Matematika pro radiologické asistenty
6. Limita a derivace
6.1 Motivace ­ rychlost a zrychlení
Všimněme si úseku trajektorie částice (říkáme také hmotného bodu) mezi blízkými
body A a B, ve kterých se částice nachází v čase t a t t+  . Některé veličiny se vztahují
k jednomu časovému okamžiku, jiné k intervalu mezi dvěma časovými okamžiky. V našem
příkladu máme:
polohový vektor částice v časovém okamžiku t
( ) ( ) ( ) ( )( ), ,r t x t y t z t=
!
polohový vektor částice v časovém okamžiku t t+ 
( ) ( ) ( ) ( )( ), ,r t t x t t y t t z t t+ = + + +
!
rychlost částice v časovém okamžiku t
( ) ( ) ( ) ( )( ), ,x y zv t v t v t v t=
!
rychlost částice v časovém okamžiku t t+ 
( ) ( ) ( ) ( )( ), ,x y zv t t v t t v t t v t t+  = +  +  + 
!
vektor posunutí částice v časovém intervalu [ ],t t t+
[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ),
, ,t t t
r r t t r t x t t x t y t t y t z t t z t+
 = +  - = +  - +  - +  !
! !
vektor průměrné rychlosti částice v časovém intervalu [ ],t t t+ 
[ ]
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
,
, ,t t t
r t t r t x t t x t y t t y t z t t z t
v
t t t t+
+  - +  - +  - +  - 
= =  
    
! !
!
vektor změny rychlosti částice v časovém intervalu [ ],t t t+ 
[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ),
, ,x x y y z zt t t
v v t t v t v t t v t v t t v t v t t v t+
 = + - = + - + - + !
! !
vektor průměrného zrychlení částice v časovém intervalu [ ],t t t+
[ ]
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
,
, ,
y yx x z z
t t t
v t t v tv t t v t v t t v t v t t v t
a
t t t t+
+  - +  - +  - +  =
=  
    
! !
!
Vektor průměrné rychlosti vystihuje přibližně, jak rychle měnil hmotný bod svou polohu
během časového intervalu [ ],t t t+ . Během tohoto intervalu se částice přemístila po nějaké
trajektorii z místa ( )r t
!
v čase t do místa ( )r t t+ 
!
v čase t t+  . Za stejnou dobu t by se
také mezi těmito místy přemístila částice pohybující se rovnoměrně přímočaře průměrnou
rychlostí, neboť
( ) [ ] ( )
( ) ( )
( ),t t t
r t t r t
r t v t r t t r t t
t+
+ +
 = +  = + 

! !
! ! ! !
Náhrada skutečného pohybu bodu po křivce v časovém intervalu [ ],t t t+ pohybem
rovnoměrným přímočarým bude přirozeně tím přesnější, čím bude interval [ ],t t t+ kratší.
Provádíme tzv. limitní přechod 0t  . Co se však přitom děje se souřadnicemi vektoru
průměrné rychlosti? Přestože se jmenovatelé i čitatelé zlomků
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ,
x t t x t y t t y t z t t z t
t t t
+ - + - + -
  
stávají libovolně blízkými nule, jejich podíly nabývají rozumných hodnot a blíží se při
zmenšujících se t ke konečným číslům - svým limitním hodnotám. Ty již, na rozdíl od
veličin průměrných, nezávisí na délce časového intervalu t , ale pouze na jeho počátečním
okamžiku t a udávají tak souřadnice tzv. vektoru okamžité rychlosti hmotného bodu. Píšeme
( ) [ ],0
lim t t tt
v t v + 
=
! !
Poznámka: Z předcházejícího výkladu je zřejmé, že velikost vektoru průměrné rychlosti
[ ],t t t
v +
!
je něco jiného než průměrná hodnota velikosti vektoru okamžité rychlosti
[ ],t t t
v +
!
, která se v běžné řeči označuje slovním spojením ,,průměrná rychlost".
Jednoduchý příklad limitního přechodu je znázorněn na obrázku. Jde o rovnoměrný
pohyb po kružnici
( )
2 2
cos , sin
t t
r t R R
T T
  
