Sada domácích úloh k přednášce Matematika III
k odevzdání v týdnu 9. ­ 13. října 2006
Příklad 1. Vyřešte diferenciální rovnici pro funkci y = y(x)
dy
dx
=
1 + y2
1 + x2
.
Příklad 2. Čistička vody o objemu 2000 m3
byla znečištěna olovem, které se nachází ve vodě v ní
v množství 10 g/m3
. Do čističky přitéká čistá voda rychlostí 2 m3
/s a stejnou rychlostí i vytéká.
Za jak dlouho poklesne obsah olova ve vodě v čističce pod 10 g/m3
, předpokládáme-li, že voda je
neustále rovnoměrně promíchávána?
(zkuste vyjádřit úbytek hmotnosti olova dm v nádrži za infinitezimální (nekonečně malý) čas
dt)
Příklad 3. Rychlost, kterou se rozpadá daný izotop daného prvku, je přímo úměrná množství
daného izotopu. Poločas rozpadu izotopu Plutonia, 239
Pu, je 24 100 let. Za jak dlouho ubude
setina z nukleární pumy, jejíž aktivní složkou je zmiňovaný izotop?