Metoda per partes
Robert Mařík a Lenka Přibylová
28. července 2006
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Obsah
Metoda per partes 4
(x + 1) ln x dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
x sin x dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
(x - 2) sin(2x) dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
x arctg x dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
ln x dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Vícenásobná per partes 37
(x2
+ 1) sin x dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
(x2
+ 1)e-x
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
ln2
x dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
x3
sin x dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
(x3
+ 2x)e-x
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Ř ešení pomocí rovnice 72
ex
cos x dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Metoda per partes
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Vypočtěte (x + 1)  ln x dx
(x + 1) ln x dx =
u = ln x u
=
1
x
v
= x + 1 v =
x2
2
+ x
= ln x
x2
2
+ x -
1
x
x2
2
+ x dx
=
x2
2
+ x ln x -
1
2
x + 1 dx
=
x2
2
+ x ln x -
1
2

x2
2
+ x + c
=
x2
2
+ x ln x -
1
4
x2
- x + c
Funkce je součinem polynomu a logaritmické funkce  per partes.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Vypočtěte (x + 1)  ln x dx
(x + 1) ln x dx =
u = ln x u
=
1
x
v
= x + 1 v =
x2
2
+ x
= ln x
x2
2
+ x -
1
x
x2
2
+ x dx
=
x2
2
+ x ln x -
1
2
x + 1 dx
=
x2
2
+ x ln x -
1
2

x2
2
+ x + c
=
x2
2
+ x ln x -
1
4
x2
- x + c
Integrujeme per partes pomocí vzorce
u  v
dx = u  v - u
 v dx
kde u = ln x a v
= x + 1.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Vypočtěte (x + 1)  ln x dx
(x + 1) ln x dx =
u = ln x u
=
1
x
v
= x + 1 v =
x2
2
+ x
= ln x
x2
2
+ x -
1
x
x2
2
+ x dx
=
x2
2
+ x ln x -
1
2
x + 1 dx
=
x2
2
+ x ln x -
1
2

x2
2
+ x + c
=
x2
2
+ x ln x -
1
4
x2
- x + c
Integrujeme per partes pomocí vzorce
u  v
dx = u  v - u
 v dx
kde u = ln x a v
= x + 1.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Vypočtěte (x + 1)  ln x dx
(x + 1) ln x dx =
u = ln x u
=
1
x
v
= x + 1 v =
x2
2
+ x
= ln x
x2
2
+ x -
1
x
x2
2
+ x dx
=
x2
2
+ x ln x -
1
2
x + 1 dx
=
x2
2
+ x ln x -
1
2

x2
2
+ x + c
=
x2
2
+ x ln x -
1
4
x2
- x + c
Integrujeme per partes pomocí vzorce
u  v
dx = u  v - u
 v dx
kde u = ln x a v
= x + 1.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Vypočtěte (x + 1)  ln x dx
(x + 1) ln x dx =
u = ln x u
=
1
x
v
= x + 1 v =
x2
2
+ x
= ln x
x2
2
+ x -
1
x
x2
2
+ x dx
=
x2
2
+ x ln x -
1
2
x + 1 dx
=
x2
2
+ x ln x -
1
2

x2
2
+ x + c
=
x2
2
+ x ln x -
1
4
x2
- x + c
Roznásobíme závorku.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Vypočtěte (x + 1)  ln x dx
(x + 1) ln x dx =
u = ln x u
=
1
x
v
= x + 1 v =
x2
2
+ x
= ln x
x2
2
+ x -
1
x
x2
2
+ x dx
=
x2
2
+ x ln x -
1
2
x + 1 dx
=
x2
2
+ x ln x -
1
2

x2
2
+ x + c
=
x2
2
+ x ln x -
1
4
x2
- x + c
Dokončíme integraci.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Vypočtěte (x + 1)  ln x dx
(x + 1) ln x dx =
u = ln x u
=
1
x
v
= x + 1 v =
x2
2
+ x
= ln x
x2
2
+ x -
1
x
x2
2
+ x dx
=
x2
2
+ x ln x -
1
2
x + 1 dx
=
x2
2
+ x ln x -
1
2

x2
2
+ x + c
=
x2
2
+ x ln x -
1
4
x2
- x + c
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Vypočtěte x sin x dx
x  sin x dx
u = x u
= 1
v
= sin x v = - cos x
= -x cos x - 1  (- cos x) dx
= -x cos x + cos x dx
= -x cos x + sin x + c
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Vypočtěte x sin x dx
x  sin x dx
u = x u
= 1
v