=  
 
!
Pro průměrnou rychlost dostáváme (při úpravách používáme známých vztahu pro
goniometrické funkce)
[ ]
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
,
2 22 2
cos cos ,sin sin
sin 2 2
2 sin ,cos
t t t
r t t r t t t t tR t t
v
t t T T T T
t
t t t tTR
t T T
  

 
+ 
+  - + +  
= = - - = 
   

+  +  
- 
  
! !
!
Velikost vektoru průměrné rychlosti je pak
[ ] [ ]( ) [ ]( )
22
, , ,
sin
2x yt t t t t t t t t
t
Tv v v R
t

+ + + 

= + =

!
Zvolíme-li poloměr R=1 m a periodu T=4 s, dostáváme pro zkracující se intervaly hodnoty
velikosti vektoru průměrné rychlosti [ ]0, t
v 
!
uvedené v tabulce. Výpočet limity pro 0t 
dává přesnou hodnotu -1
2msv =
!
, proto pro lepší zviditelnění toho, jak se hodnoty blíží
k přesné hodnotě uvádíme v tabulce 2  násobky velikosti vektoru průměrné rychlosti.
[ ]st [ ]
-1
0,
2
mst
v
 
  
!
1 0,9003
1/2 0,9745
1/4 0,9936
1/8 0,9984
1/16 0,9996
 0  1
6.2 Funkce, její limita a spojitost
Funkce vyjadřuje závislost určité veličiny (závisle proměnné) na veličinách jiných
(nezávisle proměnných). Příkladem mohou být již zmíněné závislosti souřadnic částice na
čase.
Uvažujme nyní o případu jedné reálné nezávisle proměnné t a jedné reálné závisle
proměnné x. Píšeme ( )x f t= a čteme ,,x je funkcí t". Symbol f, tzv. funkční předpis, určuje
pravidlo, kterým jsou hodnotám t přiřazeny hodnoty x. Někdy píšeme jen ( )x x t= (tento
zápis bývá ve fyzice častější). Hodnoty, kterých může nabývat proměnná t, tvoří definiční
obor funkce značený fD . Obor fD je buď zadán současně s uvedením pravidla f, nebo je
automaticky chápán jako množina všech hodnot t, pro něž lze podle pravidla f vyčíslit
hodnotu x. Např. pro x t= musí být 0t  , neboť záporné hodnoty nelze odmocňovat.
Říkáme, že f je definována na množině fD . Hodnoty, jichž bude nabývat proměnná x,
probíhá-li t definiční obor fD , tvoří obor hodnot funkce, fH . V rovině souřadnic t
(vodorovná osa) a x (svislá osa) vytvoří body o souřadnicích ( ),t f t   graf funkce,
označovaný jako fG .
Definice: Funkce g je inversní funkcí k funkci f, jestliže její definiční obor obsahuje obor
hodnot funkce f a platí
( )( )g f t t=
Jako příklady uveďme
( )( ) ( )( )
( )
( )( ) ( )( )
2
2
exp ln , ln exp ,
, ,
sin arcsin , arcsin sin
t t t t
t t t t
t t t t
= =
= =
= =
U posledního vztahu je třeba jisté opatrnosti, protože funkce sinus je periodická.
Následující obrázky ukazují příklady grafů funkcí, které v určitém bodě ( 0t = ) limitu
vůbec nemají (plný kroužek = bod patří do definičního oboru funkce, prázdný kroužek = bod
nepatří do definičního oboru funkce). Jedná se postupně o funkce
x
( ) ( ) ( )
cos 0
cos 0 cos 0
, 0 0 ,
cos 0 cos 0
cos 0
t t
t t t t
f t f t t f t
t t t t
t t
- <
-  - < 
= = = =  
>   >
Ve všech případech mají funkce v bodě 0 0t = limitu 1L zleva (t se blíží k nule ze strany
záporných čísel) a limitu 2L zprava (t se blíží k nule ze strany kladných čísel). Píšeme
( ) ( )
0 0
1 2lim 1 , lim 1
t t t t
f t L f t L- +
 
