapitálu na době splatnosti
Příklad 3.1
Uložili jsme částku 12 000 Kč. Jaká bude výše kapitálu za 3 roky při složeném
úročení, jestliže úroková sazba bude 5 % p. a.
Řešení:
Obecně:
 t
t iKK  10
Numericky:
  KčKt 50,89113157625,10001205,0100012
3

Konečná hodnota kapitálu bude 13 891,50 Kč.
Předpokládejme, že t je celé kladné číslo, ale úrokovací období je kratší než
jeden rok. Úrokování probíhá (=připisování úroků) m -krát za rok.
Označme: 0K – původní (počáteční) kapitál
i – roční úroková sazba v setinách
m
i
– úroková sazba za jednu m -tinu roku
mK – stav kapitálu na konci m -té části roku
čas
kapitál
0K
t
15,0i
2,0i
30
Tabulka 3.2 Odvození základní rovnice složeného úročení při úročení m-krát do roka
Část
(m-
tina)
roku
Stav kapitálu na konci roku
1 






m
i
K
m
i
KKK 10001 






m
i
K 10
2 


















m
i
m
i
K
m
i
K
m
i
KKK 111 01112
2
0 1 






m
i
K
3 


















m
i
m
i
K
m
i
K
m
i
KKK 111
2
02223
3
0 1 






m
i
K
  
t 




















m
i
m
i
K
m
i
K
m
i
KKK
m
mmmm 111
1
0111
m
m
i
K 





 10
Stav kapitálu úročeného m -krát za rok bude na konci roku:
m
m
m
i
KK 





 10
a za t let bude:
tmtm
t
m
i
K
m
i
KK






















 11 00
Příklad 3.2
Jako v předcházejícím příkladu jsme si uložili 12 000 Kč. Jaká bude výše kapitálu
za 3 roky při složeném úročení polhůtním, jestliže úrokovací období bude čtvrtletní a
úroková sazba činí 5 % p. a.
Řešení:
Obecně:
tm
t
m
i
KK







 10
Numericky:
KčKt 054,929131607545,1000120125,100012
4
05,0
100012 12
34








Konečná hodnota kapitálu při stanovených podmínkách bude 13 929,054 Kč.
31
3.2 Kombinace jednoduchého a složeného úročení
Ke kombinaci jednoduchého a složeného úročení dochází tehdy, jestliže jsou úroky
připisovány po určitou dobu k počátečnímu vkladu a s ním dále úročeny (složené
úročení), ale na konci je nutno vypočítat úrok za dobu kratší než je úrokovací období
(jednoduché úročení).
Nechť platí podmínka: t není kladné celé číslo,
můžeme psát
Rnt 
kde n je číslo, které udává počet celých ukončených let a
1R je číslo, které udává neukončené úrokovací období (např. část roku).
Počáteční kapitál 0K nejprve úročíme složeným úročením po celou dobu n
úrokovacích období (např. let)
 n
n iKK  10
Tento kapitál nK pak úročíme jednoduchým úročením po dobu R , tedy po dobu
posledního neukončeného úrokovacího období (po zbytek splatnosti, část roku).
 RiKK nt  1
Dosadíme-li za nK , obdržíme hodnotu kapitálu na konci úrokovacího období
Rnt 
   RiiKK
n
t  110
Jestliže se úroky připisují m -krát do roka a doba t není celé číslo, potom můžeme
opět zapsat: Rnt 
Konečnou hodnotu kapitálu za dobu t pak určíme podobným způsobem jako
v předcházejícím vztahu.
n
n
m
i
KK 





 10
kde n je počet celých ukončených m -tin za dobu t
Konečnou hodnotu kapitálu tK pak vypočítáme jednoduchým úročením zúročené
výše kapitálu nK
 RiKK nt  1
32
Jestliže dosadíme za nK , dostaneme konečný vztah pro výpočet kapitálu tK .
 Ri
m
i
KK
n
t 





 110
Všimněte si, že se v předchozím výrazu vyskytuje jiná úroková sazba pro část
složeného úročení a jiná pro část jednoduchého úročení, i když obě vycházejí ze
stejné roční úrokové sazby. Vyvstávají tedy otázky jako, jak je to možné, je daný
výraz správný a pokud ano, co tedy vyjadřuje R .
Podívejme se tedy na daný problém tzv. „selským“ rozumem. Pokud budeme úročit
každé pololetí, musíme použít pro složené úročení pololetní úrokovou sazbu. Tu
obdržíme vydělením roční úrokové sazby počtem připsání úroků za rok, což je pro
pololetní úročení číslo 2. Budeme-li úročit počáteční částku po dobu 3 roků a
5 měsíců, připíšeme úroky celkem 6 krát (3roky po 2 pololetích). Zbývá nám tedy
5 měsíců, které netvoří celý půlrok. Jakou část půlroku tvoří 5 měsíců? Odpověď je
jednoduchá:
6
5
. Částku 6K , kterou obdržíme, pokud počáteční kapitál zúročíme
6 krát složeným úročením při půlroční úrokové sazbě ve výši
2
i
(pokud i je roční
úroková sazba), nám zbývá zúročit jednoduchým úročením při stejné půlroční
úrokové sazbě po dobu
6
5
úrokového období (tj. 5 měsíců). Vzorec by potom vypadal
následovně:

























12
5
1
2
1
6
5
2
1
2
1
6
0
6
0 i
i
K
ii
KKt
Logicky tedy předpokládáme, že úrokové sazby pro část složeného úročení a část
jednoduchého úročení budou stejné. Potom požadujeme, aby R vyjadřovalo
poměrnou část úrokovacího období.
Pokud bychom stejný případ rozvedly pro čtvrtletní úročení, dostali bychom
následující vzorec:






































12
2
1
4
1
3
2
4
1
4
1
3
2
4
1
4
1
13
0
13
0
134
0 i
i
K
ii
K
ii
KKt
Pokud bychom stejný případ rozvedly pro dvouměsíční úročení, dostali bychom
následující vzorec:






































12
1
1
6
1
2
1
6
1
6
1
2
1
6
1
6
1
20
0
20
0
236
0 i
i
K
ii
K
ii
KKt
Všimněte si, že součin čísel ve jmenovatelích pro jednoduché úročení dává vždy
číslo 12. Můžeme tedy v části pro jednoduché úročení použít roční úrokovou sazbu
33
bez ohledu na délku úrokovacího období. V takovém případě ale bude R vyjadřovat
poměrnou část celého roku, nikoliv úrokovacího období.
Příklad 3.3
Na kolik vzroste vklad 15 000 Kč uložený na 3 roky a 5 měsíců při úrokové sazbě
5 % p.a.
Řešení:
3 roky a 5 měsíců = 3,416667 roku
416667,0
12
5
3416667,305,000015? 0  RntiKKt
Obecně:
   RiiKK
n
t  110
Numericky:
  KčKt 13,7261702083333,1157625,100015
12
5
05,0105,0100015
3







Poznámka: Pokud bychom řešili tento příklad podle výrazu  t
t iKK  10 , byl
by výsledek následující:   KčKt 99,7201705,0100015
416667,3

Příklad 3.4
Řešte předchozí příklad pro případ pololetního úročení a čtvrtletního úročení.
Řešení:
3 roky a 5 měsíců = 3,416667 roku
05,000015? 0  iKKt
pro pololetní úročení platí
83333,0
6
5
6  Rn
KčKt 757,811702083333,11,159693400015
12
5
05,01
2
05,0
100015
6













pro čtvrtletní úročení platí
66667,0
3
2
13134  Rn
KčKt 775,87170083333,11,17526400015
12
2
05,01
4
05,0
100015
13













34
3.3 Výpočet doby splatnosti
Výpočet doby splatnosti počítáme třemi (podobnými) způsoby podle toho, zda:
1. t je celé kladné číslo, úročení roční p. a.
2. t není celé kladné číslo, úročení roční p. a.
3. t není celé kladné číslo, úročení je jiné, než roční
Ad 1. t je celé kladné číslo, úročení roční p. a.
Při této úloze vycházíme ze základního vzorce pro složené úročení
 t
t iKK  10
Jelikož chceme vypočítat t , celou rovnici zlogaritmujeme a osamostatníme
neznámou t .
    t
t iKK  1lnln 0
      t
t iKK  1lnlnln 0
     itKKt  1lnlnln 0
   
 
t
i
KKt



1ln
lnln 0
 
t
i
K
Kt








1ln
ln
0
Poslední dvě rovnice jsou ekvivalentní, záleží na každém, zda chce počítat
dva logaritmy a poté odečíst dvě čísla, nebo raději vydělí dvě čísla a poté
teprve logaritmuje.
Ad 2. t není celé kladné číslo, úročení roční p. a.
Jestliže t není celým kladným číslem, postupujeme stejným způsobem jako
v předešlém případě. Poté, co řešením předešlé rovnice je t , které není celým
kladným číslem, rozdělíme t na celou část a necelou část tak,aby platilo
Rnt  . Dále použijeme rovnici pro kombinované úročení
   RiiKK
n
t  110 . Jedinou neznámou zůstává R , které vyjádříme
z uvedené rovnice pro kombinované úročení.
   RiiKK
n
t  110
 
Ri
iK
K
n
t


1
10
 
Ri
iK
K
n
t


1
10
  R
i
iK
K
n
t



1
10
nebo
 
R
iiiK
K
n
t


1
10
35
Protože úrokovací období bylo roční, stačí pro převod na dny R vynásobit
počtem dnů v roce, což podle naší domluvy je 360 dnů.
Ad 3. t není celé kladné číslo, úročení je jiné, než roční
Jestliže je úrokovací období jiné než roční (většinou kratší), vycházíme pro
výpočet doby t z výrazu
tm
t
m
i
KK







 10
Rovnici upravíme logaritmováním na tvar:
  














tm
t
m
i
KK 1lnln 0
    














tm
t
m
i
KK 1lnlnln 0
    






m
i
tmKKt 1lnlnln 0
   
t
m
i
m
KKt









1ln
lnln 0
Jelikož t není celé kladné číslo, rozložíme jej opět tak, aby platilo Rnt 
Zbytek doby splatnosti R zpřesníme podle vztahu:
 Ri
m
i
KK
n
t 





 110
Ri
m
i
K
K
n
t








1
10
Ri
m
i
K
K
n
t








1
10
R
i
m
i
K
K
n
t









1
10
nebo R
i
m
i
iK
K
n
t








1
10
36
Příklad 3.5
Jak dlouho byl uložen kapitál 2 300 000 Kč, jestliže vzrostl při 9 % úroku p.a. při
složeném úrokování na hodnotu 4 995 354 Kč?
Řešení:
Obecně:
 i
K
K
t
t








1ln
ln
0  
i
iK
K
R
n
t
1
10



Numericky:
 
8,999965
0,086178
0,775599
09,01ln
0003002
3549954
ln








t
Z výsledku je patrné, že se bude jednat o 9 let, protože zbytek za desetinnou
čárkou tuto skutečnost naznačuje. Abychom měli jistotu, že se nemýlíme,
upřesníme zbývající dobu.
  0,999998
09,0
157760,08999988
09,0
1
44894,0758875824
3549954
09,0
1
09,010003002
3549954
8





R
dní359,99928dní3600,9999980,999998 R
Výsledek se od 360 dnů liší jen málo. Můžeme tedy toto zpřesnění zaokrouhlit
na 360 dnů. Celková doba úročení tedy byla 8 let a 360 dnů, což je 9 let.
Příklad 3.6
Máme zjistit, jak dlouho byl uložen kapitál ve výši 15 000 Kč, jestliže při složeném
úročení a úrokové sazbě 4 % p. a. vzrostl na 21 000 Kč.
Řešení:
 
 
 
8,579
0,039220
0,336472
04,1ln
4,1ln
04,01ln
00015
00021
ln








t
Rnt 
8n
  50,57415717
04,0
700277710,02296628
04,0
1
0791528,53575620
00021
04,0
1
04,0100015
00021
8





R
dní206,696583dní36050,5741571750,57415717 R
37
Za daných podmínek byl kapitál uložen 8 let 207 dnů, což je 6 měsíců a 27
dní.
Příklad 3.7
Máme určit dobu splatnosti kapitálu, který při složeném pololetním úročení vzrostl
ze 150 000 Kč při úrokové sazbě 4 % p. a. na 180 000 Kč.
Řešení:
Obecně:














m
i
m
K
K
t
t
1ln
ln
0
i
m
i
K
K
R
n
t
1
10









Numericky:
 
 
roků44,60346887
730,019802622
680,18232155
02,1ln2
2,1ln
2
04,0
1ln2
000150
000180
ln


















t
8855,24162641244,60346887roků44,60346887  tt měsíců
Protože úrokovací období je pololetní, tj. trvá 6 měsíců, budeme tedy úročit
206937748,96:241626488,55  úrokovacích období. Jedná se tedy o
kombinované úročení, při kterém budeme složeným úročením úročit po dobu
9 celých úrokovacích období a zbývající dobu musíme dopočítat použitím
jednoduchého úročení.
0,102658
04,0
9047190170,00410631
04,0
1
293347179263,885
000180
04,0
1
2
04,0
1000150
000180
9