= sin x v = - cos x
= -x cos x - 1  (- cos x) dx
= -x cos x + cos x dx
= -x cos x + sin x + c
Integrujeme per partes pomocí vzorce
u  v
dx = u  v - u
 v dx
kde u = x a v
= sin x.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Vypočtěte x sin x dx
x  sin x dx
u = x u
= 1
v
= sin x v = - cos x
= -x cos x - 1  (- cos x) dx
= -x cos x + cos x dx
= -x cos x + sin x + c
Integrujeme per partes pomocí vzorce
u  v
dx = u  v - u
 v dx
kde u = x a v
= sin x.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Vypočtěte x sin x dx
x  sin x dx
u = x u
= 1
v
= sin x v = - cos x
= -x cos x - 1  (- cos x) dx
= -x cos x + cos x dx
= -x cos x + sin x + c
Integrujeme per partes pomocí vzorce
u  v
dx = u  v - u
 v dx
kde u = x a v
= sin x.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Vypočtěte x sin x dx
x  sin x dx
u = x u
= 1
v
= sin x v = - cos x
= -x cos x - 1  (- cos x) dx
= -x cos x + cos x dx
= -x cos x + sin x + c
Upravíme.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Vypočtěte x sin x dx
x  sin x dx
u = x u
= 1
v
= sin x v = - cos x
= -x cos x - 1  (- cos x) dx
= -x cos x + cos x dx
= -x cos x + sin x + c
Integruje druhou část: cos x dx = sin x
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Vypočtěte (x - 2)  sin(2x) dx
(x - 2)sin(2x) dx =
u = x - 2 u
= 1
v
= sin(2x) v = -
1
2
cos 2x
= (x - 2)  -
1
2
cos(2x) - 1  -
1
2
cos 2x dx
= -
1
2
(x - 2) cos(2x) +
1
2
cos 2x dx
= -
1
2
(x - 2) cos(2x) +
1
2

1
2
sin(2x) + c
= -
1
2
(x - 2) cos(2x) +
1
4
sin(2x) + c
Funkce je součinem polynomu a sinu  per partes.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Vypočtěte (x - 2)  sin(2x) dx
(x - 2)sin(2x) dx =
u = x - 2 u
= 1
v
= sin(2x) v = -
1
2
cos 2x
= (x - 2)  -
1
2
cos(2x) - 1  -
1
2
cos 2x dx
= -
1
2
(x - 2) cos(2x) +
1
2
cos 2x dx
= -
1
2
(x - 2) cos(2x) +
1
2

1
2
sin(2x) + c
= -
1
2
(x - 2) cos(2x) +
1
4
sin(2x) + c
Integrujeme per partes pomocí vzorce
u  v
dx = u  v - u
 v dx
kde u = x - 2 a v
= sin(2x).
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Vypočtěte (x - 2)  sin(2x) dx
(x - 2)sin(2x) dx =
u = x - 2 u
= 1
v
= sin(2x) v = -
1
2
cos 2x
= (x - 2)  -
1
2
cos(2x) - 1  -
1
2
cos 2x dx
= -
1
2
(x - 2) cos(2x) +
1
2
cos 2x dx
= -
1
2
(x - 2) cos(2x) +
1
2

1
2
sin(2x) + c
= -
1
2
(x - 2) cos(2x) +
1
4
sin(2x) + c
Platí
v = v
(x) dx = sin(2x) dx = -
1
2
cos(2x),
protože
sin x dx = - cos x a f (ax + b) =
1
a
F(ax + b).
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Vypočtěte (x - 2)  sin(2x) dx
(x - 2)sin(2x) dx =
u = x - 2 u
= 1
v
= sin(2x) v = -
1
2
cos 2x
= (x - 2)  -
1
2
cos(2x) - 1  -
1
2
cos 2x dx
= -
1
2
(x - 2) cos(2x) +
1
2
cos 2x dx
= -
1
2
(x - 2) cos(2x) +
1
2

1
2
sin(2x) + c
= -
1
2
(x - 2) cos(2x) +
1
4
sin(2x) + c
u  v
dx = u  v - u
 v dx
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Vypočtěte (x - 2)  sin(2x) dx
(x - 2)sin(2x) dx =
u = x - 2 u
= 1
v
= sin(2x) v = -
1
2
cos 2x
= (x - 2)  -
1
2
cos(2x) - 1  -
1
2
cos 2x dx
= -
1
2
(x - 2) cos(2x) +
1
2
cos 2x dx
= -
1
2
(x - 2) cos(2x) +
1
2

1
2
sin(2x) + c
= -
1
2
(x - 2) cos(2x) +
1
4
sin(2x) + c
Vytkneme konstantu -
1
2
z integrálu.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Vypočtěte (x - 2)  sin(2x) dx
(x - 2)sin(2x) dx =
u = x - 2 u
= 1
v
= sin(2x) v = -
1
2
cos 2x
= (x - 2)  -
1
2
cos(2x) - 1  -
1
2
cos 2x dx
= -
1
2
(x - 2) cos(2x) +
1
2
cos 2x dx
= -
1
2
(x - 2) cos(2x) +
1
2

1
2
sin(2x) + c
= -
1
2
(x - 2) cos(2x) +
1
4
sin(2x) + c
Platí cos(2x) dx =
1
2
sin(2x), protože
cos x dx = sin x a f (ax + b) =
1
a
F(ax + b).
