Matematika pro radiologické asistenty
1. Základní pojmy
1.1 Úvod
Fyzika jako exaktní věda má svůj jazyk ­ matematiku. Ve Feynmanově knize
Feynman's Tips on Physics se o tom píše: ,,Matematika je překrásný předmět, má své vstupy
a výstupy, ale my se snažíme zjistit, co obsahuje to minimum, které musíme znát pro potřeby
fyziky. Přístup, který teď zvolím se neohlíží na matematiku a sleduje pouhou účelnost.
Nepokouším se pronikat do matematiky. Nejdřív se musíme naučit derivovat tak, jako když
počítáme 3 krát 5 nebo 5 krát 7....." No dobře, Feynman mluví o studentech inženýrství. Jak
je tomu tedy s potřebnou matematikou pro studenty bakalářského studia oboru Radiologický
asistent? Určitě se dají znalosti matematiky potřebné pro pochopení principů diagnostických
nebo terapeutických metod, se kterými se bude v praxi radiologický asistent setkávat hodně
redukovat. Ale třeba to zmíněné derivování se objeví mnohokrát, byť v podobně jednoduché
formě, jako na ilustračním obrázku.
Rozpad jader
( )
( ) 9
1/ 2
1/ 2
ln 2
, , , 4,47 10 l
d
et
d
N
N
t
N t
N t
t
   


=- = = 

=-
t
t+t
238 234 4
92 90 2U Th He + + + +
N ~ 4,8!!!!1022 na 1 cm3
N ~ ­2,4!!!!105 na 1 cm3
t = 1 s
N + N
1.2 Reálná čísla
Počátek představ o množině reálných čísel je v úvahách o operacích sečítání a odečítání
přirozených čísel, tj. čísel 1,2,3,...Velmi brzo dojdeme k tomu, že abychom zůstali při
odečítání v této množině, bylo by třeba zavádět nepohodlná omezení. Množina přirozených
čísel byla proto velmi brzo rozšířena o záporná celá čísla a nulu na množinu celých čísel.
1 2
2 1 0 1 2- -
"
" "
Ale opět při operacích násobení a dělení je možno zůstat v množině celých čísel jen při
zavedení nepohodlných omezení. Množina celých čísel byla proto rozšířena na množinu
racionálních čísel, tvořenou všemi různými podíly celých čísel (se zákazem nuly ve
jmenovateli).
1 0 1
3 1 1 4
1 0 1
4 2 3 5
-
- "
"
" " " " " " " "
Stále však nemáme všechna reálná čísla. Pokud mají být odmocniny z reálných kladných čísel
opět reálná čísla, nemohou být tato čísla pouze racionální, tj. vyjádřitelné ve tvaru zlomku.
Vezmeme velmi jednoduchý příklad: druhou odmocninu ze dvou. Platí nerovnosti
17 41
1,416666667 2 1,413793103
12 29
99 239
1,414285714 2 1,414201183
70 169
3363 1393
1,414213625 2 1,414213198
2378 985
> >
> >
> >
# #
# #
# #
Vidíme, jak se interval ohraničený dvěma zlomky (tj. racionálními čísly) zmenšuje, ale číslo
2 zlomkem vyjádřit nejde, říkáme, že je to číslo iracionální. Iracionálními čísly jsou mimo
jiné Ludolfovo číslo  (podle Ludolpha van Ceulena), Eulerovo číslo e (podle Lenharda
Eulera). Číselná osa (uspořádaná množina reálných čísel $ ) je tvořena podle velikosti
uspořádanými racionálními a iracionálními čísly.
1.3 Eulerovo číslo
Všimněme si hodnot posloupnosti
1 2 3
1 1 1 1
1 , 1 , 1 , , 1 ,
1 2 3
n
n
       
+ + + +       
       
... ...
nebo
1 1 1 1 1 1 1 1
1 ,1 ,1 , ,1 ,
1! 1! 2! 1! 2! 3! 1! !n
+ + + + + + + + +... " ...
v následující tabulce
1
1 1
1 1
!
1 2 2
2 2,25 2,5
4 2,441406250 2,708333333
8 2,565784514 2,718278770
16 2,637928497 2,718281828
32 2,676990129 2,718281828
64 2,697344953 2,718281828
n n
k
n
n k=
 
+ + 
 

Vidíme, že se členy posloupnosti blíží (u první pomaleji, u druhé rychleji) limitní hodnotě.
Tato hodnota je iracionální číslo, které je nazýváno Eulerovým číslem (taktéž základem
přirozených logaritmů) a značení se e. Přibližné hodnoty dvou základních čísel elementární
matematiky jsou
3,1415926535897932385
2,7182818284590452354e
 #
#
Číslo e je tedy limitní hodnota konečné řady pro n
0
1
!k
e
k