= = - = =
Protože 1 2L L , limita neexistuje. Ve všech případech je funkce v bodě 0 0t = nespojitá.
V prvním případě (levý obrázek) je však spojitá zleva. Platí zde
( ) ( )0
lim 0
t
f t f-

=
(v našem příkladu ( )0 1f =- ). Obdobně ve třetím případě (pravý obrázek) je funkce spojitá
zprava. Platí zde tedy
( ) ( )0
lim 0
t
f t f+

=
(v našem příkladu ( )0 1f = ). Přesná definice limity je následující:
Definice: Číslo L se nazývá limitou funkce ( )x f t= v bodě 0t , jestliže pro libovolně zvolené
(jakkoli malé) číslo 0 > dokážeme najít takový interval ( )0 0,t t - + , 0 > , že platí
(a) funkce ( )f t je definována ve všech bodech množiny ( ) ( )0 0 0 0, ,t t t t -  +
(b) pro všechna čísla ( ) ( )0 0 0 0, ,t t t t t  -  + je ( )f t L - <
Píšeme pak ( )0
lim
t t
f t L

= .
Množina ( ) ( )0 0 0 0, ,t t t t -  + se nazývá -okolí bodu 0t . Všimněte si, že díky definici okolí,
která vynechává bod 0t , může existovat limita funkce i v bodě, kde tato funkce není
definována. Definici limity můžeme číst i takto" Číslo L je limitou funkce ( )f t v bodě 0t ,
jestliže se funkční hodnoty nevzdalují od L více než o  , pohybuje-li se proměnná t
dostatečně blízko bodu 0t . Číslo  je přitom zvoleno libovolně (malé) předem.
Způsob nalezení čísla  při zvoleném  ukazuje předchozí obrázek.  je menší z čísel 1 2,  .
Graf funkce je záměrně zvolen složitě, takže funkční hodnota (plný kroužek) v bodě 0t se
nerovná limitě funkce (prázdný kroužek) v tomto bodě ­ funkce není spojitá. Přesná definice
spojitosti je jednoduchá:
Definice: Funkce ( )x f t= se nazývá v bodě 0t spojitá, je-li ( ) ( )0
0lim
t t
f t f t

= .
Uvedeme ještě dvě jednoduchá pravidla pro počítání s limitami:
(a) Je-li
( ) ( )0 0
lim , lim
t t t t
f t F g t G
 
= =
potom
( ) ( ) ( ) ( )0 0
lim , lim
t t t t
f t g t F G f t g t F G
 
 =  =      
a pokud pro t z nějakém -okolí bodu 0t platí ( ) 0g t  a také 0G  , potom
( )
( )0
lim
t t
f t F
g t G
=
(b) Předpokládejme, že funkce ( )x f t= je v bodě 0t spojitá. Dále uvažujme o funkci
( )y g x= , definované na množině gD obsahující obor hodnot funkce f. Předpokládejme, že
funkce ( )g x je spojitá v bodě ( )0 0x f t= . Pak je i složená funkce ( ) ( )y F t g f t= =    spojitá
v bodě 0t . Funkce f a g představují vnitřní resp. vnější složku složené funkce.
6.3 Derivace funkce, tečna
Pojem tečny ke grafu funkce je možné zavést pomocí limitního přechodu pro sečny
grafu. Na obrázku vidíme tři sečny, přitom platí (značíme 1 1 0 2 2 0 3 3 0, ,t t t t t t t t t = -  = -  = - )
nerovnosti 1 2 3t t t >  >  . Ve zkratce můžeme psát 0 sečna tečnat    . Tečna ke grafu
funkce v bodě ( )0 0,t f t   je limitním případem sečny spojující body ( )0 0,A t f t=    a
( )0 0 0 0,B t t f t t= +  +    pro 0t  .
Směrnice sečny je
( ) ( )0 0
tg
f t t f t
t

