První derivace a lokální extrémy Robert Mařík 27. května 2005 c Robert Mařík, 2005 × Obsah y = x3 - 2x2 + x + 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 y = 1 + x 1 - x 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 y = x (1 + x)3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 y = x3 x - 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 y = 3x + 1 x3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 y = x2 e-x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 y = x2 ln x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 c Robert Mařík, 2005 × Najděte lokální extrémy funkce y = x3 - 2x2 + x + 1 a určete intervaly monotonosti. D( f ) = R; y = 3x2 - 4x + 1 ; Stac. body: x1 = 1, x2 = 1 3 y = (x3 ) - 2(x2 ) + (x) + (1) = 3x2 - 4x + 1 + 0 = 3x2 - 4x + 1 3x2 - 4x + 1 = 0 x1,2 = 4 (-4)2 - 4 3 1 2 3 = 4 2 6 c Robert Mařík, 2005 × Najděte lokální extrémy funkce y = x3 - 2x2 + x + 1 a určete intervaly monotonosti. D( f ) = R; y = 3x2 - 4x + 1 ; Stac. body: x1 = 1, x2 = 1 3 y = (x3 ) - 2(x2 ) + (x) + (1) = 3x2 - 4x + 1 + 0 = 3x2 - 4x + 1 3x2 - 4x + 1 = 0 x1,2 = 4 (-4)2 - 4 3 1 2 3 = 4 2 6 ˇ Určíme definiční obor funkce. ˇ Nejsou žádná omezení, je tedy funkce definovaná (a spo- jitá) na R. c Robert Mařík, 2005 × Najděte lokální extrémy funkce y = x3 - 2x2 + x + 1. D( f ) = R; y = 3x2 - 4x + 1 ; Stac. body: x1 = 1, x2 = 1 3 y = (x3 ) - 2(x2 ) + (x) + (1) = 3x2 - 4x + 1 + 0 = 3x2 - 4x + 1 3x2 - 4x + 1 = 0 x1,2 = 4 (-4)2 - 4 3 1 2 3 = 4 2 6 Vypočteme derivaci. Užijeme vzorec pro derivaci součtu a násobku. c Robert Mařík, 2005 × Najděte lokální extrémy funkce y = x3 - 2x2 + x + 1. D( f ) = R; y = 3x2 - 4x + 1 ; Stac. body: x1 = 1, x2 = 1 3 y = (x3 ) - 2(x2 ) + (x) + (1) = 3x2 - 4x + 1 + 0 = 3x2 - 4x + 1 3x2 - 4x + 1 = 0 x1,2 = 4 (-4)2 - 4 3 1 2 3 = 4 2 6Vypočítáme jednotlivé derivace podle vzorce (xn ) = nxn-1 . c Robert Mařík, 2005 × Najděte lokální extrémy funkce y = x3 - 2x2 + x + 1. D( f ) = R; y = 3x2 - 4x + 1 ; Stac. body: x1 = 1, x2 = 1 3 y = (x3 ) - 2(x2 ) + (x) + (1) = 3x2 - 4x + 1 + 0 = 3x2 - 4x + 1 3x2 - 4x + 1 = 0 x1,2 = 4 (-4)2 - 4 3 1 2 3 = 4 2 6Upravíme. c Robert Mařík, 2005 × Najděte lokální extrémy funkce y = x3 - 2x2 + x + 1. D( f ) = R; y = 3x2 - 4x + 1 ; Stac. body: x1 = 1, x2 = 1 3 3x2 - 4x + 1 = 0 x1,2 = 4 (-4)2 - 4 3 1 2 3 = 4 2 6 x1 = 1 x2 = 1 3 x2 = 1 3 MAX x1 = 1 min ˇ Chceme zjistit, kde funkce roste a kde klesá. ˇ K tomu stačí zjistit, kde je kladná a kde je záporná derivace. ˇ Musíme tedy nejprve hledat body, kde derivacemůže změ- nit znaménko. Body nespojitosti derivace nemá a soustře- díme se na body, kde je derivace nulová. c Robert Mařík, 2005 × Najděte lokální extrémy funkce y = x3 - 2x2 + x + 1. D( f ) = R; y = 3x2 - 4x + 1 ; Stac. body: x1 = 1, x2 = 1 3 3x2 - 4x + 1 = 0 x1,2 = 4 (-4)2 - 4 3 1 2 3 = 4 2 6 x1 = 1 x2 = 1 3 x2 = 1 3 MAX x1 = 1 min Ř ešíme kvadraticou rovnici. Ř ešení rovnice ax2 + bx + c = 0 je x1,2 = -b b2 - 4ac 2a . c Robert Mařík, 2005 × Najděte lokální extrémy funkce y = x3 - 2x2 + x + 1. D( f ) = R; y = 3x2 - 4x + 1 ; Stac. body: x1 = 1, x2 = 1 3 3x2 - 4x + 1 = 0 x1,2 = 4 (-4)2 - 4 3 1 2 3 = 4 2 6 x1 = 1 x2 = 1 3 x2 = 1 3 MAX x1 = 1 min Upravíme. c Robert Mařík, 2005 × Najděte lokální extrémy funkce y = x3 - 2x2 + x + 1. D( f ) = R; y = 3x2 - 4x + 1 ; Stac. body: x1 = 1, x2 = 1 3 3x2 - 4x + 1 = 0 x1,2 = 4 (-4)2 - 4 3 1 2 3 = 4 2 6 x1 = 1 x2 = 1 3 x2 = 1 3 MAX x1 = 1 min Určíme řešení. Rovnice má dva reálné různé kořeny. c Robert Mařík, 2005 × Najděte lokální extrémy funkce y = x3 - 2x2 + x + 1. D( f ) = R; y = 3x2 - 4x + 1 ; Stac. body: x1 = 1, x2 = 1 3 x2 = 1 3 MAX x1 = 1 min y (0) > 0 y ( 1 2 ) < 0 y (2) > 0 ˇ Vyznačíme stacionární body na reálnou osu. ˇ Body nespojitosti nejsou, nevynášíme tedy už nic dalšího. c Robert Mařík, 2005 × Najděte lokální extrémy funkce y = x3 - 2x2 + x + 1. D( f ) = R; y = 3x2 - 4x + 1 ; Stac. body: x1 = 1, x2 = 1 3 x2 = 1 3 MAX x1 = 1 min y (0) > 0 y ( 1 2 ) < 0 y (2) > 0 ˇ Zvolíme číslo z prvního intervalu (-, 1 3 ). Uvažujme na- příklad číslo 1 = 0. ˇ Vypočteme y (0) = 3 02 - 4 0 + 1 = 1 > 0. Funkce je rostoucí na intervalu (-, 1 3 ). c Robert Mařík, 2005 × Najděte lokální extrémy funkce y = x3 - 2x2 + x + 1. D( f ) = R; y = 3x2 - 4x + 1 ; Stac. body: x1 = 1, x2 = 1 3 x2 = 1 3 MAX x1 = 1 min y (0) > 0 y ( 1 2 ) < 0 y (2) > 0 Podobně, protože platí y ( 1 2 ) = 3 1 4 - 4 1 2 + 1 = - 1 4 < 0, je funkce klesající na intervalu ( 1 3 , 1). c Robert Mařík, 2005 × Najděte lokální extrémy funkce y = x3 - 2x2 + x + 1. D( f ) = R; y = 3x2 - 4x + 1 ; Stac. body: x1 = 1, x2 = 1 3 x2 = 1 3 MAX x1 = 1 min y (0) > 0 y ( 1 2 ) < 0 y (2) > 0 Monotonie se mění v bodě x2. Funkce má v tomto bodě lokání maximum. c Robert Mařík, 2005 × Najděte lokální extrémy funkce y = x3 - 2x2 + x + 1. D( f ) = R; y = 3x2 - 4x + 1 ; Stac. body: x1 = 1, x2 = 1 3 x2 = 1 3 MAX x1 = 1 min y (0) > 0 y ( 1 2 ) < 0 y (2) > 0 Platí y (2) = 3 22 - 4 2 + 1 = 5 c Robert Mařík, 2005 × Najděte lokální extrémy funkce y = x3 - 2x2 + x + 1. D( f ) = R; y = 3x2 - 4x + 1 ; Stac. body: x1 = 1, x2 = 1 3 x2 = 1 3 MAX x1 = 1 min y (0) > 0 y ( 1 2 ) < 0 y (2) > 0 Monotonie se mění v bodě x1 = 1 a je zde lokální extrém ­ lokální minimum. c Robert Mařík, 2005 × Najděte lokální extrémy funkce y = x3 - 2x2 + x + 1. D( f ) = R; y = 3x2 - 4x + 1 ; Stac. body: x1 = 1, x2 = 1 3 x2 = 1 3 MAX x1 = 1 min Hotovo! c Robert Mařík, 2005 × Najděte lokální extrémy funkce y = 1 + x 1 - x 4 a určete intervaly monotonosti. D( f ) = R \ {1} ; y = 8 (1 + x)3 (1 - x)5 ; x1 = -1 y = 4 1 + x 1 - x 3 1(1 - x) - (1 + x)(-1) (1 - x)2 = 4 (1 + x)3 (1 - x)3 1 - x + 1 + x (1 - x)2 = 8 (1 + x)3 (1 - x)5 Stacionární bod: x1 = -1 min c Robert Mařík, 2005 × Najděte lokální extrémy funkce y = 1 + x 1 - x 4 . D( f ) = R \ {1} ; y = 8 (1 + x)3 (1 - x)5 ; x1 = -1 y = 4 1 + x 1 - x 3 1(1 - x) - (1 + x)(-1) (1 - x)2 = 4 (1 + x)3 (1 - x)3 1 - x + 1 + x (1 - x)2 = 8 (1 + x)3 (1 - x)5 Stacionární bod: x1 = -1 min Určíme definiční obor funkce. Jediné omezení pochází ze jmenovatele zlomku. 1 - x = 0, t.j. x = 1. c Robert Mařík, 2005 × Najděte lokální extrémy funkce y = 1 + x 1 - x 4 . D( f ) = R \ {1} ; y = 8 (1 + x)3 (1 - x)5 ; x1 = -1 y = 4 1 + x 1 - x 3 1(1 - x) - (1 + x)(-1) (1 - x)2 = 4 (1 + x)3 (1 - x)3 1 - x + 1 + x (1 - x)2 = 8 (1 + x)3 (1 - x)5 Stacionární bod: x1 = -1 min ˇ Derivujeme složenou funkci. Vněší složka je mocninná funkce, kterou derivujeme podle pravidla (x4 ) = 4x3 . ˇ Vnitřní složka je zlomek, který derivujeme podle pravidla u v = u v - uv v2 . c Robert Mařík, 2005 × Najděte lokální extrémy funkce y = 1 + x 1 - x 4 . D( f ) = R \ {1} ; y = 8 (1 + x)3 (1 - x)5 ; x1 = -1 y = 4 1 + x 1 - x 3 1(1 - x) - (1 + x)(-1) (1 - x)2 = 4 (1 + x)3 (1 - x)3 1 - x + 1 + x (1 - x)2 = 8 (1 + x)3 (1 - x)5 Stacionární bod: x1 = -1 min Upravíme druhý zlomek. c Robert Mařík, 2005 × Najděte lokální extrémy funkce y = 1 + x 1 - x 4 . D( f ) = R \ {1} ; y = 8 (1 + x)3 (1 - x)5 ; x1 = -1 y = 4 1 + x 1 - x 3 1(1 - x) - (1 + x)(-1) (1 - x)2 = 4 (1 + x)3 (1 - x)3 1 - x + 1 + x (1 - x)2 = 8 (1 + x)3 (1 - x)5 Stacionární bod: x1 = -1 min Ještě upravíme. c Robert Mařík, 2005 × Najděte lokální extrémy funkce y = 1 + x 1 - x 4 . D( f ) = R \ {1} ; y = 8 (1 + x)3 (1 - x)5 ; x1 = -1 Stacionární bod: x1 = -1 x1 = -1 min 1 y (-2) < 0 y (0) > 0 y (2) < 0 ˇ Našli jsme derivaci y . ˇ Omezení na x plynoucí z y jsou stejná, jako byla u původní funkce. Derivace je tedy definována na množině R \ {1}. c Robert Mařík, 2005 × Najděte lokální extrémy funkce y = 1 + x 1 - x 4 . D( f ) = R \ {1} ; y = 8 (1 + x)3 (1 - x)5 ; x1 = -1 Stacionární bod: x1 = -1 x1 = -1 min 1 y (-2) < 0 y (0) > 0 y (2) < 0 ˇ Hledáme body, kde y = 0. ˇ Podíl je nula, pokud je čitatel nula. Jediný stacionární bod je tedy řešením rovnice (1 + x)3 = 0. c Robert Mařík, 2005 × Najděte lokální extrémy funkce y = 1 + x 1 - x 4 . D( f ) = R \ {1} ; y = 8 (1 + x)3 (1 - x)5 ; x1 = -1 x1 = -1 min 1 y (-2) < 0 y (0) > 0 y (2) < 0 ˇ Vyznačíme stacionární bod a bod nespojitosti na osu. ˇ Osa je rozdělena na tři podintervaly. Na každém podinter- valu má funkce ve všech bodech tentýž typ monotonie. c Robert Mařík, 2005 × Najděte lokální extrémy funkce y = 1 + x 1 - x 4 . D( f ) = R \ {1} ; y = 8 (1 + x)3 (1 - x)5 ; x1 = -1 x1 = -1 min 1 y (-2) < 0 y (0) > 0 y (2) < 0 ˇ Zkoumáme typ monotonie na intervalu (-, -1) ˇ Vybereme libovolný testovací bod z tohoto intervalu. ˇ Bud'1 = -2 takový testovací bod. ˇ Určíme derivaci v tomto bodě. c Robert Mařík, 2005 × Najděte lokální extrémy funkce y = 1 + x 1 - x 4 . D( f ) = R \ {1} ; y = 8 (1 + x)3 (1 - x)5 ; x1 = -1 x1 = -1 min 1 y (-2) < 0 y (0) > 0 y (2) < 0 y (-2) = 8 (1 - 2)3 (1 - (-2))5 = 8 -1 35 < 0. Derivace je záporná a funkce klesá v bodě 2 = -2 a na intervalu (-, -1). c Robert Mařík, 2005 × Najděte lokální extrémy funkce y = 1 + x 1 - x 4 . D( f ) = R \ {1} ; y = 8 (1 + x)3 (1 - x)5 ; x1 = -1 x1 = -1 min 1 y (-2) < 0 y (0) > 0 y (2) < 0 Podobně naložíme s bodem 2 = 0, který náleží do intervalu (-1, 1) a splňuje y (0) = 8 1 15 > 0. Funkce je rostoucí v bodě 2 = 0 a na intervalu (-1, 1). c Robert Mařík, 2005 × Najděte lokální extrémy funkce y = 1 + x 1 - x 4 . D( f ) = R \ {1} ; y = 8 (1 + x)3 (1 - x)5 ; x1 = -1 x1 = -1 min 1 y (-2) < 0 y (0) > 0 y (2) < 0 Konečně, bod 3 = 2 patří do intervalu (1, ) a splňuje y (2) = 8 (1 + 2)3 (1 - 2)5 < 0. Funkce je klesající v bodě 3 = 2 a na intervalu (1, ). c Robert Mařík, 2005 × Najděte lokální extrémy funkce y = 1 + x 1 - x 4 . D( f ) = R \ {1} ; y = 8 (1 + x)3 (1 - x)5 ; x1 = -1 x1 = -1 min 1 y (-2) < 0 y (0) > 0 y (2) < 0 ˇ Funkce má lokální minimum v x = -1. ˇ Funkce nemá žádný další lokální extrém. Zejména, funkce nemá extrém v bodě x = 1, protože 1 D( f ). c Robert Mařík, 2005 × Najděte lokální extrémy funkce y = 1 + x 1 - x 4 . D( f ) = R \ {1} ; y = 8 (1 + x)3 (1 - x)5 ; x1 = -1 x1 = -1 min 1 Hotovo! c Robert Mařík, 2005 × Najděte lokální extrémy funkce y = x (1 + x)3 a určete intervaly monotonie. D( f ) = R \ {-1} ; y = 1 - 2x (1 + x)4 ; x1 = 1 2 y = 1 (1 + x)3 - x 3(1 + x)2 ((1 + x)3)2 = (1 + x)2(1 + x - 3x) (1 + x)6 = 1 - 2x (1 + x)4 Stacionární bod: x1 = 1 2 MAX c Robert Mařík, 2005 × Najděte lokální extrémy funkce y = x (1 + x)3 . D( f ) = R \ {-1} ; y = 1 - 2x (1 + x)4 ; x1 = 1 2 y = 1 (1 + x)3 - x 3(1 + x)2 ((1 + x)3)2 = (1 + x)2(1 + x - 3x) (1 + x)6 = 1 - 2x (1 + x)4 Stacionární bod: x1 = 1 2 MAX Určíme definiční obor. Jediné omezení plyne ze jmenovatele zlomku: 1 + x = 0, t.j. x = -1. c Robert Mařík, 2005 × Najděte lokální extrémy funkce y = x (1 + x)3 . D( f ) = R \ {-1} ; y = 1 - 2x (1 + x)4 ; x1 = 1 2 y = 1 (1 + x)3 - x 3(1 + x)2 ((1 + x)3)2 = (1 + x)2(1 + x - 3x) (1 + x)6 = 1 - 2x (1 + x)4 Stacionární bod: x1 = 1 2 MAX ˇ Derivujeme funkci podle pravidla pro derivaci podílu. ˇ Při derivování jmenovatele (1 + x)3 neumocňujeme, ale použijeme řetězové pravidlo ((1 + x)3 ) = 3(1 + x)2 (1 + x) = 3(1 + x)2 . Tento trik umožní v dalším kroku vy- tknout a zkrátit. c Robert Mařík, 2005 × Najděte lokální extrémy funkce y = x (1 + x)3 . D( f ) = R \ {-1} ; y = 1 - 2x (1 + x)4 ; x1 = 1 2 y = 1 (1 + x)3 - x 3(1 + x)2 ((1 + x)3)2 = (1 + x)2(1 + x - 3x) (1 + x)6 = 1 - 2x (1 + x)4 Stacionární bod: x1 = 1 2 MAX Upravíme čitatel druhého zlomku. Vytkneme výraz (1 + x)2 před závorku v čitateli. c Robert Mařík, 2005 × Najděte lokální extrémy funkce y = x (1 + x)3 . D( f ) = R \ {-1} ; y = 1 - 2x (1 + x)4 ; x1 = 1 2 y = 1 (1 + x)3 - x 3(1 + x)2 ((1 + x)3)2 = (1 + x)2(1 + x - 3x) (1 + x)6 = 1 - 2x (1 + x)4 Stacionární bod: x1 = 1 2 MAXZkrátíme (1 + x)2 a upravíme. c Robert Mařík, 2005 × Najděte lokální extrémy funkce y = x (1 + x)3 . D( f ) = R \ {-1} ; y = 1 - 2x (1 + x)4 ; x1 = 1 2 Stacionární bod: x1 = 1 2 -1 x1 = 1 2 MAX y (-2) > 0 y (0) > 0 y (2) < 0 ˇ Máme derivaci y . ˇ Definiční obor této derivace se shoduje s definičním obo- rem původní funkce, t.j. R \ {-1}. ˇ Budeme zkoumat znaménko derivace. c Robert Mařík, 2005 × Najděte lokální extrémy funkce y = x (1 + x)3 . D( f ) = R \ {-1} ; y = 1 - 2x (1 + x)4 ; x1 = 1 2 Stacionární bod: x1 = 1 2 -1 x1 = 1 2 MAX y (-2) > 0 y (0) > 0 y (2) < 0ˇ Hledáme nejprve body, kde platí y = 0. ˇ Zlomek je nulový, pokud je nulový čitatel. Jediný stacionární bod je tedy řešením rovnice 1 - 2x = 0. c Robert Mařík, 2005 × Najděte lokální extrémy funkce y = x (1 + x)3 . D( f ) = R \ {-1} ; y = 1 - 2x (1 + x)4 ; x1 = 1 2 -1 x1 = 1 2 MAX y (-2) > 0 y (0) > 0 y (2) < 0 ˇ Zakreslíme stacionární bod a bod nespojitosti na reálnou osu. ˇ Osa je rozdělena na tři podintervaly. Funkce zachovává na každém intervalu typ monotonie. c Robert Mařík, 2005 × Najděte lokální extrémy funkce y = x (1 + x)3 . D( f ) = R \ {-1} ; y = 1 - 2x (1 + x)4 ; x1 = 1 2 -1 x1 = 1 2 MAX y (-2) > 0 y (0) > 0 y (2) < 0 ˇ Zkoumejme interval (-, -1) ˇ Zvolíme v tomto intervalu testovací bod. ˇ Necht'1 = -2 je testovací bod. ˇ Určíme derivaci v tomto bodě. c Robert Mařík, 2005 × Najděte lokální extrémy funkce y = x (1 + x)3 . D( f ) = R \ {-1} ; y = 1 - 2x (1 + x)4 ; x1 = 1 2 -1 x1 = 1 2 MAX y (-2) > 0 y (0) > 0 y (2) < 0 y (-2) = 1 - 2(-2) (1 - 2)6 = 5 1 > 0. Derivace je kladná a funkce roste v bodě 2 = -2 a na intervalu (-, -1). c Robert Mařík, 2005 × Najděte lokální extrémy funkce y = x (1 + x)3 . D( f ) = R \ {-1} ; y = 1 - 2x (1 + x)4 ; x1 = 1 2 -1 x1 = 1 2 MAX y (-2) > 0 y (0) > 0 y (2) < 0 Podobně, bod 2 = 0 leží v intervalu (-1, 1 2 ) a splňuje y (0) = 1 1 > 0. Funkce je rostoucí v bodě 2 = 0 a na intervalu (-1, 1 2 ). c Robert Mařík, 2005 × Najděte lokální extrémy funkce y = x (1 + x)3 . D( f ) = R \ {-1} ; y = 1 - 2x (1 + x)4 ; x1 = 1 2 -1 x1 = 1 2 MAX y (-2) > 0 y (0) > 0 y (2) < 0 Konečně, platí y (2) = 1 - 4 34 < 0. Funkce klesá v bodě 3 = 2 a na intervalu ( 1 2 , ). c Robert Mařík, 2005 × Najděte lokální extrémy funkce y = x (1 + x)3 . D( f ) = R \ {-1} ; y = 1 - 2x (1 + x)4 ; x1 = 1 2 -1 x1 = 1 2 MAX y (-2) > 0 y (0) > 0 y (2) < 0 ˇ Funkce má lokální maximum v bodě x = 1 2 . ˇ Funkce nemá žádný další lokální extrém. c Robert Mařík, 2005 × Najděte lokální extrémy funkce y = x (1 + x)3 . D( f ) = R \ {-1} ; y = 1 - 2x (1 + x)4 ; x1 = 1 2 -1 x1 = 1 2 MAX Hotovo! c Robert Mařík, 2005 × Najděte lokální extrémy funkce y = x3 x - 1 a určete intervaly monotonie. D( f ) = R \ {1}; y = x2(2x - 3) (x - 1)2 ; x1,2 = 0, x3 = 3 2 y = (x3) (x - 1) - x3(x - 1) (x - 1)2 = 3x2(x - 1) - x3(1 - 0) (x - 1)2 = 2x3 - 3x2 (x - 1)2 = x2(2x - 3) (x - 1)2 x2(2x - 3) c Robert Mařík, 2005 × Najděte lokální extrémy funkce y = x3 x - 1 . D( f ) = R \ {1}; y = x2(2x - 3) (x - 1)2 ; x1,2 = 0, x3 = 3 2 y = (x3) (x - 1) - x3(x - 1) (x - 1)2 = 3x2(x - 1) - x3(1 - 0) (x - 1)2 = 2x3 - 3x2 (x - 1)2 = x2(2x - 3) (x - 1)2 x2(2x - 3) = 0 Určíme definiční obor. Nesmí být nula ve jmenovateli. c Robert Mařík, 2005 × Najděte lokální extrémy funkce y = x3 x - 1 . D( f ) = R \ {1}; y = x2(2x - 3) (x - 1)2 ; x1,2 = 0, x3 = 3 2 y = (x3) (x - 1) - x3(x - 1) (x - 1)2 = 3x2(x - 1) - x3(1 - 0) (x - 1)2 = 2x3 - 3x2 (x - 1)2 = x2(2x - 3) (x - 1)2 x2(2x - 3) = 0 Derivujeme podíl podle vzorce u v = u v - uv v2 . c Robert Mařík, 2005 × Najděte lokální extrémy funkce y = x3 x - 1 . D( f ) = R \ {1}; y = x2(2x - 3) (x - 1)2 ; x1,2 = 0, x3 = 3 2 y = (x3) (x - 1) - x3(x - 1) (x - 1)2 = 3x2(x - 1) - x3(1 - 0) (x - 1)2 = 2x3 - 3x2 (x - 1)2 = x2(2x - 3) (x - 1)2 x2(2x - 3) = 0 Doderivujeme c Robert Mařík, 2005 × Najděte lokální extrémy funkce y = x3 x - 1 . D( f ) = R \ {1}; y = x2(2x - 3) (x - 1)2 ; x1,2 = 0, x3 = 3 2 y = (x3) (x - 1) - x3(x - 1) (x - 1)2 = 3x2(x - 1) - x3(1 - 0) (x - 1)2 = 2x3 - 3x2 (x - 1)2 = x2(2x - 3) (x - 1)2 x2(2x - 3) = 0 Upravíme. Zde je jedno jestli nejprve roznásobíme nebo vytkneme, protože roznásobujeme jenom mocninou x. c Robert Mařík, 2005 × Najděte lokální extrémy funkce y = x3 x - 1 . D( f ) = R \ {1}; y = x2(2x - 3) (x - 1)2 ; x1,2 = 0, x3 = 3 2 y = (x3) (x - 1) - x3(x - 1) (x - 1)2 = 3x2(x - 1) - x3(1 - 0) (x - 1)2 = 2x3 - 3x2 (x - 1)2 = x2(2x - 3) (x - 1)2 x2(2x - 3) = 0 Rozložíme na součin. c Robert Mařík, 2005 × Najděte lokální extrémy funkce y = x3 x - 1 . D( f ) = R \ {1}; y = x2(2x - 3) (x - 1)2 ; x1,2 = 0, x3 = 3 2 x2(2x - 3) (x - 1)2 = 0 x2 (2x - 3) = 0 x1,2 = 0 x3 = 3 2 x1,2 = 0 x = 1 x3 = 3 2 min ˇ Našli jsme derivaci. Zajímá nás, kdy je tato derivace kladná a kdy záporná. ˇ Předně: derivace není definovaná pro x = 1. ˇ Dále řešíme rovnici y = 0. c Robert Mařík, 2005 × Najděte lokální extrémy funkce y = x3 x - 1 . D( f ) = R \ {1}; y = x2(2x - 3) (x - 1)2 ; x1,2 = 0, x3 = 3 2 x2(2x - 3) (x - 1)2 = 0 x2 (2x - 3) = 0 x1,2 = 0 x3 = 3 2 x1,2 = 0 x = 1 x3 = 3 2 min Zlomek je nulový právě tehdy, když je nulový čitatel zlomku. c Robert Mařík, 2005 × Najděte lokální extrémy funkce y = x3 x - 1 . D( f ) = R \ {1}; y = x2(2x - 3) (x - 1)2 ; x1,2 = 0, x3 = 3 2 x2(2x - 3) (x - 1)2 = 0 x2 (2x - 3) = 0 x1,2 = 0 x3 = 3 2 x1,2 = 0 x = 1 x3 = 3 2 min Součin je nula jestliže je alespoň jeden ze součinitelů roven nule. Ř ešíme tedy rovnice x2 = 0 a 2x - 3 = 0 . c Robert Mařík, 2005 × Najděte lokální extrémy funkce y = x3 x - 1 . D( f ) = R \ {1}; y = x2(2x - 3) (x - 1)2 ; x1,2 = 0, x3 = 3 2 x1,2 = 0 x = 1 x3 = 3 2 min y (-1) < 0 y ( 1 2 ) < 0 y (1, 2) < 0 y (2) > 0 ˇ Máme stacionární body a body, kde derivace není defino- vána (a je nespojitá). ˇ Jedině v těchto bodech může derivace měnit