=
= 
Faktoriál nuly je definován jako 0! 1= , proto můžeme užít kompaktnějšího zápisu
1 0
1 1
1
! !k kk k
 
= =
+ = 
1.4 Mocnina
Základem jsou mocniny s celočíselnými koeficienty. n­tá mocnina je n­krát opakované
násobení čísla sebou samým
1 2
, ,n
n
x x x x x x x x x=    = = ... ...
%&'&(
Je hned vidět, že
1
1
n n
n n
x x x x x x x x x x+
+
=    =     = ... ...
%&'&( %&'&(
Je-li 0n= , dostáváme
0 0
1x x x x=   =
Je-li 1n=- , dostáváme
0 1 1 1 1
1x x x x x x
x
- - =
  =   =
obecně
1n
n
x
x
-
=
Další důležité pravidlo je
( ) ( ) ( ) ( )
kn
n kn n n
k
x x x x x x x x x x x x x x x

=             =     ... ... ... ... ...
%&&'&&(%&'&( %&'&( %&'&(
%&&&&&&&'&&&&&&&(
tedy
( )
kn nk
x x=
Stejnými úvahami odvodíme pravidla
( ) ,
n n n n k n k
x y x y x x x+
= =
Velkým zobecněním je zavedení n ­ té odmocniny jako čísla, pro které platí
( )
n
n
x x=
Běžně užívané značení je
1 1 1
1
,
n
n
n n n n
x x x x x x
 
= = = = 
 
Definiční obor n ­ té odmocniny není triviální, vždy jsou to však všechna nezáporná reálná
čísla. Nyní máme připraveno zobecnění mocnitele na racionální čísla jako
( )
1 1
kk
kn n nx x x
 
= = 
 
Poslední zobecnění mocnitele je mít na jeho místě libovolné reálné číslo, toto zobecnění může
počkat až po definici exponenciální a logaritmické funkce.
2. Funkce, její limita a spojitost
S jistou dávkou matematické nepřesnosti lze říci, že funkce vyjadřuje závislost určité
veličiny (závisle proměnné) na veličinách jiných (nezávisle proměnných). Příkladem mohou
být již zmíněné závislosti souřadnic částice na čase.
Uvažujme nyní o případu jedné reálné nezávisle proměnné t a jedné reálné závisle
proměnné x. Píšeme ( )x f t= a čteme ,,x je funkcí t". Symbol f, tzv. funkční předpis, určuje
pravidlo, kterým jsou hodnotám t přiřazeny hodnoty x. Někdy píšeme jen ( )x x t= (tento
zápis bývá ve fyzice častější). Hodnoty, kterých může nabývat proměnná t, tvoří definiční
obor funkce značený fD . Obor fD je buď zadán současně s uvedením pravidla f, nebo je
automaticky chápán jako množina všech hodnot t, pro něž lze podle pravidla f vyčíslit
hodnotu x. Např. pro x t= musí být 0t  , neboť záporné hodnoty nelze odmocňovat.
Říkáme, že f je definována na množině fD . Hodnoty, jichž bude nabývat proměnná x,
probíhá-li t definiční obor fD , tvoří obor hodnot funkce, fH . V rovině souřadnic t
(vodorovná osa) a x (svislá osa) vytvoří body o souřadnicích ( ),t f t   graf funkce,
označovaný jako fG . Na následujících obrázcích jsou čtyři příklady.
Na prvním obrázku je graf funkce 2
x t= . Definičním oborem je celá reálná osa
( ),fD = -  , obor hodnot funkce je )0,fH =  . Na druhém obrázku je graf funkce x t= .
Definičním oborem je kladná reálná poloosa [ )0,fD =  , obor hodnot funkce je )0,fH =  .
x
Na třetím obrázku (nalevo) je graf funkce 1x t= + . Definičním oborem je celá reálná
osa ( ),fD = -  , obor hodnot funkce je taktéž celá reálná osa ( ),fH = -  . Na čtvrtém
obrázku je graf funkce
2
1
1
t
x
t
-
=
Tato
funkce není definována v bodě 1t = , je tedy jejím definičním oborem sjednocení
intervalů ( ) ( ),1 1,fD = -   a oborem hodnot ( ) ( ),2 2,fH = -   . Protože však tato
funkce má v bodě 1t = limitu
( )( )
( )
2
1 1 1
1 11
lim lim lim 1 2
1 1t t t
t tt
t
t t  
- +=
= + =
- můžeme
definovat novou funkci
2
1
1
1
2 1
t
t
x t
t
 -
 
