Literatura Eulerovské grafy a Hamiltonovy kružnice Stromy Rovinné grafy Platónská tělesa Drsná matematika III -- 9. přednáška Rovinné grafy: Stromy, konvexní mnohoúhelníky v prostoru a Platónská tělesa Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 13. 11. 2006 Literatura Eulerovské grafy a Hamiltonovy kružnice Stromy Rovinné grafy Platónská tělesa Obsah přednášky 1 Literatura 2 Eulerovské grafy a Hamiltonovy kružnice 3 Stromy 4 Rovinné grafy 5 Platónská tělesa Literatura Eulerovské grafy a Hamiltonovy kružnice Stromy Rovinné grafy Platónská tělesa Kde je dobré číst? Jiří Matoušek, Jaroslav Nešetřil, Kapitoly z diskrétní matematiky, Univerzita Karlova v Praze, Karolinum, Praha, 2000, 377 s. Petr Hliněný, Teorie grafů, studijní materiály, http://www.fi.muni.cz/~hlineny/Vyuka/GT/ Bill Cherowitzo, Applied Graph Therory, Lecture Notes, http://www- math.cudenver.edu/~wcherowi/courses/m4408/m4408f.html Literatura Eulerovské grafy a Hamiltonovy kružnice Stromy Rovinné grafy Platónská tělesa Jak vypadá dětská hříčka ,,nakresli obrázek jedním tahem v grafech? V řeči grafů to znamená najděte sled, který projde všechny hrany a každý vrchol alespoň jednou. Definition Sledům, který prochází právě jednou všemi hranami a začíná a končí v jednom vrcholu, se nazývá uzavřený eulerovský sled. Grafům, které takový sled připouští říkáme eulerovské. Literatura Eulerovské grafy a Hamiltonovy kružnice Stromy Rovinné grafy Platónská tělesa Terminologie odkazuje na klasický příběh o sedmi mostech ve městě Královec (Königsberg, tj. Kaliningrad), které se měly projít na procházce každý právě jednou a důkaz nemožnosti takové procházky od Leonharta Eulera z roku 1736. Situace je znázorněna na obrázku. Nalevo neumělý náčrt řeky s ostrovy a mosty, napravo odpovídající (multi)graf. Vrcholy tohoto grafu odpovídají ,,souvislé pevnině , hrany mostům. Pokud by nám vadily násobné hrany mezi vrcholy, stačí rozdělit hrany pomocí nových vrcholů. Literatura Eulerovské grafy a Hamiltonovy kružnice Stromy Rovinné grafy Platónská tělesa Kupodivu je obecné řešení takového problému dosti snadné, jak ukazuje následující věta. Samozřejmě také ukazuje, že se Euler zamýšleným způsobem procházet nemohl. Theorem Graf G je eulerovský tehdy a jen tehdy, když je souvislý a všechny vrcholy v G mají sudé stupně. Corollary Graf lze nakreslit jedním tahem právě, když má všechny stupně vrcholů sudé nebo když existují pravě dva vrcholy se stupněm lichým. Literatura Eulerovské grafy a Hamiltonovy kružnice Stromy Rovinné grafy Platónská tělesa Obdobný požadavek na průchod grafem, ovšem tak, abychom prošli právě jednou každým vrcholem (tj. zároveň nejvýše jednou každou hranou), vede na obtížné problémy. Takový průchod grafem je realizován kružnicí, která obsahuje všechny vrcholy grafu G, hovoříme o hamiltonovských kružnicích v grafu G. Graf se nazývá hamiltonovský, jestliže má hamiltonovskou kružnici. Lze ukázat, že neexistuje algoristmus, který by v polynomiálním čase rozhodnul, zda je graf hamiltonovský. Problém nalezení hamiltonovské kružnice je podstatou mnoha problémů v logistice, tj. například když řešíme optimální cesty při dodávkách zboží. Literatura Eulerovské grafy a Hamiltonovy kružnice Stromy Rovinné grafy Platónská tělesa Definition Souvislý graf, ve kterém není žádná kružnice, se nazývá strom. Obecně v grafech nazýváme vrcholy stupně jedna listy (případně také koncové vrcholy). Následující lemma ukazuje, že každý strom lze vybudovat postupně z jediného vrcholu přidáváním listů: Lemma Každý strom s alespoň dvěma vrcholy obsahuje alespoň dva listy. Pro libovolný graf G s listem v jsou