Preferenční relace a její vlastnosti Teorie užitku (též teorie hodnoty nebo teorie rovnováhy spotřebitele), se zabývá zkoumáním chování jednoho typického spotřebitele, který při nákupu dostupných komodit usiluje o maximalizaci svého užitku, tzn. že - při stejných výdajových možnostech - nakupuje soubor komodit poskytujících mu co největší užitek. Maximalizace se odehrává v prostředí, kde spotřebitel musí vycházet z cen komodit, které jsou utvářeny v rámci tržního prostředí nezávisle na jeho vůli, a kde musí rovněž přihlížet k velikosti svého příjmu/důchodu, který má pro tento účel k dispozici a který nesmí překročit. Preferenční uvažování spotřebitele Formulace problému: Spotřebitel maximalizuje svůj subjektivně posuzovaný užitek za předpokladu, že při koupi potřebných množství jednotlivých komodit zajišťujících mu velikost užitku na požadované úrovni nepřekročí rozpočtové omezení dané jeho disponibilním příjmem . Poznámka 1 Pro následující úvahy není příliš podstatné, jak chápeme veličinu důchod. Ta nemusí být představována pouze příjmem běžného období, ale také dřívějšími úsporami spotřebitele popř. jinými aktivy nebo naopak také budoucími aktivy (půjčkami, budoucími výnosy, rentou, pohledávkami), která mu budou k dispozici později. V dalším textu budeme konkrétní množství komodit [ ]označovat veličinami [ ]. Definice 1 Uvažujme konečnou množinu komodit (statků) , z níž provádíme postupně několik výběrů . Množinu všech možných vybíraných množství /kombinací ze všech komodit nazveme komoditní prostor a označíme jej Hodnota tedy vyjadřuje množství komodity vybírané při -té variantě výběru. Pro tuto chvíli, (ač to není zásadně důležité), budeme předpokládat (třeba velký) konečný soubor možných výběrů. Každé komoditě přiřadíme kladné číslo , které bude vyjadřovat cenu za jednotku fyzického množství (jednotkovou cenu) této komodity. Definice 2 Soubor cen všech komodit představovaných vektorem kladných čísel pro , kde každé vyjadřuje jednotkovou cenu -té komodity , a to nezávisle na provedeném výběru nazveme cenovým vektorem. V systému neuvažujeme volné statky, u nichž . ) Přijmeme předpoklad, že spotřebitel musí být pro jakékoliv dvě kombinace komodit, řekněme a schopen rozhodnout, která z nich mu přinese vyšší užitek, případně zda užitek jimi poskytnutý bude stejný. Jinými slovy to znamená, že tyto dvě kombinace , mohou být co do užitku poskytnutého spotřebiteli rovnocenné (z pohledu spotřebitele jde o indiferentní komodity), nemohou však být nesrovnatelné. Konkrétněji : Předpoklad Spotřebitel je schopen vzájemně porovnat libovolné dvě varianty a (subjektivně) posoudit, která z nich je pro něj výhodnější, popř. jsou-li vzájemně rovnocenné. Rozlišovací (binární) relace definovaná na kartéském součinu (tj. pro každou dvojici variant) má přitom dále uvedené vlastnosti. Pro značení použijeme symbol „ „ „ jako symbol neostrého preferenčního uspořádání tj. relace pro dvě srovnávané kombinace zapíšeme , přičemž symbol „ „ čteme jako „preferováno nebo stejně hodnoceno“. Vlastnosti preferenční relace „ „ Definice 3 (P1) Relace „ „ je reflexívní , tzn. platí ^ pro libovolné ^ . (P2) Relace „ „ je tranzitivní, tzn. jestliže a , potom platí (P3) Relace „ „ je úplná, tzn. pro všechna , ^ platí ^ nebo . nebo současně obojí ( poslední případ znamená indiferentnost/rovnocennost „ ≈ “ ). (P4) Relace „ „ je nenasycená (nesaturovaná), tzn. neexistuje taková varianta , která by byla (ostře) nadřazená vůči všem ostatním variantám. Jinými slovy : Ke každé variantě ^ lze nalézt variantu takovou, že platí Tato vlastnost má za následek, že užitková funkce je neklesající a přinejmenším v jednom svém argumentu je rostoucí. (P5) Relace „ „ je spojitá, což znamená toto : Pro jakoukoliv variantu definujme dvě množiny a) jako množinu všech variant "přinejmenším stejně dobrých“ jako " b) jako množinu všech variant "nikoliv lepších než“ " tzn. : , [1] Relace „ „ je spojitá právě tehdy, jestliže množiny i jsou uzavřené, tj. součástmi těchto množin jsou i jejich hranice (tj. body, kde platí indiference vůči ). Tato vlastnost reprezentuje konzistentní způsob uvažování spotřebitele v tom smyslu, že když existuje posloupnost komoditních kombinací takových, že pro kterýkoliv prvek této posloupnosti platí , potom také pro limitní bod z této posloupnosti z (pro který ^ ) platí . (P6) Relace „ „ je konvexní, tzn. platí implikace : jestliže , potom pro libovolné . (P1) konstatuje samozřejmost, že každá komoditní kombinace je vůči sobě „nejméně stejně dobrá“. Účelem je dosažení rovnocennosti hodnocení kombinace vůči sobě. Smyslem vlastnosti (P2) je dosáhnout uspořádání variant v souladu se zásadou, že je-li varianta nejméně stejně dobrá jako druhá varianta a tato druhá nejméně stejně dobrá jako varianta , pak je i varianta vždy nejméně stejně dobrá jako varianta . Úplnost relace (P3) znamená vyloučení možnosti nesrovnatelných variant, tzn. že pro kterékoliv dvě varianty musíme být schopni rozhodnout o jejich vzájemném preferenčním postavení. Lze tedy také mluvit o axiomu srovnatelnosti. Vlastnost (P4) je zavedena za účelem vyloučení situace, že by existovala „absolutně nejlepší“ varianta, nadřazená všem ostatním. To by znamenalo, že užitek pociťovaný spotřebitelem již nelze žádným způsobem zvýšit. Spojitost (P5) je nutná matematická vlastnost, která zajišťuje spojitost užitkové funkce (v kterékoli komoditní kombinaci). Zamezuje růstu užitku „skokem“ při nepatrném zvýšení užitých statků. Konvexnost (P6) preferenční relace není samozřejmá. Zajišťuje nicméně vlastnost kvanzikonkávnost užitkové funkce. Problém spočívá v tom, že vlastnost reprezentuje konstatování, že "směs" dvou komoditních kombinací nemůže být horší než horší z obou těchto kombinací. Je patrné, že v řadě situací tomu tak být nemusí: Smícháme-li dva nápoje (např. whisky a gin), získaný výsledek málokdy poskytne lepší chuťový dojem, než kterákoliv z obou substancí užívaných samostatně. Totéž nepochybně platí o mnoha jiných komoditních kombinací spojených s jídlem a pitím. Spojitost (P5) vázaná k preferenční relaci však pro jiné situace není až tak samozřejmou vlastností, jak se může na první pohled zdát. Za protipříklad můžeme vzít např. tuto relaci: Definice 4 Lexikografická preferenční relace je (v kontextu dvou komodit) definována takto: ve všech ostatních případech Tvrzení 1 Lexikografická preferenční relace není spojitá. Ověření: Ukážeme, že nelze najít komoditní kombinaci , která by byla odlišná od a která by byla vůči indiferentní. a) Jestliže , pak bude ostře lepší nebo ostře horší než . [2] b) Jestliže , pak bude opět ostře lepší nebo ostře horší než v závislosti na hodnotě druhého argumentu. Další možnost zřejmě není, indiference tedy nelze dosáhnout.  . Důsledkem tvrzení je skutečnost, že k lexikografické preferenční relaci nelze vyjádřit indiferenční křivky jako souvislé vícebodové množiny. Pro libovolnou hladinu užitku je „indiferenční křivka“ degenerovaná jednobodová množina. Obecněji můžeme na věc pohlížet tak, jakoby měla „jednodimenzní“ indiferenční křivka „příliš málo“ bodů pro jednoznačné zobrazení kartéského součinu na ni. V našem případě jde o zobrazení . Poznámka: Množiny tedy budou mít tvary s relacemi ostré preference , a nebudou obsahovat své hranice, nebudou tedy uzavřené a lexikografická relace proto nebude spojitá. Zesílení konvexnosti (P6) udává Definice 5 (P6s) Relace „ „ je ryze konvexní, jestliže platí implikace: Jestliže , potom pro libovolné , Touto podmínkou vyloučíme z uvažování „lineární úseky“ na indiferenčních křivkách a dosáhneme jednoznačnosti určení rovnovážných bodů. Ještě razantnějšího zesílení konvexnosti bychom dosáhli touto definicí: Definice 6 (P6ss) Relace „ „ je striktně konvexní, jestliže platí implikace: Jestliže , potom pro libovolné , kterou můžeme vyjádřit jako požadavek, aby užitek z komoditní kombinace, která jakýmkoliv způsobem směšuje statky zastoupené v kombinacích nebyl menší než dokonce lepší z obou variant. V přeneseném smyslu (vztaženo k příslušné vlastnosti užitkové funkce) lze mluvit o axiomu resp. vlastnosti různorodosti či pestrosti. Jak je ovšem zřejmé, jde o nepřiměřeně silný a málo realistický požadavek. Těžko bychom hledali oblast praktického života, ve které by byl uplatnitelný (snad jen v omezeném okruhu módního oděvního zboží posuzováno očima extravagantních konzumentů). Zeslabení nenasycenosti (P4) udává Definice 7 (P4w) Relace „ „ je lokálně nenasycená, jestliže platí: Pro každou variantu existuje okolí bodu , takové, že aspoň pro jedno , platí . Význam vlastnosti (P4w) ukážeme níže v souvislosti s existencí rovnovážného bodu na množině rozpočtového omezení. Zesílení spojitostí (P5) udává Definice 8 Rovněž spojitost preferenční relace může být zesílena v několika směrech. Jeden z nich představuje tzv. axiom nezávislosti Jestliže a pak (P7) pro všechna Druhým pak je tzv. archimédovský axiom Jestliže máme komoditní kombinace v relacích , pak existují vzájemně různé konstanty takové, že platí (P8) Poznámka 2 Rovnocennou definici konvexnosti bychom dostali touto formulací: Preferenční uspořádání se nazývá konvexní, jestliže dolní obrysová množina[3] je konvexní pro všechna . Symetrie, antisymetrie, indiference Definice 9 Ostrou preferenční relaci získáme doplněním neostré preferenční relace o dodatečnou vlastnost antisymetrie. (P9) Antisymetrie Varianta je ostře preferována před variantou - ve značení jestliže platí , avšak nikoliv . Protikladem antisymetrie pak bude vlastnost Definice 10 Symetrie (P10) Jestliže platí , pak vždy také platí . Poznámka 3 Pokud platí obě podmínky v (P10) , pak řekneme, že Varianta je indiferentní vůči variantě , a značíme Ekvivalence vs. uspořádání Definice 11 Binární relace, splňující vlastnosti (P1), (P2) a (P10) se nazývá ekvivalence. Je tedy současně reflexívní, symetrická a tranzitivní. (Značí se obvykle „ „ ) Definice 12 Binární relace, která splňuje vlastnosti (P1) a (P2) se nazývá částečné uspořádání. Je to tedy relace s vlastnostmi reflexivity a tranzitivity. Definice 13 Binární