=  -
 =
a tato funkce už má jako definiční obor i obor hodnot celou reálnou osu. Toto je příklad, kdy
,,dodefinováním" původní funkce dosáhneme toho, že ,,nová" funkce má širší definiční obor,
často pak celou reálnou osu
3. Některé elementární funkce
3.1 Polynomy
Funkci
( ) 2 1
0 1 2 1
n n
n nf x a a x a x a x a x-=
+ + + + +"
kde koeficienty jsou reálná čísla ( 0 , na a ... $) nazýváme polynomem n-tého stupně
(předpokládáme 0na  ). Pomocí součtového symbolu zkracujeme zápis na
( )
0
n
k
k
k
f x a x
=
= 
Při tomto zápisu bereme v úvaho, že 0
1x = pro všechna x. Vezměme polynomy nejnižších
stupňů (pro vytvoření grafu funkce v rovině x-y značíme ( )y f x= )
2
, ,y a y a x b y a x b x c= = + = + +
Grafem polynomu stupně nula je přímka vedená rovnoběžně s osou x ve vzdálenosti a,
grafem polynomu stupně jedna je přímka se směrnicí a (podle předpokladu je a jako
koeficient u nejvyšší mocniny různý od nuly), která protíná osu y v bodě b a osu x v bodě
b a- . Grafem polynomu stupně dva je parabola, která protíná osu y v bodě c, protíná osu x
ve dvou bodech (pokud 2
4b ac> ), dotýká se osy x v bodě ( )2b a- (pokud 2
4b ac= ) nebo
leží celá nad nebo pod osou x (pokud 2
4b ac< ). Uvedené tři případy jsou na obrázcích.
Zmíníme se ještě o polynomu, který vzniká z mocniny dvojčlenu
( ) 1 1
1 1
n n n n nn n
x a x x a xa a
n
- -   
+ = + + + +   
-   
"
kde
( )
( )
!
, ! 1 2 1 , 0! 1
! !
n n
n n n
k n k k
 
= =  -    = 
- 
...
S výrazy typu kombinačního čísla nebo faktoriálu se také setkáme při úvahách o
pravděpodobnosti.
3.2 Racionální funkce lomená
n = 0, m = 1 ... nepřímá úměra y = a (x ­ c)­1
1 2
1 2 1 0
1 2
1 2 1 0
,
n n
n n
m m
m m
a x a x a x a x a
y
b x b x b x b x b
-
-
-
+
+ + + +
=
+ + + + +
"
"
2
2
1
(1)
1
3 8 4
(2)
2 1
y
x
x x
y
x x
=
-
+ -
=
- +
(1) (2)
3.3 Exponenciální funkce a logaritmus
Připomeňme, že jsme zapsali Eulerovo číslo jako nekonečnou řadu
0
1
!k
e
k

=
= 
Nyní definujeme exponenciální funkci jako
0 !
k
x
k
x
y e
k

=
= = 
Pro exponenciální funkci se často užívá také označení ( )exp x . Při zápisu prvních několika
členů řady máme
( )
2
exp 1
1! 2!
x x
x = + + +"
Vezměme součin dvou exponenciálních funkcí
( ) ( )
( )
2 2
2 2
exp exp 1 1
1! 2! 1! 2!
2
1 exp
1! 2!
x x y y
x y
x y x x y y
x y
  
= + + + + + + =  
  
+ + +
+ + + = +
" "
"
Toto je velmi důležitá vlastnost: exponenciální funkce součtu je rovna součinu
exponenciálních funkcí jednotlivých sčítanců
( ) ( ) ( ) ( ) ( )exp exp exp exp exp
k
x y x y k x x+ = =   
Z definice exponenciální funkce pomocí nekonečné řady plyne ( )exp 0 1= . Dále vidíme, že
funkční hodnoty nabývají pouze kladných hodnot. Pro 0x> je zřejmé z definice pomocí řady
(všechny členy jsou kladné a prvním členem je jednička), že dokonce ( )0 exp 1x x>  > . Pro
0x< vyjdeme ze vztahu
( ) ( ) ( )
( )
1
exp exp 1 exp 0
exp
x x x
x
- =  = >
a
protože x- je kladné, je jako v předešlém případě ( )exp x- kladné a větší jak jedna. Rozdíl
je v tom, že nyní ( )0 0 exp 1x x<  < < . Funkce ( )exp x je rostoucí. Pro 0y > je
( ) ( ) ( ) ( )exp exp exp exp 1 0x y x x y+ - = - >  
Graf exponenciální funkce je na obrázku.
Přirozený logaritmus je inversní funkcí k exponenciální funkci. To znamená, že zobrazujemeli
funkcí přirozený logaritmus číslo, které jsme získali zobrazením čísla x exponenciální
funkcí, dostaneme opět číslo x, resp. v opačném pořadí zobrazujeme-li exponenciální funkcí
číslo, které jsme získali zobrazením čísla x logaritmickou funkcí, dostaneme opět číslo x
( )( ) ( )( )ln exp , exp lnx x x x= =
Z definice je zřejmé, že definičním oborem funkce logaritmus jsou nezáporná čísla. Protože
( )exp 0 1= , musí být ( )ln 1 0= . Označíme-li si ( )expx = a ( )expy = , můžeme psát
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )ln ln ln exp ln exp exp lnx y x y     + = + = + = =
Dostáváme tak důležitý vztah: logaritmus součinu je roven součtu logaritmů jednotlivých
součinitelů
( ) ( ) ( ) ( ) ( )ln ln ln ln lnk
x y x y x k x= + =
Jak z této vlastnosti plyne (položme 1y x= ), platí
( )
1
ln lnx
x
 
