Rozklad na parciální zlomky
Lenka Přibylová
4. srpna 2006
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Obsah
x + 3
x2 + x - 2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
x2
- x + 4
x2 + 2x + 1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
x
(x - 1)(x2 + 2)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Rozložte na parciální zlomky:
x + 3
x2 + x - 2
x + 3
x2 + x - 2
=
x + 3
(x - 1)(x + 2)
=
A
x - 1
+
B
x + 2
x + 3 = A(x + 2) + B(x - 1)
x = 1 : 4 = A  3  A =
4
3
x = -2 : 1 = B  -3  B = -
1
3
x + 3
x2 + x - 2
=
4
3(x - 1)
-
1
3(x + 2)
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Rozložte na parciální zlomky:
x + 3
x2 + x - 2
x + 3
x2 + x - 2
=
x + 3
(x - 1)(x + 2)
=
A
x - 1
+
B
x + 2
x + 3 = A(x + 2) + B(x - 1)
x = 1 : 4 = A  3  A =
4
3
x = -2 : 1 = B  -3  B = -
1
3
x + 3
x2 + x - 2
=
4
3(x - 1)
-
1
3(x + 2)
Funkce je ryze lomená, protože stupeň polynomu v čitateli je menší,
než ve jmenovateli.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Rozložte na parciální zlomky:
x + 3
x2 + x - 2
x + 3
x2 + x - 2
=
x + 3
(x - 1)(x + 2)
=
A
x - 1
+
B
x + 2
x + 3 = A(x + 2) + B(x - 1)
x = 1 : 4 = A  3  A =
4
3
x = -2 : 1 = B  -3  B = -
1
3
x + 3
x2 + x - 2
=
4
3(x - 1)
-
1
3(x + 2)
Jmenovatel rozložíme na kořenové činitele. Použijeme buď vzorec
pro kořeny kvadratické rovnice, Hornerovo schema nebo odhad
součinu.
x2
+ x - 2 = (x - 1)(x + 2)
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Rozložte na parciální zlomky:
x + 3
x2 + x - 2
x + 3
x2 + x - 2
=
x + 3
(x - 1)(x + 2)
=
A
x - 1
+
B
x + 2
x + 3 = A(x + 2) + B(x - 1)
x = 1 : 4 = A  3  A =
4
3
x = -2 : 1 = B  -3  B = -
1
3
x + 3
x2 + x - 2
=
4
3(x - 1)
-
1
3(x + 2)
Každému kořenovému činiteli přísluší jeden parciální zlomek.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Rozložte na parciální zlomky:
x + 3
x2 + x - 2
x + 3
x2 + x - 2
=
x + 3
(x - 1)(x + 2)
=
A
x - 1
+
B
x + 2
x + 3 = A(x + 2) + B(x - 1)
x = 1 : 4 = A  3  A =
4
3
x = -2 : 1 = B  -3  B = -
1
3
x + 3
x2 + x - 2
=
4
3(x - 1)
-
1
3(x + 2)
Vynásobíme rovnici společným jmenovatelem (x - 1)(x + 2).