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Vypočtěte (x - 2)  sin(2x) dx
(x - 2)sin(2x) dx =
u = x - 2 u
= 1
v
= sin(2x) v = -
1
2
cos 2x
= (x - 2)  -
1
2
cos(2x) - 1  -
1
2
cos 2x dx
= -
1
2
(x - 2) cos(2x) +
1
2
cos 2x dx
= -
1
2
(x - 2) cos(2x) +
1
2

1
2
sin(2x) + c
= -
1
2
(x - 2) cos(2x) +
1
4
sin(2x) + c
Upravíme.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Vypočtěte x arctg x dx.
x arctg x dx
u = arctg x u
=
1
1 + x2
v
= x v =
x2
2
=
x2
2
arctg x -
1
2
x2
1 + x2
dx
=
x2
2
arctg x -
1
2
1 -
1
1 + x2
dx
=
x2
2
arctg x -
1
2
x - arctg x + c.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Vypočtěte x arctg x dx.
x arctg x dx
u = arctg x u
=
1
1 + x2
v
= x v =
x2
2
=
x2
2
arctg x -
1
2
x2
1 + x2
dx
=
x2
2
arctg x -
1
2
1 -
1
1 + x2
dx
=
x2
2
arctg x -
1
2
x - arctg x + c.
Jedná se o součin polynomu a funkce arkustangens.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Vypočtěte x arctg x dx.
x arctg x dx
u = arctg x u
=
1
1 + x2
v
= x v =
x2
2
=
x2
2
arctg x -
1
2
x2
1 + x2
dx
=
x2
2
arctg x -
1
2
1 -
1
1 + x2
dx
=
x2
2
arctg x -
1
2
x - arctg x + c.
Budeme integrovat metodou per partes. Budeme integrovat polynom a
derivovat arkustangens.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Vypočtěte x arctg x dx.
x arctg x dx
u = arctg x u
=
1
1 + x2
v
= x v =
x2
2
=
x2
2
arctg x -
1
2
x2
1 + x2
dx
=
x2
2
arctg x -
1
2
1 -
1
1 + x2
dx
=
x2
2
arctg x -
1
2
x - arctg x + c.
uv
dx = uv - u
v dx
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Vypočtěte x arctg x dx.
x arctg x dx
u = arctg x u
=
1
1 + x2
v
= x v =
x2
2
=
x2
2
arctg x -
1
2
x2
1 + x2
dx
=
x2
2
arctg x -
1
2
1 -
1
1 + x2
dx
=
x2
2
arctg x -
1
2
x - arctg x + c.
Racionální funkci, která není ryze lomená, dělíme:
x2
x2 + 1
=
(x2 + 1) - 1
x2 + 1
=
x2 + 1
x2 + 1
-
1
x2 + 1
= 1 -
1
x2 + 1
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Vypočtěte x arctg x dx.
x arctg x dx
u = arctg x u
=
1
1 + x2
v
= x v =
x2
2
=
x2
2
arctg x -
1
2
x2
1 + x2
dx
=
x2
2
arctg x -
1
2
1 -
1
1 + x2
dx
=
x2
2
arctg x -
1
2
x - arctg x + c.
K dokončení zbývá integrovat jedničku a jeden parciální zlomek. To
provedeme pomocí příslušných vzorců.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Vypočtěte ln x dx
1  ln x dx
u = ln x u
=
1
x
v
= 1 v = x
= x ln x - 1 dx
= x ln x - x + c
= x(ln x - 1) + c
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Vypočtěte ln x dx
1  ln x dx
u = ln x u
=
1
x
v
= 1 v = x
= x ln x - 1 dx
= x ln x - x + c
= x(ln x - 1) + c
Funkci je součinem polynomu a logaritmické funkce:
1  ln x dx.
