Gaussova eliminační metoda Robert Mařík a Lenka Přibylová 27. července 2006 H H ©Lenka Přibylová, 20060 Obsah Řešte soustavu lineárních rovnic ................... 3 Řešte soustavu lineárních rovnic ................... 27 Řešte soustavu lineárních rovnic ................... 49 Řešte soustavu lineárních rovnic ................... 72 Řešte soustavu lineárních rovnic ................... 97 ©Lenka Přibylová, 20060 6xi+2x2- X3+7X4 = = 0 4X1+2X2-3X3+5X4 = ■leště soustavu Xi+ %2— X3— X4 = = -4 = 0 Xi + X3 = 3 ©Lenka Přibylová, 2006| 6Xi+2X2- X3+7X4 = = 0 4X1+2X2-3X3+5X4 = Reste soustavu Xi+ %2— X3- X4 = = -4 = 0 Xi + X3 = 3 l\y (6 2 4 2 1 1 \ 1 0 7 M 5 -4 1 0 0 3/ Napíšeme rozšířenou matici soustavy Ar. ^(^^^HB^^^^^W^^^^J 6xi+2x2- X3+7.X4 = = 0 4X!+2X2-3X3+5X4 = Reste soustavu X\+ %2~ X3- X4 = = -4 = 0 Xi + X3 = 3 l\y (e 2 4 2 1 1 \ 1 o 7 M ( 5 -4 1 0 0 3^ \ 3\ • Jako klíčový řádek zvolíme řádek poslední. • Tento řádek napíšeme jako první. ^^HMBffllB^fW^flP^ 6Xi+2X2- X3+7X4 = = 0 4X1+2X2-3X3+5X4 = Reste soustavu Xi+ %2— X3- X4 = = -4 = 0 Xi + X3 = 3 l\y (6 2 4 2 1 1 \ 1 0 7 M ( 5 -4 1 0 (-i)V / 1 o o 1 3\ -3 ^3 K4 = . . . —1...1...... . ... t 6Xi+2X2- X3+7X4 = = 0 4X1+2X2-3X3+5X4 = Reste soustavu Xi+ %2— X3- X4 = = -4 = 0 Xi + X3 = 3 l\y (6 2 4 2 1 1 \ 1 0 o\ / 1 0 3/ (-4) V 1 0 3\ 2 -1 -3 7 5 -16 R? 4Ra = ... —1...1...... . ... t 6Xi+2X2- X3+7X4 = = 0 4X1+2X2-3X3+5X4 = Reste soustavu Xi+ %2— X3- X4 = = -4 = 0 Xi + X3 = 3 l\y (6 2 4 2 1 1 \ 1 0 1 0 3\ 2 -1 -3 7 5 -16 7 7 -18 / ÉB I 6R4 = .. . —1...1...... . _•■ | 6xi+2x2- X3+7.X4 = = 0 4X!+2X2-3X3+5X4 = Reste soustavu X\+ %2~ X3- X4 = = -4 = 0 Xi + X3 = 3 l\y (e 2 4 2 1 1 \ 1 o 1 / 1 o 1 o 0 1-2-1 V o\ O 3 / 3\ -3 y / 1 o o 1 O 2 \ O 2 1 0 3\ 2 -1 -3 7 5 -16 7 7 -18 / První řádek zůstane a druhý řádek bude novým klíčovým řádkem. (c) Lenka ťřibylová, 2UU6 £ 6Xi+2X2- X3+7X4 = = 0 4X1+2X2-3X3+5X4 = Reste soustavu Xi+ %2— X3- X4 = = -4 = 0 Xi + X3 = 3 / 6 2 -1 4 2-3 A— 1 1 _i \ 1 0 1 / 1 0 1 o 0 1-2-1 0 0-3 7 V o\ 0 3 / 3\ -3 -10 J ( 1 0 0 1 0 2 \ O 2 1 0 2 -1 7 5 7 7 3\ -3 x (-2) -16 -18 BEI ■2R7 ^3 = - - - ^^^^H^^^^^^^^^^^J 6Xi+2X2- X3+7X4 = = 0 4X1+2X2-3X3+5X4 = Reste soustavu Xi+ %2— X3- X4 = = -4 = 0 Xi + X3 = 3 l\y ( 6 2 -1 4 2-3 1 1 -1 V 1 0 1 / 1 0 1 0 0 1-2-1 0 0-3 7 \ 0 0 -3 9 o\ 0 3 / 3\ -3 -10 -12 J ( 1 0 0 1 0 2 \ 0 2 1 0 2 -1 7 5 7 7 3\ -3 n (-2) -16 -18 BEI ■2K? A4 = . . . —1...1...... .... t 6xi+2x2- X3+7.X4 = = 0 4X!+2X2-3X3+5X4 = Reste soustavu X\+ %2~ X3- X4 = = -4 = 0 Xi + X3 = 3 l\y f 6 2 -1 4 2-3 1 1 -1 V 1 0 1 / 1 0 1 0 0 1-2-1 0 0-3 7 \ 0 0 -3 9 o\ / 1 0 0 1 0 2 0 3 / V 0 3 \ / 1 0 -3 -10 -12 J 0 1 0 0 1 0 3\ 2 -1 -3 7 5 -16 7 7 -18 / 3\ -3 -10 y • První dva řádky zůstanou. • Třetí řádek bude novým klíčovým řádkem a zůstane také. ^^H!1!Bffl!B^!TO^flB^ 6Xi+2X2- X3+7X4 = = 0 4X1+2X2-3X3+5X4 = Reste soustavu Xi+ %2— X3- X4 = = -4 = 0 Xi + X3 = 3 l\y ( 6 2 -1 4 2-3 1 1 -1 V 1 0 1 / 1 0 1 0 0 1-2-1 0 0-3 7 \ 0 0 -3 9 7 5 -1 0 3 -3 0 \ / 1 0 -4 0 1 0 0 2 3 / V 0 2 \ / 1 0 1 I 0 1-2 0 0-3 -10 x (-1) -12 V 1 0 -2 -1 -7 5 \ 0 0 0 -7 0 -1 7 2 3\ -3 -16 7 -18 / 3\ -3 -10 "2/ -R3 + R4 = ... —1...1...... .... t 6Xi+2X2- X3+7X4 = = 0 4X1+2X2-3X3+5X4 = Reste soustavu Xi+ %2— X3- X4 = = -4 = 0 Xi + X3 = 3 l\y ( 1 0 0 1 o o \ o o 1 0 3\ 2 -1 -3 3 7 -10 0 2 "2/ Rozšířená matice soustavy je řádkově ekvivalentní modré matici, která je ve schodovitém tvaru. 6xi+2x2- X3+7.X4 = = 0 4X!+2X2-3X3+5X4 = Reste soustavu X\+ %2~ X3- X4 = = -4 = 0 Xi + X3 = 3 l\y ( 1 0 0 1 o o \ o o 1 0 3\ 2 -1 -3 3 7 -10 0 2 -2 y 2x4 = -2 • Soustava má řešení, neboťh (A) = h (Ar) = 4. Navíc n = 4 (počet neznámych) a soustava má tedy jediné řešení (nula parametrů). • Začneme dopočítávat neznámé. Napíšeme rovnici odpovídající poslednímu řádku ... 