Limity Robert Mařík a Lenka Přibylová 27. července 2006 Obsah arctgx lim---------........................... 3 x—>l X + 1 arctg x lim --------- .......................... 7 x—>-i x + 1 lim ÍE*I£.......................... 18 k^-oo x + 1 lim e-21 arctg x........................22 x—>±oo lim (x3 + 2x2 - 4)......................33 X—>±00 x3 + 3x2 + l hm ——-s-----—.......................42 k^±oo 2x^ — 3 2x4+4x + 5 hm —--------------------....................55 x—>±oo 3x4 — xA + 4x + 1 lim (21nx-ln(x2+X + 1))..................66 x—>oo O T* ff" CT 'T* Vypočtěte lim-------— arctg x lim-------— z—>i x + 1 EEI El 13 133 ©Lenka Přibylová, 2006 Q Vypočtěte lim arctg x z—►! X -\- 1 lim arctg x arctg 1 z—►! X + 1 1 + 1 • Dosadíme x = 1. • Jedná se o definovaný výraz. Funkce je spojitá v bodě x = 1 a funkční hodnota je rovna hodnotě limity. ©Lenka Přibylová, 2006 I Vypočtěte lim arctg x i x + 1 lim arctg x arctg 1 ♦ i x + 1 1 + 1 arctg 1 = 7T 7T -, resp. tg- = = i ' EE1 El la 133 ©Lenka Přibylov á, 2006 K Vypočtěte lim arctg x i x + 1 lim arctg x arctg 1 ♦ i x + 1 1 + 1 Zjednodušíme. ©Lenka Přibylová, 2006 I Vypočtěte lim arctg x x—►-! X + 1 lim arctg x x—►-! X + 1 ©Lenka Přibylová, 2006 I Vypočtěte lim arctg x x—►-! X + 1 lim arctg x arctg( —1) x—►-! X + 1 -1 + 1 Dosadíme ... ©Lenka Přibylová, 2006 I Vypočtěte lim arctg x x—►-! X + 1 lim arctg x arctg( —1) :i x + 1 ~ -1 + 1 ... a upravíme. ©Lenka Přibylová, 2006 I Vypočtěte lim arctg x x—►-! X + 1 lim arctg x arctg( —1) x—►-! X + 1 -1 + 1 lim arctg x ►-1+ x + 1 • Funkce je typu nenulový výraz nula • Musíme proto studovat nejprve jednostranné limity. Začneme s limitou zprava. ©Lenka Přibylová, 2006 I Vypočtěte lim arctg x x—►-! X -\- 1 lim arctg x arctg( —1) x—►-! X + 1 -1 + 1 lim arctg x *-i+ x + 1 Dosadili jsme x = — 1. ©Lenka Přibylová, 2006 I Vypočtěte lim arctg x x—►-! X -\- 1 lim arctg x arctg( —1) x—►-! X + 1 lim arctg x *-i+ x + 1 -1 + 1 • Musíme určit znaménko jmenovatele. • Je-li x napravo od —1, pak x > — 1 a platí x + 1 > 0. • Jmenovatel je kladný. ©Lenka Přibylová, 2006 I Vypočtěte lim arctg x x—►-! X + 1 lim arctg x arctg( —1) :i x + 1 ~ -1 + 1 lim arctg x *-i+ x + 1 = —oo Limita zprava je —oo. ©Lenka Přibylová, 2006 I Vypočtěte lim arctg x x—►-! X + 1 lim arctg x arctg( —1) :i x + 1 ~ -1 + 1 lim arctg x *-i+ x + 1 = —oo lim arctg x -i- x+ 1 ©Lenka Přibylová, 