Matematika pro radiologické asistenty
9. Pravděpodobnost
9.1 Náhodné jevy a jejich pravděpodobnost
Začneme dvěma velmi známými příklady ze života:
Příklad 1. Házení mincí ­ náhodný pokus: jsou celkem dvě možnosti ­ náhodné jevy (orel,
hlava). Sledujeme jev A: padne orel ­ jedna z možností je příznivá, 1 2p= .
Příklad 2. Házení kostkou ­ náhodný pokus: je celkem šest možností ­ náhodných jevů (1, 2,
3, 4, 5, 6). Sledujeme jev A: padne šestka ­ jedna z možností je příznivá, 1 6p= .
Definice pravděpodobnosti: Pravděpodobnost nastoupení jevu A je podílem počtu případů M,
v nichž jev A nastal (čitatel), a počtu N všech možných případů (jmenovatel).
Příklad s jednou kostkou (všech možných případů je 6N = ):
a) Jaká je pravděpodobnost, že při hodu kostkou padne sudé číslo? Příznivé jsou ty případy,
kdy padne dvojka nebo čtyřka nebo šestka, tedy 3M = . Pravděpodobnost je 3 6 1 2p= = .
b) Jaká je pravděpodobnost, že padne číslo dělitelné třemi? Příznivé jsou ty případy, kdy
padne trojka nebo šestka, tedy 2M = . Pravděpodobnost je 2 6 1 3p= = .
c) Jaká je pravděpodobnost, že padne číslo menší než tři? Příznivé jsou ty případy, kdy padne
jednička nebo dvojka, tedy 2M = . Pravděpodobnost je 2 6 1 3p= = .
Příklad se dvěma kostkami (všech možných případů je 36N = , každá ze 6 možností, které
mohou padnout na první kostce, se nezávisle kombinuje s každou ze 6 možností na druhé
kostce):
a) Jaká je pravděpodobnost, že při hodu dvěma kostkami (současně) padne součet sedm?
Příznivé jsou ty případy, kdy padne jednička na první a šestka na druhé kostce, nebo naopak,
dvojka na první a pětka na druhé kostce, nebo naopak, trojka na první a čtyřka na druhé
kostce, nebo naopak), tedy 6M = . Pravděpodobnost je 6 36 1 6p= = .
b) Jaká je pravděpodobnost, že součin padnuvších čísel bude lichý? Příznivé jsou ty případy,
kdy padne jednička na první kostce a jednička nebo trojka nebo pětka na druhé kostce, trojka
na první kostce a jednička nebo trojka nebo pětka na druhé kostce, pětka na první kostce a
jednička nebo trojka nebo pětka na druhé kostce, tedy 9M = . Pravděpodobnost je
9 36 1 4p= = .
Jakých hodnot může pravděpodobnost v principu nabývat? Z definice je zřejmé, že hodnoty
budou v intervalu mezi nulou a jedničkou
0 1p 
Krajním hodnotám odpovídají jev nemožný ­ jev s nulovou pravděpodobností a jev jistý ­ jev
s jednotkovou pravděpodobností.
9.2 Kombinatorika
V mnoha aplikacích provádíme výběry k prvků z množiny obsahující n prvků podle jistých
pravidel. Typy pravidel jsou uvedeny v tabulce
Příkladem může být vytváření barevných signálů, kdy šest barev ( 6n= ) zaplňuje tři místa
( 3k = ):
Počet možných výběrů je v následující tabulce:
Pro triviální případ 1n k= = máme vždy jedinou možnost (připomeňme si, že z definice
0! 1,1! 1, 2! 2 , 3! 6 , 4! 24 , 5! 120 , 6! 720 ,= = = = = = = ...).
Určení vzorce pro variace opakováním:
Kolika způsoby lze z n prvků vybrat první? Je to n způsobů. Kolika způsoby lze z n prvků
vybrat druhý? Opět je n způsobů. Kolika způsoby lze tedy vybrat první dva prvky? Je to
2
n n n = způsobů. Pokračujeme až k otázce kolika způsoby lze vybrat k prvků? Je to
k
k
n n n n ="
#$%$&
způsobů.
Určení vzorce pro variace bez opakování:
Kolika způsoby lze z n prvků vybrat první? Je to n způsobů. Kolika způsoby lze ze
zbývajících 1n- prvků vybrat druhý? Je to 1n- způsobů. Kolika způsoby lze tedy vybrat
první dva prvky? Je to ( )1n n - způsobů. Pokračujeme stejně až nakonec, kdy se ptáme kolika
způsoby lze ze zbývajících ( )1n k- - prvků vybrat k-tý? Je to 1n k- + způsobů. Kolika
způsoby lze tedy vybrat k prvků? Je to ( ) ( ) ( )1 2 1n n n n k -  - - +" neboli ( )! !n n k- prvků.
Určení vzorce pro kombinace bez opakování:
Zatímco pro variace bylo pořadí vybraných prvků podstatné, pro kombinace je podstatný
pouze výběr těchto prvků. Musíme proto počet způsobů pro variace podělit tím, kolika
způsoby lze uspořádat k neopakujících se prvků, což je !k Proto je
( )
( )
( )
!
! ! !
k
k
V n n
C n
k k n k
= =
Určení
vzorce pro kombinace s opakováním:
Jak vypadají kombinace s opakováním k barevných kuliček při výběru z n možných barev?
Obrázek ilustruje jednu z možností pro případ 7n= , 14k = . Obecně dostaneme počet
kombinací takto: máme n přihrádek, tj. 1n- přepážek mez nimi a k kuliček, celkem tedy
1m n k= + - prvků (pozic), z nich vybíráme k pozic pro kuličky, tj.
( ) ( )
( )
( )
( )
/ 1 !!
! ! ! 1 !
k k
n km
C n C m
k m k k n
+ =
= =
- -
Při variacích nebo kombinacích bez opakování musí být přirozeně k n (,,vybraný prvek
nevracíme do losování"). Pro 1k = jsou samozřejmě počty možností ,,s opakováním" ­ žádné
totiž není a ,,bez opakování" stejné, pro 1n k > je ( ) ( )/