R
Protože používáme vzorec, který za R dosazuje 360 dní, je výsledný počet
dní, kdy použijeme jednoduché úročení (jedná se o necelé úrokovací období),
roven 36,956883600,102658 R dnů, což po zaokrouhlení na celé dny dává
37 dnů. Celková doba tedy je 9 pololetí, tj. 4 roky a 6 měsíců, a 37 dní, tj. 1
měsíc a 7 dní.
Aby za daných podmínek vzrostl počáteční kapitál na 180 000 Kč, musel by
být uložen po dobu 4 let 7 měsíců a 7 dní.
38
Ke stejnému výsledku se dostaneme, když si úlohu přeformulujeme z ročního
pohledu a úrokovacího období m -krát za rok na pohled úrokovacích období a
použijeme vzorec    RiiKK
n
t  110 , kde tentokrát bude i představovat
úrokovou sazbu úrokovacího období, tzn. 02,0
2
04,0
i , n bude představovat
počet celých ukončených úrokovacích období, tzn. 9n , a R bude
představovat zbytek v rámci úrokovacího období, tzn. zbytek v rámci 180 dní.
Použijeme tedy následující vzorce:
 i
K
K
t
t








1ln
ln
0  
i
iK
K
R
n
t
1
10



Po dosazení obdržíme:
   
 
 
pololetí9574659,20693774
729617970,01980262
67939550,18232155
02,1ln
2,1ln
02,01ln
000150
000180
ln
1ln
ln
0

















i
K
K
t
t
Výsledkem je počet úrokovacích období, v našem případě pololetí. Nyní
pokračujeme zpřesněním necelého úrokovacího období.
  pololetí23595080,20531595
02,0
1
293347179263,885
000180
02,0
1
02,01000150
000180
9





R
dní36,95687dní18023595080,20531595pololetí23595080,20531595 R
Dostali jsme ke stejnému výsledku – 9 pololetí a 37 dní.
V předchozím příkladě jsme si ukázali, že ke správnému výsledku v případě, že
úročíme vícekrát za rok, se můžeme dostat dvojím způsobem. Je ovšem důležité
nepromíchat tyto dva způsoby dohromady. Bylo by špatně v našem případě pracovat
na bázi úrokovacího období, ale upřesněnou část doby úročení vynásobit 360 dny!
3.4 Výpočet současné hodnoty
Značný význam pro nás má současná hodnota, neboť nám umožňuje porovnat
hodnotu kapitálu v čase. V běžné praxi stojíme před úkolem zjistit, jakou výši kapitálu
musíme uložit, abychom dosáhli v určitém čase t budoucí hodnotu kapitálu. Čím
dříve máme potřebný kapitál, tím dříve jej můžeme uložit nebo investovat a přináší
nám úroky.
Při výpočtu současné hodnoty kapitálu vycházíme ze základních výrazů pro
kombinované (složené) úročení.
39
Pokud je t celé kladné číslo a úročení je roční, pak vyjdeme ze vzorce pro složené
úročení
 t
t iKK  10
Z této rovnice vypočítáme 0K .
 t
t
i
K
K


1
0
Jestliže KčKt 1 , potom výraz
 t
i1
1
nazýváme odúročitel a značí současnou hodnotu 1 Kč splatné za t let při úrokové
sazbě i .
Pokud bychom úročili m -krát do roka, vycházeli bychom ze vzorce
tm
t
m
i
KK







 10
a po vyjádření 0K bychom obdrželi rovnici
tm
t
m
i
K
K 








1
0
Pokud t není celé kladné číslo a úročení je roční, pak vyjdeme ze vzorce pro
kombinované úročení
   RiiKK
n
t  110
Jestliže chceme vypočítat současnou hodnotu při znalosti budoucí hodnoty a není-li
doba splatnosti t vyjádřena celým kladným číslem, vyjádříme 0K z předešlé rovnice.
Výsledkem je rovnice
   Rii
K
K n
t


11
0
kde n je nejbližší přirozené číslo k číslu t a ntR  .
40
Pokud bychom úročili m -krát do roka, výsledná rovnice by byla
 Ri
m
i
K
K n
t








11
0
kde n je nejbližší přirozené číslo k číslu t a ntR  .
Příklad 3.8
Kolik musíme uložit, abychom za 5 let při úrokové sazbě 5 % p.a. získali kapitál
ve výši 100 000 Kč. Úročení je složené.
Řešení:
Obecně:
 t
t
i
K
K


1
0
Numericky:
 
KčK 62,35278
05,1
000100
05,01
000100
550 


Abychom za 5 let měli kapitál 100 000 Kč, musíme dnes uložit 78 352,62 Kč.
Příklad 3.9
Máme možnost koupit osobní automobil. Je pro nás výhodnější zaplatit hotově
240 000 Kč nebo dát přednost splátkovému způsobu platby a zaplatit zálohu hotově
ve výši 120 000 Kč a za 3 roky doplatit zbytek ve výši 160 000 Kč při úrokové sazbě
8 % p.a. a při složeném pololetním úročení?
Řešení:
Naším úkolem je porovnat oba způsoby:
zaplacení v hotovosti 240 000 Kč
nebo
záloha 120 000 Kč a splátka 160 000 Kč, jejíž současná hodnota je:
Obecně:
tm
t
m
i
K
K 








1
0
41
Numericky:
KčK 33,450126
265319,1
000160
2
08,0
1
000160
320 







 
Splátkový způsob platby = záloha + KčK 33,45024633,4501260001200 
240 000 < 246 450,33
Z numerického hlediska je výhodnější zaplatit ihned 240 000 Kč než splátkový
způsob. Tento způsob platby je však výhodnější pro kupujícího, neboť
vzhledem k ceně automobilu je cena vyšší o 6 450,33 Kč, což jsou pouze
2,68764 % z pořizovací ceny automobilu.
Příklad 3.10
Kolik korun musíme dnes uložit, abychom za 5 let 3 měsíce a 24 dní měli na kontě
částku ve výši 500 000 Kč, jestliže banka nabídla 5 % p.a. a složené úročení.
Řešení:
316667,0
360
24303
;5 

 Rn
Obecně:
   Rii
K
K n
t


11
0
Numericky:
   
KčK 656,84385
1,01583335251,27628156
000500
316667,005,0105,01
000500
50 




Při daných podmínkách musíme dnes uložit 385 656,84 Kč.
Příklad 3.11
Použijme přecházejícího příkladu, ale se čtvrtletním úročením. (Výsledek by měl být
menší, než v předcházejícím příkladu – zamyslete se proč?)
Řešení:
26667,02126667,21
303
24
3
3
3
12
5 

 Rančtvrtletít
42
Obecně:
 Ri
m
i
K
K n
t








11
0
Numericky:
Kč,
,
,.
,,
K 60909383
00333337511,298063
000500
266670
4
050
1
4
050
1
000500
210 
















Abychom měli při daných podmínkách za 5 let 3 měsíce a 24 dní 500 000 Kč,
musíme dnes uložit 383 909,60 Kč.
3.5 Výpočet úrokové sazby
Jestliže chceme zjistit, jaká je úroková sazba, vycházíme z podmínek, za kterých
jsme ukládali nebo si vypůjčovali kapitál. Při řešení těchto úloh použijeme již dříve
odvozené vztahy.
Pokud je t celé kladné číslo a úročení je roční, pak vyjdeme ze vzorce pro složené
úročení, ze kterého vyjádříme úrokovou sazbu
 t
t iKK  10
 tt
i
K
K
 1
0
 i
K
K
t
t
 1
0
i
K
K
t
t
1
0
Tedy:
1
0
 t
t
K
K
i
Pokud bychom úročili m -krát do roka, vycházeli bychom ze vzorce
tm
t
m
i
KK







 10
43
tm
t
m
i
K
K







 1
0







m
i
K
K
tm
t
1
0
m
i
K
K
tm
t
 1
0
Z toho úroková sazba bude:








  1
0
tm
t
K
K
mi
Pokud t není celé kladné číslo a úročení je m -krát do roka, pak úrokovou sazbu
vyjádříme obdobně, jako v předchozím vzorci

















  11
00
Rnm
t
tm
t
K
K
mi
K
K
mi
Kde R je vztaženo k úrokovacímu období.
Příklad 3.12
Jaká byla úroková sazba, jestliže kapitál 20 000 Kč vzrostl při složeném úročení za
4 roky na 27 400 Kč.
Řešení:
Obecně:
1
0
 t
t
K
K
i
Numericky:
0819,010819,1137,11
00020
40027 44 i
%19,8100  ip
Kapitál byl úročen úrokovou sazbou 8,19 % p.a.
44
Příklad 3.13
Kolika procenty byl úročen vklad 20 000 Kč, jestliže vzrostl na 30 000 Kč při
pololetním složeném úročení.
Řešení:
Obecně:








  1
0
tm
t
K
K
mi
Numericky:
  10398,005199,0215,121
00020
00030
2 842 







 i
%19,8100  ip
Vklad byl za daných podmínek úročen sazbou 10,398 % p.a.
Příklad 3.14
Jaká je úroková sazba, jestliže kapitál 20 000 Kč vzrostl za 4 roky 2 měsíce a 21 dní
na 30 000 Kč. Úročeno čtvrtletním složeným úročením.
Řešení:
  čtvrtletítKčKKčKt 9,169,01690/2130244;00020;00030 0 
Obecně:








  1
0
Rnm
t
K
K
mi
Numericky:
097128,0024282,041
00020
00030
4 9,044 







 i
Vklad byl za daných podmínek úročen sazbou 9,7128 % p.a.
45
3.6 Srovnání jednoduchého a složeného úročení
Jednoduché úročení je dáno vztahem:
)1(0 tiKKt 
Po roznásobení závorky obdržíme:
tiKKKt  00
Jedná se o lineární funkci, jejímž grafem je přímka.
Složené úročení je dáno vztahem:
 t
t iKK  10
Jedná se o exponenciální funkci, jejímž grafem je exponenciální křivka.
Graf 3.2 Srovnání jednoduchého a složeného úročení při ročním úročení
Z grafů obou funkcí vidíme, že pro  1;0t jsou funkční hodnoty exponenciální
funkce menší než hodnoty lineární funkce. Pro 1t je tomu naopak. Pro 1t jsou
obě funkční hodnoty stejné.
Z grafu je zřejmé, že pro  1;0t je výhodnější pro klienta jednoduché úročení a pro
dobu 1t budou úroky při složeném úročení vyšší než při úročení jednoduchém.
0K
tK
 iK  10
tčas0
rok1
funkcelníexponenciá
funkcelineární
46
Tento závěr je platný nejenom pro roční úrokovací období, ale také pro jakékoliv jiné
úrokovací období. Platí tedy, že v rámci jednoho úrokovacího období je výhodnější
pro klienta jednoduché úrokovací období, pro více než jedno úrokovací období je
výhodnější pro klienta složené úročení. Z tohoto vyplývá další předpoklad, který
budeme dodržovat v následujícím textu.
Předpoklad 3
Pokud nebude řečeno jinak, používáme pro výpočty kombinované úročení, přičemž
pro celé úrokovací období používáme složené úročení a pro zbývající (necelou) část
úrokovacího období používáme jednoduché úročení.
3.7 Příklady k procvičení
1. Určete výši zúročeného kapitálu 12 000 Kč, je-li úroková sazba 12,5% p.a. při
složeném úročení, jestliže úročení je pololetní a tato částka je uložená 3 roky.
[17 264,53 Kč]
2. Jak dlouho byl uložený kapitál 2 300 000 Kč jestliže při složeném úročení vzrostl
na hodnotu 4 995 347 Kč při úrokové sazbě 9% p.a.?
[9 let]
3. Kolik musíme dnes uložit, abychom za 5 let, 3 měsíce a 24 dní měli na kontě
1 mil. Kč? Úrokovací období je roční a úroková sazba je 4% p.a.
[811 646,25 Kč]
4. Jak dlouho bylo uloženo 15 000 Kč, jestliže tento vklad vzrostl na 21 000 Kč při
4% úrokové sazbě p.a.?
[8 let 6 měsíců a 27 dnů]
5. Určete úrokovou míru p.a., při které se zvýší:
a. 4 400 Kč na 8 500 Kč za 16 let při čtvrtletním složeném úročení;
b. 4 000 Kč na 15 000 Kč za 20 let při pololetním složeném úročení;
c. počáteční hodnota kapitálu na svůj dvojnásobek za 16 let, při měsíčním
složeném úročení
[a. 4,14 % p.a., b. 6,72 % p.a., c. 4,34 % p.a.]
6. Určete počet celých úrokovacích období, za který se zvýší:
a. 1 000 Kč na 1500 Kč při čtvrtletním složeném úročení a úrokové sazbě
4% p.a.;
b. 2 000 Kč na 4 000 Kč při složeném měsíčním úročení a roční úrokové
sazbě 5%;
c. počáteční hodnota kapitálu na svůj trojnásobek při ročním složeném
úročení s úrokovou sazbou 4% p.a.
[a. 10 let a 3 měsíce, b. 13 let a 11 měsíců, c. 29 let]
47
7. Otec uložil do banky pro syna hotovost na 3,25 % p.a. při čtvrtletním složeném
úročení. Jestliže syn po osmi letech vybral 8 092,12 Kč jako konečnou hodnotu
včetně úrokového výnosu, jaká byla počáteční hodnota?
[6 246 Kč]
8. Když klient uložil 1.1.2000 v bance 10 000 Kč, měla banka 2,75 % p.a. úrokovou
sazbu a složené pololetní úročení. K 1.1.2005 banka oznámila, že počínaje
tímto datem bude úroková sazba 3 % p.a. při složeném čtvrtletním úročení.
Jakou hodnotu bude mít uložený kapitál k 1.1.2010, pokud se už úroková sazba
nebude měnit?
[13 310,97 Kč]
9. Jestliže si vypůjčí klient 8 900 Kč při 5,25 % p.a. úrokové sazbě při složeném
ročním úročení a jestliže splatí na konci prvního roku 2 000 Kč a na konci
druhého roku 3 000 Kč, kolik činí zůstatek dluhu splatného za další 3 roky?
[5 542,79 Kč]
10. Dva kapitály, jejichž součet je 12 000 p.j., jsou uložené za těchto podmínek:
a. první na jednoduchý úrok při 12% roční úrokové sazbě
b. druhý na složený úrok při 8% roční úrokové sazbě
Po deseti letech budou mít stejnou hodnotu. Vypočítejte jejich velikost.
[první 5 943,46 p.j., druhý 6 056,54 p.j.]
11. Klient vložil do banky 3 000 Kč, po dvou letech vložil dalších 5 000 Kč. Po
dalších dvou letech měl na kontě 12 088,05 Kč. Jaká byla roční úroková sazba
při pololetním složeném úročení?
[15,19 % p.a.]
*12. Klient uložil na začátku roku kapitál 150 000 Kč na 3 roky s úrokovou sazbou
5% p.a. Banka nabízí klientovi, že z částky 50 000 Kč nebude platit daň z úroků.
a. Kolik korun by měl klient na konci třetího roku pokud by klient přistoupil
na nabídku banky?
b. Představme si, že se nedaní úroky z vkladu do maximální výše 1K .
Klient na začátku roku uloží kapitál 10 KK  na n let. Úroková míra je i,
úrokovací období je 1 rok, zdaňovací koeficient je k. Dokažte, že
výsledná částka na konci n-tého roku je rovna
n
n
ikKK
k
ik
KK ).1).((
1).1(
. 1011 