6xi+2x2- X3+7X4 = = 0 4X1+2X2-3X3+5X4 = ■leště soustavu Xi+ %2— X3- X4 = = -4 = 0 Xi + X3 = 3 l\y ( 1 0 0 1 o o \ o o 1 0 3\ 2 -1 -3 3 7 -10 0 2 "2/ 2x4 X4 a řešíme vzhledem k X4. —1...1...... . ... t Řešte soustavu 6x1+2x2- X3+7X4 = 0 4xi+2x2-3x3+5x4 = -4 Xi+ %2— X3- X4 = 0 Xi + x3 =3 l\y ( 1 0 0 1 o o \ o o -3X3 + 7X4 = 2x4 X4 Napíšeme rovnici odpovídající předposlednímu řádku. ^(^^^HB^^^^^W^^^^J Řešte soustavu 6x1+2x2- X3+7X4 = 0 4xi+2x2-3x3+5x4 = -4 Xi+ %2— X3- X4 = 0 Xi + x3 =3 l\y ( 1 0 0 1 o o V 0 0 0 -3X3 + 7X4 = -10 -3x3 - 7 = -10 1 0 3\ 2 -1 -3 3 7 -10 0 2 "2/ 2x4 X4 Dosadíme X4 = — 1 ... —1...1...... . ... t Řešte soustavu 6x1+2x2- X3+7X4 = 0 4xi+2x2-3x3+5x4 = -4 Xi+ %2— X3- X4 = 0 Xi + x3 =3 l\y ( 1 0 0 1 o o V o o -3X3 + 7X4 = = -10 -3x3 - 7 = = -10 *3 = = 1 0 3\ 1 -3 7 -10 2 "2/ 2x4 X4 a řešíme vzhledem k X3. ^I^^^Hl^^^^^^^^^^^ r 6xi+2x2- X3+7X4 = 0 Řešte soustavL 4xi+2x2-3x3+5x4 = -4 1 Xi+ %2— X3- X4 = 0 v Xi + X3 =3 / 1 n 1 0 3 \ Ar ~ 0 1 0 0 -2 -1 -3 7 -5 K 2X4 = X4 = -2 -1 \ u u U z -3X3 + 7X4 = -10 X2 - 2X3 - X4 = -3 -3x3 - 7 = -10 *3 = 1 Napíšeme rovnici odpovídající druhému řádku. ^(^t^MÄ^^^^^W^^^^Í Řešte soustavu 6x1+2x2- X3+7X4 = 0 4xi+2x2-3x3+5x4 = -4 Xi+ %2— X3- X4 = 0 Xi + x3 =3 l\y ( 1 0 0 1 o o V 0 0 0 -3X3 + 7X4 = -10 -3x3 - 7 = -10 *3 = 1 1 0 3\ 2 -1 -3 3 7 -10 0 2 "2/ 2x4 X4 Dosadíme X4 = —1 a X3 = 1 ... —1...1...... . ... t Řešte soustavu 6x1+2x2- X3+7X4 = 0 4xi+2x2-3x3+5x4 = -4 Xi+ %2— X3- X4 = 0 Xi + x3 =3 l\y ( 1 0 0 1 o o V o o -3X3 + 7X4 = = -10 -3x3 - 7 = = -10 *3 = = 1 0 3\ 1 -3 7 -10 2 "2/ 2x4 X4 a vyřešíme vzhledem k X2. ^I^T^Hl^^^^^^^^^^^ r 6xi+2x2- X3+7X4 = 0 Řešte soustavL 4xi+2x2-3x3+5x4 = -4 1 Xi+ %2— X3- X4 = 0 v Xi + X3 =3 / 1 n 1 0 3 V^ Ar ~ 0 1 0 0 -2 -1 -3 7 -3 -10 0 , J2x4 = -2 \ u u U z "2 / ^^^ -3X3 + 7X4 = -10 X2 - 2x3 - X4 = -3 X\ + X3 = 3 -3x3 - 7 = -10 x2 - 2 + 1 = -3 *3 = 1 x2 = -2 Napíšeme rovnici odpovídající prvnímu řádku. ^(^t^MÄ^^^^^W^^^^Í r 6x1+2x2- X3+7X4 = 0 Řešte soustavL 4xi+2x2-3x3+5x4 = -4 1 Xi+ %2— X3— X4 = 0 v Xi + X3 =3 / 1 n 1 0 3 \ Ar ~ 0 1 0 0 -2 -1 -3 7 -3 -10 2x4 = X4 = -2 -1 \ 0 0 -2 y U z -3X3 + 7X4 = -10 X2 - 2x3 - X4 = -3 Xi + x3 = = 3 -3x3 - 7 = -10 x2 - 2 + 1 = -3 Xi + 1 = = 3 *3 = 1 x2 = -2 Dosadíme X3 = 1. ^(^t^MÄ^^^^^W^^^^Í r 6x1+2x2- X3+7X4 = 0 Řešte soustavL 4xi+2x2-3x3+5x4 = -4 1 Xi+ %2— X3— X4 = 0 v Xi + X3 =3 / 1 n 1 0 3 \ Ar ~ 0 1 0 0 -2 -1 -3 7 -3 -10 2x4 = X4 = -2 -1 \ 0 0 -2 y U z -3X3 + 7X4 = -10 X2 - 2x3 - X4 = -3 Xi + x3 = = 3 -3x3 - 7 = -10 x2 - 2 + 1 = -3 Xi + 1 = = 3 *3 = 1 x2 = -2 Xi = = 2 Najdeme Xi = 2. ^(^t^MÄ^^^^^W^^^^Í r 6x1+2x2- X3+7X4 = 0 Řešte soustavL 4xi+2x2-3x3+5x4 = -4 1 Xi+ %2— X3- X4 = 0 v Xi + X3 =3 / 1 n 1 0 3 \ Ar ~ 0 1 0 0 -2 -1 -3 7 -3 -10 2x4 = X4 = -2 -1 \ 0 0 -2 y U z -3X3 + 7X4 = -10 X2 - 2x3 - X4 = -3 Xi + x3 = = 3 -3x3 - 7 = -10 x2 - 2 + 1 = -3 Xi + 1 = = 3 *3 = 1 x2 = -2 Xi = = 2 ediné řešení je [xi = 2, X2 = — 2,X3 = 1,^4 = —1]. Vypočítali jsme všechny neznámé. ^(^^^HB^^^^^W^^^^J 3xi- -2x2+6x3+2x4- -4x5 = = 5 ■leště soustavu rovnic Xi +2x3- X4+2X5 = Xi+2x2+2x3 = 3 = 1 2xi- -6x2+4x3+2x4- -4x5 = = 5 ©Lenka Přibylová, 2006| r 3x1-2x2+6x3+2x4-4x5 = 5 X\ +2x3- X4+2X5 = 3 Reste soustavu rovnic Xi + 2X2+2X3 = 1 2x1-6x2+4x3+2x4-4x5 = 5 / 3 -2 6 2-4 M Ar ~ 1 0 2-1 2 12 2 0 0 3 1 ^2—64 2-4 5^ Napíšeme rozšířenou matici soustavy. ^(^^^HB^^^^^W^^^^J r 3x1-2x2+6x3+2x4-4x5 = 5 X\ +2x3- X4+2X5 = 3 Reste soustavu rovnic Xi + 2X2+2X3 = 1 2x1-6x2+4x3+2x4-4x5 = 5 / 3 -2 6 2-4 M Ar ~ 1 0 2-1 2 12 2 0 0 3 1 rx^ ^2-64 2-4 ^ /l 0 2-1 3\ Druhý řádek bude klíčový a opíšeme jej na první místo. ^(^^^HB^^^^^W^^^^J r 3x1-2x2+6x3+2x4-4x5 = 5 X\ +2x3- X4+2X5 = 3 Reste soustavu rovnic Xi + 2X2+2X3 = 1 2x1-6x2+4x3+2x4-4x5 = 5 / 3 -2 6 2-4 5v\ 3' (-3) 1 1" Ar ~ 1 0 2-1 2 12 2 0 0 ^2-64 2-4 5/ Z1 o v 0 2 -2 0 2 -10 3\ -4 Upravíme první řádek. ^(^t^MÄ^^^^^W^^^^Í r 3x1-2x2+6x3+2x4-4x5 = 5 X\ +2x3- X4+2X5 = 3 Reste soustavu rovnic Xi + 2X2+2X3 = 1 2x1-6x2+4x3+2x4-4x5 = 5 / 3 -2 6 2-4 5\ Ar ~ 1 0 2-1 2 12 2 0 0 3N (-1) 1>| " ^2-64 2-4 5/ o o v 2 -1 0 5 0 1 2 -10 -2 3\ -4 -2 y Upravíme třetí řádek. ^(^t^MÄ^^^^^W^^^^Í r 3x1-2x2+6x3+2x4-4x5 = 5 X\ +2x3- X4+2X5 = 3 Reste soustavu rovnic Xi + 2X2+2X3 = 1 2x1-6x2+4x3+2x4-4x5 = 5 / 3 -2 6 2-4 