Integrujeme per partes při volbě u = ln x a v
= 1.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Vypočtěte ln x dx
1  ln x dx
u = ln x u
=
1
x
v
= 1 v = x
= x ln x - 1 dx
= x ln x - x + c
= x(ln x - 1) + c
(ln x)
=
1
x
1 dx = x
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Vypočtěte ln x dx
1  ln x dx
u = ln x u
=
1
x
v
= 1 v = x
= x ln x - 1 dx
= x ln x - x + c
= x(ln x - 1) + c
u  v
dx = u  v - u
 v dx
Užijeme vztah
1
x
x = 1.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Vypočtěte ln x dx
1  ln x dx
u = ln x u
=
1
x
v
= 1 v = x
= x ln x - 1 dx
= x ln x - x + c
= x(ln x - 1) + c
1 dx = x
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Vypočtěte ln x dx
1  ln x dx
u = ln x u
=
1
x
v
= 1 v = x
= x ln x - 1 dx
= x ln x - x + c
= x(ln x - 1) + c
Hotovo.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Vícenásobná per partes
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Vypočtěte (x2
+ 1) sin x dx
(x2
+ 1)  sin x dx
u = x2
+ 1 u
= 2x
v
= sin x v = - cos x
= -(x2
+ 1) cos x + 2 x  cos x dx
u = x u
= 1
v
= cos x v = sin x
= -(x2
+ 1) cos x + 2 x sin x - sin x dx
= -(x2
+ 1) cos x + 2 x sin x - (- cos x) + c
= (1 - x2
) cos x + 2x sin x + c
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Vypočtěte (x2
+ 1) sin x dx
(x2
+ 1)  sin x dx
u = x2
+ 1 u
= 2x
v
= sin x v = - cos x
= -(x2
+ 1) cos x + 2 x  cos x dx
u = x u
= 1
v
= cos x v = sin x
= -(x2
+ 1) cos x + 2 x sin x - sin x dx
= -(x2
+ 1) cos x + 2 x sin x - (- cos x) + c
= (1 - x2
) cos x + 2x sin x + c
ˇ Funkce je součinem polynomu a funkce sinus.
ˇ Budeme integrovat per partes podle vzorce
u  v
dx = u  v - u
 v dx
při volbě u = (x2
+ 1) a v
= sin x.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Vypočtěte (x2
+ 1) sin x dx
(x2
+ 1)  sin x dx
u = x2
+ 1 u
= 2x
v
= sin x v = - cos x
= -(x2
+ 1) cos x + 2 x  cos x dx
u = x u
= 1
v
= cos x v = sin x
= -(x2
+ 1) cos x + 2 x sin x - sin x dx
= -(x2
+ 1) cos x + 2 x sin x - (- cos x) + c
= (1 - x2
) cos x + 2x sin x + c
(x2
+ 1)
= 2x
sin x dx = - cos x
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Vypočtěte (x2
+ 1) sin x dx
(x2
+ 1)  sin x dx
u = x2
+ 1 u
= 2x
v
= sin x v = - cos x
= -(x2
+ 1) cos x + 2 x  cos x dx
u = x u
= 1
v
= cos x v = sin x
= -(x2
+ 1) cos x + 2 x sin x - sin x dx
= -(x2
+ 1) cos x + 2 x sin x - (- cos x) + c
= (1 - x2
) cos x + 2x sin x + c
u  v
dx = u  v - u
 v dx
Konstantní násobek 2 a znaménko minus dáme před integrál.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Vypočtěte (x2
+ 1) sin x dx
(x2
+ 1)  sin x dx
u = x2
+ 1 u
= 2x
v
= sin x v = - cos x
= -(x2
+ 1) cos x + 2 x  cos x dx
u = x u
= 1
v
= cos x v = sin x
= -(x2
+ 1) cos x + 2 x sin x - sin x dx
= -(x2
+ 1) cos x + 2 x sin x - (- cos x) + c
= (1 - x2
) cos x + 2x sin x + c
Ještě jednou integrujeme per partes. Nyní u = x a v
= cos x.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Vypočtěte (x2
+ 1) sin x dx
(x2
+ 1)  sin x dx
u = x2
+ 1 u
= 2x
v
= sin x v = - cos x
= -(x2
+ 1) cos x + 2 x  cos x dx
u = x u
