Průběh funkce
Lenka Přibylová
28. července 2006
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
Obsah
y = x3
+ 4x2
+ 5x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
y =
2(x2 - x + 1)
(x - 1)2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
y = ln
x2
x + 2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
y = (x + 1)ex
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y = x3
+ 4x2
+ 5x D( f ) = R; ani sudá ani lichá, není periodická
průsečík s osou y je [0, 0]
x3
+ 4x2
+ 5x = 0
x(x2
+ 4x + 5) = 0
x = 0
-
0
+
f (-1) = -1 + 4 - 5 = -2 < 0
f (1) = 10 > 0
lim
x
x3
+ 4x2
+ 5x =     c Lenka Přibylová, 2006 ×
y = x3
+ 4x2
+ 5x D( f ) = R; ani sudá ani lichá, není periodická
průsečík s osou y je [0, 0]
x3
+ 4x2
+ 5x = 0
x(x2
+ 4x + 5) = 0
x = 0
-
0
+
f (-1) = -1 + 4 - 5 = -2 < 0
f (1) = 10 > 0
lim
x
x3
+ 4x2
+ 5x = 
Definiční obor je celá množina R.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y = x3
+ 4x2
+ 5x D( f ) = R; ani sudá ani lichá, není periodická
průsečík s osou y je [0, 0]
x3
+ 4x2
+ 5x = 0
x(x2
+ 4x + 5) = 0
x = 0
-
0
+
f (-1) = -1 + 4 - 5 = -2 < 0
f (1) = 10 > 0
lim
x
x3
+ 4x2
+ 5x = 
f (-x) = (-x)3
+ 4(-x)2
+ 5(-x) = -x3
+ 4x2
- 5x = f (x)
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y = x3
+ 4x2
+ 5x D( f ) = R; ani sudá ani lichá, není periodická
průsečík s osou y je [0, 0]
x3
+ 4x2
+ 5x = 0
x(x2
+ 4x + 5) = 0
x = 0
-
0
+
f (-1) = -1 + 4 - 5 = -2 < 0
f (1) = 10 > 0
lim
x
x3
+ 4x2
+ 5x = 
Dosadíme x = 0 do předpisu funkce f (x) a dostaneme průsečík s osou
y.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y = x3
+ 4x2
+ 5x D( f ) = R; ani sudá ani lichá, není periodická
průsečík s osou y je [0, 0]
x3
+ 4x2
+ 5x = 0
x(x2
+ 4x + 5) = 0
x = 0
-
0
+
f (-1) = -1 + 4 - 5 = -2 < 0
f (1) = 10 > 0
lim
x
x3
+ 4x2
+ 5x = 
Ř ešením rovnice y = 0 dostaneme průsečík s osou x.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y = x3
+ 4x2
+ 5x D( f ) = R; ani sudá ani lichá, není periodická
průsečík s osou y je [0, 0]
x3
+ 4x2
+ 5x = 0
x(x2
+ 4x + 5) = 0
x = 0
-
0
+
f (-1) = -1 + 4 - 5 = -2 < 0
f (1) = 10 > 0
lim
x
x3
+ 4x2
+ 5x = 
Vytkneme x. Součin je roven nule právě tehdy, když některý z činitelů
je roven nule. Červený činitel dává triviální řešení, zelený činitel vede
na kvadratickou rovnici.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y = x3
+ 4x2
+ 5x D( f ) = R; ani sudá ani lichá, není periodická
průsečík s osou y je [0, 0]
x3
+ 4x2
+ 5x = 0
x(x2
+ 4x + 5) = 0
x = 0
-
0
+
f (-1) = -1 + 4 - 5 = -2 < 0
f (1) = 10 > 0
lim
x
x3
+ 4x2
+ 5x = 
Kvadrativká rovnice x2
+ 4x + 5 = 0 nemá reálné rešení, protože
diskriminant je záporný: D = 16 - 20.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y = x3
+ 4x2
+ 5x D( f ) = R; ani sudá ani lichá, není periodická
průsečík s osou y je [0, 0]
x3
+ 4x2
+ 5x = 0
x(x2
+ 4x + 5) = 0
x = 0
-
0
+
f (-1) = -1 + 4 - 5 = -2 < 0
f (1) = 10 > 0
lim
x
x3
+ 4x2
+ 5x = 
Průsečík s osou x je jediný: x = 0.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y = x3
+ 4x2
+ 5x D( f ) = R; ani sudá ani lichá, není periodická
průsečík s osou y je [0, 0]
x3
+ 4x2
+ 5x = 0
x(x2
+ 4x + 5) = 0
x = 0
-
0
+
f (-1) = -1 + 4 - 5 = -2 < 0
f (1) = 10 > 0
lim
x
x3
+ 4x2
+ 5x = 
Na osu x zaneseme průsečík. Nemáme žádné body nespojitosti.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y = x3
+ 4x2
+ 5x D( f ) = R; ani sudá ani lichá, není periodická
průsečík s osou y je [0, 0]
x3
+ 4x2
+ 5x = 0
x(x2
+ 4x + 5) = 0
x = 0
-
0
+
f (-1) = -1 + 4 - 5 = -2 < 0
f (1) = 10 > 0
lim
x
x3
+ 4x2
+ 5x = 
Funkční hodnota f (-1) je záporná a protože se znaménko na intervalu
(-, 0) nemůže změnit, je funkce záporná na celém tomto intervalu.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y = x3
+ 4x2
+ 5x D( f ) = R; ani sudá ani lichá, není periodická
průsečík s osou y je [0, 0]
x3
+ 4x2
+ 5x = 0
x(x2
+ 4x + 5) = 0
x = 0
-
0
+
f (-1) = -1 + 4 - 5 = -2 < 0
f (1) = 10 > 0
lim
x
x3
+ 4x2
+ 5x = 
Funkce je kladná v x = 1, tedy také na (0, ).
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y = x3
+ 4x2
+ 5x D( f ) = R; ani sudá ani lichá, není periodická
průsečík s osou y je [0, 0]
lim
x
x3
+ 4x2
+ 5x = 
lim
x-
x3
+ 4x2
+ 5x = lim
x-
x3
= -
f (+) = , f (-) = -;
-
0
+
y
= (x3
+ 4x2
+ 5x)
= 3x2
+ 8x + 5
3x2
+ 8x + 5 = 0
x1,2 =
-8 