2006 Q Vypočtěte lim arctg x x—►-! X -\- 1 lim arctg x arctg( —1) :i x + í ~ -1 + 1 lim arctg x *-i+ x+í = — oo lim arctg x -i- x+ 1 z' • Je-li x nalevo od čísla — 1, pak x < — 1. • Proto x + 1 < 0 a jmenovatel je záporný. - ^ ©Lenka Přibylová, 2006 I Vypočtěte lim arctg x x—►-! X + 1 lim arctg x arctg( —1) :i x + 1 ~ -1 + 1 lim arctg x *-i+ x + 1 = —oo lim arctg x -i- x+ 1 Limita je +oo ©Lenka Přibylová, 2006 I Vypočtěte lim arctg x x—►-! X + 1 lim arctg x arctg( —1) :i x + 1 ~ -1 + 1 lim arctg x *-i+ x + 1 = —oo lim arctg x -i- x+ 1 ^, / ,• • i- arctgx Oboustranná limita lim --------- neexistuje. x—►-! X + 1 Obě jednostranné limity jsou různé a oboustranná limita tedy neexistuje. ©Lenka Přibylová, 2006 I Vypočtěte lim arctg x \ x+í \ -oo x + ©Lenka Přibylová, 2006 I arctg x Vypočtěte lim -------— 2^-00 X -\- 1 arctg x lim -------— 2^-00 X -\- 1 • Určíme limitu čitatele a jmenovatele samostatně. • lim arctg x může být určena z grafu funkce y = arctg x. x—> — oo 7T • Funkce y = arctg x má vodorovnou asymptotu y =----v TY —oo. Hodnota limity čitatele je---- ©Lenka Přibylová, 2006 I Vypočtěte lim arctg x \ x+í \ -oo x + arctg x lim --------— :^-oo X + 1 Limita jmenovatele je —oo + 1 = —oo. ©Lenka Přibylo Vypočtěte lim arctg x \ x+í \ -oo x + arctg x lim --------— ;^-oo X + 1 Konečná hodnota dělená nekonečnem je rovna nule. ©Lenka Přibylová, 2006 I Vypočtěte lim e x arctg x x—>±oo ©Lenka Přibylová, 2006 I -------------------------—------------ Vypočtěte lim e x arctg x x—>±oo lim e x arctg x x—>oo Začneme s limitou v +00 EEI El 13 133 ______1 ©Lenka Přibylová, 2006 Q Vypočtěte lim e x arctg x x—>±oo lim e x arctg x = e • Určíme zvlášť limity funkcí v součinu. • Dosadíme. Výrazem e~°° máme na mysli limitu lim ex. x—> — oo ©Lenka Přibylová, 2006 I Vypočtěte lim e x arctg x x—>±oo lim e x arctg x = e °° arctg oo • Dosadíme do druhé funkce. • Výrazem arctg oo máme na mysli limitu lim arctg x. ©Lenka Přibylová, 2006 I Vypočtěte lim e x arctg x x—>±oo lirn e x arctg x = e °° arctg oo = 0— X—>00 2 Zkoumáním grafů funkcí y = ex a y = arctg x zjistíme, že lim e^ = 0 ÍC—► — OO lim arctg x = —. ÍC—>00 2 ©Lenka Přibylová, 2006 I Vypočtěte lim e x arctg x x—>±oo lirn e x arctg x = e °° arctg oo = 0— = 0 x—>oo 2 Součin je nula. ©Lenka Přibylová, 2006 I Vypočtěte lim e x arctg x x—>±oo lirn e x arctg x = e °° arctg oo = 0— = 0 