znaménko. Vyneseme tyto body na reálnou osu. c Robert Mařík, 2005 × Najděte lokální extrémy funkce y = x3 x - 1 . D( f ) = R \ {1}; y = x2(2x - 3) (x - 1)2 ; x1,2 = 0, x3 = 3 2 x1,2 = 0 x = 1 x3 = 3 2 min y (-1) < 0 y ( 1 2 ) < 0 y (1, 2) < 0 y (2) > 0 Počítáme derivace v libovolných bodech, po jednom z každého podintervalu. y (-1) = (-1)2(-2 - 3) něco kladného = -5 něco kladného < 0 c Robert Mařík, 2005 × Najděte lokální extrémy funkce y = x3 x - 1 . D( f ) = R \ {1}; y = x2(2x - 3) (x - 1)2 ; x1,2 = 0, x3 = 3 2 x1,2 = 0 x = 1 x3 = 3 2 min y (-1) < 0 y ( 1 2 ) < 0 y (1, 2) < 0 y (2) > 0 y ( 1 2 ) = 1 4 (1 - 3) něco kladného < 0 c Robert Mařík, 2005 × Najděte lokální extrémy funkce y = x3 x - 1 . D( f ) = R \ {1}; y = x2(2x - 3) (x - 1)2 ; x1,2 = 0, x3 = 3 2 x1,2 = 0 x = 1 x3 = 3 2 min y (-1) < 0 y ( 1 2 ) < 0 y (1, 2) < 0 y (2) > 0 y (1, 2) = (1, 2)2(2, 4 - 3) něco kladného < 0 c Robert Mařík, 2005 × Najděte lokální extrémy funkce y = x3 x - 1 . D( f ) = R \ {1}; y = x2(2x - 3) (x - 1)2 ; x1,2 = 0, x3 = 3 2 x1,2 = 0 x = 1 x3 = 3 2 min y (-1) < 0 y ( 1 2 ) < 0 y (1, 2) < 0 y (2) > 0 y (2) = (2)2(4 - 3) něco kladného > 0 c Robert Mařík, 2005 × Najděte lokální extrémy funkce y = x3 x - 1 . D( f ) = R \ {1}; y = x2(2x - 3) (x - 1)2 ; x1,2 = 0, x3 = 3 2 x1,2 = 0 x = 1 x3 = 3 2 min y (-1) < 0 y ( 1 2 ) < 0 y (1, 2) < 0 y (2) > 0 Pouze v bodě x = 3 2 se mění charakter monotonie. V tomto bodě je lokální minimum. c Robert Mařík, 2005 × Najděte lokální extrémy funkce y = x3 x - 1 . D( f ) = R \ {1}; y = x2(2x - 3) (x - 1)2 ; x1,2 = 0, x3 = 3 2 x1,2 = 0 x = 1 x3 = 3 2 min y (-1) < 0 y ( 1 2 ) < 0 y (1, 2) < 0 y (2) > 0 Hotovo. c Robert Mařík, 2005 × Najděte lokální extrémy funkce y = 3x + 1 x3 a určete intervaly monotonie. D( f ) = R \ {0} ; y (x) = -3 2x + 1 x4 ; x1 = - 1 2 y = 3x3 - (3x + 1)3x2 (x3)2 = 3x2 x - (3x + 1) x6 = 3 x - 3x - 1 x4 = 3 -2x - 1 x4 = -3 2x + 1 x4 Stacionární bod: x1 = - 1 2 . x1 = - 1 2 MAX 0 c Robert Mařík, 2005 × Najděte lokální extrémy funkce y = 3x + 1 x3 . D( f ) = R \ {0} ; y (x) = -3 2x + 1 x4 ; x1 = - 1 2 y = 3x3 - (3x + 1)3x2 (x3)2 = 3x2 x - (3x + 1) x6 = 3 x - 3x - 1 x4 = 3 -2x - 1 x4 = -3 2x + 1 x4 Stacionární bod: x1 = - 1 2 . x1 = - 1 2 MAX 0Určíme definiční obor funkce. Jediné omezení plyne ze jmenovatele zlomku. Tedy x = 0. c Robert Mařík, 2005 × Najděte lokální extrémy funkce y = 3x + 1 x3 . D( f ) = R \ {0} ; y (x) = -3 2x + 1 x4 ; x1 = - 1 2 y = 3x3 - (3x + 1)3x2 (x3)2 = 3x2 x - (3x + 1) x6 = 3 x - 3x - 1 x4 = 3 -2x - 1 x4 = -3 2x + 1 x4 Stacionární bod: x1 = - 1 2 . x1 = - 1 2 MAX 0 Derivujeme podíl podle vzorce u v = u v - uv v2 kde u = 3x + 1 a v = x3 . c Robert Mařík, 2005 × Najděte lokální extrémy funkce y = 3x + 1 x3 . D( f ) = R \ {0} ; y (x) = -3 2x + 1 x4 ; x1 = - 1 2 y = 3x3 - (3x + 1)3x2 (x3)2 = 3x2 x - (3x + 1) x6 = 3 x - 3x - 1 x4 = 3 -2x - 1 x4 = -3 2x + 1 x4 Stacionární bod: x1 = - 1 2 . x1 = - 1 2 MAX 0 ˇ Hledáme nejprve body, kde je derivace nulová. ˇ Abychommělipozdějisnadné a pohodlné,conejvíceupra- víme a rozložíme na součin. ˇ Vytkneme tedy faktor 3x2 . c Robert Mařík, 2005 × Najděte lokální extrémy funkce y = 3x + 1 x3 . D( f ) = R \ {0} ; y (x) = -3 2x + 1 x4 ; x1 = - 1 2 y = 3x3 - (3x + 1)3x2 (x3)2 = 3x2 x - (3x + 1) x6 = 3 x - 3x - 1 x4 = 3 -2x - 1 x4 = -3 2x + 1 x4 Stacionární bod: x1 = - 1 2 . x1 = - 1 2 MAX 0 ˇ Zkrátíme faktorem x2 . ˇ Konstantní násobek 3 napíšeme před zlomek. c Robert Mařík, 2005 × Najděte lokální extrémy funkce y = 3x + 1 x3 . D( f ) = R \ {0} ; y (x) = -3 2x + 1 x4 ; x1 = - 1 2 y = 3x3 - (3x + 1)3x2 (x3)2 = 3x2 x - (3x + 1) x6 = 3 x - 3x - 1 x4 = 3 -2x - 1 x4 = -3 2x + 1 x4 Stacionární bod: x1 = - 1 2 . x1 = - 1 2 MAX 0 Upravíme. c Robert Mařík, 2005 × Najděte lokální extrémy funkce y = 3x + 1 x3 . D( f ) = R \ {0} ; y (x) = -3 2x + 1 x4 ; x1 = - 1 2 y = 3x3 - (3x + 1)3x2 (x3)2 = 3x2 x - (3x + 1) x6 = 3 x - 3x - 1 x4 = 3 -2x - 1 x4 = -3 2x + 1 x4 Stacionární bod: x1 = - 1 2 . x1 = - 1 2 MAX 0 Vytkneme záporné znaménko. c Robert Mařík, 2005 × Najděte lokální extrémy funkce y = 3x + 1 x3 . D( f ) = R \ {0} ; y (x) = -3 2x + 1 x4 ; x1 = - 1 2 Stacionární bod: x1 = - 1 2 . x1 = - 1 2 MAX 0 ˇ Definiční obor derivace je shodný s definičním oborem původní funkce. ˇ Hledáme nejprve stacionární body. c Robert Mařík, 2005 × Najděte lokální extrémy funkce y = 3x + 