Úlohy ze střední školy
Lenka Přibylová 19. září 2006
©Lenka Přibylová,  2006 I
Obsah
Řešte nerovnici v R.........................      3
Řešte nerovnici vR.........................    11
Řešte rovnici v C..........................    17
Řešte rovnici v R..........................    23
EEI     El     19     199
©Lenka Přibylová,  2006 Q
x + 3 Řešte nerovnici v R : ------- > 2
©Lenka Přibylo
x + 3 Řešte nerovnici v R : ------- > 2
x + 3-2(x-l) ------------z-------- > 0
Abychom nemuseli rozdělovat úlohu na dvě části - kdy je x — 1 kladné a kdy záporné, převedeme 2 nalevo. Pokud chcete násobit výrazem x — 1, musíte si uvědomit, že v případě, že je záporný, obracíme znaménko nerovnosti.
a----Q----13----133----"^---nyLenka Přibylova,  iuuo I
x + 3 Řešte nerovnici v R : ------- > 2
x — 1
x + 3-2(x-l)
- > 0
x — í
—x + 5 x — í
>0
i
Upravíme.
E|----El----B----ES"~^----nyLenka Přibylovi,  iuuo
x + 3 Řešte nerovnici v R : ------- > 2
x — 1
x + 3-2(x-l)
- > 0
x — í
—x + 5 x — í
>0
Součin či podíl je kladný, pokud jsou oba činitele kladné, nebo oba záporné. Hranicí jsou tedy čísla 5 v čitateli a 1 ve jmenovateli. Ani číslo 1 ani číslo 5 ale nerovnici nevyhovuje.
3----El----B----133------^---nyLenka Přibylova,  iuuo I
x + 3 Řešte nerovnici v R : ------- > 2
x — 1
x + 3-2(x-l)
- > 0
x — í
—x + 5 x — í
>0
Spočteme hodnotu levé strany např. v 0:
5
-1<0'
nerovnice tedy není splněna.
x + 3 Řešte nerovnici v R : ------- > 2
x — 1
x + 3-2(x-l)
- > 0
x — í
—x + 5 x — í
+
>0
Spočteme hodnotu levé strany např. ve 2:
T>°.
nerovnice je splněna.
«yi.er.Ka Přibylovi,  iuuo I
x + 3 Řešte nerovnici v R : ------- > 2
x — 1
x + 3-2(x-l)
- > 0
x — í
—x + 5 x — í
+
>0
Spočteme hodnotu levé strany např. v 10:
T<°.
nerovnice tedy není splněna.
Řešte nerovnici v
x + 3 x — 1
>2
X	+ 3	-2(x	-1)
		x — 1	
		-x + 5	>0
>0
x — 1
+
x G (1,5)
i
Dostáváme takto interval, kde nerovnice platí.
(fcjLenka Přibylovi,  iuuo
fs                                 x + x        3 + 4x
Reste nerovnici v R : --------- < --------
3      -     12
©Lenka Přibylo
ň                             _.     x + x2      3 + 4x1 Reste nerovnici v R : --------- < --------I
______________________3      -      12     J
4x + 4x2 < 3 + 4x
i
Můžeme násobit kladným číslem 12.
E|----El----B----ES"~^----nyLenka Přibylovi,  iuuo
ň                             _.     x + x2      3 + 4x1 Reste nerovnici v R : --------- < --------I
______________________3      -      12     J
4x + 4x2 < 3 + Ax
Ax2 < 3
i
Odečteme Ax.
[El----El----13----133              ^"---«yLenka Přibylovi,  iuuo
ň                             _.     x + x2      3 + 4x1 Reste nerovnici v R : --------- < --------I
______________________3      -      12     J
4x + 4x2 < 3 + 4x
Ax2 < 3
2          3
x2 < -
i
Upravíme
E|----El----B----ES"~^----nyLenka Přibylovi,  iuuo
ň                             _.     x + x2      3 + 4x1 Reste nerovnici v R : --------- < --------I
______________________3      -      12     J
4x + 4x2 < 3 + 4x
Ax2 < 3
2          3
x2 <
4 V3
N< 2
Při odmocnění vždy dostáváme kladné číslo, tedy absolutní hodnotu x.