[a. 171 122,82 Kč]
48
4 Nominální a reálná úroková sazba
4.1 Efektivní úroková sazba
V předcházejících úlohách při složeném úročení jsme viděli, že při stejné roční
nominální úrokové sazbě je pro vkladatele výhodnější, jestliže se úroky připisují
vícekrát ročně než jednou za rok, neboť se tento již zúročený kapitál opět úročí.
Připisují-li se úroky na konci každé
m
1
roku, bude celkový úrok při stejné úrokové
sazbě (za předpokladu dalšího úročení těchto úroků) vyšší než v případě, že se
úroky připisují pouze jednou na konci roku. Jestliže má být dosaženo při obou
způsobech připisování úroků stejného finančního efektu, musí být nominální úroková
sazba při ročním úrokovacím období vyšší než při úrokovacím období kratším než
jeden rok.
Takovou roční úrokovou sazbu budeme nazývat efektivní úrokovou sazbou.
Jestliže má být výše kapitálu na konci roku stejná při obou způsobech úročení, musí
pro efektivní úrokovou sazbu platit vztah:
m
ef
m
i
i 





 11
kde efi je efektivní úroková sazba, i je roční nominální úroková sazba.
Potom:
11 






m
ef
m
i
i
Příklad 4.1
Máme najít efektivní úrokovou sazbu, která odpovídá 10 % roční nominální úrokové
sazbě, jestliže jsou úroky připisovány: a) pololetně; b) čtvrtletně; c) měsíčně
Řešení:
a) pololetní připisování znamená, že 2m . Potom
0,1025105,11
2
1,0
1 2
2






efi
Efektivní úroková sazba odpovídající roční nominální úrokové sazbě 10 % p.a.
a pololetnímu připisování úroků je tedy 10,25 % p.a.
b) čtvrtletní připisování znamená, že 4m . Potom
06250,103812891025,11
4
1,0
1 4
4






efi
49
Efektivní úroková sazba odpovídající roční nominální úrokové sazbě 10 % p.a.
a čtvrtletnímu připisování úroků je tedy 10,38 % p.a.
c) měsíční připisování znamená, že 12m . Potom
97590572635274412972410,10471306131,0081
12
1,0
1 12
12






efi
Efektivní úroková sazba odpovídající roční nominální úrokové sazbě 10 % p.a.
a měsíčnímu připisování úroků je tedy 10,47 % p.a.
Z uvedeného příkladu je vidět, že čím častěji se během roku úročí, tím je pro klienta
toto úročení výhodnější, neboť efektivní úroková sazba s počtem úrokovacích období
roste.
4.2 Úroková intenzita
Doposud jsme časové intervaly uvažovali odděleně (diskrétně). Předpokládejme, že
počet úrokovacích období, v kterých se připisují úroky, poroste až do nekonečna a
jejich délka se zkracuje a teoreticky klesá k nule. V takovém případě mluvíme o
spojitém úročení. Úroková sazba, která odpovídá tomuto případu, se nazývá úroková
intenzita.
Pro úrokovací intenzitu zřejmě platí:
m
m
ef
m
i
i 







1lim1
Z matematiky víme, že 71828,2
1
1lim 







e
n
n
n
je tzv. Eulerovo číslo.
Z tohoto výrazu je vidět, že hodnota 1 Kč vzroste při 100 % úrokové sazbě za 1 rok
při spojitém úročení na 2,71828 Kč.
Použijeme tento vztah pro výpočet limity:
i
i
i
m
m
m
m
e
i
mm
i

































1
1lim1lim
respektive f
e , kde f je úroková intenzita.
50
Vztah mezi efektivní úrokovou mírou a intenzitou je tedy následující:
 ef
f
ef ifei  1ln1
Při spojitém úročení potom platí:
tf
ttf
t
e
K
KeKK 

 00
Příklad 4.2
Jaká je úroková intenzita při efektivní úrokové sazbě 10 %?
Řešení:
    80765043952123298043248600,0953101710,01ln1ln  efif
Úroková intenzita bude 9,53%.
Příklad 4.3
Na kolik Kč vzroste kapitál 10 000 Kč za 5 let při spojitém úročení a úrokové intenzitě
5 %?
Řešení:
KčeeKK tf
t 87741484840,2541661200010 05,05
0  
Kapitál při spojitém úročení vzroste na 12 840,25 Kč.
Příklad 4.4
Jaká je současná hodnota kapitálu, který za 3 roky vzroste na 25 000 Kč při 12,5 %
úrokové intenzitě?
Řešení:
Kč
ee
K
K tf
t
7743182,23196917
00025
125,030  
Dnes musíme uložit 17 182,23 Kč.
51
4.3 Nominální a reálná úroková sazba
Doposud jsme mluvili o nominální úrokové sazbě, to znamená takové, u které jsme
neuvažovali inflaci. Každá inflace znehodnocuje nejen kapitál, ale také úroky. Jestliže
budeme do hodnoty úrokové sazby zahrnovat i inflaci, budeme hovořit o reálné
úrokové míře (reálném úroku).
Označme:
0K – kapitál na počátku úrokovacího období
rK – reálná výše kapitálu na konci úrokovacího období
i – nominální úroková sazba v setinách
ri – reálná úroková sazba v setinách
infi – míra inflace
Pro jednoduchost budeme předpokládat, že úrokovací období je roční, počáteční
kapitál budeme úročit na konci úrokovacího období nominální úrokovou sazbou a pak
diskontovat mírou inflace.
inf
0
1
1
i
i
KKr



Na základě reálného kapitálu si vypočítáme reálnou úrokovou sazbu ri jako poměr
výše úroku a počátečního kapitálu.
  rrrr
r
r KiKKKiK
K
KK
i 

 1000
0
0
Dosadíme-li tento vztah do přecházejícího výrazu za rK obdržíme:
  iiiii
i
i
i
i
i
KiK rrrr 





 11
1
1
1
1
1
1 infinf
infinf
00
infinf iiiii rr 
Tento vztah se nazývá Fischerova rovnice.
Poznámka:
Při nízké míře inflace a nízké reálné úrokové míře zanedbáváme někdy součin infiir 
a vztah mezi reálnou a nominální úrokovou mírou volíme infiii r  .
Příklad 4.5
Jestliže zapůjčíme kapitál s tím, že nám bude vrácen za 1 rok a předpokládáme-li
roční nominální úrokovou míru 10 % a míru inflace nulovou, získáme za rok reálně
o 10 % více. Jestliže bude míra inflace 15 %, máme za rok reálně o 5 % méně.
Získali jsme sice kapitál zvýšený o 10 %, ale za zboží a služby vydáme o 15 % více
než dříve.
52
4.4 Příklady k procvičení
1. Klient, který chce uložit 100 000 Kč na dobu jednoho roku, se může rozhodnout
mezi vkladem na vkladní knížku, která vynáší 2,45 % p.a. při složeném
měsíčním úročení a vkladem na spořící účet, který je úročen 2,5 % p.a. při
pololetním úročení. Která z těchto alternativ nabízí vyšší výnos?
[spořící účet]
2. Jaká roční efektivní úroková míra je ekvivalentní 8% p.a. při měsíční frekvenci?
[0,0829995]
3. Bez použití efektivní úrokové míry spočítejte na kolik se zúročí počáteční vklad
100 Kč, 1 000 Kč, 10 000 Kč, 100 000 Kč, 1 000 000 Kč, 100 000 000 Kč při
nominální úrokové sazbě 13 % p.a. a při měsíčním úročení za dobu pěti let.
Danou úlohu řešte poté za použití efektivní úrokové míry a výsledky porovnejte.
Pokud se výsledky liší, zdůvodněte proč.
[190,89 Kč; 1 908,86 Kč; 19 088,57 Kč; 190 885,65 Kč; 1 908 856,54 Kč;
190 885 653,51 Kč]
4. K dispozici máte 1 mil. Kč. Uložili jste tuto sumu na účet, který je úročen
3 % p.a. při ročním připisování úroků.
a. Kolik Kč máte k dispozici po dvou letech?
b. Kolik si můžete koupit kusů výrobku, jehož jednotková cena je 5 000 Kč,
pokud tato cena zůstane zachována i po dvou letech?
c. Kolik byste si mohli koupit kusů daného výrobku po dvou letech, pokud by
inflace první i druhý rok byla stejná ve výši 2,5 % za rok?
d. Kolik kusů výrobku byste si mohli koupit po dvou letech, pokud byste
museli platit daně z úroků a nebyla by inflace?
e. Kolik kusů výrobku byste si mohli koupit po dvou letech, pokud byste
museli platit daně a inflace by byla ve výši 2,5 % ročně?
f. Kolik kusů výrobku byste si mohli koupit po dvou letech, pokud byste
museli platit daně a inflace by byla ve výši 2,5 % první rok a 3 % druhý
rok?
[a. 1 060 900 Kč; b. 212; c. 201; d. 210; e. 200; f. 199]
53
5 Spoření
V přecházející části jsme si ukázali, jak zjistit konečnou nebo počáteční hodnotu
kapitálu, přičemž se jeho hodnota v průběhu času nenavyšovala ani nesnižovala.
Při spoření budeme předpokládat, že ukládáme kapitál (peněžní částku)
v pravidelných intervalech, a naším úkolem bude zjistit, kolik uspoříme i s úroky za
určitou dobu.
Spoření rozdělíme na:
 spoření krátkodobé – v rámci jednoho úrokovacího období (roku)
 spoření dlouhodobé – spoříme několik úrokovacích období po sobě
5.1 Spoření krátkodobé
Předpokládejme, že
– úrokovací období je jeden rok – úroky jsou připisovány najednou vždy na konci
roku
– pravidelné částky budeme ukládat m -krát za rok ( 2m ; 4m ; 12m )
Podle toho, zda budeme kapitál ukládat na počátku každé m -tiny roku nebo na konci
každé m -tiny roku, budeme rozlišovat:
 spoření předlhůtní
 spoření polhůtní
5.1.1 Spoření krátkodobé předlhůtní
Předpoklady:
 na počátku každé m -tiny roku budeme ukládat
m
1
Kč při úrokové sazbě i
 celková roční naspořená částka se bude tedy rovnat 1 Kč + úrok
Protože se pohybujeme v rámci jednoho úrokovacího období, použijeme pro zjištění
výše úroku jednoduché úročení.
54
Tabulka 5.1 Úroky z jednotlivých vkladů
Pořadí vkladu Počet m –tin do konce roku Úrok z vkladu do konce roku
1
m
m
1
 i
m
m
m
m
i
m
 2
1
2  
m
m
1
1  i
m
m
m
m
i
m




