Demonstrované cvičení k přednášce Matematika III
19.9.2006
Příklad 1. Uvažme následující funkci:
f(x, y) =
x2-y2
x2+y2 pro x, y  R2
\ {(0, 0)}
0 pro (x, y) = (0, 0)
Zjistěte, zda je funkce spojitá v bodě (0, 0).
Tečna ke křivce (t) = [f(t), g(t), h(t)] v bodě (t0) = (x0, y0, z0) má
směrový vektor
(f
(t0), g
(t0), h
(t0)),
tedy rovnice normálové roviny je
f
(t0)(x - x0) + g
(t0)(y - y0) + h
(t0)(z - z0).
Příklad 2. Určete tečnu a normálovou rovinu ke křivce  : R  R3
, (t) =
[cos(t), sin(t), t] v bodě t = .
Příklad 3. Odhadněte vzdálenost bodu () od bodu (0) pomocí věty z
přednášky.
Příklad 4. Určete směrovou derivaci funkce f(x, y) = ln(x)  y ve směru
v = (2, 1) v bodě [x0, y0] = (1, 1).
Rovnice tečné rovniny k ploše zadané jako f(x, y, z) = 0 v bodě (x0, y0, z0)
jsou
fx(x0, y0, z0)(x - x0) + fy(x0, y0, z0)(y - y0) + fz(x0, y0, z0)(z - z0) = 0,
normála má pak směrový vektor
(fx, fy, fz).
Příklad 5. Určete tečnou rovinu ke grafu funkce f(x, y) = xy2
v bodě (1, 1).
Příklad 6. Určete tečnu ke křivce dané rovnicemi x2
+ y2
+ z2
- 1 = 0,
z2
- 2y2
- x2
= 0 v bodě ( 1
2
, 0, 1
2
).