Objem dutého rotačního tělesa
Lenka Přibylová 31. července 2006
Objem rotačního tělesa vzniklého rotací plochy omezené spojitými funkcemi y = d(x) a y = h(x), které na intervalu (a,b) splňují d(x) < h(x), a přímkami x = a a x = b:
ľ" y = h(x),y = d(x)                         V = n      (h2(x)-d2(x)) dx
Ja
El   B
©Lenka Přibylová. 2006 Q
Vypočtěte objem tělesa, které vznikne rotací obrazce omezeného křivkami
y2 = x a y = x2 kolem osy x.
■
El   B
©Lenka Přibylová. 2006 Q
y2 = x, y = x2, V =? I
/^Nakreslíme grafy obou funkcí. Jejich průsečíky buď vidíme na grafu nebo je dopočítáme:
\fx = x2
4 X = X
0 = x4-x 0 = x(x3-l) x = 0 V x = 1
^^mtmwm
-3ÔÓ6Q
y2 = x, y = x2, V =? I
V = n
Vyjádříme objem rotačního tělesa jako rcx určitý integrál. EH   B   B   M-------~^--------------------
^^^W^^W^lSva. Aws i
y2 = x, y = x2, V =? I
v^/W
Na intervalu (0,1) je horní funkcí h (x) = y/x
^^Hrff^fflByiBW^BB^
y2 = x, y = x2, V =? I
V = n£ (Vi)2- (x2)2 dx
BEI
a dolní d (x) = x2
läLenka Přibylová. 201
y2 = x, y = x2, V =? I
V = n      (Vx)2 - (x2)2 dx = n      x-x4dx
Upravíme. g   g  B   B
leUnka Přibylová. 201
y2 = x, y = x2, V =? I
V = n      (Vx)2 - (x2)2 dx = n I   x — x4 dx = n
7         S
XL     X°
~2~~5
Najdeme primitivní funkci. eh  b  B  M-----------------------
(SLenka Přibylová. 201
y2 = x, y = x2, V =? I
V = njlQ^f
'1      1
1 2"5
(X2)2dX = 7T
x  áx = K
T
Vypočítáme určitý integrál pomoci Newton-Leibnitzovy formule. Dosadíme tedy meze.
I-Q-Q-HS^------------------(1)Lenka Přibylová. 2006 |
y2 = x, y = x2, V =? I
V = njlQ^f
(X2)2dX = 7T
x  áx = K
7         "v
XL      X°
'1      1\       3 n{2-5    =Wn
Dopočítame. g  B  B  h—
(SLenka Přibylová. 201
Konec
El   B
©Lenka Přibylová. 2006 Q