Délka rovinné křivky Lenka Přibylová 31. července 2006 c Lenka Přibylová, 2006 × Délka rovinné křivky y = f (x) x a, b , která je na intervalu a, b diferencovatelná. y x0 a b y = f (x) L = b a 1 + [f (x)]2 dx c Lenka Přibylová, 2006 × Vypočtěte délku oblouku křivky y = ln sin x na intervalu 3 , 2 3 . y = 1 sin x cos x = cos x sin x L = 2 3 3 1 + cos x sin x 2 dx = 2 3 3 sin2 x + cos2 x sin2 x dx = 2 3 3 1 sin x dx = 2 3 3 sin x dx 1 - cos2 x = cos x = t - sin x dx = dt t1 = cos 3 = 1 2 t2 = cos 2 3 = - 1 2 = - 1 2 1 2 - dt 1 - t2 = - 1 2 ln 1 + t 1 - t - 1 2 1 2 = - 1 2 ln 1 - 1 2 1 + 1 2 + 1 2 ln 1 + 1 2 1 - 1 2 = - 1 2 ln 1 3 + 1 2 ln 3 = ln 3 c Lenka Přibylová, 2006 × y = ln sin x, x 3 , 2 3 , L =? y = 1 sin x cos x = cos x sin x L = 2 3 3 1 + cos x sin x 2 dx = 2 3 3 sin2 x + cos2 x sin2 x dx = 2 3 3 1 sin x dx = 2 3 3 sin x dx 1 - cos2 x = cos x = t - sin x dx = dt t1 = cos 3 = 1 2 t2 = cos 2 3 = - 1 2 = - 1 2 1 2 - dt 1 - t2 = - 1 2 ln 1 + t 1 - t - 1 2 1 2 = - 1 2 ln 1 - 1 2 1 + 1 2 + 1 2 ln 1 + 1 2 1 - 1 2 = - 1 2 ln 1 3 + 1 2 ln 3 = ln 3 Zderivujeme funkci. c Lenka Přibylová, 2006 × y = ln sin x, x 3 , 2 3 , L =? y = 1 sin x cos x = cos x sin x L = 2 3 3 1 + cos x sin x 2 dx = 2 3 3 sin2 x + cos2 x sin2 x dx = 2 3 3 1 sin x dx = 2 3 3 sin x dx 1 - cos2 x = cos x = t - sin x dx = dt t1 = cos 3 = 1 2 t2 = cos 2 3 = - 1 2 = - 1 2 1 2 - dt 1 - t2 = - 1 2 ln 1 + t 1 - t - 1 2 1 2 = - 1 2 ln 1 - 1 2 1 + 1 2 + 1 2 ln 1 + 1 2 1 - 1 2 = - 1 2 ln 1 3 + 1 2 ln 3 = ln 3 Dosadíme derivaci do vzorce pro délku křivky. c Lenka Přibylová, 2006 × y = ln sin x, x 3 , 2 3 , L =? y = 1 sin x cos x = cos x sin x L = 2 3 3 1 + cos x sin x 2 dx = 2 3 3 sin2 x + cos2 x sin2 x dx = 2 3 3 1 sin x dx = 2 3 3 sin x dx 1 - cos2 x = cos x = t - sin x dx = dt t1 = cos 3 = 1 2 t2 = cos 2 3 = - 1 2 = - 1 2 1 2 - dt 1 - t2 = - 1 2 ln 1 + t 1 - t - 1 2 1 2 = - 1 2 ln 1 - 1 2 1 + 1 2 + 1 2 ln 1 + 1 2 1 - 1 2 = - 1 2 ln 1 3 + 1 2 ln 3 = ln 3 Upravíme na splolečného jmenovatele. c Lenka Přibylová, 2006 × y = ln sin x, x 3 , 2 3 , L =? y = 1 sin x cos x = cos x sin x L = 2 3 3 1 + cos