A.
1.
Najděte definiční obor funkce
f (x) =
arcsin 3x-1
2
ln x
+ 4 - x2
Ř ešení:
ln x = 0  x = 1
4 - x2
 0  4  x2
 2  |x|
x > 0
-1 
3x - 1
2
 1  -2  3x - 1  2  -1  3x  3  -
1
3
 x  1
D( f ) = (0, 1)
10
-
1
3
22
2.
V trojúhelníku ABC je dáno a = 3, b = 7,  = 60
. Vypočtěte c a  s přesností na minuty.
Ř ešení:
a = 3
b = 7
c

 = 60
c2
= a2
+ b2
- 2ab cos 
c2
= 9 + 49 - 2  3  7 
1
2
= 37
c =

37
sin 
a
=
sin 
c
sin  =
3

37


3
2
.
= 0.427

.
= 25.285
= 25
17
3.
Ř ešte rovnici v C:
z + 1
z + i
= 3 + i
Ř ešení:
z + 1 = (3 + i)(z + i)
z + 1 = 3z + 3i + iz - 1
-2z - iz = 3i - 2
z(2 + i) = 2 - 3i
z =
2 - 3i
2 + i

2 - i
2 - i
z =
4 - 2i - 6i - 3
5
=
1
5
-
8
5
i
4.
Vydělte polynomy:
(x4
+ 3x3
- 2x + 1) : (x2
+ 3x - 1)
Ř ešení:
(x4
+3x3
-2x+1): (x2
+ 3x - 1) = x2
+ 1 +
-5x + 2
x2 + 3x - 1
-(x4
+3x3
-x2
x2
-2x +1
-(x2
+3x-1)
-5x +2
5.
Najděte rozklad polynomu na kořenové činitele (kořeny jsou celá čísla):
P(x) = x4
+ 10x3
+ 24x2
- 10x - 25
Ř ešení:
1 10 24 -10 -25
1 1 11 35 25 0
-1 1 10 25 0
P(x) = (x - 1)(x + 1)(x2
+ 10x + 25) = (x - 1)(x + 1)(x + 5)2
x1,2 =
-10 

100 - 100
2
= -5
6.
Rozložte na parciální zlomky:
x2 - 3x + 2
(x + 1)(x2 + 2)
Ř ešení:
x2 - 3x + 2
(x + 1)(x2 + 2)
=
A
x + 1
+
Bx + C
x2 + 2
x2
- 3x + 2 = A(x2
+ 2) + (Bx + C)(x + 1)
x = -1 : 6 = 3A  A = 2
x2
: 1 = A + B = 2 + B  B = -1
x0
: 2 = 2A + C = 4 + C  C = -2
7.
Spočtěte X, je-li A =
1 1
0 1
, B =
0 1
1 0
a
AX + B = 2X + 3BA
Ř ešení:
AX - 2X = 3BA - B
(A - 2I)X = 3BA - B
X = (A - 2I)-1
(3BA - B)
BA =
0 1
1 0
1 1
0 1
=
0 1
1 1
3BA - B =
0 3
3 3
-
0 1
1 0
=
0 2
2 3
(A - 2I) =
1 1
0 1
-
2 0
0 2
=
-1 1
0 -1
-1 1 1 0
0 -1 0 1

-1 0 1 1
0 -1 0 1

1 0 -1 -1
0 1 0 -1
X =
-1 -1
0 -1
0 2
2 3
=
-2 -5
-2 -3
8.
Vypočtěte inverzní matici k matici
A =


2 -1 3
0 1 -4
4 -1 1


Ř ešení:

2 -1 3 1 0 0
0 1 -4 0 1 0
4 -1 1 0 0 1

 


2 -1 3 1 0 0
0 1 -4 0 1 0
0 1 -5 -2 0 1

 


2 0 -1 1 1 0
0 1 -4 0 1 0
0 0 -1 -2 -1 1

 


2 0 0 3 2 -1
0 1 0 8 5 -4
0 0 -1 -2 -1 1

 



