Algebra I – podzim 2017 – vzor písemky
Všechna svoje tvrzení precizně zdůvodněte.
1. (10 bodů) Rozhodněte, zda . . . je pologrupa/monoid/grupa/okruh/obor inte-
grity/těleso.
(například Rozhodněte, zda (Z, ∗), kde ∗ je operace definovaná předpisem a ∗ b =
a + b − ab pro všechna a, b ∈ Z, je pologrupa a zda je to grupa.)
nebo
Rozhodněte, zda . . . je podpologrupa/podmonoid/podgrupa/normální podgrupa/
podokruh/ideál v . . . .
2. (10 bodů) Určete všechny prvky přechodového monoidu automatu . . . .
(automat může být například
1
a
ÖÖ b GG 2
a
ÖÖ b GG 3
a,b
33
4
a
—— bee )
3. (15 bodů) Určete, které známé grupě je izomorfní grupa (G, ·)/H.
například
(G, ·) =







1 0 0
0 a 0
b c 1

 | a ∈ Q \ {0}, b ∈ C, c ∈ R



, ·


H =





1 0 0
0 a 0
bi c 1

 | a ∈ {−1, 1}, b, c ∈ R



4. (10 bodů) Určete minimální polynom čísla . . . nad Q.
(číslo může být například 1 + 3
√
2 − 1 · i,
√
3 +
3
√
3 + 3, 3
√
9 − 3
√
3 + 3)
5. (15 bodů) Vyjádřete číslo 1
...
bez použití jiných než racionálních čísel ve jmeno-
vateli.
(číslo může být například 1
α2−α+1
, kde α splňuje α3
+ 2α2
+ 2α = −2)
6. – 7. (2 × 10 bodů) Dejte příklad pologrupy/grupy/okruhu/homomorfismu daných
vlastností.
(například grupy, která obsahuje prvky všech řádů nebo nekonečné grupy a její
podgrupy indexu 10)
8. (5 bodů) Definujte . . . .
9. (5 bodů) Formulujte tvrzení . . . .
10. (10 bodů) Dokažte . . . .
V příkladech 8. – 10. se může vyskytnout pouze to, co se probíralo na přednášce.