k kV n V n< a ( ) ( )/
k kC n C n< .
Příklad 1. Jaká je pravděpodobnost hlavní výhry ve Sportce? Tah sportky představuje výběr
šesti ze čtyřiceti devíti čísel.
( ) 8
6
49!
49 , 1 , 7 10
6!43!
M
N C M p
N
=
= = = '
Příklad 2. Jaká je pravděpodobnost páté ceny ve Sportce? Ze šesti tažených je třeba uhodnout
tři čísla.
( ) ( ) ( )6 3 3
49! 6! 43!
49 , 6 43 , 0,018
6!43! 3!3!3!40!
M
N C M C C p
N
= = = = = '
Příklad 3. Jaká je pravděpodobnost, že ve hře typu Šance milion uhodnete správně taženou
skupinu cifer? (Z každého ze šesti bubnů obsahujících cifry 0, 1, 2, . , 9 se náhodně vybere
jedna.)
( )/ 6 6
6 10 10 , 1 , 10
M
N V M p
N
=
= = = =
9.3 Pravděpodobnosti složených jevů
Někdy je třeba určit pravděpodobnosti jevů, které jsou nějakým způsobem ,,složeny"
z jevů jednodušších. Uvažujme o dvou jevech A a B, jejichž pravděpodobnosti jsou známy,
( )p A a ( )p B . Definujme nové jevy C a D jako: jev C je jev, kdy jevy A a B nastanou
současně, jev D je jev, kdy nastane jev A nebo B (v principu zahrnuje i možnost, že nastanou
oba). Za určitých podmínek lze pravděpodobnosti jevů C a D určit pomocí pravděpodobností
( )p A a ( )p B .
Nezávislé jevy
Jaká je pravděpodobnost, že při současném hodu dvěma kostkami padne na obou
šestka? Uvědomíme si, že to, co padne na jedné kostce, je nezávislé na výsledku druhé
kostky. Máme tedy jev A, kdy na první kostce padne šestka ­ ( ) 1 6p A = a jev B, kdy na
druhé kostce padne šestka ­ ( ) 1 6p B = . Jev C pak odpovídá tomu, že jevy A a B nastanou
současně. Máme 6 6 36N =  = možností a právě jeden příznivý případ 1M = . Je tedy
( ) ( ) ( )
1 1 1
36 6 6
M
p C p A p B
N
= = =  = 
Pravděpodobnost současného nástupu nezávislých jevů je rovna součinu
pravděpodobností těchto jevů.
Neslučitelné jevy
Jaká je pravděpodobnost, že při hodu kostkou padne některé ze dvou nejvyšších čísel,
tj. padne šestka nebo pětka? Uvědomíme si, že skutečnosti, že šestka i pětka padnou při
stejném hodu, jsou neslučitelné. Máme tedy jev A, kdy na kostce padne šestka ­ ( ) 1 6p A = a
jev B, kdy na kostce padne pětka ­ ( ) 1 6p B = . Jev C pak odpovídá tomu, že nastane buď jev
A nebo jev B. Máme 6N = možností a dva příznivé případy 2M = . Je tedy
( ) ( ) ( )
2 1 1
6 6 6
M
p C p A p B
N
= = = + = +
Pravděpodobnost nástupu některého z jevů, z nichž každé dva jsou neslučitelné, je rovna
součtu pravděpodobností těchto jevů.
Označíme-li pravděpodobnost jevu A ( )p A , je pravděpodobnost jevu opačného A (tj. jev A
nenastane) p A( ) ( )1 p A= - . Pro součet pravděpodobností jevu A a opačného jevu A platí
( )p A p A+ ( ) 1=
Příklad 4. Jaká je pravděpodobnost, že ve skupině k osob mají alespoň dvě narozeniny ve
stejný den? Rok má 365n= dní. Určíme nejprve pravděpodobnost jevu A, že každá z osob má
narozeniny v jiný den. Počet případů možných pro tento jev je ( )/
kV n (variace s opakováním
­ v principu může mít každá z osob narozeniny v kterýkoli den). Počet případů příznivých je
( )kM V n= (variace bez opakování ­ nechceme, aby se narozeninový den zopakoval u více
osob). Jev, který nás zajímá, je opačným jevem k jevu A, jeho pravděpodobnost je tedy
p A( ) ( )
( )
( ) ( )/
!
1 1 1
!
k
k
k
V n n
p A
V n n k n
= - = - = -
Je-li
ve skupině pouze jeden člověk ( 1k = ), nemohou připadnout dvoje narozeniny na stejný
den ­ skutečně dostáváme v tomto případě p A( ) 1 1 0= - = . Pro skupinu například 40 osob je
pak p A( ) 1 0,11 0,89- =' , tedy skoro 90%.
Bernoulliův pokus
Nejprve zavedeme pojmy a značení. Nastane-li předem definovaný jev A (například
,,padne šestka"), nazveme to zdarem, v opačném případě nezdarem. Pravděpodobnost zdaru
označíme p (v příkladu s kostkou p = 1/6), pravděpodobnost nezdaru je 1 p- (v příkladu
s kostkou tedy 5/6). n-krát nezávisle provedeme pokus (například hod kostkou). Bude nás
zajímat jev B, kdy právě při x provedeních z celkového počtu n provedení pokusu nastane
zdar. S touto základní situací souvisí další jevy ­ jev Aj, kdy pro 1,2, ,j x= ... nastane zdar při
j-tém provedení pokusu, jev Bk, kdy pro 1, 2, ,k x x n= + + ... nastane při k-tém provedení
pokusu nezdar a konečně jev C, kdy jevy A1 až Ax a jevy Bx+1 až Bn nastoupí současně, tj.
právě při prvních x opakováních pokusu nastane zdar, při zbývajících nezdar.
Pravděpodobnost jevu C spočteme snadno jako součin pravděpodobností nezávislých jevů
(například hodů kostkou)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1
n xx
x x np C p A p A p B p B p p
+=
 = -" "
Pro pravděpodobnost jevu B nám ale nezáleží na tom, v jakém pořadí došlo k požadovaným x
zdarům ze všech n opakování pokusu. Možností, kdy zdar nastal právě při x ze všech n
opakování pokusu, je (kombinace)
( )
( )
!
! !
x
nn
C n
xx n x
 