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Rozložte na parciální zlomky:
x + 3
x2 + x - 2
x + 3
x2 + x - 2
=
x + 3
(x - 1)(x + 2)
=
A
x - 1
+
B
x + 2
x + 3 = A(x + 2) + B(x - 1)
x = 1 : 4 = A  3  A =
4
3
x = -2 : 1 = B  -3  B = -
1
3
x + 3
x2 + x - 2
=
4
3(x - 1)
-
1
3(x + 2)
Rovnost platí pro každé x, tedy i pro kořen x = 1.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Rozložte na parciální zlomky:
x + 3
x2 + x - 2
x + 3
x2 + x - 2
=
x + 3
(x - 1)(x + 2)
=
A
x - 1
+
B
x + 2
x + 3 = A(x + 2) + B(x - 1)
x = 1 : 4 = A  3  A =
4
3
x = -2 : 1 = B  -3  B = -
1
3
x + 3
x2 + x - 2
=
4
3(x - 1)
-
1
3(x + 2)
Můžeme vyjádřit A.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Rozložte na parciální zlomky:
x + 3
x2 + x - 2
x + 3
x2 + x - 2
=
x + 3
(x - 1)(x + 2)
=
A
x - 1
+
B
x + 2
x + 3 = A(x + 2) + B(x - 1)
x = 1 : 4 = A  3  A =
4
3
x = -2 : 1 = B  -3  B = -
1
3
x + 3
x2 + x - 2
=
4
3(x - 1)
-
1
3(x + 2)
Dosadíme x = -2.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Rozložte na parciální zlomky:
x + 3
x2 + x - 2
x + 3
x2 + x - 2
=
x + 3
(x - 1)(x + 2)
=
A
x - 1
+
B
x + 2
x + 3 = A(x + 2) + B(x - 1)
x = 1 : 4 = A  3  A =
4
3
x = -2 : 1 = B  -3  B = -
1
3
x + 3
x2 + x - 2
=
4
3(x - 1)
-
1
3(x + 2)
Můžeme vyjádřit B.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Rozložte na parciální zlomky:
x + 3
x2 + x - 2
x + 3
x2 + x - 2
=
x + 3
(x - 1)(x + 2)
=
A
x - 1
+
B
x + 2
x + 3 = A(x + 2) + B(x - 1)
x = 1 : 4 = A  3  A =
4
3
x = -2 : 1 = B  -3  B = -
1
3
x + 3
x2 + x - 2
=
4
3(x - 1)
-
1
3(x + 2)
Máme rozklad na parciální zlomky.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Rozložte na parciální zlomky:
x2
- x + 4
x2 + 2x + 1
(x2
-x +4): (x2
+ 2x + 1) = 1 +
-3x + 3
x2 + 2x + 1
-(x2
+2x+1)
-3x +3
-3x + 3
(x + 1)2
=
A
x + 1
+
B
(x + 2)2
-3x + 3 = A(x + 1) + B
x = -1 : 6 = B
x0
: 3 = A + B = A + 6  A = -3
x2
- x + 4
x2 + 2x + 1
= 1 -
3
x + 1
+
6
(x + 2)2
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Rozložte na parciální zlomky:
x2
- x + 4
x2 + 2x + 1
(x2
-x +4): (x2
+ 2x + 1) = 1 +
-3x + 3
x2 + 2x + 1
-(x2
+2x+1)
-3x +3
-3x + 3
(x + 1)2
=
A
x + 1
+
B
(x + 2)2
-3x + 3 = A(x + 1) + B
x = -1 : 6 = B
x0
: 3 = A + B = A + 6  A = -3
x2
- x + 4
x2 + 2x + 1
= 1 -
3
x + 1
+
6
(x + 2)2
Funkce není ryze lomená, protože stupeň polynomu v čitateli je
stejný (nebo větší), než ve jmenovateli.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Rozložte na parciální zlomky:
x2
- x + 4
x2 + 2x + 1
(x2
-x +4): (x2
+ 2x + 1) = 1 +
-3x + 3
x2 + 2x + 1
-(x2
+2x+1)
-3x +3
-3x + 3
(x + 1)2
=
A
x + 1
+
B
(x + 2)2
-3x + 3 = A(x + 1) + B
x = -1 : 6 = B
x0
: 3 = A + B = A + 6  A = -3
x2
- x + 4
x2 + 2x + 1
= 1 -
3
x + 1
+
6
(x + 2)2
Podělíme polynomy v čitateli a jmenovateli
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Rozložte na parciální zlomky:
x2
- x + 4
x2 + 2x + 1
(x2
-x +4): (x2
+ 2x + 1) = 1 +
-3x + 3
x2 + 2x + 1
-(x2
+2x+1)
-3x +3
-3x + 3
(x + 1)2
=
A
x + 1
+
B
(x + 2)2
-3x + 3 = A(x + 1) + B
x = -1 : 6 = B
x0
: 3 = A + B = A + 6  A = -3
x2
- x + 4
x2 + 2x + 1
= 1 -
3
x + 1
+
6
(x + 2)2
a dostáváme polynom a ryze lomenou funkci.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Rozložte na parciální zlomky:
x2
- x + 4
x2 + 2x + 1
(x2
-x +4): (x2
+ 2x + 1) = 1 +
-3x + 3
x2 + 2x + 1
-(x2
+2x+1)
-3x +3
-3x + 3
(x + 1)2
=
A
x + 1
+
B
(x + 2)2
-3x + 3 = A(x + 1) + B
x = -1 : 6 = B
x0
: 3 = A + B = A + 6  A = -3
x2
- x + 4
x2 + 2x + 1
= 1 -
3
x + 1
+
6
(x + 2)2
Na parciální zlomky budeme rozkládat jen ryze lomený zbytek.