x—>oo 2 lirn e_a; arctg x = X—>■ — OO Pokračujeme s limitou v — oo. ©Lenka Přibylová, 2006 I Vypočtěte lim e x arctg x x—>±oo _ _ 7ľ lim e x arctg x = e °° arctg oo = 0—■ =0 x—>oo 2 lim e ^ arctg x = ec a;—> — oo • Opět určíme limity funkcí v součinu. • Dosadíme. Protože platí —(—oo) = oo, dostáváme z prvního součinitele výraz e°°. Tím máme na mysli limitu lim ex. ©Lenka Přibylová, 2006 I Vypočtěte lim e x arctg x x—>±oo arctg oo = 0— = 0 lim e x arctg x = e x—>oo lim e~x arctg x = e°° arctg(—oo) x—> —oo Dosadíme do druhé funkce. Výrazem arctg(—oo) rozumíme limitu lim arctg x. ©Lenka Přibylová, 2006 I Vypočtěte lim e x arctg x x—>±oo lirn e x arctg x = e °° arctg oo = 0— = 0 x—>oo 2 _ TT lirn e ^ arctg x = e°° arctg(—oo) = oo(----) X—>■ — OO Z grafů funkcí y = ex a y = arctg x plyne lirn ^ = 00 x—>oo lirn arctg x = X—>■ — OO ©Lenka Přibylová, 2006 I Vypočtěte lim e x arctg x x—>±oo lim e x arctg x ' arctg oo = 0— = 0 lim e x arctg x = e°° arctg(—oo) = oo(----) = —oo x—> —oo Součin je roven —oo. ©Lenka Přibylová, 2006 I Vypočtěte lim (xó + 2x2 - 4) X—>-±CX3 ©Lenka Přibylová, 2006 I Vypočtěte lim (xó + 2x2 - 4) X—>±00 lim (x3 + 2x2 - 4) = oo3 + 2oo2 - 4 • Začneme s limitou v +00. Dosadíme. ©Lenka Přibylová, 2006 I Vypočtěte lim (xó + 2x2 - 4) X—>±00 lim (x3 + 2x2 - 4) = oo3 + 2oo2 -4 = oo + oo-4 oo3 = oo, oo2 = oo ©Lenka Přibylová, 2006 I Vypočtěte lim (x + 2x - 4) x—>±oo lim (x3 + 2x2 - 4) = oo3 + 2oo2 -4 = oo + oo-4 = oo oo + oo — 4 = oo ©Lenka Přibylová, 2006 I Vypočtěte lim (x3 + 2x2 - 4) X—>±00 lim (x3 + 2x2 - 4) = oo3 + 2oo2 -4 = oo + oo-4 = oo x—>oo lim (x3 + 2x2 - 4) Pokračujeme s limitou v —oo. ©Lenka Přibylová, 2006 I Vypočtěte lim (xó + 2x2 - 4) X—>±00 lim (x3 + 2x2 - 4) = oo3 + 2oo2 - X—>oo lim (x3 + 2x2-4) = (-oo)3 + 2(-oo)5 oo + oo — 4 = oo Dosadíme. ©Lenka Přibylová, 2006 I Vypočtěte lim (x3 + 2x2 - 4) X—>±00 lim (x3 + 2x2 - 4) = oo3 + 2oo2 -4 = oo + oo-4 = oo x—>oo lim (x3 + 2x2 - 4) = (-oo)3 + 2(-oo)2 - 4 oo + oo /- ] (—00) x (—00) x (—00) = -00 2(- -oo)(—00) = = 00 Pozor! Máme neurčitý výraz || - - 00 + oo||. J ©Lenka Přibylová, 2006 I Vypočtěte lim (x + 2x - 4) x—>±oo lim (x3 + 2x2 - 4) = oo3 + 2oo2 -4 = oo + oo-4 = oo lim (x3 + 2x2 -4) = (-oo)3 X—> — OO = II -oo = —oo • Z teorie víme, jak tento problém vyřešit. • Lze ukázat, že na výsledek má vliv jenom vedoucí koeficient. Ostatní koeficienty