Walshův postup C.M. Walsh navrhl postup, kterým lze jakékoliv “klasické” indexní číslo převést na konstrukt, který bude zaručeně splňovat axiom záměny faktorů (F2). Stačí k tomu, abychom k libovolné dvojici cenového a kvantového indexního čísla , zavedli příslušné “Walshovy modifikace” , takto: Ilustrace: Laspeyresovo indexní číslo Vytvořme Walshovy modifikace a výše zmíněnou úpravou. Po dosazení a vykrácení dostaneme a podobně pro kvantové Dostaneme dvojici Fisherových indexních čísel , . Lze se přesvědčit, že k témuž výsledku dospějeme, pokud místo Laspeyresových vezmeme za výchozí Paascheho indexní čísla , . Poznámka 1 K dosažení platnosti testu (F2) bychom nemuseli operovat s podílem , nýbrž by stačilo vzít podíl jakýchkoliv dvou výrazů, které by byly interpretovatelné jako cenové a kvantové indexní číslo. Obecná volba zaručující splnění (F2) se obvykle ukáže jako nevhodná ve světle potřeby splnění jiných testů. Pro příklad lze uvést test proporčnosti (F7), kde požadujeme, aby platilo avšak obecně a ničím není zaručeno, že výraz v poslední odmocnině je aspoň blízký hodnotě . U Walshem navrženého postupu naproti tomu dostáváme pokud vyhovuje testu (F7), což např. platí pro nebo , přičemž pravděpodobnost (aspoň přibližného) splnění toho, že výraz v odmocnině je roven 1, může být vysoká. Pokud za vezmeme , pak rovnost platí přesně. von Bortkiewiczova relace Pruský matematik a ekonom Ladislaus Josefovič von Bortkiewicz odvodil užitečnou strukturální relaci mezi Laspeyresovým a Paascheho indexním číslem, která může napomoci vzájemnému porovnání jejich číselných hodnot: Přítomné symboly mají následující význam: 1) [ ]označuje vážený aritmetický průměr cenových poměrových změn s vahami tvaru . je tedy Laspeyresův cenový index . 2) označuje vážený aritmetický průměr změn kvantit s týmiž vahami, tzn. tento výraz je Laspeyresovým kvantovým indexním číslem . 3) [ ]označuje výběrovou směrodatnou odchylku cenových poměrových změn s vahami : 4) vyjadřuje směrodatnou odchylku změn kvantit se stejnými vahami, tj. 5) Výraz značí vážený párový korelační koeficient mezi poměrově vyjádřenými cenovými a kvantovými změnami. Formálně zapsáno: , přičemž výraz pro váženou kovarianci v čitateli zlomku je Poznámka 2 Podíl směrodatné odchylky a příslušné střední hodnoty je variační koeficient, takže dva výrazy v součinu pro B jsou variačními koeficienty . Oba jsou zřejmě v důsledku kladných cen a nezáporných kvantit vždy nezáporné. Ověření platnosti Bortkiewiczova poměru vyvodíme ze vztahů užívaných ve statistice. Prvním z nich je relace (1) která je obdobou výpočtového vzorce pro výběrový rozptyl . ověření (1) Rozvedením vztahu pro kovarianci dostaneme následně převedením na opačnou stranu získáme hledanou relaci. ð . Analogicky bychom odvodili platnost obdobného vztahu pro vážené charakteristiky: (2) kde jsou nezáporné váhy normované jedničkovým součtem: . Označíme-li můžeme předchozí výraz zapsat ve tvaru (2*) Identitu (2*) dále upravíme tak, že ji vydělíme výrazem . Dostaneme a druhý výraz pravé strany doplníme vložením směrodatných odchylek. Tím získáme vyjádření s variačními koeficienty veličin a a jejich korelační koeficient [ ]. Stejně bychom získali analogické vyjádření pro vážené veličiny a , pokud by byly všechny vážené stejnými vahami , . Vážená obdoba by vypadala následovně , kde máme [], , [ ] , [] s nějakým vektorem nezáporných a jedničkovým součtem normovaných vah . Sledovaného cíle dosáhneme, ukážeme-li, že levá strana výrazu, může přejít vhodnou konkretizací veličin a ve výraz vyjádřitelný jako podíl Paascheho a Laspeyresova indexního čísla. Vyjádřeme tedy nejdříve podíl Paascheho a Laspeyresova indexního čísla jako: (3) Na základě předchozího a tvaru pravé strany Bortkiewiczova poměru vyšetříme, zda podíl zmíněných indexních čísel lze vyjádřit jako výraz korespondující se zápisem (3), jehož levá strana by měla podobu vážené kovariance dělené součinem stejně vážených středních hodnot dvou vektorů vyjadřujících cenové a množstevní změny s vhodně volenými vahami. Ukazuje se, že toto vyjádření je možné, a to při následující volbě veličin[ ]: , a vah . Tyto konkretizace pro a lze vzhledem k symetrii výrazů přirozeně zaměnit. Dosadíme-li totiž zmíněné veličiny do (2), dostaneme což po dalším vykrácení součtem zřejmě dává výraz vyjadřující podíl Paascheho a Laspeyresova indexního čísla. ÿ . Záměnou cen za kvantity a opačně bychom dospěli tímto způsobem k vyjádření (tzn. s prohozením obsahu a ) z něhož je mj. patrná platnost “křížového” splnění rovnosti ÿ . Z vlastností (vážených) středních hodnot a směrodatných odchylek lze dále dovodit, že “neutrální hodnota” 1 von Bortkiewiczova podílu nastane v případech, kdy : (1) všechny ceny se změní ve stejném poměru, tj. pro všechny komodity. Tento analyticky ideální případ je ovšem výjimečný. (2) všechny kvantity se změní ve stejném poměru tj. pro všechny statky. Tato eventualita je při užití reálných hodnot stejně vzácná jako předchozí případ. (3) vektory cenových a kvantových změn jsou vzájemně nekorelované. Tento případ zasazený do obvyklého ekonomického prostředí znamená situaci, kdy poptávka po komoditách zařazených do zkoumání není v zásadě ovlivněna změnami v jejich cenách mezi základním a běžným obdobím. Ve všech situacích (1), (2), (3) tedy dojde ke shodě hodnot a . Podobné úvahy nás přivedou k těmto závěrům: Má-li být hodnota větší než , musí být (při nezápornosti ostatních prvků dekompozice, tj. středních hodnot a směrodatných odchylek) hodnota [ ] kladná, tzn. mezi vektory cenových a kvantových změn musí existovat kladná korelace. Má-li být menší než , musí být (při nezápornosti ostatních členů dekompozice, tj. středních hodnot a směrodatných odchylek) hodnota [ ]záporná , tzn. mezi vektory cenových a kvantových změn musí existovat korelace negativní. To odpovídá situaci, kdy nadprůměrný růst cen některých komodit (oproti průměrnému růstu či poklesu cen jiných komodit) provází zpravidla podprůměrný růst (popř. pokles) poptávky po těchto komoditách. Právě tato situace je v ekonomické realitě obvyklá. S ohledem na interpretaci korelačních vztahů (v prostředí spíše růstových tendencí cen a kvantit) lze konstatovat, že index bude poskytovat vyšší hodnotu než , protože “nadprůměrně” vysokým cenovým pohybům skutečně v ekonomickém prostředí odpovídají “podprůměrné” růsty či poklesy v poptávaných množstvích. Dále je zřejmé, že jak Marshallovo-Edgeworthovo, tak Fisherovo i Walshovo indexní číslo budou ležet v intervalu vymezeného zdola a shora .