Jmenovatel rozložíme na kořenové činitele podle vzorce.
x2
+ 2x + 1 = (x + 1)2
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Rozložte na parciální zlomky:
x2
- x + 4
x2 + 2x + 1
(x2
-x +4): (x2
+ 2x + 1) = 1 +
-3x + 3
x2 + 2x + 1
-(x2
+2x+1)
-3x +3
-3x + 3
(x + 1)2
=
A
x + 1
+
B
(x + 2)2
-3x + 3 = A(x + 1) + B
x = -1 : 6 = B
x0
: 3 = A + B = A + 6  A = -3
x2
- x + 4
x2 + 2x + 1
= 1 -
3
x + 1
+
6
(x + 2)2
Každému kořenovému činiteli včetně násobnosti přísluší jeden
parciální zlomek.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Rozložte na parciální zlomky:
x2
- x + 4
x2 + 2x + 1
(x2
-x +4): (x2
+ 2x + 1) = 1 +
-3x + 3
x2 + 2x + 1
-(x2
+2x+1)
-3x +3
-3x + 3
(x + 1)2
=
A
x + 1
+
B
(x + 2)2
-3x + 3 = A(x + 1) + B
x = -1 : 6 = B
x0
: 3 = A + B = A + 6  A = -3
x2
- x + 4
x2 + 2x + 1
= 1 -
3
x + 1
+
6
(x + 2)2
Vynásobíme rovnici společným jmenovatelem (x + 1)2
.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Rozložte na parciální zlomky:
x2
- x + 4
x2 + 2x + 1
(x2
-x +4): (x2
+ 2x + 1) = 1 +
-3x + 3
x2 + 2x + 1
-(x2
+2x+1)
-3x +3
-3x + 3
(x + 1)2
=
A
x + 1
+
B
(x + 2)2
-3x + 3 = A(x + 1) + B
x = -1 : 6 = B
x0
: 3 = A + B = A + 6  A = -3
x2
- x + 4
x2 + 2x + 1
= 1 -
3
x + 1
+
6
(x + 2)2
Rovnost platí pro každé x, tedy i pro kořen x = -1. Dostáváme
hodnotu B.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Rozložte na parciální zlomky:
x2
- x + 4
x2 + 2x + 1
(x2
-x +4): (x2
+ 2x + 1) = 1 +
-3x + 3
x2 + 2x + 1
-(x2
+2x+1)
-3x +3
-3x + 3
(x + 1)2
=
A
x + 1
+
B
(x + 2)2
-3x + 3 = A(x + 1) + B
x = -1 : 6 = B
x0
: 3 = A + B = A + 6  A = -3
x2
- x + 4
x2 + 2x + 1
= 1 -
3
x + 1
+
6
(x + 2)2
Další kořeny nemáme. Buď dosadíme jiné číslo nebo porovnáme
koeficienty. U x0
stojí na obou stranách rovnice stejné koeficienty.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Rozložte na parciální zlomky:
x2
- x + 4
x2 + 2x + 1
(x2
-x +4): (x2
+ 2x + 1) = 1 +
-3x + 3
x2 + 2x + 1
-(x2
+2x+1)
-3x +3
-3x + 3
(x + 1)2
=
A
x + 1
+
B
(x + 2)2
-3x + 3 = A(x + 1) + B
x = -1 : 6 = B
x0
: 3 = A + B = A + 6  A = -3
x2
- x + 4
x2 + 2x + 1
