Determinant matice
Robert Mařík a Lenka Přibylová
27. července 2006
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Obsah
Vypočtěte následující determinant. . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Vypočtěte následující determinant. . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Vypočtěte následující determinant. . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Vypočtěte následující determinant. . . . . . . . . . . . . . . . . 19
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Vypočtěte následující determinant.
1 2 -1 2
2 -3 1 0
0 -2 0 0
1 2 1 -4
= (-2)  (-1)3+2

1 -1 2
2 1 0
1 1 -4
= (-2)  (-1)  -4 + 4 + 0 - (2 + 0 + 8)
= -20
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Vypočtěte následující determinant.
1 2 -1 2
2 -3 1 0
0 -2 0 0
1 2 1 -4
= (-2)  (-1)3+2

1 -1 2
2 1 0
1 1 -4
= (-2)  (-1)  -4 + 4 + 0 - (2 + 0 + 8)
= -20
Rozvoj podle 3 řádku je nejvýhodnější, protože pouze prvek a32 je
nenulový, ostatní členy rozvoje proto ani nezapisujeme:
prvek  (-1)řádek+sloupec
 minor
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Vypočtěte následující determinant.
1 2 -1 2
2 -3 1 0
0 -2 0 0
1 2 1 -4
= (-2)  (-1)3+2

1 -1 2
2 1 0
1 1 -4
= (-2)  (-1)  -4 + 4 + 0 - (2 + 0 + 8)
= -20
1 -1 2
2 1 0
1 1 -4
1 -1 2
2 1 0
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Vypočtěte následující determinant.
1 2 -1 2
2 -3 1 0
0 -2 0 0
1 2 1 -4
= 2  (-1)1+4

2 -3 1
0 -2 0
1 2 1
+ (-4)  (-1)4+4

1 2 -1
2 -3 1
0 -2 0
= (-2)  [-4 + 0 + 0 - (-2 + 0 + 0)]
- 4  [0 + 4 + 0 - (0 - 2 + 0)]
= (-2)  (-2) - 4  6 = -20
Vypočteme ten stejný determinant rozvojem podle posledního
sloupce.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Vypočtěte následující determinant.
1 2 -1 2
2 -3 1 0
0 -2 0 0
1 2 1 -4
= 2  (-1)1+4

2 -3 1
0 -2 0
1 2 1
+ (-4)  (-1)4+4

1 2 -1
2 -3 1
0 -2 0
= (-2)  [-4 + 0 + 0 - (-2 + 0 + 0)]
- 4  [0 + 4 + 0 - (0 - 2 + 0)]
= (-2)  (-2) - 4  6 = -20
Poslední sloupec obsahuje dva nenulové prvky a rozvoj tedy bude
obsahovat dva determinanty nižšího řádu.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Vypočtěte následující determinant.
1 2 -1 2
2 -3 1 0
0 -2 0 0
1 2 1 -4
= 2  (-1)1+4

2 -3 1
0 -2 0
1 2 1
+ (-4)  (-1)4+4

1 2 -1
2 -3 1
0 -2 0
= (-2)  [-4 + 0 + 0 - (-2 + 0 + 0)]
- 4  [0 + 4 + 0 - (0 - 2 + 0)]
= (-2)  (-2) - 4  6 = -20
Determinanty třetího řádu dopočítáme Sarussovým pravidlem.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Vypočtěte následující determinant.
2 0 -3 3
1 4 3 -1
1 -4 8 0
0 3 -1 2
=
0 -8 -9 5
1 4 3 -1
0 -8 5 1
0 3 -1 2
= 1  (-1)2+1

-8 -9 5
-8 5 1
3 -1 2
= -1 -8  5  2 + (-8)  (-1)  5 + 3  (-9)  1
- (5  5  3 + 1  (-1)  (-8) + 2  (-9)  (-8))
= -1 -80 + 40 - 27 - (75 + 8 + 144)
= - -67 - 227 = 294
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Vypočtěte následující determinant.
2 0 -3 3
1 4 3 -1
1 -4 8 0
0 3 -1 2
=
0 -8 -9 5
1 4 3 -1
0 -8 5 1
0 3 -1 2
= 1  (-1)2+1

-8 -9 5
-8 5 1
3 -1 2
= -1 -8  5  2 + (-8)  (-1)  5 + 3  (-9)  1
- (5  5  3 + 1  (-1)  (-8) + 2  (-9)  (-8))
= -1 -80 + 40 - 27 - (75 + 8 + 144)
= - -67 - 227 = 294
Druhý řádek bude klíčový.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Vypočtěte následující determinant.
2 0 -3 3
1 4 3 -1
1 -4 8 0
0 3 -1 2
=
0 -8 -9 5
1 4 3 -1
0 -8 5 1
0 3 -1 2
= 1  (-1)2+1