+  -
=

Směrnice tečny je limitou směrnice sečny pro 0t 
( ) ( )0 0
0 0
lim tg lim
t t
f t t f t
t

   
+  -
=

Tečnu ke grafu funkce ( )x f t= v bodě ( )0 0,t f t   lze tedy zkonstruovat, existuje-li tato
limita. Tato limita se nazývá derivace funkce ( )f t v bodě 0t t= a značí se
( )
( ) ( )/ 0 0
0
0
lim
t
f t t f t
f t
t 
+  -
=

Rovnice tečny (tj. přímky procházející bodem ( )0 0,t f t   se směrnicí ( )/
0f t ) je
( ) ( )( )/
0 0 0x f t f t t t= + Derivace
funkce ( )x f t= v obecném bodě t
( )
( ) ( )/
0
lim
t
f t t f t
f t
t 
+  -
=

je sama také funkcí proměnné t. Derivace funkce ( )f t se nezkráceně zapisuje jako
( )d f t
dt
Výrazy, které teď můžeme zapsat v limitě 0t  jako derivace, jsme viděli u výpočtu
rychlosti a zrychlení:
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )
/ / /
/ / / // // //
, , , ,
, , , , , ,
x y z
x y z x y z
v t v t v t v t x t y t z t
a t a t a t a t v t v t v t x t y t z t
= =
= = =
!
!
Používáme běžného značení derivace jednou čárkou v horním pravém indexu (nebo jednou
tečkou nad symbolem), druhou a třetí derivaci pak značíme dvěma a třema čárkami (nebo
tečkami), vyšší derivace mají římskou číslici v horním pravém indexu
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
2 3 4
/ // ///
2 3 4
2 3 4
2 3 4
, , , ,
, , , ,
IV
IV
d f t d f t d f t d f t
f t f t f t f t
dt dt dt dt
d f t d f t d f t d f t
f t f t f t f t
dt dt dt dt
= = = =
= = = =
...
# ## ### ...
6.4 Pravidla pro počítání derivací
Začneme přehled podrobným rozborem dvou příkladů, velmi jednoduchého a poněkud
komplikovanějšího.
Příklad 1: vezměme funkci
( ) 21
2
x f t at= =
Při výpočtu derivace máme z definice
( )
( ) ( )
2 22 2 2
/
0 0
0 0
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2lim lim
1
12
lim lim
2
t t
t t
a t t at at at t a t at
f t
t t
a t t t
a t t at
t
   
   
+  - +  +  =
= =
 
 
 +  
   = +  = 
  
Podstatným krokem při výpočtu bylo užití ,,metody vykrácení nepohodlného výrazu".
Příklad 2: vezměme funkci
( ) sinx f t t= =
Opět z definice
( )
( )
( )
( )
/
0 0
0 0 0
2sin cos
sin sin 2 2
lim lim
sin cos sin
lim lim lim cos cos
t t
t t t
t t
t
t t t
f t
t t
t t t t
t t t
t t
   
     
  
+ +  -  = = =
 
 +  
= +  =
 
Opět podstatným krokem při výpočtu bylo užití ,,metody vykrácení nepohodlného výrazu" tentokrát
jsme využili toho, že pro malé hodnoty argumentu je funkční hodnota sinu rovna
tomuto argumentu ( )
3
sin 6t t t =  -  +$. Můžeme si ukázat výpočet limity
0
sin
lim 1
t
t
t 

=

takto: Podle obrázku platí (sin t červeně, délka oblouku t modře, tg t zeleně)
0 0
1 1 cos
sin tg
sin sin
sin sin
1 cos 1 , 1
t t
t
t t t
t t t
t t
t
t t
   

