Sada domácích úloh k přednášce Matematika III
k odevzdání v týdnu 9. ­ 13. října 2006
Příklad 1. Vyřešte diferenciální rovnici pro funkci y = y(x)
dy
dx
=
1 + y2
1 + x2
.
Řešení. x+C
1-Cx . (použijte součtového vzorce pro tangens). 2
Příklad 2. Čistička vody o objemu 2000 m3
byla znečištěna olovem, které se nachází ve vodě v ní
v množství 10 g/m3
. Do čističky přitéká čistá voda rychlostí 2 m3
/s a stejnou rychlostí i vytéká.
Za jak dlouho poklesne obsah olova ve vodě v čističce pod 10 g/m3
, předpokládáme-li, že voda je
neustále rovnoměrně promíchávána?
Řešení. Označme objem vody v nádrži jako V (m3
), rychlost vytékání vody jako v (m3
/s). Za
infinitezimální (nekonečně malou) časovou jednotku dt vyteče z nádrže m
V  v dt gramů olova, pro
změnu hmotnosti množství olova v čističce tedy můžeme sestavit diferenciální rovnici
dm = -
m
V
 v dt.
Separací proměnných snadno najdeme řešení m(t) = m0e
v
V t
, kde m0 je množství olova v nádrži v
čase t = 0. Po dosazení číselných hodnot dostaneme (aspoň doufám), že t
.
= 4, 5h. 2
Příklad 3. Rychlost, kterou se rozpadá daný izotop daného prvku, je přímo úměrná množství
daného izotopu. Poločas rozpadu izotopu Plutonia, 239
Pu, je 24 100 let. Za jak dlouho ubude
setina z nukleární pumy, jejíž aktivní složkou je zmiňovaný izotop?
Řešení. Označíme-li množství Plutonia jako m, tak pro rychlost rozkladu můžeme napsat dife-
renciální rovnici
dm
dt
= k  m,
kde k je nějaká neznámá konstanta. Řešením je tedy funkce m(t) = m0e-kt
. Dosazením do rovnice
pro poločas rozpadu (e-kt
= 1
2 ) získáme konstantu k
.
= 2, 88105
. Hledaný čas je pak přibližně 349
let. 2