-8 -9 5
-8 5 1
3 -1 2
= -1 -8  5  2 + (-8)  (-1)  5 + 3  (-9)  1
- (5  5  3 + 1  (-1)  (-8) + 2  (-9)  (-8))
= -1 -80 + 40 - 27 - (75 + 8 + 144)
= - -67 - 227 = 294
Upravíme první řádek. Pozor! Ř ádky nepřehazujeme.
(-2)
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Vypočtěte následující determinant.
2 0 -3 3
1 4 3 -1
1 -4 8 0
0 3 -1 2
=
0 -8 -9 5
1 4 3 -1
0 -8 5 1
0 3 -1 2
= 1  (-1)2+1

-8 -9 5
-8 5 1
3 -1 2
= -1 -8  5  2 + (-8)  (-1)  5 + 3  (-9)  1
- (5  5  3 + 1  (-1)  (-8) + 2  (-9)  (-8))
= -1 -80 + 40 - 27 - (75 + 8 + 144)
= - -67 - 227 = 294
Upravíme třetí řádek.
(-1)
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Vypočtěte následující determinant.
2 0 -3 3
1 4 3 -1
1 -4 8 0
0 3 -1 2
=
0 -8 -9 5
1 4 3 -1
0 -8 5 1
0 3 -1 2
= 1  (-1)2+1

-8 -9 5
-8 5 1
3 -1 2
= -1 -8  5  2 + (-8)  (-1)  5 + 3  (-9)  1
- (5  5  3 + 1  (-1)  (-8) + 2  (-9)  (-8))
= -1 -80 + 40 - 27 - (75 + 8 + 144)
= - -67 - 227 = 294
Poslední řádek pouze opíšeme.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Vypočtěte následující determinant.
2 0 -3 3
1 4 3 -1
1 -4 8 0
0 3 -1 2
=
0 -8 -9 5
1 4 3 -1
0 -8 5 1
0 3 -1 2
= 1  (-1)2+1

-8 -9 5
-8 5 1
3 -1 2
= -1 -8  5  2 + (-8)  (-1)  5 + 3  (-9)  1
- (5  5  3 + 1  (-1)  (-8) + 2  (-9)  (-8))
= -1 -80 + 40 - 27 - (75 + 8 + 144)
= - -67 - 227 = 294
ˇ Vytvoříme Laplaceův rozvoj podle prvního sloupce.
ˇ Červený prvek zůstane, bude vynásoben výrazem
(-1)řádek + sloupec
.
ˇ Vynecháme první sloupec a druhý řádek.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Vypočtěte následující determinant.
2 0 -3 3
1 4 3 -1
1 -4 8 0
0 3 -1 2
=
0 -8 -9 5
1 4 3 -1
0 -8 5 1
0 3 -1 2
= 1  (-1)2+1

-8 -9 5
-8 5 1
3 -1 2
= -1 -8  5  2 + (-8)  (-1)  5 + 3  (-9)  1
- (5  5  3 + 1  (-1)  (-8) + 2  (-9)  (-8))
= -1 -80 + 40 - 27 - (75 + 8 + 144)
= - -67 - 227 = 294-8 -9 5
-8 5 1
3 -1 2
-8 -9 5
-8 5 1
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Vypočtěte následující determinant.
2 0 -3 3
1 4 3 -1
1 -4 8 0
0 3 -1 2
=
0 -8 -9 5
1 4 3 -1
0 -8 5 1
0 3 -1 2
= 1  (-1)2+1

-8 -9 5
-8 5 1
3 -1 2
= -1 -8  5  2 + (-8)  (-1)  5 + 3  (-9)  1
- (5  5  3 + 1  (-1)  (-8) + 2  (-9)  (-8))
= -1 -80 + 40 - 27 - (75 + 8 + 144)
= - -67 - 227 = 294
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Vypočtěte následující determinant.
2 0 -3 3
1 4 3 -1
1 -4 8 0
0 3 -1 2
=
0 -8 -9 5
1 4 3 -1
0 -8 5 1
0 3 -1 2
= 1  (-1)2+1

-8 -9 5
-8 5 1
3 -1 2
= -1 -8  5  2 + (-8)  (-1)  5 + 3  (-9)  1
- (5  5  3 + 1  (-1)  (-8) + 2  (-9)  (-8))
= -1 -80 + 40 - 27 - (75 + 8 + 144)
= - -67 - 227 = 294
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Vypočtěte následující determinant.
2 0 -3 3
1 4 3 -1
1 -4 8 0
0 3 -1 2
=
0 -8 -9 5
1 4 3 -1
0 -8 5 1
0 3 -1 2
= 1  (-1)2+1