 2
111
3  
m
m
1
2  i
m
m
m
m
i
m




 2
221
  
m
m
1
1 i
mm
i
m
 2
111
Celkový úrok vypočítáme jako součet úroků z jednotlivých vkladů.
Tedy:
       i
m
mmm
m
i
mmm
m
i
u 





2
1
2
1
121 22

kde výraz     121  mmm je aritmetická posloupnost a její součet bude:
 1
2
 m
m
Sm
neboť mnama n  ;1;1
Celková uspořená částka 1S za 1 rok, jestliže každou
m
1
roku spoříme
m
1
z 1 Kč,
bude:
i
m
m
i
m
m
m
mS 






2
1
1
2
11
1
Jestliže spoříme x Kč každou
m
1
roku, potom můžeme celkovou částku naspořenou
za jeden rok vyjádřit:









 i
m
m
xmSx
2
1
1
Víme-li, kolik bude činit celková uspořená částka z 1 Kč, potom z částky mx  bude
celková naspořená částka mx  -krát větší.
55
Příklad 5.1
Kolik uspoříme včetně úroků do konce roku, jestliže ukládáme počátkem každého
měsíce 1 200 Kč při úrokové sazbě 5 % p.a.?
Řešení:
Obecně:









 i
m
m
xmSx
2
1
1
Numericky:
KčSx 7901431,027084001405,0
122
112
1200112 









Do konce roku uspoříme 14 790 Kč.
5.1.2 Spoření krátkodobé polhůtní
Předpoklady:
 na konci každé m -tiny roku budeme ukládat
m
1
Kč při úrokové sazbě i
 celková roční naspořená částka se bude tedy rovnat 1 Kč + úrok
Protože se pohybujeme v rámci jednoho úrokovacího období, použijeme pro zjištění
výše úroku jednoduché úročení.
Tabulka 5.2 Úroky z jednotlivých vkladů
Pořadí vkladu Počet m –tin do konce roku Úrok z vkladu do konce roku
1  
m
m
1
1  i
m
m
m
m
i
m




 2
111
2  
m
m
1
2  i
m
m
m
m
i
m




 2
221
  
1m
m
1
1 i
mm
i
m
 2
111
m
m
1
0 0
001
2
 i
mm
i
m
Celkový úrok vypočítáme jako součet úroků z jednotlivých vkladů.
56
Tím, že částky jsou ukládány vždy na konci příslušného období (části roku), je oproti
předlhůtnímu spoření počet těchto období (po které je vklad úročen) o jedno období
nižší. Z poslední úložky již nebudeme mít žádný úrok, neboť bude uložena na konci
roku.
Celkový úrok vypočítáme obdobně jako u předlhůtního spoření. Tedy:
       i
m
mmm
m
i
mm
m
i
u 





2
1
2
1
0121 22

kde výraz     0121  mm je aritmetická posloupnost a její součet bude:
  01
2
 m
m
Sm
neboť mnama n  ;0;11
Celková uspořená částka '
1S za 1 rok, jestliže každou
m
1
roku spoříme
m
1
z 1 Kč,
bude:
i
m
m
i
m
m
m
mS 






2
1
1
2
11'
1
Jestliže spoříme x Kč každou
m
1
roku, potom můžeme celkovou částku naspořenou
za jeden rok vyjádřit:









 i
m
m
xmSx
2
1
1'
Víme-li, kolik bude činit celková uspořená částka z 1 Kč, potom z částky mx  bude
celková naspořená částka mx  -krát větší.
Příklad 5.2
Kolik uspoříme do konce roku, jestliže ukládáme koncem každého měsíce 1 200 Kč
při 5 % p.a.?
Řešení:
Obecně:









 i
m
m
xmSx
2
1
1'
57
Numericky:
KčSx 7301461,022914001405,0
122
112
1200112'










Do konce roku při polhůtním spoření uspoříme 14 730 Kč.
Ze základních vzorců můžeme odvodit další výrazy, které používáme podle potřeby
pro výpočet výše vkladu a dosažení naspořené částky na konci roku nebo pro
výpočet úrokové sazby.
Výpočet výšky vkladu
předlhůtní:











i
m
m
m
S
x x
2
1
1
polhůtní:











i
m
m
m
S
x x
2
1
1
'
Výpočet úrokové sazby
předlhůtní:
1
2
1











m
m
xm
S
i x
polhůtní:
1
2
1
'











m
m
xm
S
i x
Příklad 5.3
Kolik musíme spořit na počátku každého měsíce, abychom za rok naspořili
10 000 Kč při 5 % p.a.?
Řešení:
Obecně:











i
m
m
m
S
x x
2
1
1
58
Numericky:
Kčx 36,811
325,12
00010
05,0
122
112
112
00010












Abychom za rok uspořili 10 000 Kč, musíme ukládat začátkem každého
měsíce 811,36 Kč.
Příklad 5.4
Jaká je procentní roční úroková sazba, jestliže za jeden rok uspoříme 10 000 Kč a
ukládáme koncem každého čtvrtletí 2 400 Kč?
Řešení:
Obecně:
1
2
1
'











m
m
xm
S
i x
Numericky:
10,11162,60,041
14
42
1
40024
00010











i
Požadovanou částku uspoříme za rok při úrokové sazbě 11,11 % p.a.
5.2 Spoření dlouhodobé
O dlouhodobém spoření hovoříme tehdy, jestliže trvá déle než jedno úrokovací
období (např. jeden rok). Budeme předpokládat, že v rámci úrokovacího období
ukládáme peněžní částku vždy na začátku nebo na konci úrokovacího období. Daná
peněžní částka bude vždy stejná. Použijeme složené úročení.
Vzorce budeme odvozovat pro úrokovací období jeden rok.
Pokud bychom chtěli odvodit vzorec pro jiné (např. měsíční) úrokovací období,
postup by byl zcela stejný, jen bychom zaměnili vše, co se týká ročního úrokovacího
období (roční úroková míra, počet celých let spoření, ukládání na začátku resp. na
konci roku), za pojmy (a čísla) vztahující se k novému úrokovacímu období (měsíční
úroková míra, počet celých měsíců spoření, ukládání na začátku resp. na konci
měsíce).
Při takovémto odvozování je nutné dodržet logiku, která bude uvedena níže na
příkladu ročního úrokovacího období.
59
5.2.1 Spoření dlouhodobé předlhůtní
Na počátku každého úrokovacího období (v našem případě na počátku každého
roku) ukládejme částku a . Naším úkolem bude zjistit, kolik budou činit úspory
na konci n -tého období při úrokové sazbě i . Pro určení celkové uspořené částky
včetně úroků na konci n -tého období vypočítáme výši vkladů za každý rok až do
konce n -tého roku, a tyto uspořené částky sečteme. Ptáme se tedy, kolik nám
přinese každá úložka až do konce spoření.
Tabulka 5.3 Hodnota jednotlivých vkladů až do konce spoření
Pořadí
úložky
Počet období uložení peněžní
částky do konce spoření
Celková hodnota na konci
posledního období
1 n  n
ia  1
2 1n   1
1


n
ia
  
n 1  1
1 ia 
Konečný stav úspor S vypočítáme jako součet hodnot jednotlivých úložek na konci
n -tého období.
              11111111
2121



nnnnn
iiiaiaiaiaiaS
Výraz v hranaté závorce je geometrická řada, kde 11 a , kvocient  iq  1 a počet
členů je n .
Protože víme, že pro součet geometrické řady platí
1
1
1



q
q
aS
n
n
můžeme pro součet S psát
   
 
   
i
i
ia
i
i
iaS
nn
11
1
11
11
11.










   
i
i
iaS
n
11
1


Jestliže Kča 1 , potom výraz:
   
n
n
s
i
i
i 


11
1
60
nazýváme střadatelem předlhůtním a udává nám, kolik ušetříme za n období při
úrokové sazbě i , jestliže na počátku každého období uložíme 1 Kč.
Potom pro výši konečné hodnoty můžeme využít zkráceného vzorce:
nsaS 
Výpočet velikosti vkladu (splátky, úložky)
     n
n
s
S
ii
iS
a





111
Výpočet doby spoření
    111 
n
iiaiS
 
  11
1


 n
i
ia
iS
 
 n
i
ia
iS



11
1
 
  n
i
ia
iS









1ln1
1
ln
 
 in
ia
iS









1ln1
1
ln
 
 i
ia
iS
n











1ln
1
1
ln
Příklad 5.5
Kolik uspoříme za 8 let, jestliže budeme ukládat na počátku každého roku 5 000 Kč
při neměnné úrokové sazbě 5 % p. a.?
Řešení:
Obecně:
   
i
i
iaS
n
11
1


Numericky:
    50132,825781259,549108872505
05,0
105,01
05,010005
8


S
Za 8 let uspoříme 50 132,82 Kč.
61
5.2.2 Spoření dlouhodobé polhůtní
Jestliže ukládáme peněžní částky na konci úrokovacího období (v našem případě
na konci roku), hovoříme o spoření polhůtním. Chceme vypočítat, kolik uspoříme za
n období, jestliže ukládáme na konci každého období peněžní částku a .
Tabulka 5.4 Hodnota jednotlivých vkladů až do konce spoření
Pořadí
úložky
Počet období uložení peněžní
částky do konce spoření
Celková hodnota na konci
posledního období
1 1n   1
1


n
ia
2 2n   2
1


n
ia
  
1n 1  1
1 ia 
n 0   aia 
0
1
Konečný stav vkladů S na konci n -tého období je opět dán součtem geometrické
řady (hranatá závorka)
          111111
2121
 

nnnn
iiaaiaiaiaS
Přitom   1;1 1  aiq
Potom součet geometrické řady bude
 
 
 
i
i
a
i
i
aS
nn
11
11
11 




 
i
i
aS
n
11 

Jestliže Kča 1 potom výraz
 
n
n
s
i
i

 11
nazýváme střadatelem polhůtním a udává nám, kolik ušetříme za n období při
úrokové sazbě i , jestliže na konci každého období uložíme 1 Kč.
Potom pro výši konečné hodnoty můžeme využít zkráceného vzorce:
nsaS 
62
Výpočet výše vkladu (splátky, úložky)
  n
n
s
S
i
iS
a






11
Výpočet doby spoření n
  11  n
iaiS
  11 
 n
i
a
iS
 n
i
a
iS


11
  n
i
a
iS








1ln1ln
 in
a
iS








1ln1ln
 i
a
iS
n










1ln
1ln
Příklad 5.6
Za jak dlouho uspoříme 50 000 Kč, jestliže koncem každého roku ukládáme 7 000 Kč
při neměnné úrokové sazbě 5 % p. a.?
Řešení:
Obecně:
 i
a
iS
n










1ln
1ln
Numericky:
 
