Nevlastní integrál
Lenka Přibylová
3. srpna 2006
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Obsah

1
2
1
x ln2
x
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Najděte

1
2
1
x ln2
x
dx.

1
2
1
x ln2
x
dx =
1
1
2
1
x ln2
x
dx +

1
1
x ln2
x
dx
=
1
1
2
1
x ln2
x
dx +
2
1
1
x ln2
x
dx +

2
1
x ln2
x
dx
= lim
t1-
t
1
2
1
x ln2
x
dx + lim
t1+
2
t
1
x ln2
x
dx + lim
t
t
2
1
x ln2
x
dx
= lim
t1-
-
1
ln x
t
1
2
+ lim
t1+
-
1
ln x
2
t
+ lim
t
-
1
ln x
t
2
= lim
t1-
-
1
ln t
+
1
ln 1
2
+ lim
t1+
-
1
ln 2
+
1
ln t
+ lim
t
-
1
ln t
+
1
ln 2
=  +
1
ln 1
2
+ 
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Najděte

1
2
1
x ln2
x
dx.

1
2
1
x ln2
x
dx =
1
1
2
1
x ln2
x
dx +

1
1
x ln2
x
dx
=
1
1
2
1
x ln2
x
dx +
2
1
1
x ln2
x
dx +

2
1
x ln2
x
dx
= lim
t1-
t
1
2
1
x ln2
x
dx + lim
t1+
2
t
1
x ln2
x
dx + lim
t
t
2
1
x ln2
x
dx
= lim
t1-
-
1
ln x
t
1
2
+ lim
t1+
-
1
ln x
2
t
+ lim
t
-
1
ln x
t
2
= lim
t1-
-
1
ln t
+
1
ln 1
2
+ lim
t1+
-
1
ln 2
+
1
ln t
+ lim
t
-
1
ln t
+
1
ln 2
=  +
1
ln 1
2
+ 
V horní mezi má integrál singularitu vlivem meze. Navíc má
singularitu uvnitř intervalu integrace v bodě x = 1, protože zde funkce
není definovaná. Jde o výraz typu
1
0
. Nelze spočítat určitý integrál,
protože v x = 1 neexistuje primitivní funkce a interval integrace je
nekonečný.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Najděte

1
2
1
x ln2
x
dx.

1
2
1
x ln2
x
dx =
1
1
2
1
x ln2
x
dx +

1
1
x ln2
x
dx
=
1
1
2
1
x ln2
x
dx +
2
1
1
x ln2
x
dx +

2
1
x ln2
x
dx
= lim
t1-
t
1
2
1
x ln2
x
dx + lim
t1+
2
t
1
x ln2
x
dx + lim
t
t
2
1
x ln2
x
dx
= lim
t1-
-
1
ln x
t
1
2
+ lim
t1+
-
1
ln x
2
t
+ lim
t
-
1
ln x
t
2
= lim
t1-
-
1
ln t
+
1
ln 1
2
+ lim
t1+
-
1
ln 2
+
1
ln t
+ lim
t
-
1
ln t
+
1
ln 2
=  +
1
ln 1
2
+ Rozdělíme integrál na dva. První má sigularitu v horní mezi vlivem
funkce. Druhý má dvě singularity - v dolní mezi vlivem funkce, v
horní mezi vlivem meze.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Najděte

1
2
1
x ln2
x
dx.

1
2
1
x ln2
x
dx =
1
1
2
1
x ln2
x
dx +

1
1
x ln2
x
dx
=
1
1
2
1
x ln2
x
dx +
2
1
1
x ln2
x
dx +

2
1
x ln2
x
dx
= lim
t1-
t
1
2
1
x ln2
x
dx + lim
t1+
2
t
1
x ln2
x
dx + lim
t
t
2
1
x ln2
x
dx
= lim
t1-
-
1
ln x
t
1
2
+ lim
t1+
-
1
ln x
2
t
+ lim
t
-
1
ln x
t
2
= lim
t1-
-
1
ln t
+
1
ln 1
2
+ lim
t1+
-
1
ln 2
+
1
ln t
+ lim
t
-
1
ln t
+
1
ln 2
=  +
1
ln 1
2
+ 
Druhý integrál rozdělíme na dva např. v bodě x = 2. Každý integrál
má nyní pouze jednu singularitu.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Najděte

1
2
1
x ln2
x
dx.