= 1
v
= cos x v = sin x
= -(x2
+ 1) cos x + 2 x sin x - sin x dx
= -(x2
+ 1) cos x + 2 x sin x - (- cos x) + c
= (1 - x2
) cos x + 2x sin x + c
x
= 1
cos x dx = sin x
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Vypočtěte (x2
+ 1) sin x dx
(x2
+ 1)  sin x dx
u = x2
+ 1 u
= 2x
v
= sin x v = - cos x
= -(x2
+ 1) cos x + 2 x  cos x dx
u = x u
= 1
v
= cos x v = sin x
= -(x2
+ 1) cos x + 2 x sin x - sin x dx
= -(x2
+ 1) cos x + 2 x sin x - (- cos x) + c
= (1 - x2
) cos x + 2x sin x + cu  v
dx = u  v - u
 v dx
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Vypočtěte (x2
+ 1) sin x dx
(x2
+ 1)  sin x dx
u = x2
+ 1 u
= 2x
v
= sin x v = - cos x
= -(x2
+ 1) cos x + 2 x  cos x dx
u = x u
= 1
v
= cos x v = sin x
= -(x2
+ 1) cos x + 2 x sin x - sin x dx
= -(x2
+ 1) cos x + 2 x sin x - (- cos x) + c
= (1 - x2
) cos x + 2x sin x + c
Integrujeme sinus: sin x dx = - cos x
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Vypočtěte (x2
+ 1) sin x dx
(x2
+ 1)  sin x dx
u = x2
+ 1 u
= 2x
v
= sin x v = - cos x
= -(x2
+ 1) cos x + 2 x  cos x dx
u = x u
= 1
v
= cos x v = sin x
= -(x2
+ 1) cos x + 2 x sin x - sin x dx
= -(x2
+ 1) cos x + 2 x sin x - (- cos x) + c
= (1 - x2
) cos x + 2x sin x + c
Upravíme.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Vypočtěte (x2
+ 1)e-x
dx.
(x2
+ 1)e-x
dx
u = x2
+ 1 u
= 2x
v
= e-x
v = -e-x
= -(x2
+ 1)e-x
+ 2 xe-x
dx
u = x u
= 1
v
= e-x
v = -e-x
= -(x2
+ 1)e-x
+ 2 -xe-x
+ e-x
dx
= -(x2
+ 1)e-x
+ 2(-xe-x
- e-x
) + c = -e-x
(x2
+ 2x + 3) + c,
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Vypočtěte (x2
+ 1)e-x
dx.
(x2
+ 1)e-x
dx
u = x2
+ 1 u
= 2x
v
= e-x
v = -e-x
= -(x2
+ 1)e-x
+ 2 xe-x
dx
u = x u
= 1
v
= e-x
v = -e-x
= -(x2
+ 1)e-x
+ 2 -xe-x
+ e-x
dx
= -(x2
+ 1)e-x
+ 2(-xe-x
- e-x
) + c = -e-x
(x2
+ 2x + 3) + c,
Integruje součin polynomu a exponenciální funkce.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Vypočtěte (x2
+ 1)e-x
dx.
(x2
+ 1)e-x
dx
u = x2
+ 1 u
= 2x
v
= e-x
v = -e-x
= -(x2
+ 1)e-x
+ 2 xe-x
dx
u = x u
= 1
v
= e-x
v = -e-x
= -(x2
+ 1)e-x
+ 2 -xe-x
+ e-x
dx
= -(x2
+ 1)e-x
+ 2(-xe-x
- e-x
) + c = -e-x
(x2
+ 2x + 3) + c,
ˇ Integrujeme per partes.
ˇ Polynom budeme derivovat a exponencielu integrovat.
ˇ Nezapomeňme, že e-x
dx = -e-x
.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Vypočtěte (x2
+ 1)e-x
dx.
(x2
+ 1)e-x
dx
u = x2
+ 1 u
= 2x
v
= e-x
v = -e-x
= -(x2
+ 1)e-x
+ 2 xe-x
dx
u = x u
= 1
v
= e-x
v = -e-x
= -(x2
+ 1)e-x
+ 2 -xe-x
+ e-x
dx
= -(x2
+ 1)e-x
+ 2(-xe-x
- e-x
) + c = -e-x
(x2
+ 2x + 3) + c,
Vzorec je
u  v
dx = u  v - u
 v dx
.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Vypočtěte (x2
+ 1)e-x
dx.
(x2
+ 1)e-x
dx
u = x2
+ 1 u
= 2x
v
= e-x
v = -e-x
= -(x2
+ 1)e-x
+ 2 xe-x
dx
u = x u
= 1
v
= e-x
v = -e-x
= -(x2
+ 1)e-x
+ 2 -xe-x
+ e-x
dx
= -(x2
+ 1)e-x
+ 2(-xe-x
- e-x
) + c = -e-x
(x2
+ 2x + 3) + c,
ˇ Opět polynom krát exponenciální funkce.
ˇ Opět integrujeme per partes. Opět derivujeme polynom.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Vypočtěte (x2
+ 1)e-x
dx.