      
  
 
  
  
V dalším už uvedeme jen výsledky pro nejdůležitější elementární funkce: mocninu,
sinus a kosinus a exponenciálu a logaritmus.
( ) ( )/ 1
, ,r r
f t t f t r t r=
= %
( ) ( )
( ) ( )
/
/
sin , cos ,
cos , sin
f t t f t t
f t t f t t
= =
= = (
) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
/ /
/ /
, , , ln ,
1 1
( ) ln , , ( ) log ,
ln
t t t t
a
f t e f t e f t a f t a a
f t t f t f t t f t
t t a
= = = =
= = = =
Pro derivaci součtu či rozdílu funkcí platí
( ) ( ) ( ) ( )
/ / /
f t g t f t g t =   
Pro derivaci funkce násobené konstantou c% platí
( ) ( )
/ /
c f t c f t=  
Pro derivaci součinu dvou funkcí platí
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
/ / /
f t g t f t g t f t g t= +  
Pro derivaci podílu dvou funkcí platí
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
/
/ /
2
f t f t g t f t g t
g t g t
  =

    
Pro derivaci složené funkce platí
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )/ / /
,F t g f t F t g f t f t= =
Připomeňme si, že čárkou značíme derivaci funkce podle argumentu. Aby bylo pravidlo pro
derivování složené funkce zcela jasné, rozepišme si složenou funkci jako
( ) ( ) ( ),F t g x x f t= =
Potom
( )
( ) ( ) ( )
( )( ) ( )/ / /d F t d g x d f t
F t g f t f t
dt d x dt
 = 
Zobrazení složenou funkcí včetně definičních oborů a oborů hodnot je ukázáno na obrázku.
Důkazy pravidel pro derivování jsou většinou jednoduché, například
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
/ /
0 0
lim lim
t t
c f t t c f t f t t f t
c f t c c f t
t t   
+ - + =
= =    
nebo
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
/
0
0 0
0 0 0
/ /
lim
lim lim
lim lim lim
t
t t
t t t
f t t g t t c f t g t
f t g t
t
f t t f t g t t f t g t t g t
t t
f t t f t g t t g t
g t t f t
t t
f t g t f t g t
 
   
     
+  +  =
=   
+ - +  +  -      + =
 
+ - +  -      +  + =
 
+
Podle těchto pravidel pak dokážeme najít derivace i velmi složitých výrazů. Pro dobré
pochopení je vhodné všimnout si vnitřní konsistence těchto pravidel.
Příklad 3. Nepochybně je derivace konstanty rovna nule. Zapsáno z definice je pro součin
konstanty c a funkce ( ) 0
1f t t= =
[ ]
/
0 0
1 1 1 1
1 lim lim 0 0
t t
c c
c c c
t t   
 -  -
 = = =  =
 
Příklad 4. Víme, že derivace funkce sinus je rovna funkci kosinus. Podle pravidla o derivaci
složené funkce ( je konstanta)
( ) ( )( ) ( )
/ /
sin cos cost t t t   + = + + = +  
Zvolíme-li 2 = , dostáváme s použitím součtových vzorců pro goniometrické funkce
pravidlo [ ]
/
cos sint t=- .
Příklad 5. Derivace funkce ( )1 g t . Použijeme vztah pro derivaci podílu funkcí, přitom
( ) 1f t = . Máme
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
/
/ /
2 2
0 11 g t g t g t
g t g t g t
   - 
= = - 
        
Příklad 6. Obecnějším případem složené funkce než funkce v Příkladu 4 je ( ) ( )F t g at b= + ,
kde ,a b% jsou libovolné reálné konstanty. Potom
( ) ( )[ ] ( )
// / /
F t g at b at b a g at b= + + = +
Příklad 7: Funkce tangens je podílem sinu a kosinu. Podle pravidla o derivování podílu máme
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
/ 2 2
/
2 2 2
cos cos sin sin cos sinsin 1
tg
cos cos cos cos
t t t t t tt
t
t t t t
 -  - + 
= = = = 
 