6,259
410,04879016
960,30538164
05,01ln
1
0007
05,000050
ln










n
Abychom uspořili 50 000 Kč při daných podmínkách, musíme spořit více než 6
roků.
Je evidentní, že spořit necelé úrokové období nelze (přesněji řečeno lze, ale porušili
bychom celou logiku spoření), protože ukládáme pravidelně na konci (případně na
začátku) období a nemůžeme dát poslední vklad uprostřed úrokovacího období (za
uvedených předpokladů).
63
U výše uvedeného příkladu budeme mít po 6 letech naspořeno 47 613,39 Kč.
Zbývající sumu do požadované částky obdržíme pomocí jednoduchého (jsme v rámci
jednoho úrokovacího období) úročení (pokud bychom přesáhli celé úrokovací
období, použijeme kombinované úročení).
Pokud bychom tedy vyšli z naspořené částky a zadané úrokové sazby a pokud
bychom tuto sumu úročili celý rok, obdrželi bychom na konci roku 49 994,06 Kč.
Pokud bychom k této částce přidali dalších 7 000 Kč, přesáhli bychom značně
požadovanou částku (konkrétně bychom měli 56 994,06 Kč, což odpovídá spoření za
daných podmínek po dobu 7 let).
Je tedy otázkou, co chceme přesně spočítat.
Pokud chceme minimalizovat vklady, budeme spořit 6 let a dalších 361 dní (tj. 1 rok a
1 den) necháme částku naspořenou za 6 let úročit. V našem případě budeme mít po
6 letech spoření a 1 roku úročení k dispozici částku 49 994,06 Kč, která se za další
jeden den zúročí na částku 50001,0036194 Kč. Požadovanou částku z našeho
příkladu tímto způsobem přesáhneme o zhruba 1 Kč. Přičemž jsme uložili celkem
42 000 Kč.
Pokud nechceme minimalizovat vklady, ale chceme naspořit minimálně zadanou
částku, zaokrouhlíme výsledek výpočtu (6,259) na celé číslo nahoru, tj. v našem
konkrétním případě na 7 let. Naspoříme tak částku 56 994,06 Kč, přičemž jsme uložili
celkem 49 000 Kč.
5.3 Kombinace krátkodobého a dlouhodobého spoření
V praxi většinou spoříme více roků a peněžní částky většinou ukládáme pravidelně
každý měsíc (případně i v jiných pravidelných intervalech) – tedy m -krát za rok.
Stejně jako u předcházejících úloh rozdělíme toto spoření na spoření předlhůtní a
polhůtní podle toho, kdy budeme peněžní částky ukládat.
5.3.1 Kombinované spoření předlhůtní
Chceme zjistit, kolik uspoříme do konce n -tého roku, jestliže budeme ukládat
peněžní částku na počátku každé m -tiny roku.
Nejdříve vypočítáme, kolik uspoříme včetně úroků na konci prvního roku, což zjistíme
ze vztahu pro krátkodobé předlhůtní spoření. Tuto částku budeme mít k dispozici
vždy na konci roku. Tím jsme převedli úlohu na případ, kdy koncem každého roku
uložíme částku a , kterou jsme uvažovali u dlouhodobého spoření. Tuto částku a
nahradíme uspořenou částkou xS .
ai
m
m
xmSx 









2
1
1
   
i
i
i
m
m
xm
i
i
aS
nn
11
2
1
1
11 












64
Tedy:
 
i
i
i
m
m
xmS
n
11
2
1
1











Z daného výrazu vidíme, že jsme pro výpočet celkové uspořené částky použili
dlouhodobého polhůtního spoření, i když jsme jednotlivé částky ukládali na počátku
každé m -tiny roku. Je to dáno tím, že naspořená částka xS je vlastně ukládána
(naspořena) vždy na konci každého roku.
Výpočet výše vkladu x
 
i
i
i
m
m
m
S
x n
11
2
1
1












Výpočet doby spoření n
Použijeme vzorec pro polhůtní dlouhodobé úročení odvozený dříve
 i
a
iS
n










1ln
1ln
a za a dosadíme









 i
m
m
xm
2
1
1
výsledný vzorec tedy bude ( S nahradíme S pro předlhůtní spoření)
 i
i
m
m
xm
iS
n


























1ln
1
2
1
1
ln
Příklad 5.7
Kolik uspoříme za 10 let, jestliže spoříme začátkem každého čtvrtletí 2 500 Kč při
neměnné úrokové sazbě 5 % p. a.?
Řešení:
Obecně:
 
i
i
i
m
m
xmS
n
11
2
1
1











65
Numericky:
  709,5212912,57789251,0312500010
05,0
105,01
05,0
42
14
150024
10











S
Při stanovených podmínkách uspoříme za 10 let 129 709,52 Kč.
Příklad 5.8
Kolik musíme spořit počátkem každého měsíce, abychom za 10 let uspořili 1 mil. Kč
při neměnné úrokové sazbě 5 % p.a.?
Řešení:
Obecně:
 
i
i
i
m
m
m
S
x n
11
2
1
1












Numericky:
 
6450,68
12,577892512,325
0000001
05,0
105,01
05,0
122
112
112
0000001
10














x
Při stanovených podmínkách musíme měsíčně spořit 6 450,68 Kč.
5.3.2 Kombinované spoření polhůtní
Při řešení této úlohy budeme postupovat obdobným způsobem jako při spoření
předlhůtním. Opět nahradíme částku a spořením krátkodobým polhůtním '
xS .
ai
m
m
xmSx 









2
1
1'
   
i
i
i
m
m
xm
i
i
aS
nn
11
2
1
1
11 












Tedy:
 
i
i
i
m
m
xmS
n
11
2
1
1











66
Výpočet výše vkladu x
 
i
i
i
m
m
m
S
x n
11
2
1
1













Výpočet doby spoření n
 i
i
m
m
xm
iS
n


























1ln
1
2
1
1
ln
Příklad 5.9
Kolik musíme spořit koncem každého měsíce, abychom za 10 let uspořili 1 mil. Kč při
neměnné úrokové sazbě 5 % p.a.?
Řešení:
Obecně:
 
i
i
i
m
m
m
S
x n
11
2
1
1













Numericky:
 
476,956
12,577892512,275
0000001
05,0
105,01
05,0
122
112
112
0000001
10














x
Při uvedených podmínkách je nutno měsíčně ukládat 6 476,9512 Kč.
Příklad 5.10
Jak dlouho musíme spořit koncem každého měsíce 5 000 Kč, aby uspořená částka
byla ve výši 100 000 Kč při neměnné úrokové sazbě 5 % p. a.?
Řešení:
Obecně:
 i
i
m
m
xm
iS
n


























1ln
1
2
1
1
ln
67
Numericky:
 
 
 
12,213568
0,04879
0,5959
1,05ln
1121,81466395ln
05,01ln
1
05,0
122
112
1000512
05,00000001
ln


























n
Uvedenou částku při stanovených podmínkách uspoříme za přibližně 12 roků
a 2 měsíce (0,213568 roku je, při 360 dnech za rok, 77 dnů). Tento výsledek je
ovšem nepřesný.
Tady se opět dostáváme do situace, že máme spořit dobu, která neodpovídá
přirozeným násobkům období, za které vkládáme pravidelně stejné částky. Je tedy
nutno opět dořešit onu necelou část úrokovacího období.
Pokud budeme spořit za daných podmínek 12 let, budeme mít naspořeno
976 913,64 Kč. Zbývá tedy 23 086,36 Kč.
Do konce prvního měsíce (po skončených 12 letech) nám 976 913,64 Kč přinese
úrok 4 070,47 Kč. Celkem tedy budeme mít na konci tohoto měsíce 980 984,11 Kč,
což je méně, než kolik požadujeme (1 mil. Kč). Proto vložíme další vklad (5 000 Kč).
Protože se úroky připisují až na konci roku, přinese nám částka ze začátku roku opět
úrok 4 070,47 Kč i za druhý měsíc. Úroky nám přinese i náš poslední vklad, a to ve
výši 20,83 Kč. Celkem tedy budeme na konci druhého měsíce (13.roku) mít
976 913,64 Kč + 2*4 070,47 Kč + 5 000 Kč + 20,83 Kč, celkem tedy 990 075,41. Což
je opět méně než požadovaná částka. Proto vložíme další pravidelný vklad 5 000 Kč.
Na konci třetího měsíce bychom měli 976 913,64 Kč + 3*4 070,47 Kč + 5 000 Kč +
2*20,83 Kč + 5 000 Kč + 20,83 Kč, celkem tedy 999 187,54 Kč. Zde už je rozdíl
požadované částky a naspořené částky menší než pravidelný vklad. Musíme se tedy
rozhodnout, co preferujeme.
Pokud preferujeme minimalizaci celkové vložené částky, nebudeme na konci třetího
měsíce vkládat další pravidelný vklad, ale necháme zatím naspořenou částku pouze
úročit. Částka 976 913,64 Kč přináší každý den 135,68 Kč. Každý vklad v hodnotě
5 000 Kč přináší každý den 0,69 Kč. Dohromady tedy máme za jeden den úrok
135,68 Kč + 2*0,69 Kč = 137,06 Kč (ve 13.roku spoření jsme provedly dva vklady).
Rozdíl mezi požadovanou částkou a částkou naspořenou a zúročenou za první tři
měsíce 13.roku spoření je 812,46 Kč. Tento rozdíl získáme na úrocích za 6 dnů
( 93,5
06,137
46,812
 ). Když to všechno shrneme, je výsledek následující. Spoříme 12 let a
dva měsíce a další 36 dnů necháme naspořenou částku úročit. Na účtu budeme mít
1 000 009,9 Kč. Celkem jsme uložili 730 000 Kč.
Pokud bychom chtěli mít minimálně požadovanou částku naspořenou co nejdříve,
vložili bychom na konci třetího měsíce 13.roku ještě jeden vklad a měli bychom
naspořeno 1 004 187,54 Kč, přičemž bychom celkem uložili 735 000 Kč.
68
5.4 Příklady k procvičení
1. Kolik uspoříme do konce roku, jestliže ukládáme počátkem každého měsíce
1 200 Kč při úrokové sazbě 9 % p.a.?
[15 102 Kč]
2. Kolik musíme ukládat koncem každého měsíce, abychom za rok naspořili
21 000 Kč při úrokové sazbě 6 % p.a.?
[1 703,17 Kč]
3. Jak často musíme ukládat stejnou částku na konci období, abychom na konci
roku měli naspořeno 50 000 Kč? Úroková sazba je 6 % p.a.
[ 029126214,0
1
68932,48543 
x
m ]
4. Kolik musíme spořit počátkem každého měsíce, abychom na konci roku měli při
úrokové sazbě 2,8 % p.a. 1 milion Kč?
[82 088,33 Kč]
5. Kolik uspoříme za půl roku, jestliže začátkem každého měsíce ukládáme
1 000 Kč při úrokové sazbě 3,5 % p.a. a půlročním úročení?
[6 061,25 Kč]
6. Jak často musíme ukládat 500 Kč počátkem období, abychom za čtvrt roku měli
při 3 % p.a. a při čtvrtletním připisování úroků naspořenou částku 6 024,375 Kč?
[12 krát za čtvrtletí, tj. každý týden za předpokladu, že měsíc má 4 týdny]
7. Jak dlouho musíme spořit koncem každého měsíce 500 Kč, abychom uspořili
50 000 Kč při neměnné úrokové sazbě 8 % p.a.? (minimalizujeme celkovou výši
vkladů)
[6 let 5 měsíců spořit a dalších 29 dnů nechat jenom úročit (bez vkladu)]
8. Při měsíční předlhůtním spoření 10 Kč a úrokové sazbě 3 % p.a. a ročním
připisováním úroků určete uspořenou částku za 13 let.
[1 904,59 Kč]
9. Pan Mercedes plánuje nákup nového auta za 3 roky a počítá s nákupní cenou
320 000 Kč. Svoje současné auto staré dva roky hodlá prodat a odhaduje jeho
cenu v době prodeje na 80 000 Kč. Na zbytek ceny nového vozu chce pan
Mercedes ukládat na začátku každého čtvrtletí stejnou částku na svůj účet
v bance, při úrokové sazbě 12 % p.a. a ročním úročení, aby měl potřebnou
částku za tři roky k dispozici. Kolik bude činit tento vklad?
[16 540,41 Kč]
10. Klient ukládal po dobu deseti let koncem roku 10 000 Kč na vkladní knížku. V té
době spořitelna úročila vklady první 4 roky 10 % p.a. a 9,5 % p.a. posledních
6 let. Jaká je hodnota naspořené částky pět let po posledním vkladu, jestliže
úroková sazba 9,5 % p.a. trvá?
[245 879,92 Kč]
69
11. Na schůzce 5 let po promoci se absolventi fakulty dohodli, že příští schůzku
10 let po promoci uspořádají jako jubilejní a slavnostní, v luxusním podniku.
Na krytí předpokládaných nákladů souhlasili s tím, že každý pošle pokladníkovi
ročníku na konci každého pololetí 50 Kč. Jestliže všech 100 absolventů fakulty
tento závazek dodrží při dožití všech a pokladník vždy na konci pololetí uloží
peníze do banky při úrokové sazbě 4 % p.a. úročeno pololetně, kolik bude
naspořeno na konci 10. roku po promoci?
[54 748,60 Kč]
12. Otec od narození dcery ukládal počátkem každého měsíce 500 Kč při neměnné
úrokové sazbě 4,5 % p.a. s podmínkou, že si dcera tento vklad vybere při
dovršení 18 let. Jaká byla hodnota naspořené částky v době výběru?
(Předpokládáme, že se otec dožil 18. narozenin dcery)
[165 058,06 Kč]
*13. Kolik Kč uspoříte za 6 let, jestliže ukládáte začátkem každého čtvrtletí 15 000 Kč
při úrokové sazbě 2,5 % p.a. a při měsíčním připisování úroků?
[389 584,78 Kč]
*14. Jakou částku musíte pravidelně ukládat koncem každého roku, jestliže chcete
naspořit 1 mil. Kč za 13 let při úrokové sazbě 3 % p.a. a při pololetním
připisování úroků?
[63 939,90 Kč]
70
6 Důchody
6.1 Problematika důchodů
Důchodem rozumíme pravidelné výplaty, které obvykle nazýváme anuity (výplaty
důchodů) a budeme je značit a .
Podle toho, kdy jsou anuity placeny, rozlišujeme důchod:
 předlhůtní – anuity jsou placeny vždy na počátku určitého časového intervalu
 polhůtní – anuity jsou placeny vždy na konci určitého časového intervalu
Pro začátek budeme předpokládat, že úrokovací období a časový interval k výplatě
důchodů jsou stejné.
Podle toho, jak dlouho se bude důchod vyplácet, rozlišujeme důchod:
 věčný – je vyplácen neomezeně dlouho
 dočasný – je vyplácen pouze po určitou pevně stanovenou dobu
Podle toho, kdy se začne důchod vyplácet, rozlišujeme důchod:
 bezprostřední – s výplatou důchodu se začne okamžitě po podepsání smlouvy
 odložený – s výplatou se začne až po uplynutí určité doby
V souvislosti s důchody budeme počítat:
a) počáteční hodnotu důchodu D – je to součet současných hodnot všech
v budoucnu získaných výplat důchodu. Počáteční hodnota důchodu nám tedy
udává, kolik si musíme dnes uložit, abychom si zajistili při dané úrokové sazbě
vyplácení příslušného důchodu.
b) konečná hodnota důchodu S – je to součet všech výplat důchodu přepočtených
ke konci posledního roku, kdy se důchod vyplácí. Konečná hodnota důchodu
nám udává, kolik bychom celkem získali ke konci posledního roku, kdybychom
všechny výplaty důchodu okamžitě po jejich vyplacení při dané úrokové sazbě
uložili.
Mezi konečnou a počáteční hodnotou platí vztah:  n
iDS  1
71
6.2 Důchod bezprostřední
U důchodu bezprostředního výplata začíná ihned v daném období. Podle toho, zda
budou výplaty probíhat na počátku nebo na konci tohoto období, rozlišujeme důchod
předlhůtní a důchod polhůtní.
6.2.1 Důchod bezprostřední předlhůtní
Naším úkolem bude vypočítat počáteční hodnotu důchodu a vypláceného vždy
počátkem úrokovacího období po n období při úrokové sazbě i . Potom počáteční
hodnota důchodu se rovná součtu počátečních hodnot všech výplat důchodu.
Z předcházejících kapitol víme, že současnou hodnotu vypočítáme:
 t
t
i
K
K