=   
-  
Výsledná pravděpodobnost jevu B je tedy ( )xC n -krát větší než pravděpodobnost jevu C, tj.
( ) ( ) ( )
( )
( )
!
1
! !
n xx
x
n
p B C n p C p p
x n x
=
= -
Na
obrázcích je závislost pravděpodobnosti jevu B na x při n hodech mincí pro 3n= a 10n= .
Někoho možná překvapí, že při zvyšujícím se n se pravděpodobnost stejného počtu zdarů a
nezdarů (pro 10n= je to při 5x= ) neblíží jedné polovině, ale klesá. Je to proto, že počítáme
pravděpodobnost, kdy je počet zdarů a nezdarů přesně stejný. Při velkých hodnotách n pak
rozdíl třeba o jedničku nebo dvojku v počtech zdarů a nezdarů má téměř stejnou
pravděpodobnost jako když jsou počty stejné, jak vidíme z obrázku už při poměrně malém
10n= je pravděpodobnost pro 4x= a 6x= jen o málo menší než maximální pro 5x= .
10. Měření a zpracování dat
10.1 Měřené hodnoty veličin jsou ,,náhodné"
Uvozovky v nadpisu jsou upozorněním na to, že při měření (ať už je jeho podstatou
cokoliv) závislosti hodnoty měřené veličiny (závisle proměnná) na hodnotách jiné veličiny
(nezávisle proměnná) se mohou uplatňovat také náhodné vlivy, nikoliv snad to, že ,,naměříme
cokoliv". Tedy za stejných podmínek (tj. při stejných hodnotách nezávisle proměnných
veličin) můžeme dostat při opakovaných měřeních různé hodnoty měřené veličiny (závisle
proměnné). Základem pro matematický popis této situace je pojem náhodné veličiny.
10.2 Náhodná veličina s diskrétním rozdělením
Náhodná veličina X a její (diskrétní) rozdělení je veličina, která nabývá hodnot
( )0 1, , , nx x x... s pravděpodobnostmi ( )0 1, , , np p p... . Protože jevy, kdy veličina X nabývá
dvou různých hodnot jx současně jsou neslučitelné, musí být 0 1 1np p p+ + + =" . Rozdělením
náhodné veličiny rozumíme soubor všech dvojic( ),j jx p pro 0,1, ,j n= ... . V části o
pravděpodobnosti jsme se setkali s výrazem pro Bernoulliovo rozdělení
( )
( )
!
, 1 , 0 1 , 0,1, ,
! !
n jj
j j
n
x j p q q q j n
j n j
=
= -   =
-
...
Samozřejmě platí pro součet pravděpodobností
( ) ( )
0 0
1 1 1
n n
nn jj
j
j j
n
p q q q q
j
=
=
 