-8 -9 5
-8 5 1
3 -1 2
= -1 -8  5  2 + (-8)  (-1)  5 + 3  (-9)  1
- (5  5  3 + 1  (-1)  (-8) + 2  (-9)  (-8))
= -1 -80 + 40 - 27 - (75 + 8 + 144)
= - -67 - 227 = 294
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Vypočtěte následující determinant.
2 3 0 4
1 2 1 1
3 4 1 1
1 2 2 -1
=
2 3 0 4
1 2 1 1
2 2 0 0
-1 -2 0 -3
= 1  (-1)2+3
2 3 4
2 2 0
-1 -2 -3
= -1  2 
2 3 4
1 1 0
-1 -2 -3
= -2  [-6 - 8 + 0 - (-4 + 0 - 9)] = -2  (-1) = 2
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Vypočtěte následující determinant.
2 3 0 4
1 2 1 1
3 4 1 1
1 2 2 -1
=
2 3 0 4
1 2 1 1
2 2 0 0
-1 -2 0 -3
= 1  (-1)2+3
2 3 4
2 2 0
-1 -2 -3
= -1  2 
2 3 4
1 1 0
-1 -2 -3
= -2  [-6 - 8 + 0 - (-4 + 0 - 9)] = -2  (-1) = 2
ˇ Druhý řádek bude klíčový a budeme vytvářet nuly ve třetím
sloupci (obsahuje už jednu nulu a obsahuje nejmenší čísla).
ˇ První řádek už nulu ve třetím soupci má, takže jej jenom
opíšeme.
ˇ Dáváme pozor na to, abychom nezaměnili pořadí řádků.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Vypočtěte následující determinant.
2 3 0 4
1 2 1 1
3 4 1 1
1 2 2 -1
=
2 3 0 4
1 2 1 1
2 2 0 0
-1 -2 0 -3
= 1  (-1)2+3
2 3 4
2 2 0
-1 -2 -3
= -1  2 
2 3 4
1 1 0
-1 -2 -3
= -2  [-6 - 8 + 0 - (-4 + 0 - 9)] = -2  (-1) = 2
(-1)
Vytvoříme nulu z prvku a33.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Vypočtěte následující determinant.
2 3 0 4
1 2 1 1
3 4 1 1
1 2 2 -1
=
2 3 0 4
1 2 1 1
2 2 0 0
-1 -2 0 -3
= 1  (-1)2+3
2 3 4
2 2 0
-1 -2 -3
= -1  2 
2 3 4
1 1 0
-1 -2 -3
= -2  [-6 - 8 + 0 - (-4 + 0 - 9)] = -2  (-1) = 2
(-2)
Vytvoříme nulu z prvku a43.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Vypočtěte následující determinant.
2 3 0 4
1 2 1 1
3 4 1 1
1 2 2 -1
=
2 3 0 4
1 2 1 1
2 2 0 0
-1 -2 0 -3
= 1  (-1)2+3
2 3 4
2 2 0
-1 -2 -3
= -1  2 
2 3 4
1 1 0
-1 -2 -3
= -2  [-6 - 8 + 0 - (-4 + 0 - 9)] = -2  (-1) = 2
Rozvineme determinant podle třetího sloupce.
prvek  (-1)řádek+sloupec
 (determinant nižšího řádu)
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Vypočtěte následující determinant.
2 3 0 4
1 2 1 1
3 4 1 1
1 2 2 -1
=
2 3 0 4
1 2 1 1
2 2 0 0
-1 -2 0 -3
= 1  (-1)2+3
2 3 4
2 2 0
-1 -2 -3
= -1  2 
2 3 4
1 1 0
-1 -2 -3
= -2  [-6 - 8 + 0 - (-4 + 0 - 9)] = -2  (-1) = 2
Vytkneme číslo 2 ve druhém řádku.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Vypočtěte následující determinant.
2 3 0 4
1 2 1 1
3 4 1 1
1 2 2 -1
=
2 3 0 4
1 2 1 1
2 2 0 0
-1 -2 0 -3
= 1  (-1)2+3
2 3 4
2 2 0
-1 -2 -3
= -1  2 
2 3 4
1 1 0
-1 -2 -3
= -2  [-6 - 8 + 0 - (-4 + 0 - 9)] = -2  (-1) = 2
2 3 4
1 1 0
-1 -2 -3
2 3 4
1 1 0
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Vypočtěte následující determinant.
2 3 0 4
1 2 1 1
3 4 1 1
1 2 2 -1
=
2 3 0 4
1 2 1 1
2 2 0 0
-1 -2 0 -3
= 1  (-1)2+3
2 3 4
2 2 0
-1 -2 -3
= -1  2 
2 3 4
1 1 0
-1 -2 -3
= -2  [-6 - 8 + 0 - (-4 + 0 - 9)] = -2  (-1) = 2
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
KONEC
    c Lenka Přibylová, 2006 ×