5\ Ar ~ 1 0 2-1 2 12 2 0 0 3 v (-2) Or ^2-64 2-4 5;; o o Vo 2 -1 0 5 0 1 0 4 2 -10 -2 3\ -4 -2 "1/ Upravíme poslední řádek. ^(^t^MÄ^^^^^W^^^^Í r 3x1-2x2+6x3+2x4-4x5 = 5 X\ +2x3- X4+2X5 = 3 Reste soustavu rovnic Xi + 2X2+2X3 = 1 2x1-6x2+4x3+2x4-4x5 = 5 / 3 -2 6 2-4 M Ar ~ 1 0 2-1 2 12 2 0 0 3 1 rx^ ^2-64 2-4 ^ /l 0 2-1 2 0-2 0 5 -10 0 2 0 1-2 \o -6 0 3 \ / 1 0 -1/ 0 2 0 3\ -2 • První řádek zůstane. • Červený řádek bude nový klíčový řádek a napíšemejej jako druhý. ^^H!1!Bffl!B^!TO^flB^ r 3x1-2x2+6x3+2x4-4x5 = 5 X\ +2x3- X4+2X5 = 3 Reste soustavu rovnic Xi + 2X2+2X3 = 1 2x1-6x2+4x3+2x4-4x5 = 5 / 3 -2 6 2-4 M Ar ~ 1 0 2-1 2 12 2 0 0 3 1 rx^ ^2-64 2-4 ^ V 2 -6 4 2 -4 c ' y /l 0 2-1 2 3 \ / 1 0 2 -1 0-2 0 5 0 2 0 1 -10 -2 "4Y -2' rx^ 0 2 0 0 0 0 1 6 \° -6 0 4 -8 -1 y l 2 -2 -12 3\ -2 -6 y Upravíme druhý řádek. ^(^t^MÄ^^^^^W^^^^Í r 3x1-2x2+6x3+2x4-4x5 = 5 X\ +2x3- X4+2X5 = 3 Reste soustavu rovnic Xi + 2X2+2X3 = 1 2x1-6x2+4x3+2x4-4x5 = 5 / 3 -2 6 2-4 M Ar ~ 1 0 2-1 2 12 2 0 0 3 1 rx^ ^2-64 2-4 ^ /l 0 2-1 2 0-2 0 5 -10 0 2 0 1-2 \ 0 -6 0 4-8 3 \ / 1 0 2 v 020 000 \ o o o 1 2 3\ 1 -2 -2 6 -12 -6 7 -14 -7 J Upravíme poslední řádek. ^(^t^MÄ^^^^^W^^^^Í r 3x1-2x2+6x3+2x4-4x5 = 5 X\ +2x3- X4+2X5 = 3 Reste soustavu rovnic Xi + 2X2+2X3 = 1 2x1-6x2+4x3+2x4-4x5 = 5 / 3 -2 6 2-4 M Ar ~ 1 0 2-1 2 12 2 0 0 3 1 rx^ ^2-64 2-4 ^ o o Vo / 1 o 2 0 2 0 0 0 0 V o o o 2 -1 0 5 0 1 0 4 -1 1 ■ 1 ■ 1 ■ 2 -10 -2 3\ -4 -2 "1/ / 1 0 2 0 2 0 0 0 0 \ 0 0 0 3\ -2 -1 "I/ 1 2 3\ 1 -2 -2 6 -12 -6 7 -14 "7/ Modré řádky můžeme vydělit čísly 6 a 7. ^^^^HB^^^^^W^^^^J r 3x1-2x2+6x3+2x4-4x5 = 5 X\ +2x3- X4+2X5 = 3 Reste soustavu rovnic Xi + 2X2+2X3 = 1 2x1-6x2+4x3+2x4-4x5 = 5 / 3 -2 6 2-4 M Ar ~ 1 0 2-1 2 12 2 0 0 3 1 rx^ ^2-64 2-4 ^ o o Vo / 1 o 2 0 2 0 0 0 0 2 -1 0 5 0 1 0 4 -1 1 ■ 1 ■ 2 -10 -2 3\ -2 -1 3\ -4 -2 "1/ / 1 0 2 0 2 0 0 0 0 \ 0 0 0 1 2 3\ 1 -2 -2 6 -12 -6 7 -14 "7/ Poslední dva řádky jsou stejné a stačí dále pracovat jenom s jedním z nich. 3 Lenka Přibylová, 20061 | 3xi- -2x2+6x3+2x4- -4x5 = = 5 ■leště soustavu rovnic Xi +2x3- X4+2X5 = Xi+2x2+2x3 = 3 = 1 2xi- -6x2+4x3+2x4- -4x5 = = 5 —* 10 2-1 2 0 2 0 1-2 0 0 0 1-2 • Rozšířená matice soustavy má hodnost 3, matice soustavy také. Systém proto má řešení. • Počet parametrů je neznámé — hodnost = 5 — 3 = 2. r 3xi- 2x2+6x3+2x4 -4x5 = 5 X\ +2x3- X4+2X5 = 3 Reste soustavu rovnic Xi + 2X2+2X3 = 1 ^ 2x1-6x2+4x3+2x4-4x5 = 5 / 1 0 2 -1 2 3 \ ^ rX4 - 2x5 = -1 Ar ~ 0 2 0 1 -2 -2 y^ V 0 0 0 1 -2 -17 Napíšeme rovnici příslušnou poslednímu řádku. ^^^^HB^^^^^W^^^^J r 3*i- 2x2+6x3+2x4 -4x5 = 5 X\ +2x3- X4+2X5 = 3 Reste soustavu rovnic Xl + 2X2+2X3 = 1 ^ 2x!-6x2+4x3+2x4-4x5 = 5 / 1 0 2 -1 2 3\ X4 - 2x5 = -1 Ar ~ 0 2 0 1 -2 "2 x5 = t V 0 0 0 1 -2 "1/ x4 = 2í - 1 • Jsou zde dvě neznámé, ale jenom jedna rovnice. Jednu z neznámých volíme rovnu parametru. • Buď tedy X5 = t, kde ŕ je libovolné reálné číslo. Vypočteme X4. r 3xi- 2x2+6x3+2x4 -4x5 = 5 X\ +2x3- X4+2X5 = 3 Reste soustavu rovnic Xi + 2X2+2X3 = 1 ^ 2x1-6x2+4x3+2x4-4x5 = 5 / 1 0 2 -1 2 3\ X4 - 2x5 = -1 Ar ~ 0 2 0 1 -2 "i x5 = t V 0 0 0 1 -2 /v Xa = 2í - 1 2X2 + *4 - 2x5 = -2 Napíšeme rovnici odpovídající dalšímu řádku. ^(^t^MÄ^^^^^W^^^^Í r 3xi- 2x2+6x3+2x4 -4x5 = 5 X\ +2x3- X4+2X5 = 3 Reste soustavu rovnic Xi + 2X2+2X3 = 1 ^ 2x1-6x2+4x3+2x4-4x5 = 5 / 1 0 2 -1 2 3\ X4 - 2x5 = -1 Ar ~ 0 2 0 1 -2 "2 x5 = t V 0 0 0 1 -2 "1/ Xa = 2í - 1 Dosadíme za X4 a X5. Zůstává pouze neznámá X2. ^(^t^MÄ^^^^^W^^^^Í Řešte soustavu rovnic 3x1-2x2+6x3+2x4-4x5 = 5 Xi +2x3- X4+2X5 = 3 Xi + 2X2+2X3 = 1 2x1-6x2+4x3+2x4-4x5 = 5 l\y 2X2 + X4- 2x5 = -2 2x2 + (2ř-l) -2ř = -2 x2 = 1 ~2 Nalezneme X2. Dostáváme 2x2 = —2 — 2ř + 1 + 2ř a odsud určíme X2 El El 13 QS © Lenka Přibylová, l 3xi- -2x2+6x3+2x4 -4x5 = 5 Xi +2x3- X4+2X5 = 3 Řešte soustavu rovnic Xi + 2X2+2X3 = 1 2x1-6x2+4x3+2x4-4x5 = 5 / 1 0 2 -1 2 3 W X4 - 2x5 = -1 Ar ~ 0 2 0 1-2 -2 pH 55555:^ X5 = ř V 0 0 0 1-2 1 / ^^=2ř-l Xi + 2x3 - X4 + 2x5 = 3 2X2 + ^4 - 2x5 = -2 2x2 + (2ř-l)-2ř= -2 1 X2 = "2 Napíšeme rovnici odpovídající prvnímu řádku. ^(^t^MÄ^^^^^W^^^^Í Řešte soustavu rovnic 3xi-2x2+6x3+2x4-4x5 = 5 %\ +2x3- X4+2X5 = 3 Xl + 2X2+2X3 = 1 2x!