1
2
1
x ln2
x
dx =
1
1
2
1
x ln2
x
dx +

1
1
x ln2
x
dx
=
1
1
2
1
x ln2
x
dx +
2
1
1
x ln2
x
dx +

2
1
x ln2
x
dx
= lim
t1-
t
1
2
1
x ln2
x
dx + lim
t1+
2
t
1
x ln2
x
dx + lim
t
t
2
1
x ln2
x
dx
= lim
t1-
-
1
ln x
t
1
2
+ lim
t1+
-
1
ln x
2
t
+ lim
t
-
1
ln x
t
2
= lim
t1-
-
1
ln t
+
1
ln 1
2
+ lim
t1+
-
1
ln 2
+
1
ln t
+ lim
t
-
1
ln t
+
1
ln 2
=  +
1
ln 1
2
+ 
Přepíšeme pomocí limitního přechodu v mezi. Pro všechna reálná t
z levého okolí x = 1 je nyní první integrál určitý, podobně další dva,
lze proto použít Newton-Leibnitzovu formuli. Najdeme primitivní
funkci v pomocném výpočtu.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Najděte

1
2
1
x ln2
x
dx.

1
2
1
x ln2
x
dx =
1
1
2
1
x ln2
x
dx +

1
1
x ln2
x
dx
=
1
1
2
1
x ln2
x
dx +
2
1
1
x ln2
x
dx +

2
1
x ln2
x
dx
= lim
t1-
t
1
2
1
x ln2
x
dx + lim
t1+
2
t
1
x ln2
x
dx + lim
t
t
2
1
x ln2
x
dx
= lim
t1-
-
1
ln x
t
1
2
+ lim
t1+
-
1
ln x
2
t
+ lim
t
-
1
ln x
t
2
= lim
t1-
-
1
ln t
+
1
ln 1
2
+ lim
t1+
-
1
ln 2
+
1
ln t
+ lim
t
-
1
ln t
+
1
ln 2
=  +
1
ln 1
2
+ 
1
x ln2
x
dx =
ln x = t
1
x
dx = dt
=
1
t2
dt = -
1
t
+ c = -
1
ln x
+ c
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Najděte

1
2
1
x ln2
x
dx.

1
2
1
x ln2
x
dx =
1
1
2
1
x ln2
x
dx +

1
1
x ln2
x
dx
=
1
1
2
1
x ln2
x
dx +
2
1
1
x ln2
x
dx +

2
1
x ln2
x
dx
= lim
t1-
t
1
2
1
x ln2
x
dx + lim
t1+
2
t
1
x ln2
x
dx + lim
t
t
2
1
x ln2
x
dx
= lim
t1-
-
1
ln x
t
1
2
+ lim
t1+
-
1
ln x
2
t
+ lim
t
-
1
ln x
t
2
= lim
t1-
-
1
ln t
+
1
ln 1
2
+ lim
t1+
-
1
ln 2
+
1
ln t
+ lim
t
-
1
ln t
+
1
ln 2
=  +
1
ln 1
2
+ 
Dosadíme meze.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Najděte

1
2
1
x ln2
x
dx.

1
2
1
x ln2
x
dx =
1
1
2
1
x ln2
x
dx +

1
1
x ln2
x
dx
=
1
1
2
1
x ln2
x
dx +
2
1
1
x ln2
x
dx +

2
1
x ln2
x
dx
= lim
t1-
t
1
2
1
x ln2
x
dx + lim
t1+
2
t
1
x ln2
x
dx + lim
t
t
2
1
x ln2
x
dx
= lim
t1-
-
1
ln x
t
1
2
+ lim
t1+
-
1
ln x
2
t
+ lim
t
-
1
ln x
t
2
= lim
t1-
-
1
ln t
+
1
ln 1
2
+ lim
t1+
-
1
ln 2
+
1
ln t
+ lim
t
-
1
ln t
+
1
ln 2
=  +
1
ln 1
2
+ 
Spočteme limity. Integrál diverguje.
lim
t1-
1
ln t
=
1
0-
= -
lim
t1+
1
ln t
=
1
0+
= 
lim
t
1
ln t
=
1

= 0
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
KONEC
    c Lenka Přibylová, 2006 ×