64 - 60
6
=
-8  2
6
x1 = -
5
, x2 = -1
Vypočteme limity v . Začneme limitou v +. Protože platí
 +  = , je výsledek zřejmý.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y = x3
+ 4x2
+ 5x D( f ) = R; ani sudá ani lichá, není periodická
průsečík s osou y je [0, 0]
lim
x
x3
+ 4x2
+ 5x = 
lim
x-
x3
+ 4x2
+ 5x = lim
x-
x3
= -
f (+) = , f (-) = -;
-
0
+
y
= (x3
+ 4x2
+ 5x)
= 3x2
+ 8x + 5
3x2
+ 8x + 5 = 0
x1,2 =
-8 

64 - 60
6
=
-8  2
6
x1 = -
5
, x2 = -1
Pro - není výsledek na první pohled vidět, protože dostáváme
neurčitý výraz  - .
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y = x3
+ 4x2
+ 5x D( f ) = R; ani sudá ani lichá, není periodická
průsečík s osou y je [0, 0]
lim
x
x3
+ 4x2
+ 5x = 
lim
x-
x3
+ 4x2
+ 5x = lim
x-
x3
= -
f (+) = , f (-) = -;
-
0
+
y
= (x3
+ 4x2
+ 5x)
= 3x2
+ 8x + 5
3x2
+ 8x + 5 = 0
x1,2 =
-8 

