Lineární kombinace vektorů
Lenka Přibylová 27. července 2006
B   B
©Lenka Přibylová, 2006 Q
Obsah
Najděte lineární kombinaci.....................       3
Vyjádřete vektor jako lin. kombinaci................       8
©Lenka Přibylová, 2006 Q
Najděte lineární kombinaci vektorů. I
«i = (3,1,4), u2 = (2,0, -5), «3 = (-2,1, -1) kx = 2,k2 = 3, fc3 = -1
B   B
©Lenka Přibylová, 2006 Q
Najděte lineární kombinaci vektorů. I
«i = (3,1,4), u2 = (2,0, -5), «3 = (-2,1, -1) kx = 2,k2 = 3, fc3 = -1
Ö = k\U\ + fc2«2 + ^3«3
Napíšeme lineární kombinaci.
Najděte lineární kombinaci vektorů. I
«i = (3,1,4), M2 = (2,0, -5), «3 = (-2,1, -1) kx = 2,k2 = 3, fc3 = -1
t? = fci«Í + fc2M2 + fc3«3 = 2(3,1,4) + 3(2,0, -5) + (-l)(-2,1, -1)
Dosadíme do lineární kombinace.                                                       I
J    B    B    1                                                                                                                           (oUnkaťnbylova^UUtl
Najděte lineární kombinaci vektorů. I
«i = (3,1,4), M2 = (2,0, -5), «3 = (-2,1, -1) kx = 2,k2 = 3, fc3 = -1
t? = fci«Í + fc2M2 + fc3«3 = 2(3,1,4) + 3(2,0, -5) + (-l)(-2,1, -1) = (6 + 6 + 4,2 + 0-1,8-15 + 1)
Rozepíšeme podle složek.
I    B    í    D-------------------------------------------------------------------------------------------------------lej Lenka ťnbylova,ÍJdt,|
Najděte lineární kombinaci vektorů. I
«i = (3,1,4), M2 = (2,0, -5), «3 = (-2,1, -1) kx = 2,k2 = 3, fc3 = -1
t? = fci«Í + fc2M2 + fc3«3 = 2(3,1,4) + 3(2,0, -5) + (-l)(-2,1, -1) = (6 + 6 + 4,2 + 0-1,8-15 + 1) = (16,1,-6).
Upravím eeI El la laa
avime.
------------------------------------------------------------------------------------------------plenka Přibylová, 20t
Vektor v vyjádřete jako lin. kombinaci vektorů u\, «2, «3.1
V= (1,4,-2), «i = (-1,1,2), «2 = (1,0,4), «3 = (0,1,-4)
©Lenka Přibylová, 20061
Vektor v vyjádřete jako lin. kombinaci vektorů u\, «2, «3.
V= (1,4,-2), «i = (-1,1,2), «2 = (1,0,4), «3 = (0,1,-4)
V = k\Ú\ + fc2«2 + ^3«3
Napíšeme lineární kombinaci s neznámými k\, fc2, fc3.
EEl    El    13    133----------------------------------------------------------------------------------------------------------icj Lenka lJnbylova,«JUr,|
Vektor v vyjádřete jako lin. kombinaci vektorů u\, «2, «3.1
V= (1,4,-2), «i = (-1,1,2), «2 = (1,0,4), «3 = (0,1,-4)
V = k\Ú\ + fc2«2 + ^3«3
(l,4,-2)=fc1(-l,l,2)+fc2(l,0,4) + fc3(0,l,-4)
Dosadíme vektory.
SI    Q    Q    BS-------------------------------------------------------------------------------------------------------lej Lenka ťnbylova,ÍJdt,|
Vektor v vyjádřete jako lin. kombinaci vektorů u\, «2, «3.1
V= (1,4,-2), «i = (-1,1,2), «2 = (1,0,4), «3 = (0,1,-4)
V = k\Ú\ + fc2«2 + ^3«3
(l,4,-2)=fc1(-l,l,2)+fc2(l,0,4) + fc3(0,l,-4)
1 = -kx + k2
Rozepíšeme vektorovou rovnici do tří skalárních rovnic. První složka...