1
0
Podle toho současnou hodnotu vypočítáme tak, že každou výplatu důchodu a
diskontujeme diskontním faktorem v
i

1
1
k výchozímu datu (k první výplatě
důchodu).
Tabulka 6.1 Počáteční hodnota jednotlivých výplat důchodu (anuit)
Pořadí výplaty Současná hodnota
1 a
2 va 
3 2
va 
 
n 1
 n
va
Součet současných hodnot všech výplat důchodu tvoří konečnou geometrickou řadu
132 
 n
vavavavaa  , kde aa 1 a vq 
Součet konečné geometrické řady je
q
q
aS
n
n



1
1
1
72
Potom tedy součet současných hodnot všech výplat důchodu bude
iv
v
a
i
i
v
a
i
i
v
a
i
i
aD
nnn
n
1
1
1
1
1
11
1
1
1
1
1
1
1






















Tím jsme získali výraz pro určení kapitálu D , který musíme uložit, abychom mohli
začátkem každého období pobírat důchod a .
Tuto peněžní částku tedy vypočítáme
iv
v
aD
n



1
Jestliže Kča 1 , potom výraz
,
i
1
n
n
a
v
v



se nazývá zásobitel předlhůtní a udává počáteční hodnotu důchodu ve výši 1 Kč
vypláceného vždy počátkem úrokového období po dobu n úrokovacích období při
úrokové sazbě i .
Příklad 6.1
Jaká částka nám zajistí roční bezprostřední předlhůtní důchod ve výši 16 000 Kč po
dobu 20 let při neměnné úrokové sazbě 4 % p. a. a při ročním úrokovacím období?
Řešení:
Obecně:
iv
v
aD
n



1
Numericky:
143,03226814,133939300016
846150,03846153
379870,54361305
00016
04,0
04,01
1
04,01
1
1
00016
20












D
Jestliže dnes uložíme 226 143,03 Kč, zajistí nám tato částka předlhůtní roční
důchod ve výši 16 000 Kč po dobu 20 let.
73
6.2.2 Důchod bezprostřední polhůtní
Jde o to, vypočítat hodnotu důchodu D ve výši a vypláceného vždy koncem
úrokového období po n období při úrokové sazbě i .
Budeme postupovat obdobným způsobem jako u důchodu předlhůtního.
Tabulka 6.2 Počáteční hodnota jednotlivých výplat důchodu (anuit)
Pořadí výplaty Současná hodnota
1 va 
2 2
va 
3 3
va 
 
n n
va 
Součet všech současných hodnot výplat důchodu je opět dán konečnou
geometrickou řadou n
vavavava  32
, kde vaa 1 a vq 
Potom pro daný součet platí:
i
v
a
iv
v
va
i
i
v
va
i
i
v
va
i
i
i
aD
nnnn
n
11
1
1
1
1
11
1
1
1
1
1
1
1
1
1 

























Tím jsme získali výraz pro určení kapitálu, který musíme vložit, abychom mohli
koncem každého úrokovacího období pobírat důchod a .
Tuto peněžní částku tedy vypočítáme
i
v
aD
n
1

Výraz
i
v
a
n
n


1
se nazývá zásobitel polhůtní a udává nám počáteční hodnotu důchodu ve výši 1 Kč
vypláceného vždy koncem úrokovacího období po dobu n úrokovacích období při
úrokové sazbě i .
74
Příklad 6.2
Jaká částka nám zajistí roční bezprostřední polhůtní důchod ve výši 16 000 Kč po
dobu 20 let při neměnné úrokové sazbě 4 % p. a. a při ročním úrokovacím období?
Řešení:
Obecně:
i
v
aD
n
1

Numericky:
445,2221744967513,590326300016
0,04
379870,54361305
00016
04,0
04,01
1
1
00016
20










D
Jestliže dnes uložíme 217 445,28 Kč, zajistí nám tato částka výplaty důchodu
podle zadaných podmínek.
Popřemýšlejte nad tím, proč je tato částka nižší než v předchozím příkladě (odpověď
je jednoduchá).
6.2.3 Důchody vyplácené m -krát ročně
Stejně jako u spoření, může docházet k tomu, že výplaty důchodu jsou častěji než
jednou za úrokovací období. Budeme předpokládat, že na počátku (konci) m -tiny
úrokovacího období jsou vypláceny splátky důchodu ve výši x Kč. Pro výpočet
počáteční hodnoty takového důchodu použijeme výraz pro předlhůtní (polhůtní)
důchod s tím, že musíme nejdříve vypočítat, jaká bude celková hodnota důchodu na
konci roku. Celkovou hodnotu výplat důchodu na konci roku vypočítáme pomocí
krátkodobého předlhůtního nebo polhůtního spoření. Nyní jsme nahradili m výplat
důchodu ve výši x jednou výplatou důchodu ve výši  xx SS 
Počáteční hodnota důchodu se pak vypočítá:
a) předlhůtní
i
v
i
m
m
xmD
n











1
2
1
1
b) polhůtní
i
v
i
m
m
xmD
n











1
2
1
1
U předlhůtního důchodu vidíme, že používáme zásobitel polhůtní a nikoliv předlhůtní,
i když jednotlivé výplaty důchodu jsou uskutečněny na počátku každé m -tiny roku. Je
to z toho důvodu, že při předlhůtním spoření vypočítáme vlastně výplatu důchodu,
kterou bychom získali ke konci úrokovacího období.
75
Příklad 6.3
Jaká je počáteční hodnota důchodu 6 000 Kč, který se vyplácí na počátku každého
čtvrtletí po dobu 10 let při neměnné úrokové sazbě 5 % p. a. a při ročním úrokovacím
období?
Řešení:
Obecně:
i
v
i
m
m
xmD
n











1
2
1
1
Numericky:
112,9419197,721734921,0312524000
05,0
05,01
1
1
05,0
42
14
100064
10



















D
Počáteční hodnota důchodu při zadaných podmínkách bude 191 112,94 Kč.
Příklad 6.4
Jaká je počáteční hodnota důchodu 6 000 Kč, který se vyplácí na konci každého
čtvrtletí po dobu 10 let při neměnné úrokové sazbě 5 % p. a. a při ročním úrokovacím
období?
Řešení:
Obecně:
i
v
i
m
m
xmD
n











1
2
1
1
Numericky:
796,4218897,721734921,0187524000
05,0
05,01
1
1
05,0
42
14
100064
10



















D
Počáteční hodnota důchodu při zadaných podmínkách bude 188 796,42 Kč.
76
6.3 Důchod odložený
V předcházející části jsme mluvili o bezprostředním důchodu. To znamená, že se
důchod začal vyplácet bezprostředně po zaplacení potřebné peněžní částky ve
sjednané době. Odložený důchod se začíná vyplácet až po určité dohodnuté době,
kterou nazýváme též karenční dobou k . Stejně jako u důchodu bezprostředního
rozdělujeme odložený důchod na důchod předlhůtní a polhůtní.
6.3.1 Důchod odložený předlhůtní
Důchod odložený předlhůtní je vyplácen vždy na začátku určitého časového intervalu
a jeho vyplácení je odloženo o k úrokovacích období. Úkolem bude vypočítat
počáteční hodnotu takovéhoto důchodu, který je vyplácen po n úrokovacích období
při úrokové sazbě i .
Při výpočtu budeme vycházet z bezprostředního předlhůtního důchodu.
Víme, že počáteční hodnota D bezprostředního předlhůtního důchodu ve výši a se
vypočítá jako součet současných hodnot budoucích anuit (výplat). U odloženého
předlhůtního důchodu jde o to, že současnou hodnotu výplaty důchodu, která má být
vyplacena v k -tém úrokovacím období splatnosti důchodu, vypočítáme tak, že
hodnotu této výplaty diskontujeme k výchozímu datu. To znamená, že diskontní
faktor umocníme na k .
Potom počáteční hodnota odloženého předlhůtního důchodu K se vypočítá podle
vzorce
111 





 k
nn
k
v
i
v
a
iv
v
avK
11 


 k
n
v
i
v
aK
Počáteční hodnota K odloženého důchodu je vlastně diskontovaná počáteční
hodnota bezprostředního důchodu D k výchozímu datu. Jde v podstatě o případ,
jako kdybychom uložili částku K na k úrokovacích období (částka K se nám za tuto
dobu zúročí na částku D ) a po této době jsme si zaplatili bezprostřední důchod na n
úrokovacích období.
Jestliže dochází k výplatám důchodu na začátku každé m -tiny roku, počítáme stejně
jako v případě bezprostředního předlhůtního důchodu. Využijeme tedy vztah pro
krátkodobé spoření předlhůtní.
77
Potom počáteční hodnota tohoto důchodu bude
k
n
v
i
v
i
m
m
xmK 











1
2
1
1
Příklad 6.5
Máme v hotovosti 30 000 Kč. Touto částkou si chceme zajistit roční předlhůtní
důchod na 5 let s tím, že s jeho výplatou začneme za dva roky. V jaké výši budou
výplaty tohoto důchodu při neměnné roční úrokové sazbě 5 % p.a. a při ročním
připisování úroků?
Řešení:
Obecně:
  1
1
1
1






 kn
k
n
vv
iK
av
i
v
aK
Numericky:
275,717
570,20616555
5001
05,01
1
05,01
1
1
05,000030
125


























 
a
Vyplácená částka bude činit 7 275,71 Kč.
Příklad 6.6
Jak velkou částku musíme dnes při neměnné úrokové sazbě 10 % p. a. uložit
novorozenému dítěti, aby v 18 letech mělo takový kapitál, který by mu zabezpečil po
dobu 10 let čtvrtletní předlhůtní důchod ve výši 2 000 Kč při ročním připisování
úroků?
Řešení:
Obecně:
k
n
v
i
v
i
m
m
xmK 











1
2
1
1
Numericky:
393,819990,179858786,14456711,06250008
1,01
1
1,0
1,01
1
1
1,0
42
14
100024
18
10


























K
K zabezpečení uvedeného důchodu musíme uložit 9 393,81 Kč.
78
6.3.2 Důchod odložený polhůtní
Vzhledem k tomu, že všechny úvahy jsou stejné jako u důchodu odloženého
předlhůtního, uvedeme si pouze základní vzorce.
Počáteční hodnota odloženého polhůtního důchodu Kse vypočítá:
i
v
avK
n
k 

1
Je to vlastně diskontovaná počáteční hodnota D bezprostředního polhůtního
důchodu diskontovaného k výchozímu datu a zásobitel polhůtní je vynásoben
diskontním faktorem umocněným na dobu odložení k .
V případě, že se důchod vyplácí m -krát za úrokovací období, bude počáteční
hodnota takovéhoto důchodu vypočítána na základě krátkodobého polhůtního
spoření a zásobitele polhůtního. Součin těchto výrazů násobíme diskontním faktorem
umocněným na dobu odložení k .
k
n
v
i
v
i
m
m
xmK 