64 - 60
6
=
-8  2
6
x1 = -
5
, x2 = -1
Vytkneme-li nejvyšší mocninu x3
, dostáváme
x3
+ 4x2
+ 5x = x3
(1 +
4
x
+
5
x2
),
kde druhý činitel konverguje k jedné. Obecně platí pravidlo, že u
polynomu (i racionální lomené funkce) se chování v nevlastních
bodech nemění, jestliže zanedbáme členy s nižšími mocninami.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y = x3
+ 4x2
+ 5x D( f ) = R; ani sudá ani lichá, není periodická
průsečík s osou y je [0, 0]
lim
x
x3
+ 4x2
+ 5x = 
lim
x-
x3
+ 4x2
+ 5x = lim
x-
x3
= -
f (+) = , f (-) = -;
-
0
+
y
= (x3
+ 4x2
+ 5x)
= 3x2
+ 8x + 5
3x2
+ 8x + 5 = 0
x1,2 =
-8 

64 - 60
6
=
-8  2
6
x1 = -
5
, x2 = -1    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y = x3
+ 4x2
+ 5x D( f ) = R; ani sudá ani lichá, není periodická
průsečík s osou y je [0, 0]
lim
x
x3
+ 4x2
+ 5x = 
lim
x-
x3
+ 4x2
+ 5x = lim
x-
x3
= -
f (+) = , f (-) = -;
-
0
+
y
= (x3
+ 4x2
+ 5x)
= 3x2
+ 8x + 5
3x2
+ 8x + 5 = 0
x1,2 =
-8 

64 - 60
6
=
-8  2
6
x1 = -
5
, x2 = -1
Asymptota bez směrnice neexistuje, protože je funkce definovaná na
celém R. Asymptota se směrnicí také neexistuje, protože
k = lim
x
x3 + 4x2 + 5x
x
= lim
x
x2
+ 4x + 5 = .
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y = x3
+ 4x2
+ 5x D( f ) = R; ani sudá ani lichá, není periodická
průsečík s osou y je [0, 0]
f (+) = , f (-) = -;
-
0
+
y
= (x3
+ 4x2
+ 5x)
= 3x2
+ 8x + 5
3x2
+ 8x + 5 = 0
x1,2 =
-8 

64 - 60
6
=
-8  2
6
x1 = -
5
3
, x2 = -1
y
= 3x2
+ 8x + 5;

-5
3
MAX 
-1
min 
f (-5/3) = -
50
27
f (-1) = -2    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y = x3
+ 4x2
+ 5x D( f ) = R; ani sudá ani lichá, není periodická
průsečík s osou y je [0, 0]
f (+) = , f (-) = -;
-
0
+
y
= (x3
+ 4x2
+ 5x)
= 3x2
+ 8x + 5
3x2
+ 8x + 5 = 0
x1,2 =
-8 

64 - 60
6
=
-8  2
6
x1 = -
5
3
, x2 = -1
y
= 3x2
+ 8x + 5;

-5
3
MAX 
-1
min 
f (-5/3) = -
50
27
f (-1) = -2
Vyšetříme chování derivace.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y = x3
+ 4x2
+ 5x D( f ) = R; ani sudá ani lichá, není periodická
průsečík s osou y je [0, 0]
f (+) = , f (-) = -;
-
0
+
y
= (x3
+ 4x2
+ 5x)
= 3x2
+ 8x + 5
3x2
+ 8x + 5 = 0
x1,2 =
-8 

64 - 60
6
=
-8  2
6
x1 = -
5
3
, x2 = -1
y
= 3x2
+ 8x + 5;

-5
3
MAX 
-1
min 
f (-5/3) = -
50
27
f (-1) = -2
Derivujeme každý člen zvlášt'.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y = x3
+ 4x2
+ 5x D( f ) = R; ani sudá ani lichá, není periodická
průsečík s osou y je [0, 0]
f (+) = , f (-) = -;
-
0
+
y
= (x3
+ 4x2
+ 5x)
= 3x2
+ 8x + 5
3x2
+ 8x + 5 = 0
x1,2 =
-8 

64 - 60
6
=
-8  2
6
x1 = -
5
3
, x2 = -1
y
= 3x2
+ 8x + 5;

