Hodnoty cylindrické korekce z měření Zernikových aberací
Uvažujme osově souměrnou optickou soustavu s výstupní aperturou v z = 0. Ideální vlnoplocha ji bude
opouštět jako kulová, přičemž se bude fokusovat do bodu z = a . Takové chování popisuje systém
x2
+ y2
+ (z − a )2
= a
2
z
y
a
x
Věnujme se nyní případu, kdy je v reálném systému
přítomen astigmatismus. V takovém případě již
nejsou vlnoplochy fokusovány stejně silně ve všech
řezech. Nejjednoduším modelem, kterým můžeme
uvedené chování popsat, je vlnoplocha tvaru elipsoidu:
v řezu osy x bude mít taková vlnoplocha
jinou křivost, než v řezu osy y. Pro jednoduchost
zvolme elipsoid tak, aby v řezu osy y (x = 0) měl
tvar totožný s idealizovanou vlnoplochou (viz obrázek
vlevo).
Taková vlnoplocha může mít tvar například
α2
x2
+ y2
+ (˜z − a )2
= a
2
.
Vzhledem k platnosti všeobecného rozvoje
A2 − X2 ≈ A −
X2
2A
−
X4
8A3
+ . . .
můžeme vyjářit rozdíl vlnového chodu H(x, y) = ˜z − z ideální a reálné vlnoplochy jako
H(x, y) ≈
x2
(1 − α2
)
2a
.
Vyjádříme nyní uvedenou chybovou vlnoplochu s použitím astigmatického rozdílu (v dioptriích). Víme,
že v řezu roviny y (x = 0) je reálná vlnoplocha díky naší volbě totožná s vlnoplochou idealizovanou a
fokusuje se tedy do bodu z = a . V řezu roviny x (y = 0) má ale zvolená vlnoplocha tvar elipsy
x2
a 2
/α2
+
(˜z − a )2
a 2 = 1.
y z
x
a˜a
y
Chceme-li určit místo ˜a na ose z, kam se vlnoplochy
takového tvaru (červená křivka na obrázku
vlevo) budou fokusovat, musíme spočíst křivost κ
uvedené elipsy v jejím vrcholu. Křivost je převrácená
hodnota poloměru křivosti a je definována jako
κ = A/B2
, kde A a B jsou poloosy elipsy. Hledané
místo, kam se původně eliptická vlnoplocha fokusuje
je pak převrácenou hodnotou křivosti. Všimněme
si, že eliptická vlnoplocha se (narozdíl od vlnoplochy
kulové) nefokusuje jako stále se zmenšující se elipsa;
fyzikálně správnému chování odpovídá paraxiální
fokusace podle křivosti elipsy v místě jejího vrcholu
(tečkované křivky v obrázku vlevo).
1
V našem případě
κ =
A
B2
=
a
a 2/α2
=
α2
a
,
a odtud
1
˜a
= κ =
α2
a
.
Protože v obou řezech pozorujeme paprsky z jednoho zdroje, musí platit a = ˜a a ze všeobecné zobrazovací
rovnice
1
a
+
1
a
=
1
f
tak dostáváme
1
˜a
−
1
a
=
1
˜fm
−
1
fs
= ∆φA.
kde ∆φA je astigmatický rozdíl. V našem případě za rovinu sagitální a meridionální vezmeme řezy v
rovinách x a y a celkem tak dostáváme
∆φast =
α2
− 1
R
.
Tento získaný tvar lze přímo dosadit do chybové vlnoplochy, čímž získáváme
H(x, y) ≈ −
x2
2
∆φast.
K chybové vlnoploše nyní přistoupíme z druhé strany, z Zernikova rozvoje. K Seidelově astigmatizmu
budou přispívat členy, obsahující (i nepřímo) výrazy ρ2
cos2
θ, čili
W−2
2
√
6ρ2
sin(2θ) + W2
2
√
6ρ2
cos(2θ).
Je pouze potřeba pamatovat na to, že v Zernikově rozvoji je ρ bezrozměrná veličina, ρ2
= (x2
+ y2
)/R2
p.
Podobně jako v případě sférické korekce použijeme identitu
A cos(2θ) + B sin(2θ) = A2 + B2 cos 2θ − arctan
B
A
,
takže můžeme napsat
W−2
2
√
6ρ2
sin(2θ) + W2
2
√
6ρ2
cos(2θ) = (
√
6W−2
2 )2 + (
√
6W2
2 )2 2 cos2
θ −
1
2
arctan
W−2
2
W2
2
− 1 ,
neboť
cos(2θ − X) = cos 2 θ −
X
2
= cos2
θ −
X
2
− sin2
θ −
X
2
= 2 cos2
θ −
X
2
− 1
z goniometrické jedničky. Z uvedeného výrazu přispěje k astigmatizmu pro svůj vhodný tvar pouze
první člen v hranaté závorce (druhý přispívá ke sférické korekci). Porovnáním obou výrazů pro chybovou
vlnoplochu nakonec dostáváme
∆φast = −
4
R2
p
(
√
6W−2
2 )2 + (
√
6W2
2 )2 = 0.76 dpt,
kde ve výpočtu byly použity hodnoty
√
6W−2
2 = 0.584 µm a
√
6W2
2 = −1.315 µm z aberometru WASCA
pro udaný výpočetní poloměr zornice Rp = 2.75 mm. Povšimněme si, že normalizační faktory (odmocniny)
jsou u firmy Zeiss již zahrnuty v číselných hodnotách. Kromě celkové hodnoty astigmatického
rozdílu je možné také stanovit úhel natočení os astigmatismu. Podle výrazu pro příspěvek Zernikových
polynomů k Seidelovu astigmatismu je to právě
1
2
arctan
W−2
2
W2
2
= 11.9◦
,
v souladu s hodnotou vypočítanou aberometrem (12◦
).
Důvodem, proč si méně přesně odpovídají velikosti vypočtených astigmatizmů (WASCA udává 0.96
dpt) je nepřesnost našeho modelu: elipsoid, ktery nám umožnil astigmatický rozdíl poměrně jendoduše
spočítat, je přílišným zjednudušením reálného tvaru vlnoplochy. Na druhé straně, chyba našeho výpočtu
je i tak menší než čtvrt dioptrie.
2