= 1 -
3
x + 1
+
6
(x + 2)2
Můžeme vyjádřit A.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Rozložte na parciální zlomky:
x2
- x + 4
x2 + 2x + 1
(x2
-x +4): (x2
+ 2x + 1) = 1 +
-3x + 3
x2 + 2x + 1
-(x2
+2x+1)
-3x +3
-3x + 3
(x + 1)2
=
A
x + 1
+
B
(x + 2)2
-3x + 3 = A(x + 1) + B
x = -1 : 6 = B
x0
: 3 = A + B = A + 6  A = -3
x2
- x + 4
x2 + 2x + 1
= 1 -
3
x + 1
+
6
(x + 2)2
Máme rozklad na parciální zlomky.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Rozložte na parciální zlomky:
x
(x - 1)(x2 + 2)
x
(x - 1)(x2 + 2)
=
A
x - 1
+
Bx + C
x2 + 2
x = A(x2
+ 2) + (Bx + C)(x - 1)
x = 1 : 1 = A  3  A =
1
3
x2
: 0 = A + B =
1
3
+ B  B = -
1
3
x1
: 1 = -B + C =
1
3
+ C  C =
2
3
x
(x - 1)(x2 + 2)
=
1
3(x - 1)
+
-x + 2
3(x2 + 2)
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Rozložte na parciální zlomky:
x
(x - 1)(x2 + 2)
x
(x - 1)(x2 + 2)
=
A
x - 1
+
Bx + C
x2 + 2
x = A(x2
+ 2) + (Bx + C)(x - 1)
x = 1 : 1 = A  3  A =
1
3
x2
: 0 = A + B =
1
3
+ B  B = -
1
3
x1
: 1 = -B + C =
1
3
+ C  C =
2
3
x
(x - 1)(x2 + 2)
=
1
3(x - 1)
+
-x + 2
3(x2 + 2)
Funkce je ryze lomená, protože stupeň polynomu v čitateli je menší,
než ve jmenovateli. Jmenovatel již je rozložen na kořenové činitele,
protože x2
+ 2 = 0 má pouze komplexní kořeny.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Rozložte na parciální zlomky:
x
(x - 1)(x2 + 2)
x
(x - 1)(x2 + 2)
=
A
x - 1
+
Bx + C
x2 + 2
x = A(x2
+ 2) + (Bx + C)(x - 1)
x = 1 : 1 = A  3  A =
1
3
x2
: 0 = A + B =
1
3
+ B  B = -
1
3
x1
: 1 = -B + C =
1
3
+ C  C =
2
3
x
(x - 1)(x2 + 2)
=
1
3(x - 1)
+
-x + 2
3(x2 + 2)
Každému kořenovému činiteli přísluší jeden parciální zlomek,
nerozložitelnému kvadratickému činiteli také.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Rozložte na parciální zlomky:
x
(x - 1)(x2 + 2)
x
(x - 1)(x2 + 2)
=
A
x - 1
+
Bx + C
x2 + 2
x = A(x2
+ 2) + (Bx + C)(x - 1)
x = 1 : 1 = A  3  A =
1
3
x2
: 0 = A + B =
1
3
+ B  B = -
1
3
x1
: 1 = -B + C =
1
3
+ C  C =
2
3
x
(x - 1)(x2 + 2)
=
1
3(x - 1)
+
-x + 2
3(x2 + 2)
Vynásobíme rovnici společným jmenovatelem (x - 1)(x2
+ 2).