= - = - + =    
 
 
V případě, že pravděpodobnost zdaru a nezdaru v jednom pokusu je stejná ( 1 2q = )
dostáváme binomické rozdělení
( )
1 !
, , 0,1, ,
2 ! !
j j n
n
x j p j n
j n j
= = =
-
...
Na obrázku je Bernoulliovo rozdělení pro 120n= a dvě hodnoty q: 1 6q= (házení kostkou,
červeně) a 1 2q= (házení mincí, modře) ­ pro lepší viditelnost jsou body spojeny plnou
křivkou. Maximum je v obou případech u střední hodnoty j qn= (střední hodnotu
definujeme dále), tj. 20j = pro házení kostkou a 50j = pro házení mincí. Na příkladu
střelce, který vystřelí n-krát na terč si ukážeme, jak zjistit rozdělení experimentálně. Dosažené
počty bodů při jednotlivých výstřelech představují hodnoty náhodné veličiny. Jaké jsou
pravděpodobnosti jednotlivých hodnot? Pro n = 50 například:
Při různých počtech výstřelů n se pravděpodobnosti budou obecně měnit. Pro rostoucí n
budeme pozorovat jejich ,,ustalování". Která hodnota nejlépe reprezentuje rozdělení?
Náhodnou veličinu samozřejmě nejdokonaleji reprezentuje zadání jejího rozdělení. To je
ovšem poněkud nepraktické. U střelce jsme viděli, že jeho kvalita je reprezentována hodnotou
blízkou devítce. Realizovala se nejčastěji, má největší váhu. Vhodnější reprezentativní
hodnotou bude aritmetický průměr všech hodnot včetně ,,násobnosti"
10 10
0 1 10
0 00 1 10
0 1 10
8,12
50
j
j
j j
nn n n
j j p j
n n n = =
 +  + + 
= = = =
+ + +
 