Příklad 8: Funkce kotangens je podílem kosinu a sinu. Podle pravidla o derivování podílu
máme
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
/ 2 2
/
2 2 2
sin coscos sin sin cos cos 1
cotg
sin sin sin sin
t tt t t t t
t
t t t t
+  -  - 
= = = - = - 
 
Příklad 8: Derivace inversní funkce. Budeme inversní funkci chápat jako složenou funkci, tj.
( ) ( )( ) ( )/ 1
1
dt d x dt
F t t x t t F t
d xd x dt d x
dt
= =  = =  =
Například pro výpočet derivace funkce arcsin dostáváme
( ) ( ) ( )
( )
2 2
/
2
sin , arcsin , cos 1 sin 1
1
arcsin
1
d x
x t t t x x t t x
dt
x
x
= = = = - = - 
=
a
podobně pro výpočet derivace funkce arccos
( ) ( ) ( )
( )
2 2
/
2
cos , arccos , sin 1 cos 1
1
arccos
1
d x
x t t t x x t t x
dt
x
x
= = = - = - - = - - 
= -
-
6.5 Přibližné vyjádření diferencovatelné funkce
V následující části budeme nezávisle proměnnou značit x a funkce této proměnné pak
( )y f x= . Obrázek nám na příkladu funkce 2
2 4 3y x x= - + ukazuje možnosti přibližného
vyjádření funkce v okolí určité zvolené hodnoty nezávisle proměnné, v tomto případě 0 2x = .
Modrá barva vyznačuje graf funkce, zelená sečnu spojující funkční hodnoty v 0 2x = a
0 4x x+ = a červená tečnu ke grafu funkce v bodě 0 2x = . Rovnice funkce, sečny a tečny jsou
2
2 4 3 , 8 13 , 4 5f s ty x x y x y x= - + = - = Takto
vypadají rovnice dost odlišně, ale přepíšeme-li je v ,,proměnné" 0 2x x x = - = - ,
máme
2
3 4 2 , 3 8 , 3 4f s ty y y   = + + = + = +
Vidíme, že ačkoliv může sečna na vybraném malém intervalu (v našem případě 2 4x  )
dobře aproximovat funkci, tečna v bodě 0x je vhodnější aproximací funkce na celém okolí
bodu 0x , v obecném bodě x tohoto okolí se liší od funkce až členy, které jsou úměrné druhé
mocnině vzdálenosti od bodu 0x , tj. úměrné ( )
2
0x x- .
Pro obecnou funkci ( )fy f x= jsme ukázali, že směrnice tečny v bodě 0x je rovna
derivaci funkce v tomto bodě, tedy rovnice tečny je
( ) ( ) ( )( )/
0 0 0ty x f x f x x x= + S
označením 0x x x = - můžeme v okolí bodu 0x psát
( ) ( ) ( )0 ,f ty x y x x x x= +  
kde pro chybu aproximace platí
( )0
0
lim , 0
x
x x
 
 =
Bez dalších úvah přijmeme následující tvrzení: Je-li funkce v bodě 0x a jeho okolí dostatečně
hladká (má všechny derivace), je možné ji zapsat jako nekonečnou řadu (Taylorův rozvoj)
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )/
0 0 0
0 !
n
n
n
x
y x f x f x x f x
n

=

= +  + = ...
Pro zkrácení zápisu píšeme ( ) ( ) ( )0 1 2/ //
, , ,f f f f f f= = = ... Některé funkce je možné takovou
řadou i definovat (musíme však ukázat, že řada konverguje). V dalších příkladech si ukážeme
Taylorův některých elementárních funkcí.
Příklad 1. Najděme Taylorův rozvoj funkce ( ) ( )expf x x= v okolí bodu 0 0x = (potom
x x = ). Pro exponenciálu je ( ) ( )
/
exp expx x=   a bude tedy pro derivace libovolného řádu
( )
( ) ( )n
f x f x= . Dále je ( ) ( )0 exp 0 1f = = , takže dostáváme Tailorovu řadu pro exponenciální
funkci
( )
2 3 4
0
exp 1
! 2 6 24
n
n
x x x x
x x
n