1 x3 . D( f ) = R \ {0} ; y (x) = -3 2x + 1 x4 ; x1 = - 1 2 Stacionární bod: x1 = - 1 2 . x1 = - 1 2 MAX 0 ˇ Podíl je nulový, pokud je nulový čitatel. ˇ 2x + 1 = 0 pro x = - 1 2 . Bod x1 = - 1 2 je jediným stacio- nárním bodem zadané funkce. c Robert Mařík, 2005 × Najděte lokální extrémy funkce y = 3x + 1 x3 . D( f ) = R \ {0} ; y (x) = -3 2x + 1 x4 ; x1 = - 1 2 x1 = - 1 2 MAX 0 ˇ Vyznačíme bod nespojitosti a stacionární bod na osu x. ˇ Osa x je rozdělena na podintervaly. Na každém podin- tervalu je zachován tentýž typ monotonie pro všechna x náležející do tohoto podintervalu. c Robert Mařík, 2005 × Najděte lokální extrémy funkce y = 3x + 1 x3 . D( f ) = R \ {0} ; y (x) = -3 2x + 1 x4 ; x1 = - 1 2 x1 = - 1 2 MAX 0 Zvolíme testovací bod z intervalu (-, - 1 2 ). Necht'je to bod 1 = -1. Vypočteme derivaci v bodě 1. c Robert Mařík, 2005 × Najděte lokální extrémy funkce y = 3x + 1 x3 . D( f ) = R \ {0} ; y (x) = -3 2x + 1 x4 ; x1 = - 1 2 x1 = - 1 2 MAX 0 y (-1) = -3 -2 + 1 (-1)4 > 0 Funkce je tedy rostoucí v bodě 1 = -1 a totéž platí pro všechny body z intervalu (-, - 1 2 ). c Robert Mařík, 2005 × Najděte lokální extrémy funkce y = 3x + 1 x3 . D( f ) = R \ {0} ; y (x) = -3 2x + 1 x4 ; x1 = - 1 2 x1 = - 1 2 MAX 0 Zvolíme bod 2 = - 1 4 z intervalu (- 1 2 , 0). Určíme derivaci v tomto bodě. c Robert Mařík, 2005 × Najděte lokální extrémy funkce y = 3x + 1 x3 . D( f ) = R \ {0} ; y (x) = -3 2x + 1 x4 ; x1 = - 1 2 x1 = - 1 2 MAX 0 y (-1/4) = -3 -1 2 + 1 kladný výraz < 0 a funkce je tedy klesající v bodě 2 = -1/4 a i na celém intervalu (- 1 2 , 0). c Robert Mařík, 2005 × Najděte lokální extrémy funkce y = 3x + 1 x3 . D( f ) = R \ {0} ; y (x) = -3 2x + 1 x4 ; x1 = - 1 2 x1 = - 1 2 MAX 0 Podobně, pro 3 = 1 dostáváme y (1) = -3 2 + 1 kladný výraz < 0 a funkce je klesající v bodě 3 = 1 a na intervalu (0, ). c Robert Mařík, 2005 × Najděte lokální extrémy funkce y = 3x + 1 x3 . D( f ) = R \ {0} ; y (x) = -3 2x + 1 x4 ; x1 = - 1 2 x1 = - 1 2 MAX 0 ˇ Funkce je spojitá na R \ {0}. ˇ Funkce má lokální maximum v bodě x = - 1 2 a nemá žádný další lokální extrém. c Robert Mařík, 2005 × Najděte lokální extrémy funkce y = 3x + 1 x3 . D( f ) = R \ {0} ; y (x) = -3 2x + 1 x4 ; x1 = - 1 2 x1 = - 1 2 MAX 0 ˇ Problém je vyřešen! ˇ Všechno co se týká monotonie plyne z nakresleného sche- matu. ˇ V dalším příkladě si oprášíte i znalosti cizího jazyka :). c Robert Mařík, 2005 × Find local extrema of the function y = x2 e-x and establish the intervals of monotonicity. D( f ) = R ; y (x) = e-x x(2 - x) ; y = (x2 ) e-x + x2 (e-x ) = 2xe-x + x2 (-1)e-x = e-x (2x - x2 ) = e-x x(2 - x) Stationary points: x1 = 0, x2 = 2. x1 = 0, x2 = 2. x1 = 0 min x2 = 2 MAX c Robert Mařík, 2005 × Find local extrema of the function y = x2 e-x and establish the intervals of monotonicity. D( f ) = R ; y (x) = e-x x(2 - x) ; y = (x2 ) e-x + x2 (e-x ) = 2xe-x + x2 (-1)e-x = e-x (2x - x2 ) = e-x x(2 - x) Stationary points: x1 = 0, x2 = 2. x1 = 0, x2 = 2. x1 = 0 min x2 = 2 MAX We establish the domain of the function. There is no restriction for x and hence the domain is R. c Robert Mařík, 2005 × Find local extrema of the function y = x2 e-x and establish the intervals of monotonicity. D( f ) = R ; y (x) = e-x x(2 - x) ; y = (x2 ) e-x + x2 (e-x ) = 2xe-x + x2 (-1)e-x = e-x (2x - x2 ) = e-x x(2 - x) Stationary points: x1 = 0, x2 = 2. x1 = 0, x2 = 2. x1 = 0 min x2 = 2 MAX We use the chain rule (uv) = u v + uv with u = x2 and v = e-x . c Robert Mařík, 2005 × Find local extrema of the function y = x2 e-x and establish the intervals of monotonicity. D( f ) = R ; y (x) = e-x x(2 - x) ; y = (x2 ) e-x + x2 (e-x ) = 2xe-x + x2 (-1)e-x = e-x (2x - x2 ) = e-x x(2 - x) Stationary points: x1 = 0, x2 = 2. x1 = 0, x2 = 2. x1 = 0 min x2 = 2 MAX We use the power rule for derivative of x2 and the formula and the chain rule for derivative of e-x . c Robert Mařík, 2005 × Find local extrema of the function y = x2 e-x and establish the intervals of monotonicity. D( f ) = R ; y (x) = e-x x(2 - x) ; y = (x2 ) e-x + x2 (e-x ) = 2xe-x + x2 (-1)e-x = e-x (2x - x2 ) = e-x x(2 - x) Stationary points: x1 = 0, x2 = 2. x1 = 0, x2 = 2. x1 = 0 min x2 = 2 MAX ˇ We will look for the points where y = 0. ˇ From this reason it is useful to factor the derivative. ˇ We take out the common factor e-x . c Robert Mařík, 2005 × Find