"
"
Obecně pak
0 0
, 1
n n
j j j
j j
x p x p
= =
= = 
Takto definovaná hodnota x je váženým průměrem jednotlivých hodnot a nazývá se střední
hodnotou náhodné veličiny. Výpočet střední hodnoty náhodné veličiny, která má
Bernoulliovo rozdělení není komplikovaný:
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )1 11
0 1
1 !!
1 1
! ! 1 ! 1 1 !
n n
n j n jj j
j j
nn
j j q q nq q q
j n j j n j
- - - --
= =
=
- = -
- - - -  
 
a s označením 1, 1i j m n= - = - pak
( )
( ) ( )
0
!
1 1
! !
m
m i mi
i
m
j nq q q nq q q nq
i m i
-
=
= - = - + =
-

Před zavedením další charakteristiky rozdělení uvedeme další příklad, tentokrát se dvěma
střelci, z nichž každý vystřelí n-krát na terč. Zvolme opět 50n= :
Na obrázku jsou zobrazena rozdělení obou střelců (pro prvého bílými, pro druhého modrými
sloupečky). Výpočtem zjistíme, že oba dosáhli střední hodnoty 5. Čím se tedy jejich výsledky
liší? Je to rozptyl nebo z něho vypočtená směrodatná odchylka. Jak se k této charakteristice
dostaneme? Uvažujme náhodnou veličinu ( )Y f X= . Má-li veličina X rozdělení ( ),j jx p , má
veličina Y rozdělení ( ) ( )( ), ,j j j jy p f x p= . Jaká veličina by tedy mohla charakterizovat
,,odchýlení" hodnot od střední hodnoty? Nejjednodušší možnost Y X x= - není vhodná,
protože pro libovolné rozdělení je 0y = :
( )
0 0 0 0
0
n n n n
j j j j j j j
j j j j
y y p x x p x p x p x x
= = = =
= = - = - = - =   
Takže musíme vzít náhodnou veličinu ( )
2
Y X x= - . Střední hodnotu této veličiny
nazýváme rozptylem ( ) ( )
2
D X X x= - . Provedeme-li umocnění, máme pro rozptyl
( )
2 22 2
2D X X X x x X x= - + = Odmocnina
z rozptylu (jak vidět z definice rozptyl je vždy kladný) je tzv. směrodatná
odchylka
( ) ( )
22
X D X X x = = Pro
úplnost příkladu dodejme, že směrodatná odchylka vyjde 1,7 pro prvého a 1,2 pro
druhého střelce. Pro Bernoulliovo rozdělení je
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( )
1 12 2 1
0 1
1 1
1 2 12 1
0 1
22 2 2
1 !!
1 1
! ! 1 ! 1 1 !
1 1 ! 2 !
1 1 1
! 1 ! 1 ! 2 1 !
2 !
1 1 1
! 2 !
n n
n j n jj j
j j
n n
n i n ii i
i i
n kk
j nn
j j q q nq q q
j n j j n j
i n n
nq q q nq n n q q q
i n i i n i
n
nq n n q q q nq n n q n
k n k
- - - --
= =
- -
- - - --
= =
- -
=
- = - =
- - - - -  
+ - -
= + - -
- - - - -  
=
+ - - = + - =
- -
 
 
( )
2
2
1
n
k o
q nq q
-
=
+ Rozptyl
Bernoulliova rozdělení je tedy
( ) ( )
22
1D j j j n p p= - = Distribuční
funkci ( )F x definujeme na reálné ose ( součtem pravděpodobností
0 sp p+ +" odpovídajících hodnotám menším než 1sx +
( )
0
0 0 1
1
0
0
0
1
s
j s s
j
n
j n
j
x x
p x x x
p x x xF x
p x x
+
=
=
<
  <


  <= 



 = 




) )
) )
Naopak pravděpodobnosti dostaneme jako
( ) ( ) ( )0 0 1, 1j j jp F x p F x F x j n-= = -  
Medián rozdělení je taková hodnota sx , pro kterou ( ) 0,5sF x < a ( )1 0,5sF x +  .
Pro n a j malé přejde Bernoulliovo rozdělení na Poissonovo rozdělení. Upravujeme tedy
( )
( )
( )
! !
lim 1 lim lim 1
! ! !
! 1
nj
n jj
j jn n n
j
j jn n
p q q
j n j j nj
n n j
n
-
  