x sin x 2 dx = 2 3 3 sin2 x + cos2 x sin2 x dx = 2 3 3 1 sin x dx = 2 3 3 sin x dx 1 - cos2 x = cos x = t - sin x dx = dt t1 = cos 3 = 1 2 t2 = cos 2 3 = - 1 2 = - 1 2 1 2 - dt 1 - t2 = - 1 2 ln 1 + t 1 - t - 1 2 1 2 = - 1 2 ln 1 - 1 2 1 + 1 2 + 1 2 ln 1 + 1 2 1 - 1 2 = - 1 2 ln 1 3 + 1 2 ln 3 = ln 3 Zjednodušíme. c Lenka Přibylová, 2006 × y = ln sin x, x 3 , 2 3 , L =? y = 1 sin x cos x = cos x sin x L = 2 3 3 1 + cos x sin x 2 dx = 2 3 3 sin2 x + cos2 x sin2 x dx = 2 3 3 1 sin x dx = 2 3 3 sin x dx 1 - cos2 x = cos x = t - sin x dx = dt t1 = cos 3 = 1 2 t2 = cos 2 3 = - 1 2 = - 1 2 1 2 - dt 1 - t2 = - 1 2 ln 1 + t 1 - t - 1 2 1 2 = - 1 2 ln 1 - 1 2 1 + 1 2 + 1 2 ln 1 + 1 2 1 - 1 2 = - 1 2 ln 1 3 + 1 2 ln 3 = ln 3 Budeme integrovat goniometrickou funkci, sin x je v liché mocnině, proto použijeme substituci cos x = t. Musíme tedy zlomek přepsat do vhodného tvaru. c Lenka Přibylová, 2006 × y = ln sin x, x 3 , 2 3 , L =? y = 1 sin x cos x = cos x sin x L = 2 3 3 1 + cos x sin x 2 dx = 2 3 3 sin2 x + cos2 x sin2 x dx = 2 3 3 1 sin x dx = 2 3 3 sin x dx 1 - cos2 x = cos x = t - sin x dx = dt t1 = cos 3 = 1 2 t2 = cos 2 3 = - 1 2 = - 1 2 1 2 - dt 1 - t2 = - 1 2 ln 1 + t 1 - t - 1 2 1 2 = - 1 2 ln 1 - 1 2 1 + 1 2 + 1 2 ln 1 + 1 2 1 - 1 2 = - 1 2 ln 1 3 + 1 2 ln 3 = ln 3 Do čitatele se snažíme vzhledem k substituci dostat sin x dx. Rozšíříme proto zlomek sin x: 1 sin x = sin x sin2 x = sin x 1 - cos2 x c Lenka Přibylová, 2006 × y = ln sin x, x 3 , 2 3 , L =? y = 1 sin x cos x = cos x sin x L = 2 3 3 1 + cos x sin x 2 dx = 2 3 3 sin2 x + cos2 x sin2 x dx = 2 3 3 1 sin x dx = 2 3 3 sin x dx 1 - cos2 x = cos x = t - sin x dx = dt t1 = cos 3 = 1 2 t2 = cos 2 3 = - 1 2 = - 1 2 1 2 - dt 1 - t2 = - 1 2 ln 1 + t 1 - t - 1 2 1 2 = - 1 2 ln 1 - 1 2 1 + 1 2 + 1 2 ln 1 + 1 2 1 - 1 2 = - 1 2 ln 1 3 + 1 2 ln 3 = ln 3 Při dosazení substituce budeme také potřebovat najít meze nové proměnné. c Lenka Přibylová, 2006 × y = ln sin x, x 3 , 2 3 , L =? y = 1 sin x cos x = cos x sin x L = 2 3 3 1 + cos x sin x 2 dx = 2 3 3 sin2 x + cos2 x sin2 x dx = 2 3 3 1 sin x dx = 2 3 3 sin x