-6x2+4x3+2x4-4x5 = 5 l\y 1 0 2 -1 2 3 0 2 0 1 -2 -2 0 0 0 1 -2 -1 • Dosadíme. Po dosazení zůstanou neznámé %\ a X3. Jedna z těchto | neznámých musí být parametr. • Volme např. X3 = u, kde u je libovolné reálné číslo. I Q OS © Lenka Přibylová, 2 Řešte soustavu rovnic 3x1-2x2+6x3+2x4-4x5 = 5 Xi +2x3- X4+2X5 = 3 Xi + 2X2+2X3 = 1 2x1-6x2+4x3+2x4-4x5 = 5 l\y 2X2 + Xa - 2X5 = -2 2x2 + (2ř-l) -2ř = -2 x2 = 1 ~2 Vypočteme X\. ^I^t^HI^^^^^^^^^^^ Řešte soustavu rovnic 3x1-2x2+6x3+2x4-4x5 = 5 Xi +2x3- X4+2X5 = 3 Xi + 2X2+2X3 = 1 2x1-6x2+4x3+2x4-4x5 = 5 l\y 2X2 + Xa - 2X5 = -2 2x2 + (2ř-l) -2ř = -2 x2 = 1 ~2 Řešení je [2 — 2u, —-, u, 2ř — 1, t], kde řaw jsou parametry. ©Lenka Přibylová, 2006| Řešte soustavu rovnic 3x1-2x2+6x3+2x4-4x5 = 5 Xi +2x3- X4+2X5 = 3 Xi + 2X2+2X3 = 1 2x1-6x2+4x3+2x4-4x5 = 5 l\y 2X2 + Xa - 2X5 = -2 2x2 + (2ř-l) -2ř = -2 x2 = 1 ~2 Řešení je [2 — 2u, —-, u, 2ř — 1, t], kde řaw jsou parametry. ©Lenka Přibylová, 2006| 2X1+2X2-2X3+ X4 = = ú Xi+2X2+ X3-2X4 = ■leště soustavu 3xi+4x2- X3+2X4 = = 1 = 5 Xi+3X2+3X3-2X4 = = 4 ©Lenka Přibylová, 2006Q r 2xi+2x2- 2x3+ x4 = li Řešte soustavu Xi+2x2+ 3xi+4x2- X3-2X4 = X3+2X4 = = 1 = 5 v Xi+3X2+3X3- -2x4 = = 4 —i l\y lil 1 2 3 4 \ 1 3 M 1 5 4/ ©Lenka Přibylová, 20060 2x1+2x2-2x3+ X4 = 1 X1+2X2+ X3-2X4 = 1 Reste soustavu 3xi+4x2- X3+2X4 = 5 Xi+3X2+3X3-2X4 = 4 Ar ~ / 2 2 -2 1 12 1-2 3 4-1 2 \ 1 3 3-2 M 1 5 4 y rx^ í1 1\ Druhý řádek bude klíčový protože a2\ = 1. ^^^^HB^^^^^W^^^^J r 2xi+2x2- 2x3+ x4 = li Řešte soustavu Xi+2x2+ 3xi+4x2- X3-2X4 = X3+2X4 = = 1 = 5 v Xi+3X2+3X3- -2x4 = = 4 l\y (11 1 2 3 4 \ 1 3 \l (- 5 4 H 2) 1\ -2)R, Ri ^^^^HB^^^^^W^^^^J r 2xi+2x2- 2x3+ x4 = li Řešte soustavu Xi+2x2+ 3xi+4x2- X3-2X4 = X3+2X4 = = 1 = 5 v Xi+3X2+3X3- -2x4 = = 4 l\y (11 1 2 3 4 \ 1 3 1\ 1 N (-3) 5 4 H 1 -2 M 4 5 -1 4 8 2 -3)-R2 + #3 ^^^^HB^^^^^W^^^^J r 2xi+2x2 -2x3+ x4 = 1 Xi+2X2+ X3-2X4 = 1 Reste soustavu 3xi+4x2- X3+2X4 = 5 Xi+3X2+3X3-2X4 = 4 ^ j 1 í 1 1 -1 1 1\ (1 Ar ~ 12 1-2 3 4-1 2 U (-1) í)" 0 -0 - \ 1 3 3-2 lo 1 -2 l\ 4 5 -1 4 8 2 2 0 3/ 4)^2 + ^4 ^^^^HB^^^^^W^^^^J 2X!+2X2-2X3+ X4 = 1 Xi+2x2+ X3-2X4 = 1 Reste soustavu 3xi+4x2- X3+2X4 = 5 Xi+3x2+3x3-2x4 = 4 Ar ~ / 2 2 -2 1 12 1-2 3 4-1 2 \ 1 3 3-2 M 1 5 4 y rx^ 0 -0 - / 1 2 1 0 1 2 V 1\ 3 J 1 -2 M 4 5 -1 4 8 2 2 0 3/ Dalším klíčovým řádkem bude poslední řádek, protože «42 = 1 je lepší než «22 = fl23 = — 2. 2x1+2x2-2x3+ X4 = 1 X1+2X2+ X3-2X4 = 1 Reste soustavu 3xi+4x2- X3+2X4 = 5 Xi+3X2+3X3-2X4 = 4 Ar ~ (11-1 1 12 1-2 3 4-1 2 \ 1 3 3-2 M 1 5 4 y rx^ 0 -0 - / 1 2 1 —2 0 12 0 0 0 0 5 V 1\ 3 5 J 1 -2 M 4 5 -^ 4 8 2J 2 0 3/2 2#4 + #2 —I...I...... . _■... I 2x1+2x2-2x3+ X4 = 1 X1+2X2+ X3-2X4 = 1 Reste soustavu 3xi+4x2- X3+2X4 = 5 Xi+3X2+3X3-2X4 = 4 Ar ~ (11-1 1 12 1-2 3 4-1 2 \ 1 3 3-2 M 1 5 4 y rx^ 0 -0 - / 1 2 1 —2 0 12 0 0 0 0 5 \ 0 0 0 8 1\ 3 5 8/ 1 -2 l\ 4 5 -1 4 8 k 2 0 2#4 + #3 —1...1...... .... t 2X!+2X2-2X3+ X4 = 1 Xi+2x2+ X3-2X4 = 1 Reste soustavu 3xi+4x2- X3+2X4 = 5 Xi+3x2+3x3-2x4 = 4 Ar ~ / 2 2 -2 1 12 1-2 3 4-1 2 \ 1 3 3-2 M 1 5 4 y rx^ 0 -0 - / 1 2 1 0 1 2 0 0 0 \ 0 0 0 1\ 3 5 / 1 2 1 0 1 2 / V 1\ 3 J 2 M 5 -1 8 2 0 3/ První dva řádky zůstanou. ^^^^HB^^^^^W^^^^J 2X!+2X2-2X3+ X4 = 1 Xi+2x2+ X3-2X4 = 1 Reste soustavu 3xi+4x2- X3+2X4 = 5 Xi+3x2+3x3-2x4 = 4 Ar ~ / 2 2 -2 1 12 1-2 3 4-1 2 \ 1 3 3-2 M 1 5 4 y rx^ 0 -0 - / 1 2 1 0 1 2 0 0 0 \ 0 0 0 1\ 3 5 H-5 / 1 2 1 -2 0 12 0 0 0 0 1 Z H-8 \ 0 0 0 1 M 3 1 1/ 2 M 5 -1 8 2 0 3/ Poslední řádky můžeme vydělit. ^^^^HB^^^^^W^^^^J 2X!