Přímá metoda integrace Robert Mařík a Lenka Přibylová 28. července 2006 H H ©Lenka Přibylová, 20060 Obsah '2x + 3Á/x + -r -sinx + e^dx.................. 3 x3 ^ dx................................ 20 xz 1 7-------to dx.............................. 26 ^x + 6)3 / f(ax + fr) dx 30 tgxdx................................. 37 -^-----dx ............................... 42 xz -5 7X + 2 dx............................ 45 x2 + 4x + 5 1 ^5—-------dx............................ 49 x2 + 2x + 3 ©Lenka Přibylová, 2006| Najděte / (2x + 3^+-r - sin x + ex) dx. ) '2x + 3\/x + -j - sin x + ex) dx xó ©Lenka Přibylová, 2006| Najděte / (2x + 3^+— - sin x + ex) dx. ) '2x + 3\/x + -j - sin x + ex) dx xó f \ • Integrál ze součtu je součet integrálů. • Integrál násobku funkce je násobek integrálu, v. m b a ca [cj LenMá WB^B^^BWlü Najděte / (2x + 3^+— - sin x + ŕ) dx. '2x + 3\/x + -j - sin x + ŕ) dx xó = 2 /xdx ) Vytkneme konstantu před integrál. Najděte / (2x + 3^+— - sin x + ex) dx. ) '2x + 3\/x + -j - sin x + ex) dx xó = 2 / xdx + 3 / x? dx Vytkneme konstantu a přepíšeme do mocninné funkce. 3 El 13 133 (c) LeňT^RfByfcW^TOSj Najděte / (2x + 3^+— - sin x + ex) dx. ) '2x + 3\/x + -j - sin x + ex) dx xó = 2 / x dx + 3 / x? dx + 6 / x~3dx Vytkneme konstantu a přepíšeme do mocninné funkce. 3 El 13 133 (c) LeňT^RfByfcW^TOSj Najděte / (2x + 3^+— - sin x + ex) dx. ) '2x + 3\/x + -j - sin x + ex) dx xó = 2 / x dx + 3 / x? dx + 6 / x~3 dx - / sin x dx Vytkneme konstantu — 1. g El 13 133 (c) LeňT^RfByfWS^TOSJ Najděte / (2x + 3 sinx + ex) dx. ) '2x + 3\/x + -j - sin x + ex) dx xó = 2 / x dx + 3 / x* dx + 6 / x 3 dx sin x dx + ex dx ©Lenka Přibylová, 2006| Najděte / (2x + 3 sinx + ex) dx. ) '2x + 3\/x + -j - sin x + ex) dx xó = 2 / x dx + 3 / x* dx + 6 / x 3 dx sin x dx + ex dx = 2- x"dx = ľn+l n + 1 + c —I...I...... .... t Najděte / (2x + 3 sinx + ex) dx. ) '2x + 3\/x + -j - sin x + ex) dx xó = 2 / x dx + 3 / x* dx + 6 / x 3 dx x2 „x5/4 = 2-----h 3^— 2 5/4 sin x dx + ex dx xndx = ľn+l n + 1 + c —I...I...... .... t Najděte / (2x + 3 sinx + ex) dx. ) '2x + 3\/x + -j - sin x + ex) dx xó = 2 / x dx + 3 / x* dx + 6 / x 3 dx x2 „x5/4 ^x 2 = 2-----h 3^—+ 6----- 2 5/4 -2 sin x dx + ex dx xndx = ľn+l n + 1 + c —I...I...... .... t Najděte / (2x + 3 sinx + ex) dx. ) '2x + 3\/x + -j - sin x + ex) dx xó = 2 / x dx + 3 / x* dx + 6 / x 3 dx sin x dx + ex dx „x2 „x5/4 ^x 2 = 2-----h 3^—+ 6----- 2 5/4 -2 ■cosx sin x dx = — cos x + c ^^^^HB^^^^WWt^TOSJ Najděte / (2x + 3 sinx + ex) dx. ) '2x + 3\/x + -j - sin x + ex) dx xó = 2 / x dx + 3 / x* dx + 6 / x 3 dx = 2—+3 , 2 5/4 x5/4 ,x 2 sin x dx (-cosx) + e',: + c ex dx ex dx = ex + c ^^^^H^^^^^BW^roSJ Najděte / (2x + 3\T— - sin x + ŕ) dx. ) '2x + 3\/x + -j - sin x + ŕ) dx xó = 2 /xdx + 3 / x? dx + 6 / x~3 dx - / sin x dx + / ex dx x2 „x5/4 „x 2 = 2T + 3 TJl + 6~ ~("cosx) + r + c x2 Upravíme. sj El 1^^^8^^ (c) Lenka Přibylová, 2ÜU6 [ Najděte / (2x + 3^+— - sin x + ŕ) dx. ) '2x + 3\/x + -j - sin x + ŕ) dx xó = 2 /xdx + 3 / x? dx + 6 / x~3 dx - / sin x dx + / ex dx XZ. y D /T! y Z. = 2T + T/l + ~ "("cosx) + e +c = x2 + llx5/4 Upravíme. sj BI 1^^^8^^ (c) Lenka Přibylová, 2ÜU6 £ Najděte / (2x + 3^+— - sin x + ŕ) dx. ) '2x + 3\/x + -j - sin x + ŕ) dx xó = 2 /xdx + 3 / x? dx + 6 / x~3 dx - / sin x dx + / ex dx XZ. y D /T! y Z. = 2T + T/l + ~ "("cosx) + e +c = x2 + ^x5/4_3l Upravíme. sj BI 1^^^8^^ (c) Lenka Přibylová, 2ÜU6 £ Najděte / (2x + 3^+— - sin x + ŕ) dx. ) '2x + 3\/x + -j - sin x + ŕ) dx xó = 2 /xdx + 3 / x? dx + 6 / x~3 dx - / sin x dx + / ex dx XZ. y D /T! y Z. = 2T + T/l + ~ "("cosx) + e +c = x2 + — x5/4 - 3^r + COS x Upravíme. sj BI 1^^^8^^ (c) Lenka Přibylová, 2ÜU6 f Najděte / (2x + 3^+— - sin x + ŕ) dx. ) '2x + 3\/x + -j - sin x + ŕ) dx xó = 2 /xdx + 3 / x? dx + 6 / x~3 dx - / sin x dx + / ex dx XZ. y D /T! y Z. = 2T + T/l + ~ "("cosx) + e +c = x2 + — x5/4 - 3^r + cosx + ex + c Upravíme. sj BI 1^^^8^^ (c) Lenka Přibylová, 2ÜU6 £ Najděte / —~— dx. x + 3 dx ©Lenka Přibylová, 2006| Najděte / —~— dx. x + 3 dx = x 3 , -~ + -~ dx xl xl Pro integrování je vhodnější součet, proto zlomek rozdělíme na dva. (c) Lenka rnbylová, 2ÜU6 £ Najděte x + 3 dx. x + 3 dx = x 3 , -~ + -~ dx xl xl - dx + 3 / -~ dx x J xl Každý sčítanec integrujeme zvlášť, konstanty vytkneme před integrál. M El 18 lag © Lenka Přibylová, 20061 Najděte / —~— dx. x + 3 f x 3 —ť— ax = / -~ + -~ dx xz J xz xl = /-dx + 3 /^dx J X J xz = In Ixl - dx = In Ixl + c x ^^^^HB^^^^WWt^TOSJ Najděte x + 3 dx. x + 3 f x 3 —ť— ax = / -~ + -~ dx x1 J xl xl = / - dx + 3 /^dx J X J X1 x-1 = \n\x\ +3------ +c xndx = ľn+l n + 1 + c —I...I...... .... t Najděte x + 3 dx. x + 3 dx = / -~ + -~ dx xz J xz xz = / - dx + 3 /^dx J x J xl x-1 = ln|x| +3------ +c = In Ix I-------he x Nakonec výraz upravíme. ^^^^HB^^^^^W^^^^J NaÍděte / /x + 6)3 dX- 1 I= '^TWdx ©Lenka Přibylová, 2006| Najděte / -,------—» dx. ' ' (x + 6)3 1 I = IjxTWdx = /(x + 6)~3dx Jedná se o mocninnou funkci. 