Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy
Drsná matematika III ­ 4. demonstrovaná cvičení
Vázané extrémy
Martin Panák
Masarykova univerzita
Fakulta informatiky
17.10. 2006
Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy
1 Domácí úlohy z minulého týdne
Příklad 1
Příklad 2
Příklad 3
2 Návodné úlohy
Rovnice se separovanými proměnnými
Model změny teploty
Růst bakterií
Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy
Určete povrch části válce x2 + z2 = 16, který leží uvnitř válce
x2 + y2 = 16.
Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy
Určete povrch části válce x2 + z2 = 16, který leží uvnitř válce
x2 + y2 = 16.
Řešení.
S = 8
4
0

16-x2
0
4

16 - x2
dy dx = 128.
2
Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy
Určete objem části prostoru ležící uvnitř válce x2 + y2 = 4 a
ohraničené rovinami z = 0 a z = x + y + 2.
Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy
Řešení. Těleso rozdělíme na dvě části, ležící nad, respektive pod
rovinou z = 0, jejich objemy označíme V1, resp. V2. Dále si
všimněme, že částí tělesa o objemu V1 je i jehlan s vrholy
[0, 0, 0], [0, 0, 2], [-2, 0, 0], [0, -2, 0]. Část tělesa ležící nad rovinou
z = 0 tedy rozdělíme ještě na dvě části, jejichž objem spočítáme
zvlášť.
Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy
Řešení. Těleso rozdělíme na dvě části, ležící nad, respektive pod
rovinou z = 0, jejich objemy označíme V1, resp. V2. Dále si
všimněme, že částí tělesa o objemu V1 je i jehlan s vrholy
[0, 0, 0], [0, 0, 2], [-2, 0, 0], [0, -2, 0]. Část tělesa ležící nad rovinou
z = 0 tedy rozdělíme ještě na dvě části, jejichž objem spočítáme
zvlášť.
V1 - Vjehlan =

-/2
2
0
r2
(sin() + cos()) + 2r dr d = 6 +
16
3
,
Vjehlan =
4
3
Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy
Řešení. Těleso rozdělíme na dvě části, ležící nad, respektive pod
rovinou z = 0, jejich objemy označíme V1, resp. V2. Dále si
všimněme, že částí tělesa o objemu V1 je i jehlan s vrholy
[0, 0, 0], [0, 0, 2], [-2, 0, 0], [0, -2, 0]. Část tělesa ležící nad rovinou
z = 0 tedy rozdělíme ještě na dvě části, jejichž objem spočítáme
zvlášť.
V1 - Vjehlan =

-/2
2
0
r2
(sin() + cos()) + 2r dr d = 6 +
16
3
,
Vjehlan =
4
3
Dále
V1 - V2 =
-

2
0
r2
(sin() + cos()) + 2r dr d = 8,
tedy V1 + V2 = 4 + 40
3 . 2
Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy
Určete objem a souřadnice těžiště kužele o kruhové podstavě s
poloměrem r a výšce h.
Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy
Řešení. Otočíme-li kužel vrcholem dolů a ten umístíme do
počátku souřadnic, pak ve válcových souřadnicích:
Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy
Řešení. Otočíme-li kužel vrcholem dolů a ten umístíme do
počátku souřadnic, pak ve válcových souřadnicích:
V = 4
/2
0
r
0
h
h
r

 dz d d =
1
3
hr2
.
Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy
Řešení. Otočíme-li kužel vrcholem dolů a ten umístíme do
počátku souřadnic, pak ve válcových souřadnicích:
V = 4
/2
0
r
0
h
h
r

 dz d d =
1
3
hr2
.
Těžiště zjevně leží na ose z. Pro z-tovou souřadnici pak máme
z =
1
V kužel
zdV =
1
V
/2
0
r
0
h
h
r

z dz d d =
3
4
h.
Těžiště tedy leží ve výšce 1
4 h nad středem podstavy kužele. 2
Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy
1 Domácí úlohy z minulého týdne
Příklad 1
Příklad 2
Příklad 3
2 Návodné úlohy
Rovnice se separovanými proměnnými
Model změny teploty
Růst bakterií
Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy
Vyřešte rovnici
y +
1 + y3
xy2(1 + x2)
.
Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy
Vyřešte rovnici
y +
1 + y3
xy2(1 + x2)
.
Vyřešte rovnici
y =
cos2 y
sin2
x
.
Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy
Rychlost změny telploty tělesa je přímo úměrná rozdílu teploty
tělesa a prostředí, které jej obklopuje. Uvařili jsme šálek zeleného
čaje (o teplotě 80 C). Teplota čaje klesla v místnosti o teplotě
20 C za pět minut na 60 C. Za jak dlouho klesne teplota čaje na
40 C.
Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy
Tempo růstu počtu bakterií v dané kultuře je přímo úměrné počtu
bakterií v této kultuře. Určete funkci popisující množství bakterií v
dané kultuře.