+2X2-2X3+ X4 = 1 Xi+2x2+ X3-2X4 = 1 Reste soustavu 3xi+4x2- X3+2X4 = 5 Xi+3x2+3x3-2x4 = 4 Ar ~ / 2 2 -2 1 12 1-2 3 4-1 2 \ 1 3 3-2 M 1 5 4 y rx^ 0 -0 - / 1 2 1 0 1 2 0 0 0 \ 0 0 0 1\ 3 5 / 1 2 1 -2 0 12 0 0 0 0 1 / V 1 -4 -4 2 1\ 3 1 y 2 M 5 -1 8 2 0 3/ Poslední dva řádky jsou stejné a stačí uvažovat pouze jeden z nich. Vynecháme tedy poslední řádek. ^^^^HB^^^^^W^^^^J r 2xx+2x2- 2x3+ x4 = li Řešte soustavu Xt+2x2+ 3xi+4x2- X3-2X4 = X3+2X4 = = 1 = 5 v Xl+3X2+3X3- -2x4 = = 4 yir 1 2 1 -2 0 1 2 0 0 0 0 1 • Rozšířená matice soustavy je ve schodovitém tvaru. • h (A) = 3,h(Ar) = 3,n = 4 • Soustava má nekonečně mnoho řešení s jedním parametrem. IIJLMHI^Wjjai 2X1+2X2-2X3+ X4 = = ú Xi+2X2+ X3-2X4 = ■leště soustavu 3xi+4x2- X3+2X4 = = 1 = 5 Xi+3X2+3X3-2X4 = = 4 l\y 1 2 1 -2 1 0 1 2 0 3 0 0 0 1 1 X4 = 1 Napíšeme rovnici odpovídající poslednímu řádku. Tím známe X4. (C) Lenka ťiibylova, 2UU6 £ 2X1+2X2-2X3+ X4 = = ú Xi+2X2+ X3-2X4 = ■leště soustavu 3xi+4x2- X3+2X4 = = 1 = 5 Xi+3X2+3X3-2X4 = = 4 l\y 1 2 1 -2 0 1 2 0 0 0 0 1 Napíšeme rovnici odpovídající prostřednímu řádku. ^^^^HB^^^^^W^^^^J 2X1+2X2-2X3+ X4 = = ú Xi+2X2+ X3-2X4 = ■leště soustavu 3xi+4x2- X3+2X4 = = 1 = 5 Xi+3X2+3X3-2X4 = = 4 l\y 1 2 1 -2 0 1 2 0 0 0 0 1 X4 = 1 • Ze dvou neznámých bude jedna rovna parametru. • Nechťnapříklad X3 = t, kde ř je libovolné reálné číslo. ^^H!1!Bffl!B^!TO^flB^ Řešte soustavu l\y 2x1+2x2-2x3+ X4 = 1 X1+2X2+ X3-2X4 = 1 3xi+4x2- X3+2X4 = 5 Xi+3X2+3X3-2X4 = 4 X4 = 1 x2 + 2 x3 = = 3 x3 = = i x2 = = 3- -2ř Nalezneme x-i- —1...1...... . _.% 2X1+2X2-2X3+ X4 = = ú Xi+2X2+ X3-2X4 = ■leště soustavu 3xi+4x2- X3+2X4 = = 1 = 5 Xi+3X2+3X3-2X4 = = 4 l\y 1 2 1 -2 0 1 2 0 0 0 0 1 Xi + 2X2 + *3 — 2X4 = 1 X4 = 1 x2 + 2 x3 = = 3 x3 = = i x2 = = 3- -2ř Pokračujeme k další rovnici. ^^^^HB^^^^^W^^^^J 2X1+2X2-2X3+ X4 = = ú Xi+2X2+ X3-2X4 = ■leště soustavu 3xi+4x2- X3+2X4 = = 1 = 5 Xi+3X2+3X3-2X4 = = 4 l\y 1 2 1 -2 0 1 2 0 0 0 0 1 X4 = 1 x2 + 2 x3 = = 3 x3 = = i x2 = = 3- -2ř Xi + 2x2 + x3 - -2x4 = = 1 Xi + 2(3- -2t)+t- -2-1 = = 1 Dosadíme za X2, X3 a X4. —1...1...... . ... t 2X1+2X2-2X3+ X4 = = ú Xi+2X2+ X3-2X4 = ■leště soustavu 3xi+4x2- X3+2X4 = = 1 = 5 Xi+3X2+3X3-2X4 = = 4 l\y 1 2 1 -2 0 1 2 0 0 0 0 1 X4 = 1 x2 + 2 x3 = = 3 x3 = = i x2 = = 3- -2ř Xi + 2x2 + x3 - -2x4 = = 1 Xi + 2(3 -2t)+t- -2-1 = = 1 Xi -4ř + ř + 4 = = 1 Upravíme. ^^^^H^^^^^^^^^^^J 2X1+2X2-2X3+ X4 = = ú Xi+2X2+ X3-2X4 = ■leště soustavu 3xi+4x2- X3+2X4 = = 1 = 5 Xi+3X2+3X3-2X4 = = 4 l\y 1 2 1 -2 0 1 2 0 0 0 0 1 X4 = 1 x2 + 2 x3 = = 3 x3 = = i x2 = = 3- -2ř Xi + 2x2 + x3 - -2x4 = = 1 Xi + 2(3 -2t)+t- 2-1 = = 1 Xi -4ř + ř + 4 = = 1 Xi -3ř = = -3 Upravíme. ^^^^HB^^^^^W^^^^J 2X1+2X2-2X3+ X4 = = ú Xi+2X2+ X3-2X4 = ■leště soustavu 3xi+4x2- X3+2X4 = = 1 = 5 Xi+3X2+3X3-2X4 = = 4 l\y 1 2 1 -2 0 1 2 0 0 0 0 1 X4 = 1 x2 + 2 x3 = = 3 x3 = = i x2 = = 3- -2ř Xi + 2x2 + x3 - -2x4 = = 1 Xi + 2(3 -2t)+t- 2-1 = = 1 Xi -4ř + ř + 4 = = 1 Xi -3ř = = -3 Xi = = 3ř-3 Nalezneme Xi. —1...1...... . _• 1 2X1+2X2-2X3+ X4 = = ú Xi+2X2+ X3-2X4 = ■leště soustavu 3xi+4x2- X3+2X4 = = 1 = 5 Xi+3X2+3X3-2X4 = = 4 l\y 1 2 1 -2 1 0 1 2 0 3 0 0 0 1 1 X4 = 1 Xi + 2X2 + *3 " -2x4 = = 1 Xi + 2(3 -2t)+t- 2-1 = = 1 Xi -4ř + ř + 4 = = 1 Xi -3ř = = -3 Xi = = 3ř-3 x2 + 2 x3 = = 3 x3 = = t x2 = = 3- -2ř Řešení je Xi = = -3 + 3ř X2 = = 3 — 2r X3 = = t X4 = = 1 kde t e R. ©Lenka Přibylová, 2006| Xi - X3+3X4 = O X1+X2 - X4- X5 = O Řešte soustavu 5Xi+X2-4X3+3X4-9X5 = 0 X1-X2-2X3+ X4-5X5 = o El 13 133 ©Lenka Přibylová, 20060 r Xi - X3+3X4 = 0 X1+X2 - X4- X5 = Reste soustavu 5Xi+X2-4X3+3X4-9X5 = = 0 = 0 v X1-X2-2X3+ X4-5X5 = = 0 / 1 0 -13 0 M 1 1 0 -1 -1 0 5 1 -4 3 -9 0 \ 1 -1 -2 1 -5 o^ Napíšeme rozšířenou matici soustavy. ^^^^HB^^^^^W^^^^J X\ — X3+3.X4 N = 0 X1+X2 - X4— X5 = Reste soustavu 5Xi+X2-4X3+3X4-9X5 = = 0 = 0 X1-X2-2X3+ X4-5.X5 = v = 0 —é 1 5 Vi 0 M ^ 1 0 9 0 5 «y v Zvolíme klíčový řádek (s jedničkou na začátku a nejnižšími ciframi na dalších pozicích). Tento řádek opíšeme jako první. ^^^^HB^^^^^W^^^^J Xi - X3+3X4 N = 0 X1+X2 - X4- X5 = Reste soustavu 5Xi+X2-4X3+3X4-9X5 = = 0 = 0 X1-X2-2X3+ X4-5X5 = = 0 1 5 Vi K o o' -o o n o v o Vynulujeme prvek an. ^^^^HB^^^^^W^^^^J Xi - X3+3X4 N = 0 X1+X2 - X4- X5 = Reste soustavu 5Xi+X2-4X3+3X4-9X5 = = 0 = 0 X1-X2-2X3+ X4-5X5 = = 0 1 5 Vi Os -5 o*' o o o v o o / Vynulujeme prvek a31. ^^^^HB^^^^^W^^^^J Xi - X3+3X4 N = 0 X1+X2 - X4- X5 = Reste soustavu 5Xi+X2-4X3+3X4-9X5 = = 0 = 0 X1-X2-2X3+ X4-5X5 = = 0 1 5 Vi Os-1 0 o o o Vo 0 -1 1 4 4 8 2 2 1 °\ 1 0 4 0 4 0/ Vynulujeme prvek a41. ^^^^HB^^^^^W^^^^J X\ — X3+3.X4 N = 0 X1+X2 - X4— X5 = Reste soustavu 5Xi+X2-4X3+3X4-9X5 = = 0 = 0 X1-X2-2X3+ X4-5.X5 = v = 0 1 5 Vi /l o o Vo o\ n o o o o o o Vo 0 -1 1 4 4 8 2 2 o\ H-4 O / H-2 První dva řádky opíšeme, poslední dva vydělíme společným dělitelem všech čísel v řádku. 