Derivace elementárních funkcí
\X )   = TX	~\ re	R
(ex)' =	= ex	
(ax)' = axh	na, a >	0
ilnx)'	1 X	
(ioga X)' =	1	
	x.lna	
(sin x)' =	- cosx	
(cosx)' =	— sin x 1	
\uyj,j    —	COS2X
(cotgx)' =	-1
	sin2x
(arcsinx)' =	1
	Vl-x2
(arccosx)' =	-1
	Vl-x2
(arctgx)' =	1
	1+x2
í r^nn^+nrA1	-1
1+x2
Pravidla pro derivování
Pro lib. funkce f(x), g(x) a c G E platí ve všech bodech, kde mají f a g derivaci a kde jsou násl. výrazy definovány:
a)   (c./0r))' = c.f(x)
b)   (f(x)±g(x))' = f(x)±g'(x)
c)   (f(x).g(x))' = f'{x).g{x) + f{x).g'{x)
c\)    (f(x)\ =  f'(x).g(x)-f(x).g'(x)
'   \a(x) J                 g2(x)
Derivace složené funkce:
(f(g(x)))'= f(g(x)).g'(x)
Derivace inverzní funkce:
1
(rv))
/'(/-h*))
Použití derivací
ĽHospitalovo pravidlo
Nechť f (x), g (x) jsou takové funkce, že
Um f (x) = limg(x) = 0
nebo
Um f (x) = ±00, limg(x) = ±00.
Existuje-li vlastní nebo nevlastní limita lim^-rßl = a, pak existuje lim^f\ a platí
;•       f (X)           f (X)
Um         = Um——— = a.
g (x)            g1 {x)
Rovnice tečny a normály
Má-li funkce f (x) v bodě a derivaci f (a), tečna ke grafu funkce f (x) v bodě T[a, f (a)] je dána rovnicí
y-f(a) = f{a).{x-a). Rovnice normály ke grafu v bodě T[a, f (a)] je pro f (a) ^ 0:
y- f (a) = -777^y-(;r~a) a pro f (a) = 0 je rovnice normály: x = a.
Diferenciál a Taylorův polynom
Má-li funkce f (x) v bodě a derivaci f (a), pak
df(a) = f'(a).dx
nazýváme diferenciálem funkce f (x) v bodě a. Pro malé dx = x — a platí přibližná rovnost
f(x)Kf(a) + df(a).
Má-li funkce f (x) na intervalu / derivace až do řádu n, pro a E I definujeme Taylorův polynom řádu n funkce f (x) v bodě a:
Tn(x) = f (a) H----— (x - a) H-----^—{x -a)   + ... H-------j—(x - a) .
1!                      2!                                 n\
Pokud má funkce f (x) na intervalu / derivace až do řádu n + 1, pro x E I platí:
f (x) = Tn(x) + Rn+i,
kde Rn+\ =   (ra+1)i  (x — a)n+1 pro nějaké 9 mezi x a a.
Funkce více proměnných
Diferenciál a Tayloruv polynom pro funkce více proměnných
Nechť funkce f(X), X =  [x\,x2, ■ ■ ■ ,xn] má v oblasti Q spojité všechny parciální derivace prvního řádu. Potom
df(X°) = fTjX°)dxl + ... + f'TjX°)dxn
nazveme diferenciálem funkce f(X) v bodě X° G Q. Pro bod X G íl blízky bodu X° platí:
/(X)«/(X°) + d/(X°).
Pro n = 2 označme X = [x, y] a má-li / v jistém okolí bodu [a, b] spojité všechny parciální derivace druhého řádu, definujeme zde Tayloruv polynom druhého řádu:
T2{x,y) = f{a,b) + —{fx{a,b){x-a) + fy{a,b){y-b)) +
+ 2[(/"2(a, b)(x - a)2 + 2/£,(a, b){x - a){y -b) + f^(a, b){y - bf)
a platí zde:
f(x,y) fxT2(x,y).