local extrema of the function y = x2 e-x and establish the intervals of monotonicity. D( f ) = R ; y (x) = e-x x(2 - x) ; y = (x2 ) e-x + x2 (e-x ) = 2xe-x + x2 (-1)e-x = e-x (2x - x2 ) = e-x x(2 - x) Stationary points: x1 = 0, x2 = 2. x1 = 0, x2 = 2. x1 = 0 min x2 = 2 MAX The quadratic expression in the parentheses can be factored by taking out the factor x. c Robert Mařík, 2005 × Find local extrema of the function y = x2 e-x and establish the intervals of monotonicity. D( f ) = R ; y (x) = e-x x(2 - x) ; Stationary points: x1 = 0, x2 = 2. x1 = 0, x2 = 2. x1 = 0 min x2 = 2 MAX ˇ Now it is easy to find the stationary points. ˇ The derivative equals zero iff one of its factors equals to zero. ˇ The factor e-x is never equal to zero. ˇ The factor (x - 2) equals zero iff x = 2. c Robert Mařík, 2005 × Find local extrema of the function y = x2 e-x and establish the intervals of monotonicity. D( f ) = R ; y (x) = e-x x(2 - x) ; x1 = 0, x2 = 2. x1 = 0 min x2 = 2 MAX ˇ We mark the domain of the derivative (no restriction) and the stationary points to the real axis. ˇ The axis is divided into three subintervals. ˇ In each of these subintervals the type of the monotonicity is preserved for all x. c Robert Mařík, 2005 × Find local extrema of the function y = x2 e-x and establish the intervals of monotonicity. D( f ) = R ; y (x) = e-x x(2 - x) ; x1 = 0, x2 = 2. x1 = 0 min x2 = 2 MAX We choose an arbitrary test number from the first interval (-, 0). Let 1 = -1 be such a number. We evaluate the derivative at 1: y (-1) = e-(-1) (-1)(2 - (-1)) = e1 (-1)3 < 0 Hence the function is decreasing at 1 and the same is true for the interval (-, 0). c Robert Mařík, 2005 × Find local extrema of the function y = x2 e-x and establish the intervals of monotonicity. D( f ) = R ; y (x) = e-x x(2 - x) ; x1 = 0, x2 = 2. x1 = 0 min x2 = 2 MAX We choose the test number 2 = 1 from the second interval (0, 2). The derivative evaluated at this point is y (1) = e-1 1(2 - 1) = e-1 > 0 and hence the function is increasing at 2 = 1 and also on the interval (0, 2). c Robert Mařík, 2005 × Find local extrema of the function y = x2 e-x and establish the intervals of monotonicity. D( f ) = R ; y (x) = e-x x(2 - x) ; x1 = 0, x2 = 2. x1 = 0 min x2 = 2 MAX We choose the test number 3 = 3 from the last interval (2, ). The derivative evaluated at this point is y (3) = e-3 3(2 - 3) = -3e-3 < 0 and hence the function is decreasing at 3 = 3 and also on the interval (2, ). c Robert Mařík, 2005 × Find local extrema of the function y = x2 e-x and establish the intervals of monotonicity. D( f ) = R ; y (x) = e-x x(2 - x) ; x1 = 0, x2 = 2. x1 = 0 min x2 = 2 MAX ˇ The function is continuous on R (why? explain!). ˇ From the scheme of monotonicity it follows that the function possesses a local minimum at x = 0 and a local maximum at x = 2. c Robert Mařík, 2005 × Find local extrema of the function y = x2 e-x and establish the intervals of monotonicity. D( f ) = R ; y (x) = e-x x(2 - x) ; x1 = 0, x2 = 2. x1 = 0 min x2 = 2 MAX ˇ The problem is solved! ˇ Everything concerning monotonicity and local extrema is clear from the picture. c Robert Mařík, 2005 × Find local extrema of the function y = x2 ln x . Establish the intervals of monotonicity. D( f ) = R+ \ {1} = (0, 1) (1, ). y = 2x ln x - x2 1 x ln2 x = 2x ln x - x ln2 x = x(2 ln x - 1) ln2 x Stationary point: x1 = e1/2 . D( f ) = (0, 1) (1, ) ; y = x(2 ln x - 1) ln2 x ; x1 = e1/2 . 0 1 x1 = e1/2 min c Robert Mařík, 2005 × Find local extrema of the function y = x2 ln x . D( f ) = R+ \ {1} = (0, 1) (1, ). y = 2x ln x - x2 1 x ln2 x = 2x ln x - x ln2 x = x(2 ln x - 1) ln2 x Stationary point: x1 = e1/2 . D( f ) = (0, 1) (1, ) ; y = x(2 ln x - 1) ln2 x ; x1 = e1/2 . 0 1 x1 = e1/2 min ˇ We establish the domain of the function. ˇ There is a restriction x > 0 from the ln() function. ˇ There is a restriction ln x = 0 from the denominator of the fraction. Since ln x = 0 for x = e0 = 1, this is equivalent to the restriction x = 1. ˇ The domain is D( f ) = R+ \ {1} = (0, 1) (1, ). c Robert Mařík, 2005 × Find local extrema of the function y = x2 ln x . D( f ) = R+ \ {1} = (0, 1) (1, ). y = 2x ln x - x2 1 x ln2 x = 2x ln x - x ln2 x = x(2 ln x - 1) ln2 x Stationary point: x1 = e1/2 . D( f ) = (0, 1) (1, ) ; y = x(2 ln x - 1) ln2 x ; x1 = e1/2 . 