(x2
+ 1)e-x
dx
u = x2
+ 1 u
= 2x
v
= e-x
v = -e-x
= -(x2
+ 1)e-x
+ 2 xe-x
dx
u = x u
= 1
v
= e-x
v = -e-x
= -(x2
+ 1)e-x
+ 2 -xe-x
+ e-x
dx
= -(x2
+ 1)e-x
+ 2(-xe-x
- e-x
) + c = -e-x
(x2
+ 2x + 3) + c,
Vzorec pro červenou část je uv
dx = uv - u
v dx, zbytek zůstane.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Vypočtěte (x2
+ 1)e-x
dx.
(x2
+ 1)e-x
dx
u = x2
+ 1 u
= 2x
v
= e-x
v = -e-x
= -(x2
+ 1)e-x
+ 2 xe-x
dx
u = x u
= 1
v
= e-x
v = -e-x
= -(x2
+ 1)e-x
+ 2 -xe-x
+ e-x
dx
= -(x2
+ 1)e-x
+ 2(-xe-x
- e-x
) + c = -e-x
(x2
+ 2x + 3) + c,
e-x
dx = -e-x
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Vypočtěte (x2
+ 1)e-x
dx.
(x2
+ 1)e-x
dx
u = x2
+ 1 u
= 2x
v
= e-x
v = -e-x
= -(x2
+ 1)e-x
+ 2 xe-x
dx
u = x u
= 1
v
= e-x
v = -e-x
= -(x2
+ 1)e-x
+ 2 -xe-x
+ e-x
dx
= -(x2
+ 1)e-x
+ 2(-xe-x
- e-x
) + c = -e-x
(x2
+ 2x + 3) + c,
Vytkneme (-e-x
).
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Vypočtěte ln2
x dx
1  ln2
x dx
u = ln2
x u
=
2 ln x
x
v
= 1 v = x
= x ln2
x - 2 ln x dx
u = ln x u
=
1
x
v
= 1 v = x
= x ln2
x - 2 x ln x - 1 dx
= x ln2
x - 2 x ln x - x + c
= x ln2
x - 2x ln x + 2x + c
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Vypočtěte ln2
x dx
1  ln2
x dx
u = ln2
x u
=
2 ln x
x
v
= 1 v = x
= x ln2
x - 2 ln x dx
u = ln x u
=
1
x
v
= 1 v = x
= x ln2
x - 2 x ln x - 1 dx
= x ln2
x - 2 x ln x - x + c
= x ln2
x - 2x ln x + 2x + c
ˇ Je zde součin polynomu a druhé mocniny logaritmu.
ˇ Upravíme funkci ln2
x na součin (1)  (ln2
x) a integrujeme per
partes při volbě u = ln2
x a v
= 1
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Vypočtěte ln2
x dx
1  ln2
x dx
u = ln2
x u
=
2 ln x
x
v
= 1 v = x
= x ln2
x - 2 ln x dx
u = ln x u
=
1
x
v
= 1 v = x
= x ln2
x - 2 x ln x - 1 dx
= x ln2
x - 2 x ln x - x + c
= x ln2
x - 2x ln x + 2x + c
(ln2
x)
= 2 ln x(ln x)
= 2 ln x
1
x
1 dx = x
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Vypočtěte ln2
x dx
1  ln2
x dx
u = ln2
x u
=
2 ln x
x
v
= 1 v = x
= x ln2
x - 2 ln x dx
u = ln x u
=
1
x
v
= 1 v = x
= x ln2
x - 2 x ln x - 1 dx
= x ln2
x - 2 x ln x - x + c
= x ln2
x - 2x ln x + 2x + cu  v
dx = u  v - u
 v dx
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Vypočtěte ln2
x dx
1  ln2
x dx
u = ln2
x u
=
2 ln x
x
v
= 1 v = x
= x ln2
x - 2 ln x dx
u = ln x u
=
1
x
v
= 1 v = x
= x ln2
x - 2 x ln x - 1 dx
= x ln2
x - 2 x ln x - x + c
= x ln2
x - 2x ln x + 2x + c
Tento trik již známe: Napíšeme funkci ln x jako součin (1)  ln x a
integrujeme per partes při volbě u = ln x a v
= 1.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Vypočtěte ln2
x dx
1  ln2
x dx
u = ln2
x u
=
2 ln x
x
v
= 1 v = x
= x ln2
x - 2 ln x dx
u = ln x u
=
1
x
v
= 1 v = x
= x ln2
x - 2 x ln x - 1 dx
= x ln2
x - 2 x ln x - x + c
= x ln2
x - 2x ln x + 2x + c
(ln x)
=
1
x
1 dx = x
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Vypočtěte ln2
x dx
1  ln2
x dx
u = ln2
x u
=
2 ln x
x
v
= 1 v = x
= x ln2
x - 2 ln x dx
u = ln x u
=
1
x
v