-5
3
MAX 
-1
min 
f (-5/3) = -
50
27
f (-1) = -2
Hledáme stacionární body, proto položíme derivaci rovnu nule.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y = x3
+ 4x2
+ 5x D( f ) = R; ani sudá ani lichá, není periodická
průsečík s osou y je [0, 0]
f (+) = , f (-) = -;
-
0
+
y
= (x3
+ 4x2
+ 5x)
= 3x2
+ 8x + 5
3x2
+ 8x + 5 = 0
x1,2 =
-8 

64 - 60
6
=
-8  2
6
x1 = -
5
3
, x2 = -1
y
= 3x2
+ 8x + 5;

-5
3
MAX 
-1
min 
f (-5/3) = -
50
27
f (-1) = -2
Vyřešíme kvadratickou rovnici.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y = x3
+ 4x2
+ 5x D( f ) = R; ani sudá ani lichá, není periodická
průsečík s osou y je [0, 0]
f (+) = , f (-) = -;
-
0
+
y
= (x3
+ 4x2
+ 5x)
= 3x2
+ 8x + 5
3x2
+ 8x + 5 = 0
x1,2 =
-8 

64 - 60
6
=
-8  2
6
x1 = -
5
3
, x2 = -1
y
= 3x2
+ 8x + 5;

-5
3
MAX 
-1
min 
f (-5/3) = -
50
27
f (-1) = -2
Vyřešíme kvadratickou rovnici.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y = x3
+ 4x2
+ 5x D( f ) = R; ani sudá ani lichá, není periodická
průsečík s osou y je [0, 0]
f (+) = , f (-) = -;
-
0
+
y
= 3x2
+ 8x + 5;

-5
3
MAX 
-1
min 
f (-5/3) = -
50
27
f (-1) = -2
y
= 6x + 8
6x + 8 = 0
x = -
4
3
y
= 6x + 8; 
4
in. 
Na reálnou osu zaneseme stacionární body. Nemáme žádné body
nespojitosti.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y = x3
+ 4x2
+ 5x D( f ) = R; ani sudá ani lichá, není periodická
průsečík s osou y je [0, 0]
f (+) = , f (-) = -;
-
0
+
y
= 3x2
+ 8x + 5;

-5
3
MAX 
-1
min 
f (-5/3) = -
50
27
f (-1) = -2
y
= 6x + 8
6x + 8 = 0
x = -
4
3
y
= 6x + 8; 
4
in. 
Graf derivace je parabola:
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y = x3
+ 4x2
+ 5x D( f ) = R; ani sudá ani lichá, není periodická
průsečík s osou y je [0, 0]
f (+) = , f (-) = -;
-
0
+
y
= 3x2
+ 8x + 5;

-5
3
MAX 
-1
min 
f (-5/3) = -
50
27
f (-1) = -2
y
= 6x + 8
6x + 8 = 0
x = -
4
3
y
= 6x + 8; 
4
in. 
Ve stacionárním bodě x = -
5
3
nastává lokální maximum. Dopočteme
v tomto bodě funkční hodnotu.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y = x3
+ 4x2
+ 5x D( f ) = R; ani sudá ani lichá, není periodická
průsečík s osou y je [0, 0]
f (+) = , f (-) = -;
-
0
+
y
= 3x2
+ 8x + 5;

-5
3
MAX 
-1
min 
f (-5/3) = -
50
27
f (-1) = -2
y
= 6x + 8
6x + 8 = 0
x = -
4
3
y
= 6x + 8; 
4
in. 
Ve stacionárním bodě x = -1 nastává lokální minimum. Dopočteme v
tomto bodě funkční hodnotu.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y = x3
+ 4x2
+ 5x D( f ) = R; ani sudá ani lichá, není periodická
průsečík s osou y je [0, 0]
f (+) = , f (-) = -;
-
0
+
y
= 3x2
+ 8x + 5;

-5
3
MAX 
-1
min 
f (-5/3) = -
50
27
f (-1) = -2
y
= 6x + 8
6x + 8 = 0
x = -
4
3
y
= 6x + 8; 
4
in. 
Spočteme druhou derivaci a vyšetříme její chování.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y = x3
+ 4x2
+ 5x D( f ) = R; ani sudá ani lichá, není periodická
průsečík s osou y je [0, 0]
f (+) = , f (-) = -;
-
0
+
y
= 3x2
+ 8x + 5;