tedy vynecháme. • Limita vedoucího člene je —oo. ©Lenka Přibylová, 2006 I Vypočtěte lim (x + 2x - 4) x—>±oo lim (x3 + 2x2 - 4) = oo3 + 2oo2 -4 = oo + oo-4 = oo lim (x3 + 2x2 -4) = (-oo)3 X—> — OO = II -oo = —oo ©Lenka Přibylová, 2006 I T? 4- 3x^ Vypočtěte lim ——-^— ] ©Lenka Přibylová, 2006 I v ^ ř x3+3x2 + l\ Vypočtete lim ——-----— I x3 + 3x2 + 1 £%> 2x^-3 I Začneme s limitou v +00. EEI El 13 133 ©Lenka Přibylová, 2006 Q Vypočtěte lim x3 + Zx1 + 1 k^±oo 2x2 — 3 ] lim x3 + 3x2 + 1 oo 2x2 — 3 c • Limita čitatele i jmenovatele je +oo. • Dostáváme neurčitý výraz. - ©Lenka Přibylová, 2006 I Vypočtěte lim x3 + Zx1 + 1 k^±oo 2x2 — 3 ] lim x3 + 3x2 + 1 oo 2x2 — 3 lim —- z^oo 2x • Z teorie víme, že limita se dá určit snadno -doucích členů čitatele a jmenovatele. jenom z ve- • Vynecháme tedy všechno ostatní. J SEI El B 133 ©Lenk a Přibylov, , 2006 Q Vypočtěte lim x3 + Zx1 + 1 k^±oo 2x2 — 3 ] lim x3 + 3x2 + 1 oo 2x2 — 3 lim —- = lim — x—>oo 2x x—>oo 2 Upravíme 2x2 ©Lenka Přibylová, 2006 I Vypočtěte lim x3 + Zx1 + 1 k^±oo 2x2 — 3 ] lim x3 + 3x2 + 1 oo 2x2 — 3 x x oo lim —- = lim — = — s^oo 2x s^oo 2 2 Dosadíme x = oo. ©Lenka Přibylová, 2006 I Vypočtěte lim x3 + Zx1 + 1 k^±oo 2x2 — 3 ] lim x3 + 3x2 + 1 oo 2x2 — 3 x x oo lim —- = lim — = — = oo s^oo 2x s^oo 2 2 Použijeme známá pravidla pro počítání s nekonečnem. ©Lenka Přibylová, 2006 I Vypočtěte lim x3 + Zx1 + 1 k^±oo 2x2 — 3 ] lim x3 + 3x2 + 1 oo 2x2 — 3 lim x3 + 3x2 + 1 oo 2x2 - 3 X X oo lim —- = lim — = — = oo £^oo 2x s^oo 2 2 • Pokračujeme s limitou v —oo. • Dosazením x = — oo dostáváme opět neurčitý výraz. ©Lenka Přibylová, 2006 I Vypočtěte lim xó + 3x^ + 1 k^±oo 2x2 — 3 ] lim xA + 3x^ + 1 oo 2x2 — 3 lim xA + 3x^ + 1 oo 2x2 - 3 X X oo lim —- = lim — = — = oo s^oo 2x £^oo 2 2 lim —- x^ — oo 2X Opět uvažujeme pouze vedoucí členy. ©Lenka Přibylová, 2006 I Vypočtěte lim xó + 3x^ + 1 k^±oo 2x2 — 3 ] lim xA + 3x^ + 1 oo 2x2 — 3 lim xA + 3x^ + 1 oo 2x2 - 3 X X oo lim —- = lim — = — = oo s^oo 2x £^oo 2 2 lim 7—r = lim — a;—> — 00 2x a—> —00 2 Upravíme. ©Lenka Přibylová, 2006 I Vypočtěte lim xó + 3x^ + 1 k^±oo 2x2 — 3 ] lim xA + 3x^ + 1 oo 2x2 — 3 lim xA + 3x^ + 1 oo 2x2 - 3 X X oo lim —- = lim — = — = oo s^oo 2x £^oo 2 2 XX —oo llm 7TT = ^lm TT = ~~7T~ x^—co 2x X^—OO 2 2 Dosadíme. ©Lenka Přibylová, 2006 I Vypočtěte lim xó + 3x^ + 1 k^±oo 2x2 — 3 ] lim xA + 3x^ + 1 oo 2x2 — 3 