1
2
1
1
6.4 Důchod věčný
Je to důchod, jehož výplata není časově omezena  n . S tímto důchodem se
můžeme setkat u některých cenných papírů, které nemají splatnost, ale majitel má
nárok na výplatu důchodu po neomezenou dobu. Stejně jako u předcházejících
důchodů hovoříme též o důchodu věčném polhůtním a věčném předlhůtním. Důchod
věčný může být také bezprostřední nebo odložený.
6.4.1 Důchod věčný předlhůtní
Počáteční hodnotu D věčného předlhůtního důchodu vypočítáme jako limitu
počáteční hodnoty bezprostředního předlhůtního důchodu.
Protože
iv
v
aD
n



1
bude pro n
     
 
iv
a
iv
a
iiv
a
v
iv
a
v
iv
a
iv
v
a nn
n
nn
n
n
n
n 




















01
1
1
lim1lim1lim1lim
1
lim
79
Upravíme-li tento výraz

















 



 i
a
i
a
i
i
a
i
i
a
iv
a 1
11
11
1
obdržíme výpočet hodnoty bezprostředního předlhůtního věčného důchodu







i
aD
1
1
Jestliže vyplácení tohoto důchodu odložíme o k úrokovacích období, potom tento
vztah musíme opět vynásobit diskontním faktorem umocněným na hodnotu doby
odložení., tj. na počet úrokovacích období za dobu odložení.
k
v
i
aK 






1
1
Je-li věčný důchod vyplácen m -krát za úrokovací období, postupujeme stejně jako
u předcházejících důchodů.
i
i
m
m
xmD
1
2
1
1 









Násobení výrazem
i
1
(část vzorce pro výpočet důchodu věčného polhůtního) místo
výrazem 






i
1
1 je dáno opět skutečností, že vyplácíme důchod na konci
úrokovacího období, a proto je nutno použít část vzorce pro důchod věčný polhůtní.
(Odvození tohoto vzorce je uvedeno níže)
Jde-li o důchod odložený vyplácený m -krát za úrokovací období, musíme tento výraz
násobit diskontním faktorem umocněným na hodnotu doby odložení.
k
v
i
i
m
m
xmK 









1
2
1
1
Příklad 6.7
Jak vysoká částka nám zajistí výplatu věčného předlhůtního ročního důchodu ve výši
10 000 Kč od našeho 60. roku života, je-li nám dnes 30 let a úroková sazba je
5 % p.a. a úročení je roční?
Řešení:
Obecně:
k
v
i
aK 






1
1
80
Numericky:
589,25480,23137742100010
05,01
1
05,0
1
100010
30













K
Abychom si zajistili stanovenou výplatu důchodu, musíme dnes složit částku
48 589,25 Kč.
6.4.2 Důchod věčný polhůtní
Stejně jako u důchodu věčného předlhůtního odvodíme pomocí limity důchod věčný
polhůtní z důchodu bezprostředního polhůtního, který je dán vztahem
i
v
aD
n
1

     
 
i
a
i
a
i
a
ii
a
v
i
a
v
i
a
i
v
a nn
n
nn
n
n
n
n
1
01
1
1
lim1lim1lim1lim
1
lim 










Pro důchod věčný polhůtní tedy platí vztah
i
aD
1

Bude-li věčný polhůtní důchod odložený o k úrokovacích období, musíme tento
výsledný vztah vynásobit diskontním faktorem umocněným na dobu odložení k .
k
v
i
aK 
1
Je-li věčný důchod polhůtní vyplácen m -krát za úrokovací období, potom počáteční
hodnota polhůtního důchodu bude
i
i
m
m
xmD
1
2
1
1 









Je-li důchod věčný odložený vyplácený m -krát za úrokovací období, potom
počáteční hodnota tohoto důchodu bude
k
v
i
i
m
m
xmK 









1
2
1
1
81
Příklad 6.8
Jaká částka nám zajistí čtvrtletní polhůtní věčný důchod ve výši 5 000 Kč
při neměnné úrokové sazbě 7 % p. a. a při ročním úrokovacím období?
Řešení:
Obecně:
i
i
m
m
xmD
1
2
1
1 









Numericky:
214,2929385714,28571421,0262500020
07,0
1
07,0
42
14
100054 








D
Při zadaných podmínkách je nutno složit částku 293 214,29 Kč.
Příklad 6.9
Kolik musíme koncem každého měsíce ukládat po dobu 10 let, abychom si zajistili
po dobu dalších 15 let čtvrtletní polhůtní důchod 5 000 Kč při úrokové sazbě
7 % p.a.? Připisování úroků je v obou případech roční.
Řešení:
Musíme porovnat hodnotu úspor, které získáme za 10 let, s počáteční
hodnotou důchodu vypláceného po dobu příštích 15 let.
Nejdříve musíme 10 let spořit každý měsíc. Potom čtvrtletně vyplácet důchod
po dobu 15 let.
Spoření:
121 m
101 n
07,01 i
?1 x
Důchod:
42 m
152 n
07,02 i
Kčx 00052 
Obecně:
 
i
v
i
m
m
xm
i
i
i
m
m
xm
n21
1
2
1
1
11
2
1
1
2
2
22
n
1
1
11






















    21
1
2
1
111
2
1
1
2
2
22
n
1
1
11
n
vi
m
m
xmii
m
m
xm 


















82
 
  11
2
1
1
1
2
1
1
1
2
n
1
1
1
2
2
22
1





















ii
m
m
m
vi
m
m
xm
x
n
Numericky:
  
1092,47
5600312625211,9781695
39513085,7954
72895650,9671513512,385
0,637553981,0262500020
107,0107,0
122
112
112
07,01
1
107,0
42
14
100054
10
15
1








































x
Abychom dostávali čtvrtletně důchod ve výši 5 000 Kč po dobu 15 let, musíme
spořit každý měsíc po dobu 10 let 1 092,47 Kč.
6.5 Příklady k procvičení
1. Jaká částka nám zajistí roční bezprostřední polhůtní důchod ve výši 16 000 Kč
po dobu 20 let při neměnné úrokové sazbě 5 % p.a.?
[199 395,37 Kč]
2. Jaká je počáteční hodnota důchodu 6 000 Kč, který se vyplácí na konci každého
čtvrtletí po dobu 10 let při neměnné úrokové sazbě 5 % p.a.?
[188 796,42 Kč]
3. Jakou částku musíme uložit synovi ve stáří 10 let, aby od jeho 20. narozenin
dostával měsíčně předlhůtně po dobu 5 let částku 2 500 Kč při neměnné
úrokové sazbě 8 % p.a.?
[57 886,14 Kč]
4. Jaká částka nám, nebo našim pozůstalým zajistí čtvrtletní předlhůtní věčný
důchod při neměnné úrokové sazbě 8 % p.a.?
[52,5 násobek vypláceného důchodu]
5. Určete celkový objem plateb za 10 let, je-li roční nominální důchod 3 200 Kč
vyplácen čtvrtletně předlhůtně, při 4 % p.a. a při čtvrtletním složeném úročení.
[39 500,19 Kč]
6. Jakou částku musíme pravidelně ukládat na začátku měsíce po dobu 10 let při
pololetním úročení a úrokové sazbě 3,5 % p.a., abychom mohli po dalších 5-ti
83
letech začít dostávat polhůtní patnáctidenní důchod ve výši 5000 Kč po dobu
15 roků při čtvrtletním úročení a úrokové sazbě 3,5 % p.a.?
[8 197,90 Kč]
7. Dědic bude pobírat důchod 7 000 Kč pololetně po dobu 15 let od výplaty prvního
důchodu. První výplata bude za 6 měsíců. Jaká je nominální hodnota dědictví
při úrokové sazbě 10 % p.a. a při čtvrtletním úročení?
[106 844,74 Kč]
8. Osoba má v 65 letech k dispozici 500 000 Kč. Jaká bude vyplácená hodnota
předlhůtního ročního důchodu po dobu 15 let, jestliže úroková sazba je 6 % p.a.
s měsíčním úročením?
[49 023,58 Kč]
9. Klient se rozhodl ve věku 30 let vytvořit svůj vlastní specifický penzijní fond
pravidelnými vklady na konci každého roku ve výši 10 000 Kč po dobu 35 let.
Počínaje 66. narozeninami chce vybírat z tohoto fondu koncem každého roku po
dobu 15 let.
a. Jestliže platí po dobu celých 50 let existence fondu úroková sazba
8 % p.a. ročně, kolik bude moci klient ze svého fondu ročně vybírat,
mezi 66. a 81. narozeninami?
b. Jak se změní částka ročního důchodu, jestliže peněžní ústav sníží po
10 letech od zahájení výplat z fondu úrokovou sazbu z 8 % p.a. na
6 % p.a., jestliže má být dodržena doba vyplácení 15 let?
[a. 217 422,29 Kč; b. klesne o 11 337,49 Kč na hodnotu 206 084,80 Kč]
10. Zemřelý zanechal kapitál ve výši 50 000 Kč, který je investován při úrokové
sazbě 4 % p.a. a při měsíčním úročení. Kolik předlhůtních měsíčních výplat ve
výši 750 Kč obdrží dědic a kolik bude činit závěrečná výplata?
[75 plných výplat a poslední ve výšce 176,33 Kč]
11. Jakou částku musíme uložit při narození dítěte, aby poskytla 8 pololetních výplat
15 000 Kč ke krytí nákladů na studium, přičemž první výplata se předpokládá na
19. narozeniny budoucího studenta? Finanční ústav jako správce fondu
zhodnocuje tento vklad úrokovou sazbou 9 % p.a. při měsíčním úročení.
[18 769,45 Kč]
12. Na začátku každých 10 dní po dobu 15 let jsme ukládali 300,- Kč na bankovní
účet, který byl úročen 3,5 % p.a. s měsíčním připisováním úroků. Po plynutí 5 let
banka zvýšila úrokové sazby o 0,50 procentního bodu ročně. Po 15 letech od
začátku spoření se úrokové sazby snížili o 20 % z aktuální hodnoty. 10 let jsme
nic neukládali, ale úrokové sazby pravidelně každé 2 roky rostly o 10 %
z aktuální sazby. Po uplynutí 10 let jsme začali dostávat pravidelný měsíční
předlhůtní důchod po dobu 30 roků, přičemž banka garantovala po celou dobu
výplaty důchodu úrokovou sazbu, která byla v okamžiku vyplacení prvního
důchodu. Jakou částku jsem dostávali? Měsíční připisování úroků platilo po
celou dobu.
[1 682,24 Kč]
84
7 Umořování dluhů
Úvěr (dluh, půjčka) je důležitý finanční nástroj. Úvěrem rozumíme poskytnutí kapitálu
na určitou dobu za odměnu – úrok. Ačkoliv je možné umořování dluhu z pohledu
věřitele považovat za příjem důchodu, ukážeme si některé odlišnosti, které postup při
splácení dluhu má.
Podle doby splatnosti rozdělujeme úvěry:
 krátkodobé – doba splatnosti nepřesahuje jeden rok
 střednědobé – doba splatnosti je od jednoho roku do pěti let
 dlouhodobé – doba splatnosti je delší než pět let
Hlavní způsoby umořování (splácení) dluhu můžeme rozdělit následovně:
 půjčka je uzavřena na neurčitou dobu. Musí být splacena najednou po
výpovědi při zachování výpovědní lhůty. Úroky se platí ve sjednaných lhůtách
jejich splatnosti.
 umořování dluhu se provádí od začátku pravidelnými platbami. Tyto platby
(anuity) mohou být stále stejné (částí platby se umořuje dluh a částí platby se
platí úrok), nebo se mohou zvyšovat, případně snižovat.
V tom případě je možno část anuity (splátky), která připadne na umoření dluhu, určit
kvótami nebo procenty a k nim připojit splátky na úrok. Je zřejmé, že rychlejší
umořování dluhu bude zvyšováním těchto kvót každým rokem. Toto umořování dluhu
můžeme zvyšovat konstantními částkami, nebo ve smlouvě zakotvit i jiné splácení
dluhu po vzájemné dohodě se souhlasem věřitele.
Přehled výšky anuit (splátek dluhu) včetně úroků z hlediska jejich časového rozložení
sestavují banky pro své klienty do tzv. umořovacích plánů.
Umořovací plány se mohou lišit:
 typem splátek (polhůtní, předlhůtní)
 způsobem úročení (polhůtní, předlhůtní)
 obdobími splátek (stejná nebo odlišná od úrokového období)
Předpoklad 4
V dalších úvahách se budeme zabývat umořováním dlouhodobých úvěrů při
polhůtním úročení.
Umořovací plán obsahuje pro každé období, pro které se sestavuje a v němž je dluh
splácen, následující položky:
 výše anuity (splátky)
 výše úroku z dluhu
 výše úmoru
 stav dluhu po odečtení úmoru
85
Vždy platí: anuita = úmor + úrok
7.1 Umořování dluhu nestejnými splátkami
Umořování dluhu nestejnými splátkami si vysvětlíme na příkladu a některé závěry
zobecníme.
Příklad 7.1
Úvěr ve výši 280 000 Kč má být splacen polhůtními splátkami. První úmor má být
ve výši 10 000 Kč a každý následující je o 10 000 Kč vyšší. Kromě toho je nutno
platit běžný úrok. Sestavte umořovací plán při úrokové sazbě 10 % p. a.
Řešení:
Při sestavování umořovacího plánu budeme předpokládat, že uvedené hodnoty
se budou vztahovat vždy na konec úrokovacího období.
Tabulka 7.1 Umořovací plán pro lineárně rostoucí úmor
období anuita úrok úmor stav dluhu
0 280 000
1 38 000 28 000 10 000 270 000
2 47 000 27 000 20 000 250 000
3 55 000 25 000 30 000 220 000
4 62 000 22 000 40 000 180 000
5 68 000 18 000 50 000 130 000
6 73 000 13 000 60 000 70 000
7 77 000 7 000 70 000 0
Postup při sestavování umořovacího plánu:
Nejprve vyplníme sloupec nazvaný úmor, a to tak, že v prvním období bude
úmor 10 000 Kč, v druhém období o 10 000 Kč vyšší, tedy 20 000 Kč atd. Jak
je vidět, za 7 období (výpočet počtu období je uveden dále) splatíme celý úvěr.
Do sloupce úrok vždy zapíšeme úrok ze stavu dluhu.
Úrok + úmor nám udává anuitu (splátku).
Od stavu dluhu odečteme vždy úmor a z této částky vypočítáme úrok pro
následující anuitu.
Z našeho příkladu, kde se úmor pravidelně zvyšuje o pevnou částku, můžeme
počet anuit vypočítat pomocí aritmetické posloupnosti, neboť víme, že:
000101 a a 00010d a součet všech úmorů musí být roven výši
počátečního dluhu, tedy 000280nS
86
Z aritmetické posloupnosti víme, že:
  dna
n
Sn  12
2
1
Úpravou této rovnice obdržíme kvadratickou rovnici, z které vypočítáme n :
  022 1
2
 nSndadn
Jestliže dosadíme za 1a , d , nS konkrétní hodnoty a vyřešíme kvadratickou
rovnici, dostaneme dobu splatnosti úvěru. V úvahu bereme pouze kladný
kořen této rovnice.
7.2 Umořování dluhu stejnými anuitami
Předpokládejme, že dluh D má být splacen i s úroky n stejnými splátkami a
splatnými vždy na konci úrokovacího období při neměnné roční úrokové sazbě i .
Jak víme z kapitoly věnované důchodům, počáteční hodnotu dluhu můžeme pokládat
za počáteční hodnotu důchodu a jednotlivé anuity za výplaty důchodu, který si věřitel
zajistil poskytnutím úvěru.
Abychom určili výši anuity, je nutno si uvědomit, že počáteční hodnota dluhu se musí
rovnat současné (diskontované) hodnotě všech anuit.
Platí tedy stejně jako u (polhůtního) důchodu rovnice:
n
vavavavaD  32
kde
i
v