1 0 0
3
2
1 -
1
2
0 1 0 8 5 -4
0 0 1 2 1 -1


 A-1
=



3
2
1 -
1
2
8 5 -4
2 1 -1



9.
Vypočtěte determinant
2 -2 -5 1
2 0 1 -2
6 0 -1 0
8 2 2 4
Ř ešení:
2 -2 -5 1
2 0 1 -2
6 0 -1 0
8 2 2 4
= 2
2 -2 -5 1
2 0 1 -2
6 0 -1 0
4 1 1 2
= 2  2 
1 -2 -5 1
1 0 1 -2
3 0 -1 0
2 1 1 2
= 4
5 0 -3 5
1 0 1 -2
3 0 -1 0
2 1 1 2
=
4  1  (-1)4+2
5 -3 5
1 1 -2
3 -1 0
= 4(-5 + 18 + 15 - 10) = 4  18 = 72
10.
Ř ešte soustavu rovnic
x1 + 3x2-4x3 + 9x4 =15
-x1 - x2 +3x3 + 2x4 =2
2x1 -5x3 + 13x4=7
2x1 + 4x2-7x3 + 5x4 =11
Ř ešení:



1 3 -4 9 15
-1 -1 3 2 2
2 0 -5 13 7
2 4 -7 5 11



 




-1 -1 3 2 2
0 2 -1 11 17
0 -2 1 17 11
0 2 -1 9 15



 




-1 -1 3 2 2
0 2 -1 11 17
0 0 0 28 28
0 0 0 -2 -2



 


-1 -1 3 2 2
0 2 -1 11 17
0 0 0 1 1

 h(A) = h(Ar) = 3  úloha má řešení
4 neznámé, 3 nezávislé rovnice  nekonečně mnoho řešení s jedním parametrem.
x4 = 1
2x2 - x3 + 11x4 = 17
2x2 - x3 + 11 = 17
2x2 - x3 = 6
x2 = t
x3 = 2t - 6
-x1 - x2 + 3x3 + 2x4 = 2
-x1 - t + 3(2t - 6) + 2 = 2
x1 = 5t - 18
B.
1.
Najděte definiční obor funkce
f (x) = ln(9 - x2
) +

ln x - arccos
2x + 1
3
Ř ešení:
ln x  0  x  1
9 - x2
> 0  9 > x2
 3 > |x|
x > 0
-1 
2x + 1
3
 1  -3  2x + 1  3  -4  2x  2  -2  x  1
D( f ) = {1}
10-2 33
2.
V trojúhelníku ABC je dáno b = 4, c = 5,  = 45
. Vypočtěte a a  s přesností na minuty.
Ř ešení:
b = 4
c = 5
a

 = 45
a2
= b2
+ c2
- 2bc cos 
a2
= 16 + 25 - 2  4  5 

2
2
.
= 12.7
a
.
= 3.566
sin 
b
=
sin 
a
sin 
.
=
4
3.566


2
2
.
= 0.793

.
= 52.48
= 52
29
3.
Spočtěte z10
, je-li z =

2
2
+

2
2
i
Ř ešení:
|z| =

2
2
2
+

2
2
2
= 1
 = arctg

2
2
2
2
= arctg1 =

4


2
2

2
2
z10
= 110
 (cos 10

4
+ i sin 10

4
) =
cos

2
+ i sin

2
= i
4.
Vydělte polynomy:
(2x3
+ x2
- x + 3) : (x2
- 2)
Ř ešení:
(2x3
+x2
-x +3): (x2
- 2) = 2x + 1 +
3x + 5
x2 - 2
-(2x3
-4x )
x2
+3x +3
-(x2
-2)
3x +5
5.
Najděte rozklad polynomu na kořenové činitele (kořeny jsou celá čísla):
P(x) = x4
+ 3x3
- 3x2
- 11x - 6
Ř ešení:
1 3 -3 -11 -6
1 1 4 1 -10 -16
-1 1 2 -5 -6 0
-1 1 1 -6 0
P(x) = (x + 1)2
(x2
+ x - 6) = (x + 1)2
(x + 3)(x - 2)
x1,2 =
-1 

