ESF - PMMATI - příklady k procvičení -1 Tato sbírka příkladů je určena pro posluchače předmětu Matematika 1 (PMMATI) v denním studiu na ES Může však být použita i v kombinovaném studiu jako doplňkový materiál k předmětu Matematika A (KMMATA). 1. Řešte v R následující nerovnice: a) x2-6x + 9>0 b) x2-4<0 c) |x + l|<6 k _2x| d) J--------[>-3 e) x2-2x-3<3(x-l) x + 2 x2-4x + 3>x2 +|x-5| 2. Ukažte graficky, že soustava nerovnic x + y < 3 , 2x - y > 0 , x + 2y > 5 má jediné řešení. 3. Napište negace výroků: a) Žádné auto není modré nebo aspoň jedno auto je bílé. b) Žádný člověk není bez chyby a každý člověk se může mýlit. c) Bude-li pršet, půjdu do kina nebo do divadla. d) Aspoň dva lidé odešli. e) Pro každý trojúhelník ABC platí, že průsečík os jeho stran splývá s průsečíkem os jeho vnitřních úhlů. f) VxgN: 3yeN: yx =y 4. Rozhodněte o správnosti úsudku ve známé písničce: „Kdyby byl Bavorov, co jsou Vodňany, dal bych Ti hubiček na obě strany. Ale zeje za vodou, za vodičkou studenou, nedám Ti má milá ani jedinou." 5. Dokažte, že následující výroky jsou tautologie: a) (A => B) ^ (-.B => -.A) b)n(A^B)^(AAnB) 6. Na základě výrokové logiky ověřte, zda následující úsudek je správný : Viníkem je Petr nebo Pavel. Je-li viníkem Petr, pak Pavel nebyl vil hodin na místě činu. Je-li viníkem Pavel, pak je jasný motiv činu.Tedy, jestliže byl Pavel vil hodin na místě činu, pak je jasný motiv činu. 7. Rozhodněte, zda vektory a) u = (1,1,1,1), v = (1,2,1,1), w = (2,3,3,3), t = (1,2,3,4) b) u = (1,2,3,4), v = (1,1,1,1), w =(2,3,3,3), t = (2,2,1,0) jsou ve V4 lineárně závislé či nezávislé. 8. Rozhodněte, zda podmnožina W c Vn je podprostorem vektorového prostoru Vn : a) W= {(x1,x2,...,xn)|x1,x2,...xnG Z} b) W ={ (r,2r,...,nr)|reR} 9. Najděte všechna re R, pro která je vektor t = (r, 1,2) lineární kombinací vektorů u = (1,2,-1), v = (1,1,0), w = (2,-1,3) 10. Vektory u , v , w tvoří bázi vektorového prostoru V. Rozhodněte, zda též vektory 2u + v + 3w , v + 2w , 3u - v + 7w tvoří bázi ve V. 11. Rozhodněte, zda všechny lineární kombinace vektorů a) u = (1,2,1,2), v = (2,1,2,1), w = (1,1,1,1), t = (-2,0,-1,-3), s = (-1,1,0,-2) b) u = (-1,1,0,-1), v = (2,0,1,3), w = (1,2,3,4), t = (2,3,4,6), s = (1,-3,5,-7) tvoří vektorový prostor V4 . 