= 1 v = x
= x ln2
x - 2 x ln x - 1 dx
= x ln2
x - 2 x ln x - x + c
= x ln2
x - 2x ln x + 2x + cu  v
dx = u  v - u
 v dx
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Vypočtěte ln2
x dx
1  ln2
x dx
u = ln2
x u
=
2 ln x
x
v
= 1 v = x
= x ln2
x - 2 ln x dx
u = ln x u
=
1
x
v
= 1 v = x
= x ln2
x - 2 x ln x - 1 dx
= x ln2
x - 2 x ln x - x + c
= x ln2
x - 2x ln x + 2x + c
Dopočítáme integrál z jedničky.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Vypočtěte ln2
x dx
1  ln2
x dx
u = ln2
x u
=
2 ln x
x
v
= 1 v = x
= x ln2
x - 2 ln x dx
u = ln x u
=
1
x
v
= 1 v = x
= x ln2
x - 2 x ln x - 1 dx
= x ln2
x - 2 x ln x - x + c
= x ln2
x - 2x ln x + 2x + c
Upravíme. Hotovo.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Najděte x3
sin x dx.
x3
sin x dx =
u = x3 3x2 6x 6 0
v = sin x - cos x - sin x cos x sin x
= -x3
cos x-(-3x2
sin x)+6x cos x-6 sin x + c
= (-x3
+ 6x) cos(x) + (3x2
- 6) sin x + c
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Najděte x3
sin x dx.
x3
sin x dx =
u = x3 3x2 6x 6 0
v = sin x - cos x - sin x cos x sin x
= -x3
cos x-(-3x2
sin x)+6x cos x-6 sin x + c
= (-x3
+ 6x) cos(x) + (3x2
- 6) sin x + c
ˇ Třikrát integrujeme per partes, ale všechno zapíšeme do jednoho
schematu.
ˇ Ž lutá šipka reprezentuje derivování. Derivujeme až na nulu.
ˇ Červená šipka reprezentuje integrování.
derivace derivace derivace derivace
integrace integrace integrace integrace
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Najděte x3
sin x dx.
x3
sin x dx =
u = x3 3x2 6x 6 0
v = sin x - cos x - sin x cos x sin x
= -x3
cos x-(-3x2
sin x)+6x cos x-6 sin x + c
= (-x3
+ 6x) cos(x) + (3x2
- 6) sin x + c
Násobíme ve směru šipek. Součinům ve směru žlutých šipek
znaménko ponecháme, součinům ve směru červených šipek znaménko
změníme a všechny součiny sečteme.
součin
součin
součin
součin
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Najděte x3
sin x dx.
x3
sin x dx =
u = x3 3x2 6x 6 0
v = sin x - cos x - sin x cos x sin x
= -x3
cos x-(-3x2
sin x)+6x cos x-6 sin x + c
= (-x3
+ 6x) cos(x) + (3x2
- 6) sin x + c
Upravíme.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Najděte (x3
+ 2)e-x
dx.
(x3
+ 2x)e-x
dx
=
u = x3 + 2x 3x2 + 2 6x 6 0
v = e-x -e-x e-x -e-x e-x
= -(x3
+ 2x)e-x
-(3x2
+ 2)e-x
+(-6xe-x
)-6e-x
+ c
= -e-x
(x3
+ 2x + 3x2
+ 2 + 6x + 6) + c
= -e-x
(x3
+ 3x2
+ 8x + 8) + c
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Najděte (x3
+ 2)e-x
dx.
(x3
+ 2x)e-x
dx
=
u = x3 + 2x 3x2 + 2 6x 6 0
v = e-x -e-x e-x -e-x e-x
= -(x3
+ 2x)e-x
-(3x2
+ 2)e-x
+(-6xe-x
)-6e-x
+ c
= -e-x
(x3
+ 2x + 3x2
+ 2 + 6x + 6) + c
= -e-x
(x3
+ 3x2
+ 8x + 8) + c
ˇ Třikrát integrujeme per partes, ale všechno zapíšeme do jednoho
schematu.
ˇ Ž lutá šipka reprezentuje derivování. Derivujeme až na nulu.
ˇ Červená šipka reprezentuje integrování.
derivace derivace derivace derivace
integrace integrace integrace integrace
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Najděte (x3
+ 2)e-x
dx.