 
= - = - 
-    
- - 
 
Využijeme vztahů platných pro n a j malé: ( )! 1 !j
n n n - , ( )1 1
j
j n-  a definice
( ) ( )exp lim 1
n
n
j j n

- = - . Dostáváme tak Poissonovo rozdělení
( )exp
!
j
j
j
p j
j
= Poissonovo
rozdělení se projeví třeba tehdy, sledujeme-li časový průběh počtu produktů
radioaktivního rozpadu: počítáme částice detekované v nějakých časových intervalech, ale ty
tvoří jen nepatrnou část částic v těchto intervalech vzniklých při rozpadu radioaktivních jader
zdroje.
10.3 Náhodná veličina se spojitým rozdělením
Náhodná veličina X, která nabývá všech reálných hodnot x z intervalu [ ],m Mx x má
(spojité) rozdělení dané funkcí ( )w x na tomto intervalu s vlastnostmi
( ) ( )0 , 1
M
m
x
m M
x
w x x x x w x d x   =
Funkci ( )w x se také říká hustota pravděpodobnosti, neboť elementární pravděpodobnost (tj.
pravděpodobnost, že veličina X má hodnotu v intervalu [ ],x x d x+ ) je ( )d p w x d x= . Také
pro náhodnou veličinu se spojitým rozdělením můžeme definovat střední hodnotu,
směrodatnou odchylku, distribuční funkci a medián:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
,
, 0,5
M M
m m
m
x x
x x
x
MED
x
x x w x d x x x w x d x
F x w d F x

  
= = =
=
 

Důležitým příkladem je normální neboli Gaussovo rozdělení na celé reálné ose, tj.
( ),x -  :
( )
2
2
1
exp
22
x
w x
 
 
= - 
 
Veličina  skutečně vyjadřuje standardní odchylku, platí
( ) 2
0 ,x D X = =
Na obrázku je Gaussovo rozdělení pro 1 = (modrá křivka), 2 = (červená křivka) a 3 =
(zelená křivka).
Předpokládejme, že existuje nějaká ,,správná" hodnota měřené veličiny x a že při
opakovaném měření získáme hodnoty ( )0 1, , , nx x x... , některé mohou být i stejné. Odchylky
od (zatím neznámé) správné hodnoty označme ( )0 1, , , n  ... . Tyto hodnoty jsou hodnotami
náhodné veličiny E. Její hustotu pravděpodobnosti označme ( )w E . Za jistých podmínek je
rozdělením veličiny E rozdělení normální. Předpokládejme, že odchylky jsou způsobeny m
nezávislými vlivy, každý z nich odchýlí měřenou hodnotu od x o stejnou hodnotu , kladnou
nebo zápornou, s pravděpodobností 1 2. Kladnou odchylku ( + ) nazveme zdarem, zápornou
( - ) nezdarem. Výsledná odchylka naměřené hodnoty  od x leží v intervalu ( ),m m - a
může nabývat pouze celých násobků .
Pravděpodobnost odchýlení o j kladných a m j- záporných vlivů (j zdarů a m j- nezdarů),
tj. pravděpodobnost vzniku odchylky ( )( )j m j  = + - - , tj. ( )2 j m = - je dána
binomickým rozdělením (Bernoulliovým pro 1 2q= )
( )
1 !
2 ! !
j m
m
p
j m j
=
Pro
velká m je lze nahradit rozdělením normálním (Gaussovým) ­ důkaz naznačíme na konci
kapitoly. Předpoklad o normální rozdělení umožňuje následující zpracování výsledků:
reprezentativní hodnota měření představuje aritmetický průměr všech naměřených hodnot
(střední hodnota veličiny)
( )1 2
1
nx x x x
n
= + + +"
(číslujeme teď měření od jedničky, nikoliv od nuly). Tento aritmetický průměr neurčuje
správnou hodnotu veličiny. Lze však tvrdit, že s pravděpodobností 68,3% tato správná
hodnota leží v intervalu určeném aritmetickým průměrem a směrodatnou odchylkou
příslušnou aritmetickému průměru
( ),x x x  - +
což zapisujeme také takto
x x = 
Směrodatnou odchylku aritmetického průměru počítáme pomocí odchylek od aritmetického
průměru jako
( )
( ) ( ) ( )
2 2 22
1 2
1
1
nx x x x x x
n n
  = - + - + + -
 -
...
Jen pro zajímavost uveďme, že pokud bychom chtěli psát výraz pomocí odchylek od skutečné
hodnoty (to však z praktického hlediska nemá smysl, skutečnou hodnotu neznáme), měl by
výraz tvar
( ) ( ) ( )
2 2 22
1 22
1
nx x x x x x
n
  = - + - + + -
 