1 + 24
2
= -3, 2
6.
Rozložte na parciální zlomky:
x2 - x + 3
x2(x - 1)
Ř ešení:
x2 - x + 3
x2(x - 1)
=
A
x
+
B
x2
+
C
x - 1
x2
- 3x + 2 = A(x2
+ 2) + (Bx + C)(x + 1)
x = 0 : 3 = -B  B = -3
x = 1 : 3 = C
x2
: 1 = A + C = A + 3  A = -2
7.
Spočtěte X, je-li A =
4 -1
0 4
, B =
0 1
-1 0
a
XA - B = 3X - 2BA
Ř ešení:
XA - 3X = B - 2BA
X(A - 3I) = B - 2BA
X = (B - 2BA)(A - 3I)-1
BA =
0 1
-1 0
4 -1
0 4
=
0 4
-4 1
B - 2BA =
0 1
-1 0
-
0 8
-8 2
=
0 -7
7 -2
(A - 3I) =
4 -1
0 4
-
3 0
0 3
=
1 -1
0 1
1 -1 1 0
0 1 0 1

1 0 1 1
0 1 0 1
X =
0 -7
7 -2
1 1
0 1
=
0 -7
7 5
8.
Vypočtěte inverzní matici k matici
A =


3 -2 4
-1 2 -1
-3 4 -4


Ř ešení:

3 -2 4 1 0 0
-1 2 -1 0 1 0
-3 4 -4 0 0 1

 


-1 2 -1 0 1 0
0 4 1 1 3 0
0 -2 -1 0 -3 1

 


-1 0 -2 0 -2 1
0 -2 -1 0 -3 1
0 0 -1 1 -3 2

 


-1 0 0 -2 4 -3
0 -2 0 -1 0 -1
0 0 -1 1 -3 2

 



1 0 0 2 -4 3
0 1 0
1
2
0
1
2
0 0 1 -1 3 -2


 A-1
=



2 -4 3
1
2
0
1
2
-1 3 -2



9.
Vypočtěte determinant
1 -5 2 2
-2 1 0 -4
0 -1 2 4
4 2 0 8
Ř ešení:
1 -5 2 2
-2 1 0 -4
0 -1 2 4
4 2 0 8
= 2
1 -5 2 2
-2 1 0 -4
0 -1 2 4
2 1 0 4
= 2  2  2 
1 -5 1 1
-2 1 0 -2
0 -1 1 2
2 1 0 2
= 8
1 -5 1 1
-2 1 0 -2
-1 4 0 1
2 1 0 2
=
8  1  (-1)1+3
-2 1 -2
-1 4 1
2 1 2
= 8(-16 + 2 + 2 + 16 + 2 + 2) = 64
10.
Ř ešte soustavu rovnic
2x1 + 4x2 +3x3 + 4x4 =1
2x1 + x2 +2x3 - 2x4 =8
4x1 - x2 +3x3 + 11x4=2
8x1 + 10x2+10x3 + x4 =21
Ř ešení:



2 4 3 4 1
2 1 2 -2 8
4 -1 3 11 2
8 10 10 1 21



 




2 4 3 4 1
0 -3 -1 -6 7
0 -9 -3 3 0
0 -6 -2 -15 17



 




2 4 3 4 1
0 -3 -1 -6 7
0 0 0 21 -21
0 0 0 -3 3



 


2 4 3 4 1
0 -3 -1 -6 7
0 0 0 1 -1

 h(A) = h(Ar) = 3  úloha má řešení,
4 neznámé, 3 nezávislé rovnice  nekonečně mnoho řešení s jedním parametrem.
x4 = -1
-3x2 - x3 - 6x4 = 7
-3x2 - x3 + 6 = 7
-3x2 - x3 = 1
x2 = t
x3 = -3t - 1
2x1 + 4x2 + 3x3 + 4x4 = 1
2x1 + 4t + 3(-3t - 1) - 4 = 1
x1 =
5t + 8
2