Extrémy funkcí více proměnných
Nechť funkce f(X), X = [xi,x2, ■ ■ ■ ,xn] je definována na oblasti Q. Nechť X° je jejím stacionárním bodem, tj.
fk(x°) = Ux°) = ■ ■ ■ fL(x°) = ^
Nechť v jistém okolí Us(X°) má funkce f(X) spojité všechny parciální derivace druhého řádu. Označme
Dk =
Ml             Ml
J x\       Jx1x2 ill                ŕ/1
Jx2x1       J xl
f" f"
Jx2xk
£11              eil
X2
f"
J X
,k=l,2,...,n.
Je-li Ľfc(X°) >0, k= 1,2,...,n (respektive (-l)kDk(X°) > 0, k = 1, 2,..., n), má funkce v lokální minimum (resp. maximum).
Základní neurčité integrály
Odx = c, x G (—co, oo)
exdx = ex + c, x E (—co, oo) sinxdx = — cos x + c, x E (—co, oo) cosxdx = sinx + c, x E (—00, 00) : arctg(x) + c, x E (—00, 00) = arcsin(x) + c, x E (—1,1)
1 + x2 dx
vr-
x*
/ :rra<ir =---------hc, n^ —l,x G (—co, co)pro rt > 0 ce/é,
J               n+ 1
x G (—co, 0) nebo (0, 00) pro n < 0 ce/é, x G (0, 00) pro n necelé
/dx — = ln\x\ + c, x E (0, 00) nebo x E (—00, 0)
= t g {x) + c, pro interval, kde cos x 7^ 0
cos2 (x) dx
= —cotg(x) + c, pro interval, kde siná; 7^ 0
J   sin2 (x)
Pravidla pro integrování
Metoda per partes:
Jestlile funkce u(x), v (x) mají v intervalu / spojité derivace u'(x), v'(x), pak zde platí:
I. výpočet integrálu substitucí: hledáme f f ((p (t)) (p'(t) dt.
1.  Zvolíme substituci x = <p(ť).
2.  Vypočítáme dx = ip'(t)dt.
3.  Do daného integrálu dosadíme za ip(ť) a ip'(t)dt a dostaneme J f(x)dx.
4.  Vypočítáme F(x) = f f(x)dx.
5.  Určíme interval I, na kterém platí F'(ip(t)) = f((p(t))ip'(t).
6.  Hledaný integrál je / f {<p{ť))tf {ť)dt = F(ip(t)) + c, tel.
II. výpočet integrálu substitucí: hledáme J f(x)dx na intervalu J.
1.   Zvolíme substituci x = <*p(t), tak aby na J existovala t/?-1 (x).
2.   Vypočítáme dx = <p'(ť)dt a do daného integrálu dosadíme místo x výraz <p(ť) a místo dx výraz <p'(t)dt.
3.  Určíme G (t) = J f{<p{t))tf{t)dt.
4.   Dosadíme do G (t) místo t výraz ^_1(x) a dostaneme F (x) = G(<p~1(x)).
5.   Zkontrolujeme, zda na intervalu J platí F'(x) = f (x).
Rozklad na parciálni zlomky
Nechť R(x) = 4^y je ryze lomená reálná racionální funkce, jejíž čitatel a jmenovatel nemají stejný kořen. Nechť g{x) =
an(x - a)k(x -ß)l...(x- 7)m • [(x - a)2 + b2]p ...[(x- c)2 + d2]q,
( kde a, ß, ..., 7, a, b,..., c, d jsou reálná čísla a k, l, ■ ■ ■ , m, p, ■ ■ ■, q jsou přirozená čísla) je rozklad jmenovatele v reálném oboru. Potom existují reálná čísla
Ai,... ,Aj,, Bi,..., Bi,..., Ci,..., Cm
a Mi, Ni,..., Mp, Np,..., Pí, Qi,..., Pq, Qq tak, le platí
u( \          Ak                       Ai R\x) = 7--------^ + • • • + 7--------77 +
+
(x — o)k               (x — a)1
Bi       ,         ,       Bi
{x-ß)1  .....   (x-ß)1     "
Gm                         Ol
H-----------------------h ... H---------------------h
(x — 7)"1               (x —7)1
Mp:r + iVp                       Mix + Ni
[(x-a)2 + b2]P.....   [{x-af + b2}1
,      Pqx + Qq       ,        ,       Pix + Qi
[(x - c)2 + d2]".....   [(z-c^ + d2]1'