Obsah rovinného útvaru mezi dvěma křivkami
Robert Mařík a Lenka Přibylová 31. července 2006
Obsah rovinné plochy omezené spojitými funkcemi
y = d (x) a y = h(x), které na intervalu {a, b) splňují d (x) < h (x)
a přímkami x = a a x = b:
y = h(x)
ľb S = /   h(x) — d (x) dx
Ja
©Lenka Přibylová. 2006 |
Určete obsah množiny mezi křivkami y = ex a y = e  x pro x £ [0,1].
©Lenka Přibylová. 2006 |
>x
Zakreslíme křivky.
ěa   g   g-
(SLenka Přibylová. 201
>x
Vyjádříme obsah plochy jako určitý integrál. h(x) = ex, d(x) = e~x
ISLenka Přibylova, z™ |
>x
S= i   r /o
■ e x dx = [ex + e x]
-vil
o
Vypočteme neurčitý integrál.
ěa   g   g-
(SLenka Přibylová. 201
>x
S= i   r /o
■e x dx = [ex + e x]0 =
-*!1 -ßl + ß-l
e° + e°
Vypočítáme určitý integrál pomocí Newtonovy-Leignizovy formule. Dosadíme tedy meze.
É     B     B     B9                                                                                                                                                   '   I "'I    Přibylovi 201
>x
S= i   r /o
■e x dx = [ex + e x]0 =
-z^-gl+g-l
e° + e°
=e+--2 e
Dopočítáme. g  B  B  h—
(SLenka Přibylová. 201
Určete obsah množiny mezi křivkami y = 1 — (x — 1)   a x + y = 0
©Lenka Přibylová. 2006 |
Určete obsah množiny mezi křivkami y = 1 — (x — 1)   a x + y = 0. I
l-(x-l)2 = -x
•   První z křivek je parabola, druhá z křivek je přímka y = —x.
•   Křivky se protínají v bodě, jehož x-ová splňuje rovnici
l-(x-l)2 = -x
j-H-HJ^---------------(íjLenka Přibylová. 201
Určete obsah množiny mezi křivkami y = 1 — (x — 1)   a x + y = 0. I
l-(x-l)2 = -x
1 - (x2 -2x + l) = -x
1 - x2 + 2x - 1 = -x
3x - x2 = 0 (3-x)x = 0
Průsečíky křivek jsou body [0,0] a [3,-3].
|     El     B     ÍŠä                                                              ~~^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^"~~íěLenka Přibylova. ^uc
Určete obsah množiny mezi křivkami y = 1 — (x — 1)   a x + y = 0. I
l-(x-l)z = -x 1 - (x2 -2x + l) = -x 1 - x2 + 2x - 1 = -x 3x - x2 = 0 (3-x)x = 0
>x
y = 1 - (x - l)2 = 1 - (x2 - 2x + 1) = 2x - x2 = x(2 - x)
eh   bi   ia   iaa
läLenka Přibylová. 201
Určete obsah množiny mezi křivkami y = 1 — (x — 1)   a x + y = 0. I
S =
>x
/z(x) = 1 - (x - l)2 d(x) = -x, protože x + y = 0 <==>- y fcLl   EJ   Id   LU
lěLenka Přibylová. 201
Určete obsah množiny mezi křivkami y = 1 — (x — 1)   a x + y = 0. I
>x
s=y0i-<x-D2
x)dx=/   1 - (x-2x + l) +xdx
Umocníme. S  □ □ iää
lěLenka Přibylová. 201
Určete obsah množiny mezi křivkami y = 1 — (x — 1)   a x + y = 0. I
>x
/•3                                            r3
S = /   1 - (x - l)2 - (-x) dx = /   1 - (x2 - 2x + 1) + x dx
-x2 + 3xdx
Upravíme integrand.
leUnka Přibylová. 201
Určete obsah množiny mezi křivkami y = 1 — (x — 1)   a x + y = 0. I
>x
s=y0i-<x-D2
-x2 + 3xdx =
-x)dx = /   1
(x  -2x + l) +xdx
x"     „r
-y+3T
o
ŕf(x)dx=[F(x)]ba = F(b)-F(a)
Ja
BEI    Q    Q    T"
lěLenka Přibylová. 201
Určete obsah množiny mezi křivkami y = 1 — (x — 1)   a x + y = 0. I
>x
s=y0i-<x-D2
-x2 + 3xdx =
-x)dx = /   1
(V-2x + l) +xdx
x"     „r
■y+3T
o
33     032
t+3t
O3     „O2
t+3t
ŕf(x)dx=[F(x)]ba = F(b)-F(a)
Ja
BEI    Q    Q    T"
IŠLenka Přibylová. 201
Určete obsah množiny mezi křivkami y = 1 — (x — 1)   a x + y = 0. I
>x
S= /    1-ŕx-ll
-x  +3xdx =
-x)dx = /   1
2x + l) +xdx
x"     „r
-y+3y
o
33     032'
T + 3T
O3    „o2
T + 3T
= -9
27
y
Dopočítame obsah množiny. eh  b  B  M                        ------
leUnka Přibylová. 201
Konec
El   B
©Lenka Přibylová. 2006 Q