Jméno a příjmení:
Absence Příklad číslo: 1 2 3
Počet bodů:
Příklad 1. Rozhodněte, zda existují extrémy funkce f : R3
 R, f(x, y, z) = x2
+ y2
+ z2
, na úsečce x + y - z = 1,
x - y + z = 0, x  -1, 1 . Pokud extrémy existují, určete je. Nejprve si všimněme, že rovnice x + y - z = 1,
x - y + z = 0, x  -1, 1 ve skutečnosti zadávají přímku x = 1
2 , y = t, z = 1
2 - t.
Řešení. Pro stacionární body sestavíme soustavu:
2x = l + k
2y = l - k
2z = k - l
Jejím jediným řešením je bod (1
2 , 1
4 , -1
4 ). Vzhledem k tomu, že funkce f roste nade všechny meze na dané přímce jak
pro t  , tak pro t  -, musí se jednat o globální minimum funkce (lze spočítat i Hessián Lagrangeovy funkce).
Maximum daná funkce na zadaném objektu nemá. 2
Příklad 2. Určete objem tělesa v R3
, které je ohraničeno částí kužele 2x2
+ y2
= (z - 2)2
, z  2 a paraboloidem
2x2
+ y2
= 8 - z (malý návrh: určete nejprve průnik zadaných ploch)
Řešení. Zjistíme nejprve průnik zadaných ploch:
(z - 2)2
= -z + 8, z  2,
tedy z = 4 a dostáváme rovnici průniku daných ploch 2x2
+ y = 4. Substitucí x = 1
2
r cos(), y = r sin(), z = z
převedeme dané plochy na tvar r2
= (z - 2)2
, z  2 a r2
= 8 - z, tedy z = r + 2 pro první plochu a z = 8 - r2
pro druhou plochu. Celkem je průmět daného tělesa do souřadnice  roven intervalu 0, 2 , pro dané 0  0, 2
je potom průmět průniku tělesa s rovinou  = 0 do souřadnice r roven (pro lib 0) intervalu 0, 2 . Pro dané r0 a
0 je pak průmět průniku tělesa s přímkou r = r0,  = 0 na souřadnici z roven intervalu r0 + 2, 8 - r2
0 . Jakobián
uvažované transformace je J = 1
2
r, celkem tedy můžeme psát
V =
2
0
2
0
8-r2
r+2
r

2
dz dr d =
16

2
3
.
2
Příklad 3. Určete, kolik podgrafů má graf K5 (rozmyslete si, čím je podgraf zadán)?
Řešení.
5
i=0
5
i
 2
i
2
= 1450,
kde v sumě uvažujeme i
2 = 0 pro i < 2. 2
Příklad 4.
a) Dokažte, že průnik kompaktní a uzavřené podmnožiny v Rn
je kompaktní podmnožina v Rn
.
b) Kolik maximálně stěn může mít mnohostěn se šestnácti hranami?
c) Ukažte, že les, který není stromem, není ani eulerovským ani hamiltonovským grafem.