dx 1 - cos2 x = cos x = t - sin x dx = dt t1 = cos 3 = 1 2 t2 = cos 2 3 = - 1 2 = - 1 2 1 2 - dt 1 - t2 = - 1 2 ln 1 + t 1 - t - 1 2 1 2 = - 1 2 ln 1 - 1 2 1 + 1 2 + 1 2 ln 1 + 1 2 1 - 1 2 = - 1 2 ln 1 3 + 1 2 ln 3 = ln 3 Dosadíme. c Lenka Přibylová, 2006 × y = ln sin x, x 3 , 2 3 , L =? y = 1 sin x cos x = cos x sin x L = 2 3 3 1 + cos x sin x 2 dx = 2 3 3 sin2 x + cos2 x sin2 x dx = 2 3 3 1 sin x dx = 2 3 3 sin x dx 1 - cos2 x = cos x = t - sin x dx = dt t1 = cos 3 = 1 2 t2 = cos 2 3 = - 1 2 = - 1 2 1 2 - dt 1 - t2 = - 1 2 ln 1 + t 1 - t - 1 2 1 2 = - 1 2 ln 1 - 1 2 1 + 1 2 + 1 2 ln 1 + 1 2 1 - 1 2 = - 1 2 ln 1 3 + 1 2 ln 3 = ln 3 Najdeme primitivní funkci. c Lenka Přibylová, 2006 × y = ln sin x, x 3 , 2 3 , L =? y = 1 sin x cos x = cos x sin x L = 2 3 3 1 + cos x sin x 2 dx = 2 3 3 sin2 x + cos2 x sin2 x dx = 2 3 3 1 sin x dx = 2 3 3 sin x dx 1 - cos2 x = cos x = t - sin x dx = dt t1 = cos 3 = 1 2 t2 = cos 2 3 = - 1 2 = - 1 2 1 2 - dt 1 - t2 = - 1 2 ln 1 + t 1 - t - 1 2 1 2 = - 1 2 ln 1 - 1 2 1 + 1 2 + 1 2 ln 1 + 1 2 1 - 1 2 = - 1 2 ln 1 3 + 1 2 ln 3 = ln 3 Dosadíme meze. c Lenka Přibylová, 2006 × y = ln sin x, x 3 , 2 3 , L =? y = 1 sin x cos x = cos x sin x L = 2 3 3 1 + cos x sin x 2 dx = 2 3 3 sin2 x + cos2 x sin2 x dx = 2 3 3 1 sin x dx = 2 3 3 sin x dx 1 - cos2 x = cos x = t - sin x dx = dt t1 = cos 3 = 1 2 t2 = cos 2 3 = - 1 2 = - 1 2 1 2 - dt 1 - t2 = - 1 2 ln 1 + t 1 - t - 1 2 1 2 = - 1 2 ln 1 - 1 2 1 + 1 2 + 1 2 ln 1 + 1 2 1 - 1 2 = - 1 2 ln 1 3 + 1 2 ln 3 = ln 3 Zjednodušíme zlomky v argumentech logaritmů. c Lenka Přibylová, 2006 × y = ln sin x, x 3 , 2 3 , L =? y = 1 sin x cos x = cos x sin x L = 2 3 3 1 + cos x sin x 2 dx = 2 3 3 sin2 x + cos2 x sin2 x dx = 2 3 3 1 sin x dx = 2 3 3 sin x dx 1 - cos2 x = cos x = t - sin x dx = dt t1 = cos 3 = 1 2 t2 = cos 2 3 = - 1 2 = - 1 2 1 2 - dt 1 - t2 = - 1 2 ln 1 + t 1 - t - 1 2 1 2 = - 1 2 ln 1 - 1 2 1 + 1 2 + 1 2 ln 1 + 1 2 1 - 1 2 = - 1 2 ln 1 3 + 1 2 ln 3 = ln 3 ln 1 3 = - ln 3, proto - 1 2 ln 1 3 + 1 2 ln 3 = 1 2 ln 3 + 1 2 ln 3 = ln 3. c Lenka Přibylová, 2006 × Konec c Lenka Přibylová, 2006 ×