51 El H"T88"~ (c) LeňT^RfByfcW^TOSj Najděte / -,------—» dx. ' ' (x + 6)3 1 I = IjxTWdx = /(x + 6)~3dx _ (x + 6)~2 1 f(ax + b) dx = -F(ax + b), kde F je integrál z /. x-2 V našem případě je f(x) = x , F(x) = —- a a = 1. ^WfffW^WffWWv^2ÍTT, d Najděte / -,-----—» dx. ' ' (x + 6)3 1 I = IjxTWdx = /(x + 6)~3dx = (x + 6)-2 ~~ -2 1 2(x + 6)2 C Upravíme. sj El 1^^^8^^ (c) Lenka Přibylová, 2ÜU6 [ Najděte následující integrály. J ■dx = 2x + 5 1 12^) dx = e x dx = e3x dx = ©Lenka Přibylová, 2006| Najděte následující integrály. J 1 1 ■ dx = - ln \2x + 5\+ C 2x + 5 2 dx = 2-x e x dx = • I -dx = ln Ixl x 1 f(ax + b) dx = -F(ax + b), v našem případě a = 2. ^WfffW^WffWWv^2ÍTn, d Najděte následující integrály. J 1 1 , , ■ dx = - ln \2x + 5\+ C 2x + 5 2 1 dx = l(2-l-x)-5dx 2-x) e x dx = e3x dx = Přepíšeme na mocninnou funkci. 3 El 13 133 (c) LeňT^RfByfcW^TOSj Najděte následující integrály. J 1 1 , , ■ dx = - In 2x + 5 + C 2x + 5 2 1 dx= /(2-l-xr5dx (2-x) _ (2-x)-4 J_ -4 ' -1 e ^dx = • / x" dx = -^-x"+1 n + 1 1 /(«x + fr) dx = -F(ax + b), v našem případě a = —1. S------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------icj Lenka ťnbylova, ÜUU£| Najděte následující integrály. J 1 1 , , ■ dx = - ln \2x + 5\+ C 2x + 5 2 1 dx= l(2-l-x)-5dx (2-x)5 _ (2-x)-4 J_ -4 ' -1 1 C 4(2-x)4 e~x dx = e3x dx = ©Lenka Přibylová, 2006| Najděte následující integrály. J ~-----^dx = 2x + 5 -ln|2x + 5 + c (2-xrdx = /(2-l. x)-5 (2-x)-4 1 -4 -1 1 + c 4(2-x)4 e~x dx = -e -x + c • ex dx = ex 1 /(«x + b) dx = -F(ax + b), v našem případě a = —1. IIJLMHI^Wjjai Najděte následující integrály. J e3x dx = le3x + C ©Lenka Přibylová, 2006| Najděte / tgxdx. I tgxdx ©Lenka Přibylová, 2006| Najděte / tgxdx. , srní , tg x dx = / ------dx 1 cos x V případě, zeje v integrálu funkce tangens vždy jej rozepisujeme pomocí sinus a cosinus. Najděte / tgxdx. , srní , tg x dx = / ------dx 1 cos x smi , -------dx cosx • Platí (cos x)' = — sin x. Čitatel se tedy liší od derivace jmenovatele jenom konstantím násobkem. • Vynásobíme a vydělíme integrál tímto násobkem. j Q OS ^^^9MÜBM!ByWvS^H^H Najděte / tgxdx. tg x dx = siní cosx dx -siní cosx (cosx j cosx dx dx Formálně použijeme vztah (cosx)' = £&dx = \n\f(x)\+c. ■ sin x, abychom viděli vzorec (c) LenkäTTTPyWW^BWTf Najděte / tgxdx. , smx , tg x dx = / ------dx ' cosx ■smx , -------dx cosx cosx) , dx cosx = — ln I cosx I +c J f(x) - = ln|/(x)|+c 4x Najděte / ——- dx. 4x x2-5 dx ©Lenka Přibylová, 2006| Najděte 4x ■ dx. 4x ■dx = 2 2x dx V případě jednoduché ryze lomené racionální funkce je vhodné použít vzorec f{x) dx = ln \f(x) | + c. Funkce f(x) = x2 - 5, proto v čitateli potřebujeme/'(x) = 2x. Vytkneme před integrál 2. (c) Lenka rnbylová, 2UU6 £ Najděte 4x ■ dx. 4x ■dx = 2 2x ■ dx = 2\n\x2 -5\+c ©Lenka Přibylová, 2006| x + 2 Najděte / -~-----------dx. J ' x2 + Ax + 5 x + 2 x2 + 4x + 5 dx ©Lenka Přibylová, 2006| x + 2 Najděte / -~-----------dx. J ' x2 + 4x + 5 x + 2 1 dx = - x2 + 4x + 5 2x + 4 2.1 x2 + 4x + 5 dx • Platí (x2 + 4x + 5)' = 2x + 4. Čitatel