0 1 x1 = e1/2 min We differentiate by the quotient rule u v = u v - uv v2 with u = x2 and v = ln x. c Robert Mařík, 2005 × Find local extrema of the function y = x2 ln x . D( f ) = R+ \ {1} = (0, 1) (1, ). y = 2x ln x - x2 1 x ln2 x = 2x ln x - x ln2 x = x(2 ln x - 1) ln2 x Stationary point: x1 = e1/2 . D( f ) = (0, 1) (1, ) ; y = x(2 ln x - 1) ln2 x ; x1 = e1/2 . 0 1 x1 = e1/2 min We simplify the numerator. c Robert Mařík, 2005 × Find local extrema of the function y = x2 ln x . D( f ) = R+ \ {1} = (0, 1) (1, ). y = 2x ln x - x2 1 x ln2 x = 2x ln x - x ln2 x = x(2 ln x - 1) ln2 x Stationary point: x1 = e1/2 . D( f ) = (0, 1) (1, ) ; y = x(2 ln x - 1) ln2 x ; x1 = e1/2 . 0 1 x1 = e1/2 min ˇ We will look for the points where y = 0. ˇ The fraction equals zero iff the numerator equals zero. ˇ From this reason it is useful to factor the numerator. ˇ We take out the common factor x in the numerator. c Robert Mařík, 2005 × Find local extrema of the function y = x2 ln x . D( f ) = R+ \ {1} = (0, 1) (1, ). y = 2x ln x - x2 1 x ln2 x = 2x ln x - x ln2 x = x(2 ln x - 1) ln2 x Stationary point: x1 = e1/2 . D( f ) = (0, 1) (1, ) ; y = x(2 ln x - 1) ln2 x ; x1 = e1/2 . 0 1 x1 = e1/2 min ˇ Now it is easy to find the stationary points. ˇ The fraction equals zero iff one of the factors in the nume- rator equals to zero. c Robert Mařík, 2005 × Find local extrema of the function y = x2 ln x . D( f ) = R+ \ {1} = (0, 1) (1, ). y = 2x ln x - x2 1 x ln2 x = 2x ln x - x ln2 x = x(2 ln x - 1) ln2 x Stationary point: x1 = e1/2 . D( f ) = (0, 1) (1, ) ; y = x(2 ln x - 1) ln2 x ; x1 = e1/2 . 0 1 x1 = e1/2 min ˇ The factor (2 ln x - 1) equals zero for ln x = 1 2 , i.e. for x = e1/2 c Robert Mařík, 2005 × Find local extrema of the function y = x2 ln x . D( f ) = R+ \ {1} = (0, 1) (1, ). y = 2x ln x - x2 1 x ln2 x = 2x ln x - x ln2 x = x(2 ln x - 1) ln2 x Stationary point: x1 = e1/2 . D( f ) = (0, 1) (1, ) ; y = x(2 ln x - 1) ln2 x ; x1 = e1/2 . 0 1 x1 = e1/2 min ˇ The factor x never equals zero due to the restriction on the domain. ˇ There is no other stationary point c Robert Mařík, 2005 × Find local extrema of the function y = x2 ln x . D( f ) = (0, 1) (1, ) ; y = x(2 ln x - 1) ln2 x ; x1 = e1/2 . 0 1 x1 = e1/2 min ˇ We will work with the derivative and the stationary point. ˇ We have to find the domain of the derivative. Since the restrictions are the same as for the original function, the domain of f is the same as the domain of f. c Robert Mařík, 2005 × Find local extrema of the function y = x2 ln x . D( f ) = (0, 1) (1, ) ; y = x(2 ln x - 1) ln2 x ; x1 = e1/2 . 0 1 x1 = e1/2 min ˇ We mark the domain of the derivative (including the point of discontinuity) and the stationary point to the real axis. ˇ Since 1 = e0 and 0 < 1/2, then 1 < e1/2 . (The exponential function is increasing) c Robert Mařík, 2005 × Find local extrema of the function y = x2 ln x . D( f ) = (0, 1) (1, ) ; y = x(2 ln x - 1) ln2 x ; x1 = e1/2 . 0 1 x1 = e1/2 min ˇ The axis is divided into four subintervals. One of these subintervals does not belong to the domain. ˇ In each of the remaining subintervals the type of the mo- notonicity is preserved for all x. c Robert Mařík, 2005 × Find local extrema of the function y = x2 ln x . D( f ) = (0, 1) (1, ) ; y = x(2 ln x - 1) ln2 x ; x1 = e1/2 . 0 1 x1 = e1/2 min Let 1 = e-1 is a test number from the first subinterval. The derivative at 1 is negative, since y (-1) = e-1(-2 - 1) (-1)2 < 0, where we used ln(e-1 ) = -1. Hence the function is decreasing at 1 and the same is true for the interval (0, 1). c Robert Mařík, 2005 × Find local extrema of the function y = x2 ln x . D( f ) = (0, 1) (1, ) ; y = x(2 ln x - 1) ln2 x ; x1 = e1/2 . 0 1 x1 = e1/2 min 2 = e1/4 satisfies 1 < e1/4 < e1/2 and ln(e1/2 ) = 1 2 . Hence y (e1/4 ) = e1/4(1 2 - 1) 1 2 2 < 0. c Robert Mařík, 2005 × Find local extrema of the function y = x2 ln x . D( f ) = (0, 1) (1, ) ; y = x(2 ln x - 1) ln2 x ; x1 = e1/2 . 0 1 x1 = e1/2 min 3 = e satisfies 1 < e and ln(e) = 1. Hence y (e) = e(2 - 1) 12 > 0. c Robert Mařík, 2005 × Find local extrema of the function y = x2 ln x . D( f ) = (0, 1) (1, ) ; y = x(2 ln x - 1) ln2 x ; x1 = e1/2 . 0 1 x1 = e1/2 min Finished. The function possesses unique local minimum at x = e 1 2 and no local maximum. c Robert Mařík, 2005 × KONEC c Robert Mařík, 2005 ×