Vektor v vyjádřete jako lin. kombinaci vektorů u\, «2, «3.1
V= (1,4,-2), «i = (-1,1,2), «2 = (1,0,4), «3 = (0,1,-4)
V = k\Ú\ + fc2«2 + ^3«3
(l,4,-2)=fc1(-l,l,2)+fc2(l,0,4) + fc3(0,l,-4)
1 = -kx +k2          =>• fc2 = 1 + fcx
... z první rovnice vyjádříme k2.
I    B    í    D-----------------------------------------------------------------------------------------------lej Lenka ťnbylova,ÍJdt,|
Vektor v vyjádřete jako lin. kombinaci vektorů u\, «2, «3.1
V= (1,4,-2), «i = (-1,1,2), «2 = (1,0,4), «3 = (0,1,-4)
V = k\Ú\ + fc2«2 + ^3«3
(l,4,-2)=fc1(-l,l,2)+fc2(l,0,4) + fc3(0,l,-4)
1 = -kx +k2          =>• fc2 = 1 + fcx
4 = kx + fc3
Druhá složka...
Vektor v vyjádřete jako lin. kombinaci vektorů u\, «2, «3.1
V= (1,4,-2), «i = (-1,1,2), «2 = (1,0,4), «3 = (0,1,-4)
V = k\Ú\ + fc2«2 + ^3«3
(l,4,-2)=fc1(-l,l,2)+fc2(l,0,4) + fc3(0,l,-4)
1 = -kx +k2         =>• fc2 = 1 + fcx
4 = kx + fc3             =>• fc3 = 4 - A4
...z druhé rovnice vyjádříme fc3.
SI    Q    Q    BS-------------------------------------------------------------------------------------------------------lej Lenka ťnbylova,ÍJdt,|
Vektor v vyjádřete jako lin. kombinaci vektorů u\, «2, «3.1
V= (1,4,-2), «i = (-1,1,2), «2 = (1,0,4), «3 = (0,1,-4)
V = k\Ú\ + fc2«2 + ^3«3
(l,4,-2)=fc1(-l,l,2)+fc2(l,0,4) + fc3(0,l,-4)
1 = -kx +k2          =>• fc2 = 1 + fcx
4 = kx + fc3              =>• fc3 = 4 - A4
-2 = 2Ä4 + 4fc2 - 4fc3
Třetí složka...                                                                                                       I
J    B    B    1                                                                                                          (oUnkaťnbylova^UUtl
Vektor v vyjádřete jako lin. kombinaci vektorů u\, «2, «3.1
V= (1,4,-2), «i = (-1,1,2), «2 = (1,0,4), «3 = (0,1,-4)
V = k\Ú\ + fc2«2 + ^3«3
(l,4,-2)=fc1(-l,l,2)+fc2(l,0,4) + fc3(0,l,-4)
1 = -kx +k2         =>k2 = l+ki
4 = kx + fc3            =>• fc3 = 4 - A4
-2 = 2Ä4 + 4fc2 - 4fc3
-2 = 2fci + 4(1 + fci) - 4(4 - fci)
... do třetí rovnice dosadíme z prvních dvou.