1
1
– diskontní faktor
D – počáteční výše dluhu
a – anuita
Víme, že pro výpočet počáteční hodnoty důchodu platí:
,,
n
nn
aa
i
v
a
v
v
vaD 





1
1
1
kde na  je zásobitel polhůtní.
Z dané rovnice vypočítáme anuitu:
n
v
iD
a



1
87
Výraz n
v
i
1
je převrácená hodnota zásobitele a nazývá se umořovatel. Udává nám
výši polhůtní anuity nutnou k tomu, aby se zaplatil dluh 1 Kč za n úrokovacích
období při úrokové sazbě i .
Pro umořování dluhu potřebujeme sestavit umořovací plán. K jeho sestavení
potřebujeme znát kromě hodnoty anuity též hodnotu úmoru a úroku. Nyní si
uvedeme výpočet těchto hodnot.
Původní stav dluhu 0D je současná hodnota všech anuit, tedy:
n
n
aa
i
v
aD 


1
0
Z první anuity připadá na úrok 1U částka iD 0 , kterou můžeme vyjádřit vztahem:
 n
vaiDU  101
Na úmor dluhu 1M pak zbývá částka:
  nn
vavaaUaM  111
Předpokládejme nyní, že po zaplacení r splátek má zbytek dluhu výši rD . Protože
rD je rovný současné hodnotě zbývajících rn  splátek (tj.
i
v
aD
rn
r



1
),
můžeme odvodit pro výši úroku 1rU v období 1r a výši úmoru 1rM ve stejném
období analogické vztahy jako pro výši úroku 1U a úmoru 1M v prvním období
splácení dluhu.
Pro výši úroku v 1r – ním období platí:
 rn
rr vaiDU 
  11
Je to úrok ze stavu dluhu na konci předcházejícího období.
Pro výši úmoru v 1r –ním období platí:
  rnrn
rrr vavaaiDaUaM 
  111
Je to anuita mínus úrok.
Z uvedeného je vidět, že umořovací splátky tvoří geometrickou posloupnost
s kvocientem
i
v


1
1
.
88
Sestavme umořovací plán na základě předcházejících vztahů.
Postup:
V umořovacím plánu vyplníme nejprve počáteční stav dluhu a potom celý sloupec
s anuitami, kterou jsme spočítali podle vzorce. Pak v každém řádku vypočítáme výši
úroku a výši úmoru.
Tento výpočet je možno provést dvěma způsoby:
Úrok:
 z předcházejícího stavu vkladu
 z výše anuity
Úmor:
 rozdílem anuita minus úrok
 úročením úmoru z předcházejícího
období, což je vlastně
diskontování anuity
7.3 Určování počtu anuit
Máme vyřešit úlohu, kdy dluh (úvěr) D je splácen pevnou anuitou při úrokové sazbě
i . Máme určit, jak dlouho se bude splácet tento dluh a jak vysoká bude poslední
splátka.
Vyjdeme ze vztahu pro výši počátečního dluhu:
i
v
aD
n


1
Tento výraz zlogaritmujeme a obdržíme:
vln
a
iD
ln
n





 


1
Z tohoto výrazu vypočítáme období n , což nemusí být celé číslo. Pokud n není celé
číslo, určíme nejbližší nižší celé číslo 0n . Z uvedeného vyplývá, že budeme dluh
splácet 0n celých období ve výši a . Zbývající hodnotu dluhu splatíme ve výši b ,
která bude nižší než vypočítaná anuita a .
Potom pro počáteční hodnotu dluhu obdržíme vztah:
10
0
1 


 n
n
vb
i
v
aD
Poslední splátku dluhu b vyjádříme vztahem:
  10
0
1
1 





 

n
n
i
i
v
aDb
89
Poslední splátka se také skládá z úmoru a úroku. Stav dluhu po 0n -té splátce má
hodnotu vb  .
Poslední výše úmoru má také hodnotu vb  , protože na konci splácení musí být
hodnota dluhu rovna 0.
vbM n 10
Poslední výše úroku je úrokem z dluhu 0nD , tedy také z hodnoty úmoru 10 nM . Tento
úrok můžeme vyjádřit:
ivbUn 10
Příklad 7.2
Dluh 45 000 Kč má být splacen ročními anuitami ve výši 8 000 Kč při úrokové sazbě
14 % p.a. Určete počet anuit, výši poslední splátky a sestavte umořovací plán.
Řešení:
Obecně:
vln
a
iD
ln
n





 


1
Numericky:
 
 
8211
561487719298240
21250
141
1
0008
14000045
1
,
,ln
,ln
,
ln
,
ln
n 





 


Počet splátek je 12; 110 n .
Poslední splátka obecně bude:
  10
0
1
1 





 

n
n
i
i
v
aDb
Numericky:
Kčb 639,7361,14
0,14
1,14
1
1
000800045 12
11























90
Poslední splátka bude ve výši 6 639,73 Kč.
Tabulka 7.2 Umořovací plán pro konstantní anuitu
období anuita úrok úmor stav dluhu
0 45 000,00
1 8 000,00 6 300,00 1 700,00 43 300,00
2 8 000,00 6 062,00 1 938,00 41 362,00
3 8 000,00 5 790,68 2 209,32 39 152,68
4 8 000,00 5 481,38 2 518,62 36 634,06
5 8 000,00 5 128,77 2 871,23 33 762,82
6 8 000,00 4 726,80 3 273,20 30 489,62
7 8 000,00 4 268,55 3 731,45 26 758,16
8 8 000,00 3 746,14 4 253,86 22 504,31
9 8 000,00 3 150,60 4 849,40 17 654,91
10 8 000,00 2 471,69 5 528,31 12 126,60
11 8 000,00 1 697,72 6 302,28 5 824,32
12 6 639,73 815,41 5 824,32 0,00
Z příkladu je vidět postup při tvorbě umořovacího plánu v případě dané anuity. Dosud
jsme řešili případy, kdy jsme spláceli dluh na konci každého úrokovacího období.
Pokud dochází ke splácení dluhu vícekrát za úrokovací období, vypočítáme nejdříve
hodnotu splátek do konce roku podle vztahu









 i
m
m
xmSx
2
1
1
a na základě tohoto výpočtu pak sestavíme umořovací plán.
7.4 Příklady k procvičení
1. Klient má splatit hypotéku 4 000 000 Kč měsíčními splátkami ve stálé výši a ve
lhůtě 25 let, při úrokové sazbě 10 % p.a. s měsíční frekvencí připisování úroků.
Určete částku měsíční splátky a sestavte dílčí umořovací plán pro prvních
dvanáct splátek. Jaká část dluhu bude prvními dvanácti splátkami umořena?
[splátka 36 348,03 Kč; umořeno bude 37 881,37 Kč]
2. Klient za objekt v ceně 560 000 Kč mohl zaplatit 60 000 Kč v hotovosti a na
zbytek ceny si vypůjčil na hypotéku při 10% p.a. s měsíčním úročením. Úvěr bude
splácet po dobu 25 let měsíčními splátkami ve stálé výši. Určete výši měsíční
splátky a sestavte dílčí umořovací plán pro prvních šest měsíců. Jaká část úvěru
bude za prvních 6 měsíců splacena a jak vysoká je hodnota úroku za těchto 6
měsíců?
[splátka 4 543,50 Kč; splaceno 2 308,65 Kč; na úrocích zaplaceno 24 952,37 Kč]
91
3. Úvěr ve výši 500 000 Kč má být splacený ročními polhůtními anuitami. První
umoření úvěru bude 20 000 Kč a další následující vždy o 10 000 Kč vyšší.
Úroková sazba bude 15 % p.a. Jaký je počet anuit – sestavte umořovací plán.
[9]
4. Půjčka 20 000 Kč při 12% p.a. s měsíčním úročením se má splatit měsíčními
splátkami ve stálé výši polhůtně po dobu jednoho a půl roku. Určete zůstatek
dluhu koncem 8. měsíce od jeho vzniku.
[11 551,59 Kč]
5. Klient si vypůjčil 1 milion Kč při 15% p.a. s měsíčním úročením. Klient zamýšlí
splácet dluh měsíčními splátkami ve stálé výši polhůtně po dobu 8 let. Určete:
a. jakou část dluhu splatil klient během prvního roku;
b. kolik zaplatil během prvního roku na úrocích.
[a. 70 029,88 Kč; b. 145 314,98 Kč]
6. Dluh 100 000 Kč se splácí čtvrtletními platbami ve stálé výši po dobu 10 let při
10 % p.a. čtvrtletně. Jaký je zůstatek dluhu na konci 6. roku? Jaký by byl zůstatek
dluhu na konci 6.roku při stejných podmínkách, ale při měsíčním úročení a
měsíčním splácení?
[52 006,21 Kč; 52 104,60 Kč]
7. Klient koupil chladničku v ceně 12 000 Kč na splátky a zavázal se splatit dluh
měsíčními splátkami ve stálé výši během 3 let, při úrokové sazbě 18% p.a.
s měsíčním úročením. Kdyby chtěl splatit dluh v kratší lhůtě, musel by zaplatit
přirážku ve výši trojnásobku částky měsíčního úroku ze zůstatku dluhu ke dni
předčasného splacení. Po zaplacení 12 splátek zjišťuje klient, že místní pobočka
banky nabízí půjčky se splatností za 2 roky při úrokové sazbě 12% p.a.
s měsíčním úročením. Bylo by výhodné pro klienta vypůjčit si na zbytek dluhu
v bance a splatit dluh na začátku druhého roku najednou?
[ano]