(x3
+ 2x)e-x
dx
=
u = x3 + 2x 3x2 + 2 6x 6 0
v = e-x -e-x e-x -e-x e-x
= -(x3
+ 2x)e-x
-(3x2
+ 2)e-x
+(-6xe-x
)-6e-x
+ c
= -e-x
(x3
+ 2x + 3x2
+ 2 + 6x + 6) + c
= -e-x
(x3
+ 3x2
+ 8x + 8) + c
Násobíme ve směru šipek. Součinům ve směru žlutých šipek
znaménko ponecháme, součinům ve směru červených šipek znaménko
změníme a všechny součiny sečteme.
součin
součin
součin
součin
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Najděte (x3
+ 2)e-x
dx.
(x3
+ 2x)e-x
dx
=
u = x3 + 2x 3x2 + 2 6x 6 0
v = e-x -e-x e-x -e-x e-x
= -(x3
+ 2x)e-x
-(3x2
+ 2)e-x
+(-6xe-x
)-6e-x
+ c
= -e-x
(x3
+ 2x + 3x2
+ 2 + 6x + 6) + c
= -e-x
(x3
+ 3x2
+ 8x + 8) + c
Upravíme.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Ř ešení pomocí rovnice
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Vypočtěte ex
cos x dx.
ex
cos x dx
u = ex
u
= ex
v
= cos x v = sin x
= ex
sin x - ex
sin x dx
u = ex
u
= ex
v
= sin x v = - cos x
= ex
sin x - -ex
cos x - -ex
cos x dx
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Vypočtěte ex
cos x dx.
ex
cos x dx
u = ex
u
= ex
v
= cos x v = sin x
= ex
sin x - ex
sin x dx
u = ex
u
= ex
v
= sin x v = - cos x
= ex
sin x - -ex
cos x - -ex
cos x dx
Integrujeme součin exponenciální a goniometrické funkce.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Vypočtěte ex
cos x dx.
ex
cos x dx
u = ex
u
= ex
v
= cos x v = sin x
= ex
sin x - ex
sin x dx
u = ex
u
= ex
v
= sin x v = - cos x
= ex
sin x - -ex
cos x - -ex
cos x dx
ˇ Integrujeme per partes.
ˇ Je jedno, jak zvolíme u a v
.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Vypočtěte ex
cos x dx.
ex
cos x dx
u = ex
u
= ex
v
= cos x v = sin x
= ex
sin x - ex
sin x dx
u = ex
u
= ex
v
= sin x v = - cos x
= ex
sin x - -ex
cos x - -ex
cos x dx
Vzorec je
u  v
dx = u  v - u
 v dx
.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Vypočtěte ex
cos x dx.
ex
cos x dx
u = ex
u
= ex
v
= cos x v = sin x
= ex
sin x - ex
sin x dx
u = ex
u
= ex
v
= sin x v = - cos x
= ex
sin x - -ex
cos x - -ex
cos x dx
ˇ Opět součin exponenciální a goniometrické funkce.
ˇ Integrujeme per partes, nyní musíme zachovat stejnou volbu u a
v
.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Vypočtěte ex
cos x dx.
ex
cos x dx
u = ex
u
= ex
v
= cos x v = sin x
= ex
sin x - ex
sin x dx
u = ex
u
= ex
v
= sin x v = - cos x
= ex
sin x - -ex
cos x - -ex
cos x dx
Vzorec pro červenou část je uv
dx = uv - u
v dx, zbytek zůstane.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Vypočtěte ex
cos x dx.
ex
cos x dx = ex
sin x + ex
cos x - ex
cos x dx
2 ex
cos x dx = ex
sin x + ex
cos x + c
ex
cos x dx =
ex
2
(sin x + cos x) + c
Po dvou per partes jsme se dostali zpátky k integrálu, který chceme
spočítat.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Vypočtěte ex
cos x dx.
ex
cos x dx = ex
sin x + ex
cos x - ex
cos x dx
2 ex
cos x dx = ex
sin x + ex
cos x + c
ex
cos x dx =
ex
2
(sin x + cos x) + c
Ř ěšíme jako rovnici s neznámým integrálem, proto jej převedeme na
levou stranu. Připíšeme integrační konstantu.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Vypočtěte ex
cos x dx.
ex
cos x dx = ex
sin x + ex
cos x - ex
cos x dx
2 ex
cos x dx = ex
sin x + ex
cos x + c
ex
cos x dx =
ex
2
(sin x + cos x) + c
Dělíme dvěma a dostáváme výsledek.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
KONEC
    c Lenka Přibylová, 2006 ×