SI    Q    Q    BS-------------------------------------------------------------------------------------------------------lej Lenka ťnbylova,ÍJdt,|
Vektor v vyjádřete jako lin. kombinaci vektorů u\, «2, «3-1
V= (1,4,-2), «i = (-1,1,2), «2 = (1,0,4), «3 = (0,1,-4)
V = k\Ú\ + fc2«2 + ^3«3
(l,4,-2)=fc1(-l,l,2)+fc2(l,0,4) + fc3(0,l,-4)
1 = -kx +k2         =>• fc2 = 1 + fcx
4 = kx + fc3             =>• fc3 = 4 - A4
-2 = 2Ä4 + 4fc2 - 4fc3 -2 = 2fci + 4(1 + fci) - 4(4 - fci)
-2 = 2fcx + 4 + 4fcx - 16 + 4fcx
Roznásobíme závorky,
H    B    B    d-----------------------------------------------------------------------------------------------------lej Lenka lJnbylova,«JUŕ,|
Vektor v vyjádřete jako lin. kombinaci vektorů u\, «2, «3.1
V= (1,4,-2), «i = (-1,1,2), u2 = (1,0,4), «3 = (0,1,-4)
V = k\Ú\ + fc2«2 + ^3«3
(l,4,-2)=fc1(-l,l,2)+fc2(l,0,4) + fc3(0,l,-4)
1 = -kx +k2         =>• fc2 = 1 + fcx
4 = kx + fc3              =>• fc3 = 4 - A4
-2 = 2Ä4 + 4fc2 - 4fc3 -2 = 2fci + 4(1 + fci) - 4(4 - fci)
-2 = 2fcx + 4 + 4fcx - 16 + 4fcx 10 = IOÄ4
zjednoduššíme,
H    B    B    d-----------------------------------------------------------------------------------------------------lej Lenka lJnbylova,«JUŕ,|
Vektor v vyjádřete jako lin. kombinaci vektorů u\, «2, «3.1
V= (1,4,-2), «i = (-1,1,2), u2 = (1,0,4), «3 = (0,1,-4)
V = k\Ú\ + fc2«2 + ^3«3
(l,4,-2)=fc1(-l,l,2)+fc2(l,0,4) + fc3(0,l,-4)
1 = -kx +k2         =>• fc2 = 1 + fcx
4 = kx + fc3              =>• fc3 = 4 - A4
-2 = 2Ä4 + 4fc2 - 4fc3 -2 = 2fci + 4(1 + fci) - 4(4 - fci)
-2 = 2kx + 4 + 4fcx - 16 + 4fcx 10 = IOÄ4 1 =k1
vyjádříme kx
EEl    El    13    133----------------------------------------------------------------------------------------------------------icj Lenka lJnbylova,«JUr,|
Vektor v vyjádřete jako lin. kombinaci vektorů u\, «2, «3.1
V= (1,4,-2), «i = (-1,1,2), u2 = (1,0,4), «3 = (0,1,-4)
V = k\Ú\ + fc2«2 + ^3«3
(l,4,-2)=fc1(-l,l,2)+fc2(l,0,4) + fc3(0,l,-4)
1 = -kx +k2         =>• fc2 = 1 + fcx = 1 + 1 = 2
4 = fcx + fc3            ^.fc3 = 4-fc1 = 4-l = 3
-2 = 2fcx + 4fc2 - 4fc3
-2 = 2fci + 4(1 + fci) - 4(4 - fci)
-2 = 2fcx + 4 + 4fcx - 16 + 4fcx
10 = IOÄ4
1 =£4
a dosadíme do prvních dvou rovnic.
H    B    B    d-----------------------------------------------------------------------------------------------------lej Lenka lJnbylova,«JUŕ,|
Vektor v vyjádřete jako lin. kombinaci vektorů u\, «2, «3.1
V= (1,4,-2), «i = (-1,1,2), u2 = (1,0,4), «3 = (0,1,-4)
V = k\Ú\ + fc2«2 + ^3«3
(l,4,-2)=fc1(-l,l,2)+fc2(l,0,4) + fc3(0,l,-4)
1 = -kx +k2         =>• fc2 = 1 + fcx = 1 + 1 = 2
4 = fcx + fc3            ^.fc3 = 4-fc1 = 4-l = 3
-2 = 2fcx + 4fc2 - 4fc3
-2 = 2fci + 4(1 + fci) - 4(4 - fci)
-2 = 2kx + 4 + 4fcx - 16 + 4fcx 10 = IOÄ4 1 = kx               v = «i + 2«2 + 3«3
Zapíšeme hledanou lineární kombinaci.
bei   Q   Q   QS                                                                                                                  ^^^5W!^W!ByWW^HBSl
Konec.
B   B
©Lenka Přibylová, 2006 Q