12. Ve vektorovém prostom V4 určete bázi, která obsahuje vektor u = (1,2,3,4). ESF - PMMATl - příklady k procvičení -2 13. a) Ve vektorovém prostoru V4 je podprostor W tvořen všemi lineárními kombinacemi vektorů a = (1,1,0,1), b = (1,0,0,1), c = (2,-1,0,0,), d = (1,0,0,0). Určete dimenzi a jednu z bází podprostoru W. b)Ve vektorovém prostoru V5 je podprostor W tvořen všemi lineárními kombinacemi vektorů a = (1,1,0,1,1), b = (0,1,1,-1,2), c = (1,-1,1,0,1,), d = (1,2,1,0,3) a e = (2,1,2,0,4). Určete dimenzi a jednu z bází podprostoru W. 14. Určete hodnost matice A a)A = í 2 4 6 -8 0^ 3 7 -2 -1 5 [lO 22 8 -18 loj í 2 1 3 -1 0^ 1 3 5 0 2 4 7 13 -1 4 [-1 2 2 1 3; b)A = ( 1 2 3] -4 5 -6 7-8 9 10 11 12 14 15 16 c)A 15. Vypočtěte součin matic A.B_, je-li d)A n 1 2 1 0 o 1 o -1 o o*) 1 o 0 0-1 a)A= (3 1 2 0 3^ a 0 ( 3 1 ,B= 1 1 b)A= 4 2j v0 -h v r 1 -1 c)A= f 3 -2 1 1 1 0 7 1 -1 5 3y ,B= r 4 1 -1 2 1 o ■1 o 1 3 1 2 0 1 -1 -1 h 1 2 3 d)A= 2 3 O ( 3 -2 1 1 0 1 ,B= 2 1 0y v r 1 2 o -2 1 16. Vypočtěte (3.A + BT ).CT , je-li A = (\ 2 1 -1 2 0 1 -2 1 17. Matice A = r 1 -1 2 3^ -1 -1 n 4 3 B = r-2 3 -4 -8 ■5 1 2 4 ■4^ 7 ■2 2 C = r 1 2 v-3 n o 1 2 1 -1 3 0 2 -1 2 0 1 fl 1 -2 1 0 2 ■2 ■1 2^ 1 -1 1 -2 1 0 ' 1 2] ,B= 2 -1 0 1 v 3 -v . Určete libovolnou matice B tak, aby matice A.B nebyla definována a matice B.A byla definována. Součin B.A spočtěte. ESF - PMMATl - příklady k procvičení 18. Vypočtěte determinanty: a) 4 5 7 1 2 3 b) 4 0 1 3 1 9 5 3 0 1 0 c) 3 0 7 2 6 0 1 1 7 2 1 1 1 0 9 5 3 6 6 3 0 0 0 1 d) 2 2 2 -1 1 1 1 3 1 2 -1 5 -1 -2 -2 1 -2 2 1 2 -1 3 -1 1 1 e) 1 2 -1 3 -4 2 5 3 -2 2 2 -1 2 -1 3 2 -1 1 1 1 -2 D 3 -1 1 3 0 1 2 2 1 2 0 1 2 1 1 2 0 1 2 2 1 2 1 0 19. Užitím Cramerova pravidla řešte soustavu lineárních rovnic: 3xj —x2 + x3 =10 a) 5xj +x2 +2x3 =29 b) -4xj +x2 +2x3 = 2 2xj -2x2 + x3 + x4 =6 2xj +3x2 + x3 + x4 =0 5xj +6x2 +3x3 +2x4 =3 7xí +9x2 +4x3 +2x4 =3 20. Řešte soustavu lineárních rovnic: 2xj +3x2 + x3 1 a) x1+2x2+3x3=5 , b) -Xj + x2 +4x4 = 6 L* A i ""r" A. o ""r" A. o A. ^ — Á* xi _ x2 +2x3 + x4 = 7 3xj + 2x2 - x3 + 2x4 = 1 Xj + x2 +3x3 +5x4 =11 Xi \ Xo \ Xo 0 ,c) 2xj+4x2+3x3 =0 Xj +5x2 +5x3 = 0 xi + 4x2 +5x3 + 2x4 = 2 Xj +2x2 + 4x3 2xi +6x2 +8x3 +3x4 = 3 3x, +5x2 + 6x3 d) _ ,e) 3x4 = 2 4x4= 7 Xi ZXo Xo -^-zL — ~J 2xj +3x2 +2x3 = 2 4xj +5x2 - 2x3 + 3x4 =11 3xj +8x2+24x3 -19x4 = 4 Xj + x2 + 3x3 + 3x4 + 2x5 = 2 ^ 3xj + 2x2 + 5x3 + 2x4 + 3x5 = 3 Xj +2x2 +7x3 +10x4 +5x5 =5 21. Oběma způsoby výpočtu určete matici inverzní k matici A (3 1 -2^ f 3 -1 O Í5 a) A = 2 -1 b) A = -2 4 0 3 c) A = 3 1 2 9^ 2 4 ESF - PMMATl - příklady k procvičení 22. Jordánovou metodou určete matici inverzní k matici A a) A = ^2 1 0 °1 3 2 0 0 1 1 3 4 ,2 -1 2 3J b) A = f\ 2 3 41 2 3 1 2 1 1 1 -1 1 0 -2 -6 23. Řešte maticovou rovnici: (0 1 1> r2 0 4^ 1 0 1 x = 6 2 0 l1 1 Oy v0 4 6) 24. Najděte vlastní čísla a vlastní vektory matice A: f 2 -3 3^ r 3 4 (^ a)A = 0 3 0 -2 6 -3 25. Určete definiční obor funkce b) A = v 0-2 0 -1 -1 2 E SF - PMMAT1 - příklady k procvičení - výsledky l.a)xeR-{3} b) xe (-2;2) c) xe(-7;5> d) xe (-oo;-ll)u(-2;oo) e)xe(2;5) f) x e (-«,;-2/3) u (l/2;2) 2. Všechny tři hraniční přímky daných polorovin se protínají v bodě Q=[l ;2] a z grafu je patrné, že bod Q je jediným společným bodem daných tří polorovin. 3. a) Aspoň jedno auto je modré a žádné auto není bílé. b) Aspoň jeden člověk je bez chyby nebo aspoň jeden člověk se nikdy nemýlí. c) Bude pršet a nepůjdu ani do kina ani do divadla. d) Odešel nejvýše jeden člověk. e) Existuje aspoň jeden trojúhelník, ve kterém průsečík os stran nesplývá s průsečíkem os vnitřních úhlů. f) 3xgN: VyeN: yx * y 4. Úsudek je nesprávný. 6. Označíme výroky takto: P: viníkem je Petr , Q: viníkem je Pavel, R: Pavel nebyl vil hodin na místě činu , S : je jasný motiv činu . Úsudek vyjádříme výrokovou formulí: V: [(PvQ)a(P^RJa(Q^ S)] => (-.R => S) a ukážeme, že V je tautologie. 7. a) jsou lineárně nezávislé b) jsou lineárně závislé 8. a) není b) je 9.r = 3 10. ano 11. a) ne b) ano 12. např. u , (1,0,0,0), (0,1,0,0), (0,0,1,0) 13. a) dimW = 3, báze je např. a , b , c b) dimW = 3, báze je např. a , b , c 14. a) 2 b) 3 c) 3 d) 3 15. a) í 3 -3> í 4 2 ,b) 1-2 -6y v ■6 3 0 5 4 0 3 7 9^ 4 8 6 ,c) '15 -1 -4 -4 81 2 3 -1 1 -3 9 1 4 10 16 ,30 9 -3 9 15 J ' 0 2] ,d) 15 -1 ,16 -ísj 16. r 4 -3 4 6 7 13 -2"! -1 -2 -1 1 -5 17. Např. B (q o {ŕ '0 Q\ 0 0 0 ,B.A = 0 0 [o 0 Oj vo oj 18. a) 7 , b) -24 , c) 39 , d) -2 , e) 28 , f) -30 19. a) x = (3,4,5)T , b) x = (3/5 , -6/5 , 12/5 , 0)T 20. a) x = (1,-1,2)T , b) x = (1,-1,2,1 )T , c) x = (0,0,0)T , d) nemá řešení e) x = (4,-l,0,0)T + r.(8,-6,l,0)T + s.(-7,5,0,l)T f) x = (-1,3,0,0,0)T + r.(l,-4,l,0,0)T + s.(4,-7,0,l,0)T + t.(l,-3,0,0,l)T 21. a) 36 r n -17 -10 2 5^ f A 6 -11 2y ,b)J-30 v -6 6 -2 2^ 7 8 13 2j ,c) r o 6 -6 -7 -3] 17 - PMMATl - příklady k procvičení - výsledky 22. a) 23. í 2 - L 0 0^ ' 22 -6 -26 171 -3 2 0 0 , b) -17 5 20 -13 31 -19 3 -4 -1 0 2 -1 v-23 14 -2 3y v 4 -1 -5 3, 2 3 0 2 1 5 4 -1 -h 24. a) aj =3 ,(0,l,l)T ; a2 =0 , (-3,0,2)' OCc -1 , (1,0,-1)J b) aj =2 ,(0,0,l)T ; a2 =-2 , (-16,20,1)T ; a3 =3 , (-1,0,1)' 25. a) < 0,3) , b) (-oo,0 > u{l,3,5,...} , c) < -4, 5 J5 ) u ( 5*