3 Lenka Přibylová, 20061 | X\ — X3+3.X4 N = 0 X1+X2 - X4— X5 = Reste soustavu 5Xi+X2-4X3+3X4-9X5 = = 0 = 0 X1-X2-2X3+ X4-5.X5 = v = 0 1 5 Vi /l o o Vo o\ n 0/ o\ Vo o/ v o\ o o 0/ o\ o / První řádek opíšme, druhý řádek bude klíčový a opíšme jej také. (c) Lenka ťňbylová, 2UU6 £ Xi - X3+3X4 N = 0 X1+X2 - X4- X5 = Reste soustavu 5Xi+X2-4X3+3X4-9X5 = = 0 = 0 X1-X2-2X3+ X4-5X5 = = 0 1 5 Vi /l o o Vo o\ n 0/ Vo l\-~ 0 -1 -1 0 \ 1 4 1 0 4 8 -4 0 2 2 -4 0 / 0 -1 -1 °\ 1 4 1 0 0 -2 -2 0 Nulujeme «32- ^^^^H^^^^^^^^^^^J Xi - X3+3X4 N = 0 X1+X2 - X4- X5 = Reste soustavu 5Xi+X2-4X3+3X4-9X5 = = 0 = 0 X1-X2-2X3+ X4-5X5 = = 0 1 5 Vi /l o o Vo o\ n 0/ 0\ Vo 1 Vo 0 -1 -1 0 \ 1 4 1 0 4 8 -4 0 2 2 -4 0 / 0 -1 -1 °\ 1 4 1 0 0 -2 -2 0 0 -3 -3 0/ Nulujeme «42- ^^^^H^^^^^^^^^^^J f Xl x3+3x4 > = 0 Řešte soustavu X1+X2 - X4— X5 -5Xi+X2~4X3+3X4-9X5 = = 0 = 0 v X1-X2-2X3+ X4-5X5-- = 0 í1 0 -1 3 0 0\ /l 1 1 1 0 -1 -1 0 0 -1 5 1 -4 3 -9 0 0 -4 \ 1 -1 -2 1 -5 0 ) \o -2 I1 1 0 -1 -1 0\ /l 1 0 -1 -1 4 1 0 0 -1 0 -1 -1 2 -1 0 0 0 \o -1 -1 1 -2 0 ) \0 0 í1 1 0 -1 -1 °\ 0 -1 -1 4 1 0 0 0 0 -1 -1 0 \o 0 0 -1 -1 0 ) o\ 0/ o\ o o oj Vydělíme poslední dva řádky společným dělitelem všech čísel v řádku. (c) Lenka ťiibylová, 2ÜU6 £ X\ — X3+3.X4 N = 0 X1+X2 - X4— X5 = Reste soustavu 5Xi+X2-4X3+3X4-9X5 = = 0 = 0 X1-X2-2X3+ X4-5.X5 = v = 0 í l 0 -1 1 1 0 5 1 -4 l 1 -1 -2 í1 1 0 0 -1 -1 0 -1 -1 ^0 -1 -1 í1 1 0 0 -1 -1 0 0 0 o\ /l o o 0/ o\ o o 07 o\ o o \o o\ 0/ o\ o o oj Poslední dva řádky jsou shodné a stačí uvažovat pouze jeden z nich. Tím je matice převedena do schodovitého tvaru. BEI Q Q ^^^^HB^^^^^W^^^^J Xi - X3+3X4 N = 0 X1+X2 - X4- X5 = Reste soustavu 5Xi+X2-4X3+3X4-9X5 = = 0 = 0 X1-X2-2X3+ X4-5X5 = = 0 í1 1 5 \1 í1 0 0 í1 o o v o\ /l o o 0/ °\ o o 0/ °\ o o \ o o n = 5, J 0 -1 -1 -1 4 1 -4 8 -4 -2 2 -4 0 -1 -1 -1 4 1 0 -2 -2 0 -3 -3 :3 = MA-) 2 parametry o\ 0/ ©Lenka Přibylová, 20060 Řešte soustavu Xi - X3+3X4 = 0 X1+X2 - X4- X5 = 0 5Xi+X2-4X3+3X4-9X5 = 0 X1-X2-2X3+ X4-5X5 = 0 i\j 1 1 0 -1 -1 0 0 -1 -1 4 1 0 0 0 0 -1 -1 0 Uvažujeme matici ve schodvitém tvaru. ^^^^HB^^^^^W^^^^J X\ - X3+3X4 = 0 X1+X2 - X4- X5 = ■leště soustavu 5Xi+X2-4X3+3X4-9X5 = = 0 = 0 X1-X2-2X3+ X4-5X5 = = 0 l\f 1 1 0 -1 -1 0 0 -1 -1 4 1 0 0 0 0 -1 -1 0 Přepíšeme poslední řádekjako klasickou rovnici. ^^^^HB^^^^^W^^^^J X\ - X3+3X4 = 0 X1+X2 - X4- X5 = ■leště soustavu 5Xi+X2-4X3+3X4-9X5 = = 0 = 0 X1-X2-2X3+ X4-5X5 = = 0 l\f 1 1 0 -1 -1 0 0 -1 -1 4 1 0 0 0 0 -1 -1 0 Protože neznámé v jedné rovnici jsou dvě, musí se jedna z nich rovnat parametru. Nechťnapříklad X5 je parametr. X\ - X3+3X4 = 0 X1+X2 - X4- X5 = ■leště soustavu 5Xi+X2-4X3+3X4-9X5 = = 0 = 0 X1-X2-2X3+ X4-5X5 = = 0 l\f 1 1 0 -1 -1 0 0 -1 -1 4 1 0 0 0 0 -1 -1 0 -X4 - x5 = = 0 x5 = = t -X4 -t = = 0 Xa = = -ř Dosadíme parametr a vypočteme X4. ^^^^HB^^^^^W^^^^J X\ - X3+3X4 = 0 X1+X2 - X4- X5 = ■leště soustavu 5Xi+X2-4X3+3X4-9X5 = = 0 = 0 X1-X2-2X3+ X4-5X5 = = 0 l\f 1 1 0 -1 -1 0 0 -1 -1 4 1 0 0 0 0 -1 -1 -X4 - x5 = = 0 x5 = = t -X4 -ř = = 0 X4 = = -t Přepíšeme další řádek do tvaru rovnice. ^^^^HB^^^^^W^^^^J X\ - X3+3X4 = 0 X1+X2 - X4- X5 = ■leště soustavu 5Xi+X2-4X3+3X4-9X5 = = 0 = 0 X1-X2-2X3+ X4-5X5 = = 0 l\f 1 1 0 -1 -1 0 0 -1 -1 4 1 0 0 0 0 -1 -1 0 —%i — X3 + 4x4 + X5 = o -x2 -x3 + 4(-í) + t = 0 -X4 - x5 = = 0 x5 = = t -X4 -t = = 0 X4 = = -ř Dosadíme všechno co jsme vypočetli dříve. ^^^^HB^^^^^W^^^^J X\ - X3+3X4 = 0 X1+X2 - X4- X5 = ■leště soustavu 5Xi+X2-4X3+3X4-9X5 = = 0 = 0 X1-X2-2X3+ X4-5X5 = = 0 l\f 1 1 0 -1 -1 0 0 -1 -1 4 1 0 0 0 0 -1 -1 0 -x2 - x3 + 4x4 + x5 = = 0 -x2- -x3 + 4(- -t) + t = = 0 x3 = = s -X4 - x5 = = 0 