Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Drsná matematika III ­ 4. demonstrovaná cvičení Vázané extrémy Martin Panák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 10.10. 2006 Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy 1 Domácí úlohy z minulého týdne Příklad 1 Příklad 2 Příklad 3 2 Návodné úlohy Povrch grafu reálné funkce f (x, y) dvou proměnných x a y Těžiště tělesa Příklad 6. Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Buď dáno zobrazení F : R2 R, F(x, y) = xy sin 2 xy2 . Ukažte, že rovnost F(x, y) = 1 zadává v nějakém okolí U bodu 1 implicitně funkci f : U R, tak že F(x, f (x)) = 1 pro x U. Navíc f (1) = 1. Určtete f (1). Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Řešení. Fy (1, 1) = x sin 2 xy2 + x2y2 cos 2 xy2 (1, 1) = 1, tedy předpis F(x, y) = 1 zadává implicitně na okolí bodu (1, 1) funkci f : R R. Pro její derivaci potom platí f (x) = - Fx Fy (1, 1) = - 1 1 = -1. 2 Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Určete, zda existují maxima a minima funkce f : (R+)n R, f (x1, . . . , xn) = n x1 xn za podmínky x1 + + xn = c, c R+, x1 > 0,. . . , xn > 0. Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Řešení. Normálový vektor k nadrovině definované podmínkou je (1, . . . , 1). Extrém může nastat v bodech, kdy je gradient zkoumané funkce násobkem normály. Pro tyto body tedy dostáváme soustavu 1 n n x1 ^xi xn 1 n xn-1 i = k, i = 1, . . . n. Tato soustava má na zkoumané množině jediné řešení x1 = = xn, k = 1, což odpovídá maximu dané funkce. Pokud bychom totiž v omezení uvažovali xi nezáporná, jednalo by se o kompaktní množinu, tedy daná funkce by na ní měla jak maximum, tak minimum. Minimum (nula) by nastávalo, pokud by libovolná z proměnných byla nulová, v nalezeném bodě tedy musí nastat maximum. 2 Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Určete, zda existují maxima a minima funkce f : R3 R, f (x, y, z) = z - xy2 na sféře x2 + y2 + z2 = 1. Pokud extrémy existují, určete je. Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Řešení. Řešíme soustavu x = -ky2 y = -2kxy z = k Z druhé rovnice dostáváme, že buď y = 0, nebo x = - 1 2k . První možnost vede k bodům (0, 0, 1), (0, 0, -1). Druhá pak nemůže být splněna (dosazením do rovnice koule dostaneme rovnici 1 4k2 + 1 2k2 + k2 = 1, která nemá řešení. Ve dvou vypočtených bodech na dané sféře má funkce maximum, resp. minimum. 2 Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy 1 Domácí úlohy z minulého týdne Příklad 1 Příklad 2 Příklad 3 2 Návodné úlohy Povrch grafu reálné funkce f (x, y) dvou proměnných x a y Těžiště tělesa Příklad 6. Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Povrch grafu funkce dvou proměnných nad plochou S v rovině xy spočítáme jako P = S 1 + f 2 x + f 2 y dx dy. Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Povrch grafu funkce dvou proměnných nad plochou S v rovině xy spočítáme jako P = S 1 + f 2 x + f 2 y dx dy. Příklad 4. Určete obsah části pláště kužele x2 + y2 = 3z2, která leží nad rovninou z = 0 a uvnitř válce x2 + y2 = 4y. Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Souřadnici z v těžiště tělesa T v R3 spočítáme jako 1 V T z dx dy dz, kde V je objem tělesa. Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Souřadnici z v těžiště tělesa T v R3 spočítáme jako 1 V T z dx dy dz, kde V je objem tělesa. Příklad 5. Určete objem a těžiště tělesa ohraničeného paraboloidem x2 + y2 = z, válcem x2 + y2 = 2y a rovinou z = 0. Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Určete objem tělesa vyříznutého kuželem x2 + y2 = z2 ze sféry x2 + y2 + (z - a)2 = a2.