...
Vezmeme-li interval daný tzv. krajní chybou (trojnásobek směrodatné odchylky), pak
skutečná hodnota měřené veličiny se v tomto intervalu nachází s pravděpodobnostní 97%.
10.4 Jaký průměr?
Příklad 1. Student měl ze tří matematických písemek v semestru tři hodnocení B a jedno
C. U dvou závěrečných písemek měl A a D, u ústní zkoušky E. Jaká je jeho průměrná
známka, jestliže všechny známky mají stejnou váhu? Označíme jz hodnoty, jn jejich četnosti
a jw váhy. Obecný vztah pro vážený průměr je
1
1
n
j j j
j
n
j j
j
z n w
z
n w
=
=
=


V našem případě jsou všechny váhy stejné, potom se výraz zjednoduší na
1
1
n
j j
j
n
j
j
z n
z
n
=
=
=


Máme tedy
1,5 3 2 1 1 1 2,5 1 3 1 13
1,86 C
3 1 1 1 1 7
z
 +  +  +  + 
= = =
+ + + +
......
Příklad 2. Řešte předchozí příklad za předpokladu, že závěrečná písemka má dvakrát
větší váhu než průběžná a ústní zkouška má dvakrát větší váhu ne. závěrečná písemka:
1,5 3 1 2 1 1 1 1 2 2,5 1 2 3 1 4 25,5
2,12 C
3 1 1 1 1 2 1 2 1 4 12
z
  +   +   +   +  
= = =
 +  +  +  + 
......
Příklad 3. Automobil jel z A do B první úsek rychlostí 130 km/h a stejnou dobu druhý
úsek průměrnou rychlostí 70 km/h. Jaká byla jeho průměrná rychlost na celé trase? Je
odpověď dána aritmetickým průměrem obou hodnot? Je to věc definice. Průměrná je
definována jako podíl celkové dráhy a celkové doby jízdy. Dráhu ale neznáme. Víme však, že
oba úseky trvaly stejně času. V takovém případě by bylo
1 2 1 2 1 2
1 2
100km/h
2 2
s s v t v t v v
v
t t t
+ + +
= = = =
+
Takže přece jen aritmetický průměr? Zkusme úlohu obměnit.
Příklad 4. Automobil jel z A do B první úsek rychlostí 130 km/h a druhý úsek
rychlostí 70 km/h. Oba úseky byly stejně dlouhé. Jaká byla nyní průměrná rychlost?
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
22 2
91km/h
1 1
s s v vs
v
s st t v v
v v v v
+
= = = = =
+ ++ +
Jedná se o tzv. harmonický průměr.
Příklad 5. ,,Průměrný" obdélník je čtverec (určete stranu čtverce, který má stejný
obsah jako obdélník o stranách a a b), ,,průměrný" elipsoid je koule (určete poloměr koule,
která má stejný objem jako elipsoid o poloosách a , b , c):
V prvním případě máme pro stranu čtverce
2
P ab x x ab= =  =
a v druhém případě pro poloměr koule
3 3
4 4
3 3
V abc x x abc = =  =
V obou případech se jedná o tzv. geometrický průměr.
Pro obecný počet n hodnot máme následující výrazy pro výpočet průměru:
aritmetický průměr
1 2 n
a
x x x
x
n
+ + +
=
"
geometrický průměr
1 2
n
ng
x x x x= ...
harmonický průměr
1 2
1 1 1h
n
n
x
x x x
=
+ + +"
Platí nerovnost
a g h
x x x 
Pro 2n= je to hned vidět (napišme nerovnosti pro druhé mocniny průměrů)
( )
( ) ( )
( )
2
2 2 2 21 2
1 2 1 2 1 2 1 2
22 2
2 2 2 21 21 2
1 2 1 2 1 22 2
1 1 2 2
1
0
4 4
4
2 4
a g
g h
x x
x x x x x x x x x x
x xx x
x x x x x x x x
x x x x
+
    + - = - 
+
    