x5 = = t -X4 -t = = 0 X4 = = -t Zůstaly dvě neznámé, jedna z nich musí být parametr. ^^^^HB^^^^^W^^^^J X\ - X3+3X4 = 0 X1+X2 - X4- X5 = ■leště soustavu 5Xi+X2-4X3+3X4-9X5 = = 0 = 0 X1-X2-2X3+ X4-5X5 = = 0 l\f 1 1 0 -1 -1 0 0 -1 -1 4 1 0 0 0 0 -1 -1 0 -x2 - x3 + 4x4 + x5 = = 0 -x2- -x3 + 4(- -t) + t = = 0 x3 = = s -x2- s-3ř = = 0 -X4 - x5 = = 0 x5 = = t -X4 -t = = 0 X4 = = -t Dosadíme parametr. ^^^^HB^^^^^W^^^^J X\ - X3+3X4 = 0 X1+X2 - X4- X5 = ■leště soustavu 5Xi+X2-4X3+3X4-9X5 = = 0 = 0 X1-X2-2X3+ X4-5X5 = = 0 l\f -X2 - X3 + 4X4 + X5 = = 0 -x2-x3 + 4(-ř) + ř = = 0 x3 = = s -X2 — s — 3t = = 0 x2 = = -s - -3ŕ -X4 - x5 = = 0 x5 = = t -X4 -t = = 0 X4 = = -t Vypočteme X2. ^^^^HB^^^^^W^^^^J X\ - X3+3X4 = 0 X1+X2 - X4- X5 = ■leště soustavu 5Xi+X2-4X3+3X4-9X5 = = 0 = 0 X1-X2-2X3+ X4-5X5 = = 0 l\f 1 1 0 -1 -1 0 0 -1 -1 4 1 0 0 0 0 -1 -1 0 -X2 - X3 + 4X4 + X5 = = 0 -x2-x3 + 4(-ř) + ř = = 0 x3 = = s -X2 — s — 3t = = 0 x2 = = -s - -3ŕ -X4 - x5 = = 0 x5 = = t -X4 -t = = 0 X4 = = -t Přepíšeme zbývající řádek do tvaru rovnice. ^^^^HB^^^^^W^^^^J X\ - X3+3.X4 = 0 X1+X2 - X4— X5 = ■leště soustavu 5Xi+X2~4X3+3X4-9X5 = = 0 = 0 X1-X2-2X3+ X4-5.X5 = = 0 l\f 1 1 0 -1 -1 0 0 -1 -1 4 1 0 0 0 0 -1 -1 0 —%2 - *3 + 4x4 + X5 = = 0 -X2-*3 + 4(-ŕ) + ŕ = = 0 X3 = = s -X2 - S - 3ř = = 0 X2 = = -s - -3ŕ -X4 - x5 = = 0 x5 = = t -X4 -t = = 0 X4 = = -t X1 + X2 -X4 - x5 = = 0 *i + (- -s-3ř)- ("O -ř = Xl = = 0 = S+3ř Dosadíme vypočtené hodnoty a vyjáříme X\. ^^^^HB^^^^^W^^^^J X\ - X3+3X4 = 0 X1+X2 - X4- X5 = ■leště soustavu 5Xi+X2-4X3+3X4-9X5 = = 0 = 0 X1-X2-2X3+ X4-5X5 = = 0 l\f 1 1 0 -1 -1 0 0 -1 -1 4 1 0 0 0 0 -1 -1 0 -X2 - X3 + 4X4 + X5 = = 0 -x2-x3 + 4(-ř) + ř = = 0 x3 = = s -X2 — s — 3t = = 0 x2 = = -s - -3ŕ -X4 - x5 = = 0 x5 = = t -X4 -t = = 0 X4 = = -t X1 + X2 -X4 - x5 = = 0 *i + (- -s-3ř)- ("O -ř = Xi = = 0 = S+3ř BEI Soustava je vyřešena. ^^^^HB^^^^^W^^^^J Xl+ X2+ X3+ Xa = 0 j X2+ X3+ X4+ X5 = 0 ^ešte soustavu Xi + 2X2+3X3 = 0 X2+2X3+3X4+4X5 = 0 X3+2X4+3X5 = 0 ©Lenka Přibylová, 2006| r Xl+ X2+ X3+ Xa =0 X2+ X3+ X4+ X5 = 0 Řešte soustavu Xi + 2X2+3X3 = 0 X2+2X3+3X4+4X5 = 0 v X3+2X4+3X5 = 0 l\y / 1 1 1 1 0 o\ 0 1111 0 12 3 0 0 0 0 12 3 4 0 ^00 1 23 0 J ©Lenka Přibylová, 20060 r Xl+ X2+ X3+ Xa =0 X2+ X3+ X4+ X5 = 0 Řešte soustavu Xi + 2X2+3X3 = 0 X2+2X3+3X4+4X5 = 0 v X3+2X4+3X5 = 0 / 1 1 1 1 0 0 \ /lil 1 o o \ yir 0 1111 0 12 3 0 0 0 0 12 3 4 0 ^00 1 23 0 ) První řádek bude klíčový řádek. ^^^^HB^^^^^W^^^^J r Xl+ x2 + *3 + Xa = 0 X2+ X3+ X4+ X5 = 0 Řešte soustavu Xi+2x2+3x3 =0 X2+2X3+3X4+4X5 = 0 X3+2X4+3X5 = 0 / 1 1 1 1 0 o\ /lil 0 1111 0 0 1 1 Ar ~ 12 3 0 0 0 12 3 4 0 0 r^j ^00 1 23 0/ ^ 1 1 Druhý řádek zůstává, má už nulu na začátku. ^^^^HB^^^^^W^^^^J r Xl+ X2+ X3+ Xa =0 X2+ X3+ X4+ X5 = 0 Řešte soustavu Xi + 2X2+3X3 = 0 X2+2X3+3X4+4X5 = 0 v X3+2X4+3X5 = 0 l\y / 1 1 1 1 0 0 1111 12 3 0 0 0 12 3 4 \ 0 0 1 2 3 o 0 (-1) o o o 0/ /lil o 1 1 O 1 2 0 o\ 1 0 0 0 / —1...1...... . a r Xl+ X2+ X3+ Xa =0 X2+ X3+ X4+ X5 = 0 Řešte soustavu Xi + 2X2+3X3 = 0 X2+2X3+3X4+4X5 = 0 v X3+2X4+3X5 = 0 l\y / 1 1 1 1 0 0 1111 12 3 0 0 0 12 3 4 \ 0 0 1 2 3 0\ 0 0 o 0/ /lil o 1 1 0 1 2 O 1 2 1 0 o\ 1 1 0 1 0 0 3 4 0 / Čtvrtý řádek zůstává, má už nulu na začátku. ^^^^HB^^^^^W^^^^J r Xl+ X2+ X3+ Xa =0 X2+ X3+ X4+ X5 = 0 Řešte soustavu Xi + 2X2+3X3 = 0 X2+2X3+3X4+4X5 = 0 v X3+2X4+3X5 = 0 l\y / 1 1 1 1 0 0 1111 12 3 0 0 0 12 3 4 \ 0 0 1 2 3 0\ 0 0 o 0/ /lil o 1 1 0 1 2 O 1 2 \ O O 1 1 0 o\ 1 1 0 1 0 0 3 4 0 2 3 0/ Poslední řádek zůstává, má už nulu na začátku. ^^MBBMB^WW^Bif c *i+ x2+ x3+ x4 =0] *2 + *3 + *4+ *5 = 0 Řešte soustavu Xi + 2X2+3X3 X2+2X3+3X4+4X5 = 0 = 0 v X3+2X4+3X5 = 0 J /lil 1 0 0 \ 1 1 1 1 1 0 o\ 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 Ar ~ 1 2 3 0 0 0 r^j 0 1 2 -1 0 0 r^j 0 1 2 3 4 0 0 1 2 3 4 0 ^001 2 3 0 1 ^00 1 2 3 0 J /lil 1 0 o\ 0 11 1 1 0 V / První řádek zůstane a druhý řádek bude nový klíčový řádek. (C) Lenka ťřibylová, 2UU6 £ r Xl+ X2+ X3+ Xa =0 X2+ X3+ X4+ X5 = 0 Řešte soustavu Xi + 2X2+3X3 = 0 X2+2X3+3X4+4X5 = 0 