Jméno a příjmení:
Absence Příklad číslo: 1 2 3
Počet bodů:
Příklad 1. Rozhodněte, zda funkce f : R3
 R, f(x, y, z) = y2
z nabývá extrémů na ploše 2x2
+ y2
+ z2
= 1. Pokud
ano, tak tyto extrémy nalezněte a určete o jaké extrémy se jedná.
Řešení. Pro stacionární body sestavíme soustavu:
0 = 4kx
2yz = 2ky
y2
= 2kz
Jejím řešením jsou body (0, 

2
3
, 1
3
) (maxima), (0, 

2
3
, - 1
3
) (minima). 2
Příklad 2. Určete objem tělesa v R3
, které je dáno nerovnostmi x2
+ y2
+ z2
 1, x2
+ y2
 3z2
, x  0.
Řešení. Objem spočítáme asi nejlépe jako rozdíl objemu poloviny koule a kulové výseče dané zadaným kuželem.
V =
2
3
 -
2
0
1
0

3
0
r2
sin  d dr d =
1
3
.
2
Příklad 3. Uvažme následující hru dvou hráčů: na tabuli jsou napsána čísla 2,3,4,6. Hráči se střídají na tahu. Tah
spočívá ve smazání čísla a všech jeho násobků. Nakreslete graf této hry, určete hodnotu Spragueovy-Grundyovy funkce
všech vrcholů tohoto grafu a rozhodněte, za kterého hráče existuje vyhrávající strategie.
Řešení. Vrchol stromu hry (odpovídající počátečnímu stavu) je ohodnocen číslem 0. Výhra za druhého hráče. 2
Příklad 4.
a) Dokažte nebo vyvraťte: průnik (případně i nekonečně mnoha) otevřených podmnožin v Rn
je otevřená podmno-
žina v Rn
.
b) Určte počet různých koster grafu K7.
c) Napište Taylorův rozvoj druhého řádu funkce f : R2
 R, f(x, y) = xy v bodě (1, 1).
Řešení.
a) Tvrzení neplatí. Uvažme následující průnik otevřených podmnožin v R :

i=1
(1 -
1
i
, 1 +
1
i
) = {1},
je tedy průnikem uzavřená množina {1, }.
b) 75
.
c) xy (Taylorův rozvoj polynomu je polynom samotný)
2