= -  
 
a logaritmus je rostoucí funkce, pro 1x> kladná, pro 0 1x< < záporná. Graf logaritmické
funkce je na obrázku.
Mocninu s libovolným reálným mocnitelem definujeme pomocí vztahu
( )( ) ( )( )exp ln exp ln
x
x
a a x a = = 
Kromě přirozeného logaritmu lze definovat také logaritmus při libovolném základu pomocí
vztahu
( ) ( )log
log , a xx
a a x a x= =
Působení funkce přirozený logaritmus na obě strany druhého výrazu dává
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
ln
log ln ln log
ln
a a
x
x a x x
a
=  =
Nejčastěji je užíván dekadický logaritmus (tj. logaritmická funkce se základem 10a = ),
mnohdy proto není ani základ zmiňován, mluví se prostě o logaritmu. Graf dekadického
logaritmu ( )log x s vyznačením ( )log 10 1= a ( ) ( )2
log 100 log 10 2= = je na obrázku.
Na obrázku je znázorněno několik příkladů umocnění pevného základu na x a odpovídající
inverzní operace.
, log , 0, 1x
zy z x y z z= = > 
0 32,52 log0,5 , , , ,3 log log10log ,x x x x
x xx x
y = 1
x = 1
3.4 Goniometrické funkce
Vycházíme z pravoúhlého trojúhelníku na obrázku. Goniometrické funkce jsou pro úhly
z intervalu ( )0, 2 definovány jako poměry stran tohoto trojúhelníku:
sin , cos , tg , cotg
y x y x
r r x y
   = = = =
Je přímo vidět, že
sin cos 1
tg , cotg
cos sin tg
 
 
  
= = =
a z Pythagorovy věty
( ) ( )
2 2
2 22 2 2
2 2
1 cos sin 1
x y
x y r
r r
 + =  + =  + =
V krajních hodnotách intervalu je
sin0 tg0 0 , cos0 1 , cotg0
cos cotg 0 , sin 1 , tg
2 2 2 2
   
= = = = 
= = = = 
O znaménku funkcí sinus a kosinus ve čtyřech kvadrantech dává představu následující
obrázek:
Průběh funkcí sinus a kosinus na intervalech [ ], - a [ ]0,2 je na obrázcích:
Na dalších obrázcích je na těchže intervalech zobrazen průběh funkcí tangens a kotangens:
Vzhledem k vlastnostem průmětů průvodičů bodů na jednotkové kružnici a periodě 2 na
této kružnici můžeme pro goniometrické funkce psát řadu užitečných vztahů. Pro kosinus tak
máme
( ) ( ) ( ) ( )sin sin 2 sin sin sin
cos cos
2 2
       
 
 
= + = - = - - = - + =
   
- = - +   
   
a pro kosinus
( ) ( ) ( ) ( )cos cos 2 cos cos cos
sin sin
2 2
       
 
 
= + = - - = - = - + =
   
- = +   
   
Funkce tangens a kotangens jsou periodické s periodou  , takže
( ) ( )
( ) ( )
tg tg tg
cotg cotg cotg
   
   
= + = - =
+ = - Již
jsme uvedli důležitý vztah (všimněte si trochu jiného zápisu druhé mocniny)
2 2
sin cos 1 + =
Pro úpravy výrazů s goniometrickými funkcemi jsou nepostradatelné tzv. součtové vzorce.
Pro funkce součtu či rozdílu dvou úhlů platí
( )
( )
sin sin cos cos sin
cos cos cos sin sin
     
     
 = 
 = 
Pro součet nebo rozdíl funkcí dvou úhlů pak platí
sin sin 2sin cos , cos cos 2cos cos
2 2 2 2
sin sin 2sin cos , cos cos 2sin sin
2 2 2 2
       
   
       
   
+ - + +
= + =
- + + -
= - = Na
obrázku jsou příklady goniometrických funkcí obecného lineárního argumentu a x b = + .
3 2 2cos( ) cocos cos cos co co, , ,s , s2sx x
x xx x x
-