v X3+2X4+3X5 = 0 /lili 0 111 A 1 2 3 0 1 2 \ 0 0 1 /lil 1 0 11 1 0 0 1-2 0 0 3 4 2 3 0 1 -1 V o\ o o o 0/ o\ o o /lil o 1 1 O 1 2 O 1 2 \ O O 1 1 O 1 1 -1 O o\ Os (-1) 0^ r^j 0 0 J —1...1...... . a r Xl+ X2+ X3+ Xa =0 X2+ X3+ X4+ X5 = 0 Řešte soustavu Xi + 2X2+3X3 = 0 X2+2X3+3X4+4X5 = 0 v X3+2X4+3X5 = 0 / 1 1 1 1 o 0 1111 Ar ~ 12 3 0 0 0 1 2 \ 0 0 1 /lil 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 3 4 2 3 0 1 -1 3 0\ 0 o o 0/ o\ o o o /lil o 1 1 O 1 2 O 1 2 \ O O 1 1 O 1 1 -1 O Ox (-1) O O —1...1...... . a r Xl+ x2 + *3 + Xa = 0 1 X2+ X3+ X4+ X5 = 0 Řešte soustavu Xi+2x2+3x3 =0 X2+2X3+3X4+4X5 = 0 X3+2X4+3X5 = 0 / 1 1 1 1 0 o\ /lil 0 1111 0 0 1 1 Ar ~ 12 3 0 0 0 r^j 0 12- 0 12 3 4 0 0 1 2 ^00 1 23 0/ ^001 1 o 1 1 -1 o /lil 1 o 1 1 o o 1 o o 1 \ o o 1 o\ o o o 0/ o\ o o o 0/ Poslední řádek již má dvě nuly na začátku a ponecháme jej tedy beze změny. r Xl+ x2 + *3 + X4 = 0 1 X2+ X3+ X4 + X5 = 0 Řešte soustavu Xi+2x2+3x3 =0 X2+2X3+3X4+4X5 = 0 X3+2X4+3X5 = 0 / 1 1 1 1 0 o\ /lil 0 1111 0 0 1 1 Ar ~ 12 3 0 0 0 rx^ 0 12- 0 12 3 4 0 0 1 2 ^00 1 23 0/ ^001 1 o 1 1 -1 o /lil 1 o 1 1 o o 1 o o 1 v o\ o o o / /lil o 1 1 o o 1 v o\ o o o 0/ 0\ o o / Poslední dva řádky jsou stejné a jeden z nich lze vynechat. První tři řádky zůstanou a třetí z nich bude nový klíčový řádek. BEI Q Q ^^^^HB^^^^^W^^^^J r Xl+ X2+ X3+ Xa =0 X2+ X3+ X4+ X5 = 0 Řešte soustavu Xi + 2X2+3X3 = 0 X2+2X3+3X4+4X5 = 0 v X3+2X4+3X5 = 0 A / 1 0 1 0 1 \ 0 0 /lil o 1 1 o o 1 o o 1 v 1110 1111 2 3 0 0 2 1 1 1 -2 2 3 4 2 3 O 1 -1 3 0\ O o o 0/ Os (-1) 0*1 /1 o o o 1 1 1 1 1 2 1 2 1 O 1 1 \ O O 1 /lil O 1 1 0 0 1 V o o o o\ o o o 0/ 0 °\ 1 0 1 0 4 0/ —1...1...... . a r Xi+ x2+ x3+ x4 =0 X2+ X3 + X4+ X5 = 0 Řešte soustavu Xl + 2X2+3X3 = 0 X2+2X3+3X4+4X5 = 0 \^^ X3+2X4+3.X5 = 0 ( 1 1 1 1 0 0 \ /lil 1 0 o\ 0 1 1 1 1 0 0 11 1 1 0 Ar ~ 1 2 3 0 0 0 r^j 0 12-1 0 0 r^j 0 1 2 3 4 0 0 12 3 4 0 ^o 0 1 2 3 0 1 ^001 2 3 oj /lil 0 1 1 0 0 1 0 0 1 v 1 1 -2 2 0 1 -1 3 o\ 0 0 0 r^j /lil 1 0 11 1 0 0 1-2-^000 4 0 1 -1 4 0 0 0 J Matice je ve schodovitém tvaru, h(A) = h(Ar) = 4 a soustava má nekonečně mnoho řešení závislých na (5 — 4) = '_ parametru. (c) Lenka Přibylova, 2UU61 r Xl+ X2+ X3+ Xa =0 X2+ X3+ X4+ X5 = 0 Řešte soustavu Xi + 2X2+3X3 = 0 X2+2X3+3X4+4X5 = 0 v X3+2X4+3X5 = 0 l\y /lil 0 1 1 0 0 1 \ o o o 0 °\ 1 0 1 0 4 0/ ©Lenka Přibylová, 20060 Xl+ x2 + *3-F X4 =°i X2+ X3+ X4+ X5 = 0 ^ešte soustavu Xi + 2X2+3X3 = 0 X2+2X3+3X4+4X5 = 0 X3+2X4+3X5 = 0 r ~ /111 0 1 1 0 0 1 ^000 1 0 1 1 -2 -1 4 4 0 0 «y 4x4 + 4x5 = 0 X4 + X5 = 0 x5 = t X4 = -t ©Lenka Přibylová, 2006| Xl+ x2 + *3-F X4 =°i X2+ X3+ X4+ X5 = 0 ^ešte soustavu Xi + 2X2+3X3 = 0 X2+2X3+3X4+4X5 = 0 X3+2X4+3X5 = 0 r ~ /111 0 1 1 0 0 1 ^000 1 0 1 1 -2 -1 4 4 0 0 «y 4x4 + 4x5 = 0 X4 + X5 = 0 x5 = t X4 = -t x3 -2x4- x5 = = 0 X3- 2(-í) -t = = 0 *3 = = -t ©Lenka Přibylová, 2006| r Xl+ x2 + *3-F X4 = °1 X2+ X3+ X4+ X5 = 0 Řešte soustavu Xi + 2X2+3X3 = 0 X2+2X3+3X4+4X5 = 0 ^ X3+2X4+3X5 = 0 /lil 1 0 °\ 4x4 + 4x5 = 0 Ar ~ 0 1 1 0 0 1 1 1 -2 -1 0 0 X4 + X5 = 0 x5 = t \ 0 0 0 4 4 0/ Xa = -t X3 - 2X4 - -x5 = 0 x2 + x3 + x4 + x5 = 0 x3-2(-ř) -ř = 0 ^2 + (-í) + (-ř) + ř = 0 x3 = -t X2 = ř ©Lenka Přibylová, 2006| Xl+ x2 + ^3-f- X4 = 0} X2+ X3+ X4+ X5 = 0 ^ešte soustavu Xi + 2X2+3X3 = 0 X2+2X3+3X4+4X5 = 0 X3+2X4+3X5 = 0 r ~ /111 0 1 1 0 0 1 \ 0 0 0 1 0 1 1 -2 -1 4 4 0 0 «y 4x4 + 4x5 = 0 X4 + X5 = 0 x5 = t Xa = -t X3 - 2X4 - -x5 = 0 x2 + x3 + x4 + x5 = 0 x3-2(-í) -ŕ = 0 x3 = -í x2 + (-t) + (-t) + t = 0 X2 = t X\ + X2 + X3 + Xa = 0 Xi + ř + (-ř) + (-ř) = 0 El E 1 ca X\ = t ©L ©Lenka Přibylová, 2006| Xl+ x2 + ^3-f- X4 = 0} X2+ X3+ X4+ X5 = 0 ^ešte soustavu Xi + 2X2+3X3 = 0 X2+2X3+3X4+4X5 = 0 X3+2X4+3X5 = 0 r ~ /111 0 1 1 0 0 1 \ 0 0 0 1 0 1 1 -2 -1 4 4 0 0 «y 4x4 + 4x5 = 0 X4 + X5 = 0 x5 = t Xa = -t X3 - 2X4 - -x5 = 0 x2 + x3 + x4 + x5 = 0 x3-2(-í) -ŕ = 0 x3 = -í x2 + (-t) + (-t) + t = 0 X2 = t X\ + X2 + X3 + Xa = 0 Xi + ř + (-ř) + (-ř) = 0 El E 1 ca X\ = t ©L ©Lenka Přibylová, 2006| Konec H H ©Lenka Přibylová, 20060