+ +
10.5 Přechod od Bernoulliova ke Gaussovu rozdělení
Bernoulliovo rozdělení je
( )
( )
!
, 1 , 0 1 , 0,1, ,
! !
n jj
j j
n
x j p q q q j n
j n j
=
= -   =
-
...
Logaritmus pravděpodobnosti je
( ) ( ) ( ) [ ]( ) ( ) ( ) ( )ln ln ! ln ! ln ! ln ln 1jp n j n j j q n j q= - - - + + - Stejně
jako při přechodu k Poissonovu rozdělení předpokládáme n , ale teď budeme
předpokládat, že počet zdarů a nezdarů se nebude příliš lišit, tj. také j a n j- jsou velká čísla.
Základem pro výpočet bude přibližné vyjádření ( ) ( )
1
ln ! ln
k
r
k r
=
= (logaritmus součinu je
roven součtu logaritmů součinitelů) pro velké hodnoty k. Protože logaritmus je monotónně
rostoucí funkce, můžeme napsat nerovnost, kdy integrál z logaritmu na intervalu jednotkové
délky je větší než hodnota logaritmu ve spodní mezi a menší než hodnota logaritmu v horní
mezi
( ) ( ) ( )
1
1
ln ln ln
rr
r r
d r d   
+
<
< 
Sečtením přes r od 1r = do r k= dostáváme
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1
0 1
ln ln ln ! ln 1 ln 1
kk
d k k k k d k k k   
+
< - < < = + + - 
neboť ( ) ( )ln lnx d x x x x= - . Na obrázku vidíme, proč už pro relativně malé
hodnoty můžeme sumaci ( )lnj
j nahradit integrací ( )ln x d x ­ tedy diskretní proměnnou
j spojitou proměnnou x. Za hodnotu ( )ln !k bychom mohli vzít průměr z obou krajních hodnot
v nerovnosti, my vezmeme ještě o něco lepší aproximaci, zvanou Stirlingova formule (její
odvození už je však trochu komplikovanější)
( ) ( ) ( )
1 1
ln ! ln ln 2
2 2
k k k k 
 
+ - - 
 
'
Pro logaritmus pravděpodobnosti budeme teď mít
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
ln
1 1 1 1
ln 2 ln ln ln ln ln 1
2 2 2 2
P x p x
n n x x n x n x x q n x q
= =  
     
- + + - + - - + - + + - -     
     
Maximum hustoty pravděpodobnosti bude u takové hodnoty x, pro kterou je derivace funkce
( )p x (a tedy i jejího logaritmu) rovna nule. Dostáváme tak rovnici
( ) ( )
( )
1 1 1
ln 0
1 2
d P x q n x
d x q x n x x
-  
= + - = 
- - 
Pro druhou derivaci máme vztah
( )
( )
2
22 2
1 1 1 1 1
2
d P x
d x n x x xn x
  
= - + + +  
- -    
První derivace je rovna nula pro hodnotu x, která je přibližně (pro 1 2q= přesné) rovna
střední hodnotě x x nq= = . Ve stejném přiblížení máme
( ) ( )
( )2
2
2 2
1 1
ln 2 , ,
2
d P x
P x
d x
 

= - = kde
 je směrodatná odchylka ( )2
1nq q = - . Vezmeme-li teď první členy Taylorova
rozvoje ( )P x kolem x x= , dostáváme
( ) ( ) ( )
22
2
1 1
ln 2
2 2
P x x x 

= - - a
po odlogaritmování dostáváme skutečně Gaussovo rozdělení se středem v x x=
( )
( )
2
2
1
exp
22
x x
p x
 
 -
 = -
 
 
Na obrázcích je porovnáno binomické rozdělení s normálním rozdělením pro 25n= (vlevo) a
50n= (vpravo).