relace splňující (P1),(P2),(P3) se nazývá úplné uspořádání. Je to tedy relace s vlastnostmi reflexivity, úplnosti a tranzitivity. Zatímco smyslem zavedení relace ekvivalence je především jistá kategorizace prvků/variant do tříd obsahujících prvky z jistého hlediska podobné, je účelem uplatnění relace uspořádání (částečného či úplného) dosažení seřaditelnosti prvků/variant podle nějak zvoleného kritéria, které obsahují. (Přítomnost vlastnosti (P1) naznačuje, že takto definované uspořádání je neostré). Definice 14 Preferenční uspořádání se nazývá monotónní, jestliže situace, kdy platí a současně , znamená vždy . Monotónnost vylučuje možnost existence ekvivalentních tříd, ve kterých by bylo více různých vzájemně indiferentních prvků. Vlastnost udává, že u kteréhokoli zboží je preferováno jeho větší množství , což znamená, že všechna zboží jsou žádoucí. Tvrzení 2 Užitková funkce odvozená z monotónního uspořádání je rostoucí. Vyvození užitkové funkce Definice 15 Přiřadíme-li každé variantě číslo , získáme tak funkci přiřazující každému bodu komoditního prostoru hodnotu, kterou nazveme užitek. Tato užitková funkce přiřazuje lepší variantě větší hodnotu oproti horší variantě , které přiřazuje menší hodnotu v souladu se vztahem . V případě, že jsou obě varianty indiferentní, tzn. platí ^ a současně , budou hodnoty užitku při obou variantách stejné tj. . Přijmeme úmluvu, že komoditní prostor je tvořen kartéským součinem uzavřených intervalů [ ], kde každý interval [ ]), přičemž pravé krajní body těchto intervalů jsou tvořeny buď konečnými hodnotami nebo neomezenou hodnotou „ „. Intervalové uvažování přípustných hodnot komodit ve svém důsledku znamená, že množství každé komodity budeme považovat za neomezeně dělitelnou ( a nezápornou ) veličinu a rovněž to, že z komoditního prostoru můžeme provádět nekonečně mnoho opakovaných různých výběrů. Reálný problém omezené dělitelnosti Zdaleka ne každá ekonomicky posuzovaná komodita má vlastnost neomezené dělitelnosti. To nečiní podstatnější problém v případě, kdy ji oceňujeme peněžně (dělení v principu diskrétní veličiny je zde „dostatečně jemné“), avšak v případě naturálního vyjádření to může přinést i hrubé odchýlení se od skutečnosti. Měříme-li užitek, který spotřebiteli přináší elektrospotřebič, vozidlo či objekt bydlení, jsme při popisu množství komodity odkázáni na vyjádření v přirozených číslech (které je typicky diskrétního charakteru), přičemž přechod např. ke zlomkovému vyjádření by s ohledem na celistvost užitné hodnoty věci byl sotva rozumně interpretovatelný. Podobných „protipříkladů“ nalézáme ostatně mnoho i mezi předměty zřetelně nižší peněžní hodnoty (oděvy, kancelářské potřeby, hračky, tkaničky od bot apod.). „Zespojitění“ komoditního prostoru, popř. omezení oboru hodnot každé komodity zprava na prakticky uvažovatelný rozsah je tedy provedeno především z důvodu matematické účelnosti, mj. k možnosti definovat řadu pojmů marginální ekonomicko-matematické analýzy s použitím spojitosti a diferencovatelnosti (užitkové) funkce. ________________________________ [1] Anglicky se tyto množiny nazývají lower contour set, resp. upper contour set . [2] Bude-li , bude x ostře lepší než z. Bude-li , bude x ostře horší než z. Nastane-li případ , bude x ostře lepší než z. Bude-li , bude x ostře horší než z . [3] anglicky “lower contour set“