Integrace iracionálních funkcí Lenka Přibylová 28. července 2006 H H ©Lenka Přibylová, 20060 Obsah /^Hdx.............................. 3 J x / —p-----777 dx............................. 18 J yi + x1/4 ©Lenka Přibylová, 20060 ivT -jv, , V2x + 1 , Najdete / -----------dx. 1 ©Lenka Přibylová, 2006| ivT -jv, , V2x + 1 , Najdete / -----------dx. 1 ^Hdx Funkce obsahuje odmocninu z lineárního členu, BEI Q jg OS (c) LeňT^RfByfcW^TOSj ivT -jv, , V2x + 1 , Najdete / -----------dx. 1 V2X + 1 dx = V2x + 1 = ř proto zavedeme substituci ř = yjlx + 1. ^^^^HB^^^^^W^^^^J ivT -jv, , V2x + 1 , Najdete / -----------dx. 1 V2X + 1 dx = Umocníme. —I...I...... . ... g ivT -jv, , V2x + 1 , Najdete / -----------dx. 1 V2X + 1 dx = Vyjádříme inverzní substituci. ^^^^HB^^^^^W^^^^J ivT -jv, , V2x + 1 , Najdete / -----------dx. 1 V2X + 1 dx = V2x + 1 = ř 2x + 1 = ř2 ř2-l dx = řdř Diferencujeme. ^^^^HB^^^^^W^^^^J ivT -jv, , V2x + 1 , Najdete / -----------dx. 1 V2X + 1 dx = V2x + 1 = ř 2x + 1 = ř2 ř2-l dx = řdř Dosadíme. —I...I...... . ... g ivT -jv, , V2x + 1 , Najdete / -----------dx. V2X + 1 dx = 1 r2-i 2 Dosadíme. —I...I...... . _• í ivT -jv, , V2x + 1 , Najdete / -----------dx. V2X + 1 dx = 1 r2-i 2 řdř Dosadíme. —I...I...... . _• í ivT -jv, , V2x + 1 , Najdete / -----------dx. V2X + 1 dx = 1 r2-i 2 rdí = 2 fi-1 dř Upravíme složený zlomek na jednoduchý. ^^^^HB^^^^^W^^^^J V2X + 1 dx = = 2 dř = 2 tát = 2 fi-1 dř Jde o neryze lomenou racionální funkci, proto buď podělíme, nebo upravíme na polynom + ryze lomená funkce. V tomto případě je jednodušší doplnit v čitateli jmenovatel, tj. —1 + 1, ET.i ni ia la.i ivT -jv, , V2x + 1 , Najdete / -----------dx. 1 V2X + 1 dx = V2x + 1 = ř 2x + 1 = ř2 ř2-l dx = řdř rdř = 2 / ^-----dt 2 = 2 tl - 1 + 1 ř2-l dř = 2 / ldř + 2 ř2-l dř ř2-l a rozdělit na 2 zlomky. ^^^^HB^^^^^W^^^^J ivT -jv, , V2x + 1 , Najdete / -----------dx. 1 V2X + 1 dx = V2x + 1 = ř 2x + 1 = ř2 ř2-l dx = řdř rdř = 2 / ^-----dt 2 = 2 tl - 1 + 1 ř2-l dř = 2 / ldř + 2 ř2-l dř ř2-l a rozdělit na 2 zlomky. ^^^^HB^^^^^W^^^^J ivT -jv, , V2x + 1 , Najdete / -----------dx. 1 V2X + 1 dx = V2x + 1 = ř 2x + 1 = ř2 ř2-l dx = řdř rdř = 2 / ^-----dt 2 = 2 tl - 1 + 1 ř2-l dř = 2 / ldř + 2 ř2-l dř ř2-l = 2ř - - ln 2 1 + ř 1-ř + c Integrujeme. ^^^^HB^^^^^W^^^^J ivT -jv, , V2x + 1 , Najdete / -----------dx. 1 V2X + 1 dx = V2x + 1 = ř 2x + 1 = ř2 ř2-l dx = řdř rdř = 2 / ^-----dt 2 = 2 tl - 1 + 1 ř2-l dř = 2 / ldř + 2 ř2-l dř ř2-l = 2ř - - ln 2 1 + ř 1-ř = 2V2X+T - ln + c i + V2xTT 1 - V2x + 1 + c Upravíme. ^^^^HB^^^^^W^^^^J ©Lenka Přibylová, 2006| Najděte Vx + x 1/4 dx. 'X + a7X ;dX Funkce obsahuje druhou a čtvrtou odmocninu z x, proto hledáme jejich nejmenší společný násobek, číslo 4. BEI Q Q ^^^^HB^^^^^W^^^^J Najděte hmdx-\ /% + yx ■áx = Zavedeme substituci t = \px. —I...I...... . ... i Najděte hmdx-\ ix + yx ■áx = Umocníme, čímž vyjádříme inverzní substituci. ^^^^HB^^^^^W^^^^J Najděte hmdx-\ :dX = Diferencujeme. ^^^^HB^^^^^W^^^^J Najděte hmdx-\ :dX = Dosadíme. VF —I...I...... . ... g Najděte hmdx-\ :dX = Dosadíme. VF + ^F —I...I...... . ... g Najděte hmdx-\ :dX = Dosadíme. VF + ^F 4ř3dř —I...I...... . ... g Najděte hmdx-\ :dX = Upravíme. VF + ^F 4řádř = 4 t2 + t dř ^^^^HB^^^^^W^^^^J Najděte hmdx-\ i x + yx 2 :dX = = 4 řz ř + 1 dř VF + ^F 4řádř = 4 t2 + t dř Dostáváme neryze lomenou racionální funkci. Před podělením si můžeme všimnout, že lze krátit t (ve jmenovateli t můžeme vytknout). (c) Lenka ťřibylová, 2UU6 £ Najděte / 1 Vx + x 1/4 dx- 1 -.dx = dř = 4 J Vx+^x x = r dx = 4ř3dř = / ^1 4^4ř3dř = = 4 / -^-----dř J t2 + t .1 ř + l /(ř-1+ř + l)dí 'Dělíme: t2:(t + l)=t l+t + 1 -(f + t) -t -(-ř-1) 1 \ v 2ÓÓ6H Najděte hmdx-\ i x + yx 2 :dX = ř + 1 4řádř = 4 ř2 + ř dř = 4 / -L-dr = 4 /Yř-1 + —!— ) dř = 4 /"řdř-4 / dř + 4 /" —!— dř ř + 1 Sčítance integrujeme každý zvlášť. ^^^^HB^^^^^W^^^^J Najděte hmdx-\ i x + yx 2 :dX = ř + 1 4řádř = 4 ř2 + ř dř = 4 / -L-dr = 4 í(t-l + -^—) dř = 4 /"řdř-4 / dř + 4 /" —!— dř ř + 1 = 4— -4ř + 41n|ř + l| + c Integrujeme podle vzorců. ^^^^HB^^^^^W^^^^J Najděte hmdx-\ i x + yx 2 :dX = = 4 řz ř + 1 . dř = 4 / ŕ — 1 = 4- - 4í + 4 ln |í + 11 + c = 2y/x - 4^x + \n(tyx + l)4 + c Dosadíme původní proměnnou. ^^^^HB^^^^^W^^^^J Konec H H ©Lenka Přibylová, 20060