následující tvrzení ekvivalentní: G je strom; G \ v je strom. Literatura Eulerovské grafy a Hamiltonovy kružnice Stromy Rovinné grafy Platónská tělesa Theorem Pro každý graf G = (V , E) jsou následující podmínky ekvivalentní 1 G je strom; 2 pro každé dva vrcholy v, w grafu G existuje právě jedna cesta z v do w; 3 graf G je souvislý, ale vyjmutím libovolné hrany vznikne nesouvislý graf 4 graf G neobsahuje kružnici, každým přidáním hrany do grafu G však již kružnice vznikne 5 G je souvislý graf a mezi velikostí množin jeho vrcholů a hran platí vztah |V | = |E| + 1. Obecně, graf neobsahující kružnice nazýváme les. Můžeme tedy formulovat matematickou větu: ,,Strom je souvislý les. Ke stromům se vrátíme později v souvislosti s praktickými aplikacemi. Literatura Eulerovské grafy a Hamiltonovy kružnice Stromy Rovinné grafy Platónská tělesa Velice často se setkáváme s grafy, které jsou nakresleny v rovině. To znamená, že každý vrchol grafu je ztotožněn s nějakým bodem v rovině a hrany mezi vrcholy v a w odpovídají spojitým křivkám c : [0, 1] R2 spojujícím vrcholy c(0) = v a c(1) = w. Pokud navíc platí, že se jednotlivé dvojice hran protínají nejvýše v koncových vrcholech, pak hovoříme o rovinném grafu G. Otázka, jestli daný graf připouští realizaci jako rovinný graf, vyvstává velice často v aplikacích. Literatura Eulerovské grafy a Hamiltonovy kružnice Stromy Rovinné grafy Platónská tělesa Jednoduchý příklad je následující: Tři dodavatelé vody, elektřiny a plynu mají každý své jedno přípojné místo v blízkosti tří rodinných domků. Chtějí je všichni napojit tak, aby se jejich sítě nekřížily (třeba se jim nechce kopat příliš hluboko. . . ). Je to možné zvládnout? Odpověď zní ,,není . Jde o bipartitní úplný graf K3,3, kde tři vrcholy představují přípojná místa, další tři pak domky. Hrany jsou linie sítí. Všechny hrany umíme zvládnout, jedna poslední ale už nejde, viz obrázek na kterém neumíme čárkovanou hranu nakreslit bez křížení: 0011 0011 0 0 1 1 0 0 1 1000000 000000000 000000 000 000000 111111111 111111 111111111 111111 000000 000000000 000000 000 000000 111111 111111111 111111 111 111111 00 000 00 0 00 111 11 111 11 00 000 00 0 00 111 11 111 11 00 000 00 0 00 111 11 111 110011 Literatura Eulerovské grafy a Hamiltonovy kružnice Stromy Rovinné grafy Platónská tělesa Obecně se dá ukázat tzv. Kuratowského věta: Theorem Graf G je rovinný právě tehdy když žádný jeho podgraf není izomorfní dělení grafu K3,3 nebo grafu K5. Jedna implikace je zřejmá ­ dělením rovinného grafu vzniká vžy opět rovinný graf a jestliže podgraf nelze v rovině nakreslit bez křížení, totéž musí platit i pro celý graf G. Opačný směr důůkazu je naopak velice složitý a nebudeme se jím zde zabývat. Problematice rovinných grafů je věnováno ve výzkumu a aplikacích hodně pozornosti, my se zde omezíme pouze na vybrané ilustrace. Zmiňme alespoň naokraj, že existují algoritmy, které testují rovinatost grafu na n vrcholech v čase O(n), což určitě nejde přímou aplikací Kuratowského věty. Literatura Eulerovské grafy a Hamiltonovy kružnice Stromy Rovinné grafy Platónská tělesa Uvažme (konečný) rovinný graf G, včetně jeho realizace v R2 a nechť S je množina všech bodů x R2, které nepatří žádné hraně, ani nejsou vrcholem. Množina R2 \ G se rozpadne na disjunktní souvislé podmnožiny Si , kterým říkáme stěny rovinného grafu G. Jedna stěna je výjimečná ­ ta jejíž doplněk obsahuje všechny vrcholy grafu. Budeme jí říkat neohraničená stěna S0. Množinu všech stěn budeme označovat S = {S0, S1, . . . , Sk} a rovinný graf G = (V , E, S). Literatura Eulerovské grafy a Hamiltonovy kružnice Stromy Rovinné