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Rozložte na parciální zlomky:
x
(x - 1)(x2 + 2)
x
(x - 1)(x2 + 2)
=
A
x - 1
+
Bx + C
x2 + 2
x = A(x2
+ 2) + (Bx + C)(x - 1)
x = 1 : 1 = A  3  A =
1
3
x2
: 0 = A + B =
1
3
+ B  B = -
1
3
x1
: 1 = -B + C =
1
3
+ C  C =
2
3
x
(x - 1)(x2 + 2)
=
1
3(x - 1)
+
-x + 2
3(x2 + 2)
Rovnost platí pro každé x, tedy i pro kořen x = 1.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Rozložte na parciální zlomky:
x
(x - 1)(x2 + 2)
x
(x - 1)(x2 + 2)
=
A
x - 1
+
Bx + C
x2 + 2
x = A(x2
+ 2) + (Bx + C)(x - 1)
x = 1 : 1 = A  3  A =
1
3
x2
: 0 = A + B =
1
3
+ B  B = -
1
3
x1
: 1 = -B + C =
1
3
+ C  C =
2
3
x
(x - 1)(x2 + 2)
=
1
3(x - 1)
+
-x + 2
3(x2 + 2)
Můžeme vyjádřit A.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Rozložte na parciální zlomky:
x
(x - 1)(x2 + 2)
x
(x - 1)(x2 + 2)
=
A
x - 1
+
Bx + C
x2 + 2
x = A(x2
+ 2) + (Bx + C)(x - 1)
x = 1 : 1 = A  3  A =
1
3
x2
: 0 = A + B =
1
3
+ B  B = -
1
3
x1
: 1 = -B + C =
1
3
+ C  C =
2
3
x
(x - 1)(x2 + 2)
=
1
3(x - 1)
+
-x + 2
3(x2 + 2)
Další kořeny nemáme. Buď dosadíme jiné číslo nebo porovnáme
koeficienty. U x2
stojí na obou stranách rovnice stejné koeficienty.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Rozložte na parciální zlomky:
x
(x - 1)(x2 + 2)
x
(x - 1)(x2 + 2)
=
A
x - 1
+
Bx + C
x2 + 2
x = A(x2
+ 2) + (Bx + C)(x - 1)
x = 1 : 1 = A  3  A =
1
3
x2
: 0 = A + B =
1
3
+ B  B = -
1
3
x1
: 1 = -B + C =
1
3
+ C  C =
2
3
x
(x - 1)(x2 + 2)
=
1
3(x - 1)
+
-x + 2
3(x2 + 2)
Můžeme vyjádřit B.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Rozložte na parciální zlomky:
x
(x - 1)(x2 + 2)
x
(x - 1)(x2 + 2)
=
A
x - 1
+
Bx + C
x2 + 2
x = A(x2
+ 2) + (Bx + C)(x - 1)
x = 1 : 1 = A  3  A =
1
3
x2
: 0 = A + B =
1
3
+ B  B = -
1
3
x1
: 1 = -B + C =
1
3
+ C  C =
2
3
x
(x - 1)(x2 + 2)
=
1
3(x - 1)
+
-x + 2
3(x2 + 2)
Zbývá vyjádřit C. Protože C se objevuje u první i nulté mocniny x,
můžeme si mocninu vybrat. Vezmeme např. x1
.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Rozložte na parciální zlomky:
x
(x - 1)(x2 + 2)
x
(x - 1)(x2 + 2)
=
A
x - 1
+
Bx + C
x2 + 2
x = A(x2
+ 2) + (Bx + C)(x - 1)
x = 1 : 1 = A  3  A =
1
3
x2
: 0 = A + B =
1
3
+ B  B = -
1
3
x1
: 1 = -B + C =
1
3
+ C  C =
2
3
x
(x - 1)(x2 + 2)
=
1
3(x - 1)
+
-x + 2
3(x2 + 2)
Dostáváme C.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Rozložte na parciální zlomky:
x
(x - 1)(x2 + 2)
x
(x - 1)(x2 + 2)
=
A
x - 1
+
Bx + C
x2 + 2
x = A(x2
+ 2) + (Bx + C)(x - 1)
x = 1 : 1 = A  3  A =
1
3
x2
: 0 = A + B =
1
3
+ B  B = -
1
3
x1
: 1 = -B + C =
1
3
+ C  C =
2
3
x
(x - 1)(x2 + 2)
=
1
3(x - 1)
+
-x + 2
3(x2 + 2)
Máme rozklad na parciální zlomky.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Konec
    c Lenka Přibylová, 2006 ×