Nevlastní integrál vlivem meze Lenka Přibylová 3. srpna 2006 H H ©Lenka Přibylová, 20060 Obsah Definice - singularita v horní mezi 3 r°° 1 / -^ dx................................. 3 J2 x2 f°° 1 / -dx................................. 10 Ji x Definice - singularita v dolní mezi 16 ,o i I-------, dx.............................. 16 J-co 1+X2 Definice - singularity v obou mezích 23 /oo dx.................................. 23 -OO BEI El 13 iaa ©Lenka Přibylová, 20060 Definice - singularita v horní mezi f(x)dx= lim / f(x)dx= lim [F(ř) - F (a)] ©Lenka Přibylová, 2006| r°° 1 Najděte / — dx. J Z. & 1 ©Lenka Přibylová, 2006| r°° 1 Najděte / — dx. J Z. & ) -~ dx V horní mezi má integrál singularitu. Nelze spočítat určitý integrál, protože je interval integrace nekonečný. r°° 1 Najděte / — dx. J Z. & ) 1 ŕ 1 -~ dx = lim / ^jdx Xz t^™J2 X1 Přepíšeme pomocí limitního přechodu v mezi. Pro všechna reálná t v okolí oo je nyní integrál určitý Najděte ■ dx. 2 XA 1 1 ŕ 1 -~ dx = lim / —x dx = lim 2 Xz t^co.l2 X t—fOO lze proto použít Newton-Leibnitzovu formuli. ^^^^HB^^^^^W^^^^J Najděte ■ dx. 1 1 ŕ 1 -~ dx = lim / —= dx = lim = lim t—>oo t2 1 1 7 + 2 t—fOO Dosadíme meze. —I...I...... . ... g Najděte ■ dx. 1 -~ dx = xl = lim / -~ dx = h xl - lim t—>CQ 1 X = lim f 1 1\ ~ + 2 1 - 2 Spočteme limitu. lim - = 0 (c) LenkäTflB^fl^^CWf r°° 1 Najděte / - dx. J1 X ] ©Lenka Přibylová, 2006| r°° 1 Najděte / - dx. J1 X ] - dx i x V horní mezi má integrál singularitu. Nelze spočítat určitý integrál, protože je interval integrace nekonečný. r°° 1 Najděte / - dx. J1 X ] 1 ŕ 1 - dx = lim / - dx 1 X í^oo ^^^^HB^^^^BW^TO^ Definice - singularita v dolní mezi b x f(x)dx= lim f f(x)dx= lim [F(b) - F(t)] -co t^-cojf r^-oo ©Lenka Přibylová, 2006| •o i Najděte / ——- dx. ©Lenka Přibylová, 2006| ,0 i Najděte /-------j ^x- i 1 \ X o i 1 + x2 dx V dolní mezi má integrál singularitu. Nelze spočítat určitý integrál, protože je interval integrace nekonečný. ^^^^HB^^^^^W^^^^J ,0 i Najděte /-------j ^x- i 1 \ X 0 l Ml dx = lim /-------~ dx 1+X2 t^-ooJt 1 + x Přepíšeme pomocí limitního přechodu v mezi. Pro všechna reálná t v okolí —oo je nyní integrál určitý BEI Q jg JŠl (c) LeňT^RfByBvS^TOSj ,0 i Najděte /-------j ^x- i 1 \ X 0 1 ŕ 1 -------ť dx = lim /-------ť dx = lim ľarctexl -col+X2 t^-ooJt 1 + X2 ŕ^-coL ö J lze proto použít Newton-Leibnitzovu formuli. ^^^^HB^^^^^W^^^^J •o i Najděte / ——- dx. dx = lim r^-oo Jt 1 - lim (arctgO — arctgř) t—>oo —jdx= lim [arctgx]° t—> — oo Dosadíme meze. —I...I...... . ... g •o i Najděte / ——- dx. dx = lim t^-coJt 1 ----ť dx = lim ľarctgxl, 7T lim (arctgO — arctgř) = — Spočteme limitu. 71 lim arctgř = — —- (c) LenkäTflB^fl^^CWf Definice - singularity v obou mezích ! y = f(x) /co pc reo f(x)dx= / f(x)dx+ / f(x)dx -co J—co Je = lim / f(x)dx-\- lim / f(x)dx ©Lenka Přibylová, 2006| Najděte / dx. ©Lenka Přibylová, 2006| Najděte / dx. dx Integrál má singularity v obou mezích. Nelze spočítat určitý integrál, protože je interval integrace nekonečný. Najděte / dx. dx = dx + / dx BEI Rozdělíme na dva nevlastní integrály s jednou singularitou. (c) Lenka ťiibylová, 2UU6 £ Najděte / dx. /•O /-co M A dx = / dx + / dx = lim / dx + lim / dx JO í^-oojf ŕ^ooJo Přepíšeme pomocí limitního přechodu v mezi. Pro všechna reálná t v okolí ±00 jsou nyní integrály určité, Najděte / dx. /•O /-co M A dx = / dx + / dx = lim / dx + lim / dx JO í^-oojf ŕ^ooJo = lim Ixl, + lim Ixl „ lze proto použít Newton-Leibnitzovu formuli. Hledáme primitivní funkci k 1 v proměnné x. Najděte / dx. dx = 0 reo dx + / dx = -co JO = lim / dx + lim / dx = lim \x] °. + lim \x]' = lim (0 - t) + lim (ř - 0) Dosadíme meze. a El Q Cä--------------------------------------------------------------------------------------------------------------icj Lenka ťnbylova,ÍJdt,| Najděte / dx. dx = 0 reo dx + / dx = -co JO = lim / dx + lim / dx = lim \x] °. + lim \x]' = lim (0-ř)+lim(ř-O) = oo t—> — oo r ŕ—ŕoo u ŕ—ŕ —oo ŕ—ŕoo Spočteme limity. Integrál diverguje. Konec H H ©Lenka Přibylová, 20060