=
= = + + + + + $
Příklad 2. Najděme Taylorův rozvoj funkce ( ) ( )lnf x x= v okolí bodu 0 1x = (potom
1x x = - ). Pro logaritmus je první derivace ( )
/
ln 1x x=   , druhá derivace pak
( )
// 2
ln 1x x=-   , třetí derivace ( )
/// 3
ln 2x x=   atd. Dále je ( ) ( )1 ln 1 0f = = a pro n-tou
derivaci ( )
( ) ( ) ( )
1
1 1 ! 1
nn
f n
=
- - . V Taylorově řadě zkrátíme ( )1 ! ! 1n n n- = a máme konečně
( ) ( )
( )1
1
1
ln 1
n
n
n
x
x
n

-
=
=
-
neboli
( ) ( )
( ) 2 3 4
1
1
ln 1 1
2 3 4
n
n
n
x x x x
x x
n

-
=
+ = - = - + - + $
Příklad 3. Najděme Taylorův rozvoj funkce ( ) ( )sinf x x= v okolí bodu 0 0x = (potom
x x = ). Pro derivace sinu máme následující schéma
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )( )
( ) ( ) ( )
/
// /
/// // /
/// // /
sin cos
sin cos sin
sin cos sin cos
sin cos sin cos sin
IV
x x
x x x
x x x x
x x x x x
=
= = =
= - = =
= - = - =
.....................................................................
Vidíme, že pro derivace lichého řádu 2 1, 0,1,2,k k+ = ... máme ( )( )
( )
2 1
sin 1 cos
k k
x x
+
= - a
pro derivace sudého řádu 2 , 0,1,2,k k = ...je ( )( )
( )
2
sin 1 sin
k k
x x= - . Protože sin0 0= a
cos0 1= , dostáváme pro Taylorův rozvoj funkce sinus
( ) ( )
( )
2 1 3 5
0
sin 1
2 1 ! 6 120
n
n
n
x x x
x x
n
+
=
= - = - + -
+
 $
Příklad 4. Najděme Taylorův rozvoj funkce ( ) ( )cosf x x= v okolí bodu 0 0x = (potom
x x = ). Pro derivace sinu máme následující schéma
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )( )
( ) ( ) ( )
/
// /
/// // /
/// // /
cos sin
cos sin cos
cos sin cos sin
cos sin cos sin cos
IV
x x
x x x
x x x x
x x x x x
= =
- = =
- = - =
= - = - = =
.....................................................................
Vidíme, že pro derivace lichého řádu 2 1, 0,1,2,k k+ = ... máme ( )( )
( )
2 1
cos 1 cos
k k
x x
+
=- - a
pro derivace sudého řádu 2 , 0,1,2,k k = ...je ( )( )
( )
2
cos 1 cos
k k
x x= - . Protože sin0 0= a
cos0 1= , dostáváme pro Taylorův rozvoj funkce kosinus
( ) ( )
( )
2 2 4
0
cos 1 1
2 ! 2 24
n
n
n
x x x
x
n

=
= - = - + - ...
Příklad 5. Velmi jednoduchý na zapamatování je Taylorův rozvoj funkce ( ) ( )1 1f x x= - v
okolí bodu 0 0x = . Pro derivace máme
( ) ( )
( )
( )
/ //
2 3 1
1 1 1 1 2 1 !
, , ,
1 1 11 1 1
n
n
n
x x xx x x
+
     
= = =     - - -- - -     
......
a v 0 0x = tedy zůstávají z derivací pouze faktoriály, je tedy
2 3
0
1
1
1
n
n
x x x x
x

=
= = + + + +
-
 $