Matematika pro radiologické asistenty 8. Stručně o integrálu 8.1 Neurčitý integrál ­ primitivní funkce Často se vyskytuje úloha, kdy máme zjistit, zda nějaká funkce ( )f x vznikla derivací jiné funkce a takovou funkci ( )F x najít. Definice. Na otevřeném intervalu ( ),a b je definována funkce ( )f x . Funkci ( )F x nazveme primitivní funkcí k funkci ( )f x na ( ),a b , je-li ( )F x na ( ),a b definována, má tam derivaci a pro všechna ( ),x a b platí ( ) ( )/ F x f x= . Bez důkazu uveďme, že ke každé spojité funkci ( )f x primitivní funkce existuje. Vzhledem k tomu, že derivace konstanty je nula, je primitivní funkce (říkáme také neurčitý integrál) určena až na konstantu ( ) ( )F x f x d x C= + V jednoduchých případech najdeme primitivní funkci tak, že předpisy pro derivaci funkce ,,čteme odzadu". Tak například ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) / / / 1 sin cos cos sin 1 ln ln x d x x x x x d x x C d x x x C x x = = = = + = = + Příklady se liší v tom, že první dva platí na celé reálné ose, ve třetím uvažujeme pouze kladnou poloosu, přesněji interval ( )0, . Rozšíření na celou reálnou osu dostaneme, vezmeme-li v argumentu logaritmu absolutní hodnotu proměnné a derivujeme jako složenou funkci ( ) ( ) ( ) ln ln 1 1 1 1 d x d x d x d x d x d x d x x d x x x = = = = tedy ( ) ( ) / 1 ln ln d x x x C x x = = + Z vlastností derivací vyplývá, že pro primitivní funkce platí ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x d x f x d x g x d x c f x d x c f x d x = = Velmi účinnou metodou hledání primitivní funkce je metoda integrace per partes. Vychází z výrazu pro derivaci součinu funkcí ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) // / f x g x f x g x f x g x+ = Integrujeme-li obě strany rovnice, známe hned (z definice primitivní funkce) integrál pravé strany, tj. ( ) ( )f x g x . Převedeme druhý integrál z levé strany na pravou a dostáváme vzorec pro integraci per partes ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )/ / f x g x d x f x g x f x g x d x= - I když je tento předpis velmi jednoduchý, je třeba stejně jako u dalších metod integrace značné představivosti doplněné zkušeností. Příklad 1. Najděte primitivní funkci k funkci ( ) ( )sinh x x x= . Zvolíme ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) / / / sin cos cos 1 f x x f x x f x g x x g x x g x = = - = = = Integrovat kosinus umíme, takže ze vzorce pro integraci per partes pak máme ( ) ( ) ( )sin cos sinx x d x x x x C= - + + Příklad 2. Najděte primitivní funkci k funkci ( ) ( )lnh x x= . Zvolíme ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) / / / 1 11 ln f x f x x f x g x g x x g x x = = = = = Integrovat konstantu (v našem případě rovnu jedné) umíme, takže ( ) ( )ln lnx d x x x x C= - + Na rozdíl od určitého integrálu, který je stručně pojednán v další části, neexistují pro nalezení primitivní funkce numerické metody. Tabulka neurčitých integrálů některých elementárních funkcí shrnuje ty nejjednodušší případy, které můžeme snadno získat ,,obráceným čtením" tabulky pro derivování funkcí: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 cos sin sin cos exp exp 1 ln 0 1ln 01 log 1ln n n x x a f x F x x x n n x x x x x x x x aa a aa a x ax a + - + - > > Kromě metody integrace per partes existuje celá řada dalších metod. Zmíníme ještě metodu substitucí, kdy v integrálu zavedeme novou proměnnou vztahem ( )x u= . Máme potom ( ) ( ) ( )/ f x d x f u u du = I když obecně zapsaný integrand na pravé straně rovnice vypadá složitěji, v určitých příkladech tomu může být naopak. Příklad 3. Najděte primitivní funkci k ( ) ( )2 1 1f x x= + . Zavedeme substituci tgx u= a máme ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 22 cos1 1 1 1 1 1 tg cos cos sin cos u d x du du du u C x u u u u u = = = = + + + + Po zpětném dosazení za u ( arctgu x= ) tedy dostaneme ( )2 arctg 1 d x x C x = + + Několik dalších primitivních funkcí: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 arcsin arccos 1 1 1 ln 1 1 1 1 ln 1 1 1 1 1 ln 1 2 1 f x F x x C x C x x x x C x x x x C x x x x + = - + < + - + > + + + + + - - 8.2 Určitý (Riemannův) integrál Obrázek ukazuje vše potřebné k definici určitého integrálu. Úkolem je spočítat plochu vymezenou grafem ( )y f x= a osou x mezi x a= a x b= . Při fyzikálních aplikacích může mít tato plocha nejrůznější význam. Například při pohybu částice po přímce: je-li x čas a y rychlost, počítáme dráhu, je-li x poloha a y působící síla, počítáme práci. Na intervalu [ ],a b vytvoříme dělení intervalu D 0 1 1: n nD a x x x x b-= < < < < =... Normou dělení nazveme velikost maximálního intervalu dělení { }1( ) max 1,2, ,i iD x x i n -= - = ... V každém intervalu 1 ,i ix x- vezmeme pak hodnotu funkce v nějakém jeho vnitřním bodě i . Plocha je pak přibližně dána součet ploch jednotlivých obdélníků se stranami 1i ix x -- a ( )if , tj. ( )( )1 1 n i i i i P f x x - = -" V limitním případě, kdy norma dělení půjde k nule dostáváme přesnou hodnotu, které říkáme určitý integrál z funkce ( )f x v mezích [ ],a b ( ) ( )( ) ( )1 10 lim bn i i i n i aD P f x x f x d x - = = - = Určitý integrál můžeme počítat buď přibližně numericky (sčítání ploch mnoha obdélníčků je nejjednodušší metodou, ale například pro rychle oscilující funkci nebo tehdy, když některá nebo obě z mezí jdou do nekonečna je třeba užít podstatně rafinovanějších způsobů) nebo jsme-li schopni nalézt k funkci ( )f x primitivní funkci ( )F x , využít platnosti Leibnizovy Newtonovy formule ( ) ( ) ( ) b a f x d x F b F a= Všimněte si, že primitivní funkce je sice určena až na konstantu, ale protože ve vztahu vystupuje rozdíl hodnot ve dvou bodech, konstanta se vyruší. Příklad 1. Dva body o hmotnostech 1m a 2m se přitahují gravitační silou podle Newtonova zákona ( ) 1 2 2 2 m m k f r G r r = - = kde r je vzdálenost hmotných bodů a G Newtonova gravitační konstanta. Protože jak hmotnosti, tak konstanta jsou kladné, je také 0k > . Změní-li se nyní vzdálenost z ar na br (působením nějaké vnější síly), je práce vykonaná gravitační silou ( ) 2 1 1 b b a a r r g b ar r dr W f r dr k k r r r = = - = - (primitivní funkcí k 2 1 r- je 1 r C+ ). Práce vykonaná vnější silou má stejnou velikost, ale opačné znaménko 1 1 a b W k r r = - Je-li konečná vzdálenost větší než počáteční (tj. b ar r> ), je práce vykonaná vnější silou kladná ­ bylo třeba překonat vzájemnou přitažlivost.