se tedy liší od derivace jmenovatele jenom konstantím násobkem. • Vynásobíme a vydělíme integrál tímto násobkem. | Q OS (.Q Lenka Přibylová, 2 Najděte x2 + 4x + 5 dx. 4x —5dX=12 _ 1 ~ 2 2x ■dx ! + 4x- :2 + 4x + 5)' c2 + 4x + 5 dx Přepíšeme do tvaru / „, / dx. —I...I...... . _•■ | x + 2 Najděte / -~-----------dx. J ' x2 + 4x + 5 x+ 2 _ 1 /■ 2x + 4 x2 + 4x + 5 X ~~ 2 i x2 + 4x + 5 1 dx -4X + 5V x2 + 4x + 5 dx = -ln(xz + 4x + 5) +c J f (x) - = ln|/(x)|+c Najděťe/*2 + 2* + 3dH dx x2 + 2x + 3 ©Lenka Přibylová, 2006| Najděťe/*2+L+3dH dx x2 + 2x + 3 Tentokrát předchozí postup nelze použít. V čitateli je konstanta. ľ 1 , 1 x Použijeme proto vzorec / —-----—^ dx = — arctg — A2 A ö A Najděťe/x2 + 2x + 3dX- 1 1 ■ dx = - / -.-------T-ö—- dx x2 + 2x + 3 2 J (x+ 1)2 Jmenovatel přepíšeme do tvaru (x + něco) + zbylá konstanta. Tomuto triku říkáme doplnění na čtverec: ? i a\ a2 t x+ax + b=[x + -\ - — + b ^^HHBMByWW? Najdete/x2 + 2x + 3dH ■ dx = - / -.--------T-ö—- dx x2 + 2x + 3 2 J (x + l)2 + 2 1 x + 1 = 7!arctg^r+c Nyní použijeme vzorec / f (ax + b) dx = -F (ax + b) + c pro J a /W = ^tedy 1 x + 1 f (x + 1) dx = F (x + 1) + c = —= arcte —=r- + c. Najděte následující integrály. J 'ŕ + e x)2dx sin x cos x dx sin2 x dx ©Lenka Přibylová, 2006| Najděte následující integrály. J 'ex + e-x)2 dx = / (e2x + 2 + e-2x) dx sin x cos xdx sin2 x dx ( 7 Upravíme podle vzorce (a + b) : s (ex + e~x)2 = e2x + 2exe~ -x + e-2x = = e2x + 2 + e~2x CcjLenMá fflB^TO^BWlU Najděte následující integrály. J y + e-x)2 dx = {e2x + 2 + e-2x) dx = -e2x + 2x--e~2x + C sinxcosxdx /integrujeme podle vzorců ex dx = ex , 1 dx = x , f{ax + b) dx = -F{ax + b) \ kde / f{x) dx = F{x). (c) Lenka Přibylová, 1,20060 Najděte následující integrály. J y + e-x)2 dx= (e2x + 2 + e-2x) dx = -e2x + 2x--e~2x + C sinxcosxdx= - / sin(2x) dx sin2 x dx Použijeme vzorec sin(2x) = 2 sin x cos x (c) LenkäTflB^fl^^CWf y + e-x)2 dx = {e2x + 2 + e-2x) dx = -e2x + 2x--e~2x + C sin x cos x dx = - / sin(2x) dx = - • -2 J K ' 2 2 sin2 x dx ■cos2x) +C grujeme podle vzorců sin x dx = — cos x f {ax + b) dx = -F{ax + b) \ kde / f {x) dx = F{x). (Q Lenka Přibylová, 1,20060 Najděte následující integrály. J y + e-x)2 dx= (e2x + 2 + e-2x) dx = -e2x + 2x--e~2x + C 1 /■ 11 sinxcosxdx = - / sin(2x) dx = - • - • (-cos2x) +C sin2xdx = - / (l -cos(2x)j dx Vzorec . t 1 -cos(2x) sin x =-------—^—- (c) LenkäTTTPyWW^BWTf [ŕ + e-xf dx = í(e2x + 2 + e-2x) dx = -e2x + 2x--e~2x + C sin x cos x dx = - / sin(2x) dx = - • -2 J K ' 2 2 -cos 2.x) +C 1 sin xdx = - / (1 - cos(2x) J dx = - x - - sin(2x) C cos xdx = sin x f(ax + b) = -F(ax + b) ^^HH^WHyWW^ Konec H H ©Lenka Přibylová, 20060