Integrace rac. lomené funkce typu
Mx + N
ax2 + bx + c
Robert Mařík a Lenka Přibylová 28. července 2006
H   H
©Lenka Přibylová, 20060
Obsah
/4±Adx   ...............................      3
y x2+4
/   2X + 5      dx............................       7
J  x2 - Ax + 9
©Lenka Přibylová, 20060
Najděte /    „        dx.
1 =
■ dx
©Lenka Přibylová, 2006|
Najděte / ——- dx.
I =  I -~------ dx
x2 + 4
x            5
dx
x2 + 4      x2 + 4
• Derivace jmenovatele je 7.x, v čitateli však není násobek této funkce.
ľ f M
•  Vzorec /     ,  . dx nelze přímo použít.
J   jyx)
•  Rozdělíme zlomek na dva.
(c) Lenka Přibylová, 2tX
Najděte /    „        dx.
1 =
1     2x
■ dx
2 x2
dx
•  V prvním zlomku je v čitateli polovina derivace jmenovatele.
•  Proto první zlomek vynásobíme a vydělíme dvěma.
^^H!1!Bffl!B^!TO^flB^
Najděte
■ dx.
1 =
1     2x
■ dx
2 x2 2     v
-4 4)
~i----ľdx
x2 + 4
1          x
52arct§2
C
/'(*)
/(*)
A2
= \n\f(x)\+C
1,1           x -----~ dx = — arct
A
A
(č) Lenka Přibylová, 2
Najděte / -~-----------dx.
'        ' x2 - 4x + 9
1 =
x + 5
x2 - 4x + 9
dx
©Lenka Přibylová, 2006|
Najděte / -~------------dx.
'         ' x2 - 4x + 9
1 =
x + 5
dx
x2 - 4x + 9 (2x-4) x2 - 4x + 9
■dx
V čitateli potřebujeme derivaci jmenovatele, tj. výraz (2x — 4).
(c) Lenka rnbylová, 2ÜU6 £
Najděte / -~------------dx.
'        J x2 - 4x + 9
I = I -~------------dx
x2-4x + 9
^^______dx
x2 - 4x + 9
•  Musíme upravit zlomek tak, aby se zlomky v prvním a druhém integrálu rovnaly.
•  K těmto úpravám použijeme jenom multiplikativní a aditivní konstanty (nenadělají "moc velkou neplechu" při integraci).
1
•  Přidáním násobku - máme ve druhém zlomku v čitateli výraz
1
- (2x — 4) = x — 2. Koeficient u x je v pořádku.
(c) Lenka Přibylová,
^Ó06H
Najděte / -~-----------dx.
'        ' x2 - 4x + 9
1 =
dx
x2 - 4x + 9 ^(2x-4)+2 x2 - 4x + 9
■dx
1
• -(2x-4) = x-2
1
2V
2 = x Nyní je v čitateli jenom x. Chybí číslo 5.
(c) Lenka Přibylová, 21X
Najděte
x + 5
x2 - 4x + 9
dx.
1 =
x2 - 4x + 9
dx
(2x-4)+2+5 x2 - 4x + 9
■dx
2x-4) = x-2
(2x-4) + 2 = x
\(2x-
2 + 5 = x + 5
První a druhý zlomek jsou stejné, nedopustili jsme se žádné úpravy, která by změnila hodnotu zlomku.
^^HHBMByWWI^ro&l
Najděte / -~-----------dx.
'        ' x2 - 4x + 9
1 =
x + 5
dx
■dx
x2 - 4x + 9 í(2x-4)+2+5
x2 - 4x + 9
1       2x-4
2  ' x2 - 4x + 9     x2 - 4x + 9
2 + 5
dx
Rozdělíme zlomek na dva.
—I...I......   . ... g
Najděte / -~-----------dx.
'        ' x2 - 4x + 9
1 =
x + 5
dx
■dx
x2 - 4x + 9 í(2x-4)+2+5
x2 - 4x + 9
1       2x-4        ________
2  ' x2 - 4x + 9     x2 - 4x + 9
2 + 5
dx
= -ln|x  -4x + 9|
ff'(x) J f(x) -	= ln|/(x)| + C	
Najděte / -~------------dx.
'         ' x2 - 4x + 9
1 =
x + 5
dx
■dx
x2 - 4x + 9 í(2x-4)+2+5
x2 - 4x + 9
1        2x-4        _________
2  ' x2 - 4x + 9     x2 - 4x + 9
= -ln|x  -4x + 9|
2 + 5
dx
7
rx-2)2 + 5
dx
Doplníme na čtverec ve jmenovateli druhého zlomku.
x2 - 4x + 9 = x2 - 2 • 2 • x + 22 - 4 + 9 = (x - 2)2 + 5
(c) LenkäTTTPyWW^BWTf
Najděte / -~------------dx.
'         ' x2 - 4x + 9
1 =
x + 5
dx
■dx
x2 - 4x + 9 í(2x-4)+2+5
x2 - 4x + 9
1        2x-4        _________
2  ' x2 - 4x + 9     x2 - 4x + 9
2 + 5
dx
= -ln|x  -4x + 9|
7
fx-2)2 + 5
dx
1,    .   2      „        „,     „     1            x-2    1
= - ln xz - 4x + 9 + 7 • —= arcte —■=- ■ -
2                             Vš          Vš   i
—75------~ dx = — arcte —, kde v našem případě A = \fb,
A2 + x2           A       b A                       ť  ť
f(ax + b) dx = -F(ax + b), v našem případě a = 1
© Lenka Přibylova, 2UU6|
Najděte / -~------------dx.
'         ' x2 - 4x + 9
1 =
x + 5
dx
■dx
x2 - 4x + 9 í(2x-4)+2+5
x2 - 4x + 9
1        2x-4        _________
2  ' x2 - 4x + 9     x2 - 4x + 9
2 + 5
dx
= -ln|x  -4x + 9|
7
fx-2)2 + 5
dx
1,    .   2      „        „,     „     1            x-2    1
= - ln xz - 4x + 9 + 7 • —= arcte —■=- ■ -
2                             Vš          Vš   i
= li» |r-41+ 9|.
7            x-2     „
arctg —— + C
Upravíme.
^^^^HB^^^^^W^^^^J
Konec
H   H
©Lenka Přibylová, 20060