lim xA + 3x^ + 1 oo 2x2 - 3 X X oo lim —- = lim — = — = oo s^oo 2x £^oo 2 2 XX —oo llm 7TT = nm TT = ~~7T~ x^—co 2x X^—OO 2 2 Použijeme známá pravidla pro počítání s nekonečnem. ©Lenka Přibylová, 2006 I Vypočtěte lim xó + 3x^ + 1 k^±oo 2x2 — 3 ] lim xA + 3x^ + 1 oo 2x2 — 3 lim xA + 3x^ + 1 oo 2x2 - 3 X X oo lim —- = lim — = — = oo s^oo 2x £^oo 2 2 XX —oo llm 7TT = ^lm TT = ~~7T~ x^—co 2x X^—OO 2 2 ©Lenka Přibylová, 2006 I Vypočtete lim +±oo 3x4 - x3 + 4x + 1 ©Lenka Přibylová, 2006 I Vypočtěte lim 2xA + 4x + 5 x—>±oo 3x4 — x3 + Ax + 1 lim 2x4 + 4x + 5 oo 3x4 — x3 + 4x + 1 Začneme s limitou v +oo. ©Lenka Přibylová, 2006 I Vypočtěte lim 2xA + 4x + 5 x—>±oo 3x4 — x3 + Ax + 1 lim 2x4 + 4x + 5 3x4 Ax + Í Dosadíme x = oo. ©Lenka Přibylová, 2006 I Vypočtěte lim 2x4 + 4x + 5 x—>±oo 3x4 — x3 + 4x + 1 lim 2x4 + 4x + 5 oo 3x4 — x3 + 4x + 1 2x4 = lim — • Neurčitý výraz. • Použijeme jenom vedoucí členy. • Všechno ostatní lze zanedbat. ©Lenka Přibylová, 2006 I Vypočtěte lim 2x4 + 4x + 5 x—>±oo 3x4 — x3 + 4x + 1 lim 2x4 + 4x + 5 oo 3x4 — x3 + 4x + 1 2x4 2 = lim T-T = lim - z^oo áX z^oo á Upravíme 2x4 Šx1 ©Lenka Přibylová, 2006 I Vypočtěte lim 2xA + 4x + 5 x—>±oo 3x4 — x3 + Ax + 1 lim 2x4 + 4x + 5 oo 3x4 — x3 + 4x + 1 2x4 2 2 = lim —r = lim — = — k^oo 3x k^oo 3 3 Limita konstantní funkce je ta konstanta. ©Lenka Přibylová, 2006 I Vypočtěte lim 2x4 + 4x + 5 z^dzoo 3x4 4x + l lim lim 2x4 + 4x + 5 3x4 4x + l 2x4 + 4x + 5 3x4 4x + l 2x4 2 2 = lim —r = lim — = — k^oo 3x k^oo 3 3 Pokračujeme s limitou v —oo. Dosadíme x = —oo. ©Lenka Přibylová, 2006 I Vypočtěte lim 2xA + 4x + 5 z^dzoo 3x4 4x + l lim lim 2x4 + 4x + 5 3x4 4x + l 2x4 + 4x + 5 3x4 4x + l 2x4 2 2 = lim —r = lim — = — k^oo 3x k^oo 3 3 2x4 = lim —- x^ — 3x • Máme neurčitý výraz. • Použijeme jenom vedoucí členy. • Všechno ostatní zanedbáme. ©Lenka Přibylová, 2006 I Vypočtěte lim 2xA + 4x + 5 x—>±oo 3x4 — x3 + 4x + 1 lim lim 2x4 + 4x + 5 oo 3x4 — x3 + 4x + 1 2x4 + 4x + 5 oo 3x4 — x3 + 4x + 1 2x4 2 2 = lim —r = lim — = — k^oo 3x k^oo 3 3 2x4 2 = lim —- = lim - x^ — oo 3x z^ — oo 3 Upravíme 2x4 Šx1 ©Lenka Přibylová, 2006 I Vypočtěte lim 2xA + 4x + 5 x—>±oo 3x4 — x3 + 4x + 1 lim lim 2x4 + 4x + 5 oo 3x4 — x3 + 4x + 1 2x4 + 4x + 5 oo 3x4 — x3 + 4x + 1 2x4 2 2 = lim —r = lim — = — k^oo 3x k^oo 3 3 2x4 , 2 2 = lim —- = lim — = — x^ — oo 3x z^ —oo 3 3 Limita konstantní funkce je ta