EH----El----B----laa--^----nyLenka Přibylovi,  iuuo |
ň                             _.     x + x2      3 + 4x1 Reste nerovnici v R : --------- < --------I
______________________3      -      12     J
4x + 4x2 < 3 + 4x
		4x2 < 3
		2       3 x2 < -- 4
		i   i / ^
		\A< —
		1    V3   a/3
X	t	\      2 '   2
©Lenka Přibylová,  2006 I
Reste rovnici v C : x   — 3x   + 2x = 6
©Lenka Přibylo
Řešte rovnici v C : x   — 3x   + 2x = 6
xd - 3x2 + 2x - 6 = 0
i
Převedeme všechny členy vlevo.
E|----El----B----ES"~^----nyLenka Přibylovi,  iuuo
Řešte rovnici v C : x   — 3x   + 2x = 6
xd - 3x2 + 2x - 6 = 0
x2(x-3)+2(x-3) =0
1
Vytkneme z prvních dvou členů x , z druhých 2.
(cjLenka Přibylovi,  iuuo
Řešte rovnici v C : x   — 3x   + 2x = 6
xd - 3x2 + 2x - 6 = 0
x2(x-3)+2(x-3) =0 (x-3)(x2 + 2) = 0
Vytkneme společnou závorku (x — 3).
Ü----El----O----133               ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^      HyLenka Přibylova,  2uuo I
Řešte rovnici v C : x   — 2>x   + 2x = 6
xd - 3x2 + 2x - 6 = 0
x2(x-3)+2(x-3) =0 (x-3)(x2 + 2) = 0 x\ = 3,
1
Součin je roven nule, pokud alespoň jeden činitel je roven nule. První činitel je vynulován pro x = 3,
E|-----El-----B-----ES"~^-----nyLenka  Přibylovi,  iuuo
Řešte rovnici v C : x   — 2>x   + 2x = 6
x3 - 3x2 + 2x - 6 = 0
x2(x-3)+2(x-3) =0
(x-3)(x2 + 2) = 0
xi = 3,     x2,3 = ±ía/2
druhý pro x   = —2. Máme najít komplexní řešení. Protože i   = — 1, platí x2 = -1 • 2 = i2 • 2, tedy |x| = «a/2.
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^"       ^Loulto Přibylova,  2uuo I
Řešte rovnici v R : log x + log x   = 3
©Lenka Přibylo
Řešte rovnici v R : log x + log x   = 3 I
(logx)2 + 21ogx = 3
1
Použijeme vztah log a   = b log a.
HyLenka Přibylovi,  iuuo
Řešte rovnici v R : log x + log x   = 3 I
(logx)2 + 21ogx = 3
y1 + 2y - 3 = 0
i
Zavedeme substituci y = log x
HyLenka Přibylovi,  iuuo
Řešte rovnici v R : log x + log x   = 3 I
(logx)2 + 21ogx = 3
y2 + 2y - 3 = 0
(ž/ + 3)(ž/-l) = 0
1
Kvadratickou rovnici řešíme buď vzorcem, nebo rozkladem na součin.
HyLenka Přibylovi,  iuuo
Řešte rovnici v R : log x + log x   = 3
(log x)2 + 21ogx = 3
y2 + 2y - 3 = 0
(ž/ + 3)(ž/-l) = 0
ž/i = -3,     2/2 = 1
Součin je roven nule, pokud alespoň jeden činitel je roven nule.
^^^^^^^^^^—^^^^^^^^-                  ^Lenka Přibylova, 2uuo Q
Řešte rovnici v R : log x + log x   = 3
(log x)2 + 21ogx = 3 y2 + 2y - 3 = 0
(ž/ + 3)(ž/-l) = 0
ž/i = -3,     2/2 = 1
logxi = -3,     logx2 = 1
i
Dosadíme zpátky ze substituce.
ÉEI----El----B----IJJ              ^^^^^^^^^~^^^^^^^^^--          liyLenka Přibylovi,  iuuo
Řešte rovnici v R : log x + log x   = 3
(log x)2 + 21ogx = 3 y2 + 2y - 3 = 0
(ž/ + 3)(ž/-l) = 0
ž/i = -3,     2/2 = 1
logxi = -3,     logx2 = 1 xi = 10~3,     x2 = 10.
i
Základem dekadického logaritmu je samozřejmě číslo 10...
E|----El----B----ES"~^---ÖLenka Přibylovi,  iuuo
Konec
BEI      Q      Q      133
©Lenka Přibylová,  2006 Q