grafy Platónská tělesa Jako příklad si můžme rozebrat stromy. Každý strom je zjevně rovinný graf, jak je vidět například z možnosti realizovat jej postupným přidáváním listů k jedinému vrcholu. Samozřejmě také můžeme použít Kuratowského větu ­ když není v G žádná kružnice, nemůže obsahovat jakékoliv dělení grafů K3,3 nebo K5. Protože strom G neobsahuje žádnou kružnici, dostáváme pouze jedinou stěnu S0 a to tu neohraničenou. Protože víme, jaký je poměr mezi počty vrcholů a hran pro všechny stromy, dostáváme vztah |V | - |E| + |S| = 2. Literatura Eulerovské grafy a Hamiltonovy kružnice Stromy Rovinné grafy Platónská tělesa Vztah mezi počty hran, stěn a vrcholů lze odvodit pro všechny rovinné grafy. Jde o tzv Eulerův vztah. Všimněme si, že z něho zejména vyplývá, že počet stěn v rovinném grafu nezávisí na způsobu, jak jeho rovinnou realizaci vybereme. Theorem Nechť G = (V , E, S) je souvislý rovinný graf. Pak platí |V | - |E| + |S| = 2. Literatura Eulerovské grafy a Hamiltonovy kružnice Stromy Rovinné grafy Platónská tělesa Rovinné grafy si můžeme dobře představit jako namalované na povrchu koule místo v rovině. Sféra vznikne z roviny tak, že přidáme jeden bod ,,v nekonečnu . Opět můžeme stejným způsobem hvořit o stěnách a pro takovýto graf pak jsou všechny jeho stěny rovnocenné (i stěna S0 je ohraničená). Naopak, každý konvexní mnohostěn P R3 si můžeme představit jako graf nakreslený na povrchu koule. Vypuštěním jednoho bodu uvnitř jedné ze stěn (ta stane neohraničenou stěnou S0) pak obdržíme rovinný graf jako výše. Literatura Eulerovské grafy a Hamiltonovy kružnice Stromy Rovinné grafy Platónská tělesa Rovinné grafy, které vzniknou z konvesních mnohočlenů zjevně 2­souvislé, protože každé dva vrcholy v konvexním mnohoúhelníku leží na společné kružnici. Navíc v nich platí, že každá stěna kromě S0 je vnitřkem nějaké kružnice a S0 je vnějškem nějaké kružnice. Názorné se zdá i to, že ve skutečnosti budou grafy vznikající z konvexních mnohoúhelníků 3­souvislé. Ve skutečnosti platí dosti náročná Steinitzova věta: Theorem Libovolný vrcholově 3­souvislý rovinný graf G vzniká z konvexního mnohostěnu v R3. Literatura Eulerovské grafy a Hamiltonovy kružnice Stromy Rovinné grafy Platónská tělesa Jako ilustraci kombinatorické práce s grafy odvodíme klasifikaci tzv. pravidelních mnohostěnů, tj. mnohostěnů poskládaných ze stejných pravidlných mnohoúhelníků tak, že se jich v každém vrcholu dotýká stejný počet. Již v dobách antického myslitele Platóna se vědělo, že jich je pouze pět: Literatura Eulerovské grafy a Hamiltonovy kružnice Stromy Rovinné grafy Platónská tělesa Přeložíme si požadavek pravidelnosti do vlastností příslušného grafu: chceme aby každý vrchol měl stejný stupeň d 3 a zároveň aby na hranici každá stěny byl stejný počet k 3 vrcholů. Označme n počet vrcholů, e počet hran a s počet stěn. Máme k dispozici jednak vztah provazující stupně vrcholů s počtem hran: dn = 2e a podobně počítáme počet hran, které ohraničují jednotlivé stěny, a bereme v úvahu, že každé je hranicí dvou stěn, tj. 2e = ks. Eulerův vztah pak říká 2 = n - e + s = 2e d - e + 2e k . Úpravou odtud dostáváme pro naše známé d a k vztah 1 d + 1 k = 1 2 + 1 e . Literatura Eulerovské grafy a Hamiltonovy kružnice Stromy Rovinné grafy Platónská tělesa Protože e a n musí být přirozená čísla (tj. zejména je 1 e > 0) a minimum pro d i k je 3, dostáváme přímou diskusí všech možností tento výčet: d k n e s 3 3 4 6 4 3 4 8 12 6 4 3 6 12 8 3 5 20 30 12 5 3 12 30 20 Tabulka zadává všechny možnosti. Ve skutečnosti ale také všechny odpovídající pravidelné mnohostěny existují - již jsme je viděli.