konstanta. ©Lenka Přibylová, 2006 I Vypočtěte lim 2xA + 4x + 5 x—>±oo 3x4 — x3 + 4x + 1 lim lim 2x4 + 4x + 5 oo 3x4 — x3 + 4x + 1 2x4 + 4x + 5 oo 3x4 — x3 + 4x + 1 2x4 2 2 = lim —r = lim — = — k^oo 3x k^oo 3 3 2x4 , 2 2 = lim —- = lim — = — x^ — oo 3x z^ —oo 3 3 ©Lenka Přibylová, 2006 I Vypočtěte lim [2 In x — ln(x2 + x + 1)]. ©Lenka Přibylová, 2006 I Vypočtěte lim [2 In x — ln(a !)]• lim [21nx - ln(x2 +x+ 1)] = ||oo - oo|| Protože lim lnx = oo, dostáváme neurčitý výraz ||oo — oo||. ©Lenka Přibylová, 2006 I Vypočtěte lim [2 In x — ln(a !)]• lim [21nx -ln(x2 +x+ 1)1 = ||o x—>oo = lim [lnx2 -ln(x2 +x+ 1)] • Limity z neurčitých výrazů ve tvaru zlomku jsou obyčejně jednodušší. Napíšeme funkci jako zlomek. . • Nejdříve oba členy napíšeme v logaritmickém tvaru. • Použijeme pravidlo r In a = In á ©Lenka Přibylová, 2006 I Vypočtěte lim [2 In x — ln(a !)]• lim [21nx - ln(x2 +x+ 1)1 = ||oo - oo|| x—>oo = lim [lnx2-ln(x2+X+1)1 x—>oo lim ln ■ x—>oo X2 + X + 1 Odečteme logaritmy podle pravidla ln a — ln 6 = ln — b ©Lenka Přibylová, 2006 I Vypočtěte lim [2 In x — ln(a !)]• lim [21nx - ln(x2 -\-x-\- 1)1 = ||oo - oo|| x—>oo = lim [lnx2 - ln(x2+x+1)1 x—>oo T? f In lim lim ln —^----------- x—>oo xz -\- X + 1 x—>oo ar + X + 1 • Určíme limitu složené funkce. • Nejprve prozkoumáme limitu vnitřní složky. ©Lenka Přibylová, 2006 I Vypočtěte lim [2 In x — ln(a !)]• lim [21nx - ln(x2 -\-x-\- 1)1 = ||oo - oo|| x—>oo = lim [lnx2 - ln(x2+x+1)1 X—>00 ln lim lim ln —^----------- x—>oo X2 + X + 1 x—>oo X2 + X + 1 ln Uvnitř máme neurčitý výraz. ©Lenka Přibylová, 2006 I Vypočtěte lim [2 In x — ln(a !)]• lim [21nx - ln(x2 -\-x-\- 1)1 = ||oo - oo|| x—>oo = lim [lnx2 - ln(x2+x+1)1 X—>00 ln lim lim ln —^----------- x—>oo X2 + X + 1 ln ( lim — x—>oo X2 + X + 1 ln Uvažujeme jenom vedoucí členy. ©Lenka Přibylová, 2006 I Vypočtěte lim [2 In x — ln(x2 + x + 1)]. lim [2 In x - ln(x2 +x+ 1)1 = ||oo - oo|| x—>oo = lim [lnx2-ln(x2+X+1)1 x—>oo In lim lim In —^---------- „_ ___ x—>oo Xz + X + 1 \ x—>oo Xz + X + 1 In ( lim — ] = In 1 In 2 Provedeme krácení ve výrazu —^ a použijeme zřejmý vztah N lim 1 = 1. a;—>oo ©Lenka Přibylová, 2006 I Vypočtěte lim [2 In x — ln(x2 + x + 1)]. lim [2 In x - ln(x2 +x+ 1)1 = ||oo - oo|| x—>oo = lim [lnx2-ln(x2+X+1)] lim In —^----------- = In ( lim x—>oo x/ + X + 1 ( x2' In lim — ) = In 1 = 0 \x^ x In oo oo ©Lenka Přibylová, 2006 Q