-5
3
MAX 
-1
min 
f (-5/3) = -
50
27
f (-1) = -2
y
= 6x + 8
6x + 8 = 0
x = -
4
3
y
= 6x + 8; 
4
in. 
Položíme druhou derivaci nule.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y = x3
+ 4x2
+ 5x D( f ) = R; ani sudá ani lichá, není periodická
průsečík s osou y je [0, 0]
f (+) = , f (-) = -;
-
0
+
y
= 3x2
+ 8x + 5;

-5
3
MAX 
-1
min 
f (-5/3) = -
50
27
f (-1) = -2
y
= 6x + 8; 
-4
3
in. 
f (-4/3) = -
52
27
Nakreslíme reálnou osu s kritickým bodem. Nemáme žádný bod
nespojitosti, proto se druhá derivace může měnit pouze v inflexním
bodě.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y = x3
+ 4x2
+ 5x D( f ) = R; ani sudá ani lichá, není periodická
průsečík s osou y je [0, 0]
f (+) = , f (-) = -;
-
0
+
y
= 3x2
+ 8x + 5;

-5
3
MAX 
-1
min 
f (-5/3) = -
50
27
f (-1) = -2
y
= 6x + 8; 
-4
3
in. 
f (-4/3) = -
52
27Funkce ke na intervalu -, -
4
3
konkávní, protože
-2  -, -
4
3
a y
(-2) = 6  (-2) + 8 = -4 < 0.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y = x3
+ 4x2
+ 5x D( f ) = R; ani sudá ani lichá, není periodická
průsečík s osou y je [0, 0]
f (+) = , f (-) = -;
-
0
+
y
= 3x2
+ 8x + 5;

-5
3
MAX 
-1
min 
f (-5/3) = -
50
27
f (-1) = -2
y
= 6x + 8; 
-4
3
in. 
f (-4/3) = -
52
27
Funkce je konvexní na intervalu -
4
3
,  , protože 0  -
4
3
,  a
y
(0) = 8 > 0.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y = x3
+ 4x2
+ 5x D( f ) = R; ani sudá ani lichá, není periodická
průsečík s osou y je [0, 0]
f (+) = , f (-) = -;
-
0
+
y
= 3x2
+ 8x + 5;

-5
3
MAX 
-1
min 
f (-5/3) = -
50
27
f (-1) = -2
y
= 6x + 8; 
-4
3
in. 
f (-4/3) = -
52
27
Bod x = -
4
3
je tedy inflexní. Spočteme jeho funkční hodnotu.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
-
0
+ 
-5
3
MAX
-1
min  
-4
3
in. 
f (0) = 0
f (+) = 
f (-) = -
f -
5
3
= -
50
27
f (-1) = -2
f -
4
3
= -
52
27
Shrneme dosažené výpočty.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
-
0
+ 
-5
3
MAX
-1
min  
-4
3
in. 
f (0) = 0
f (+) = 
f (-) = -
f -
5
3
= -
50
27
f (-1) = -2
f -
4
3
= -
52
27
0
Nakreslíme souřadný systém.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
-
0
+ 
-5
3
MAX
-1
min  
-4
3
in. 
f (0) = 0
f (+) = 
f (-) = -
f -
5
3
= -
50
27
f (-1) = -2
f -
4
3
= -
52
27
0
Označíme průsečík s osou x: x = 0. Funkce v tomto bodě roste.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
-
0
+ 
-5
3
MAX
-1
min  
-4
3
in. 
f (0) = 0
f (+) = 
f (-) = -
f -
5
3
= -
50
27
f (-1) = -2
f -
4
3
= -
52
27
0
Nakreslíme značky v blízkosti nevlastních bodů. Funkce roste v okolí
obou nevlastních bodů.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
-
0
+ 
-5
3
MAX
-1
min  
-4
3
in. 
f (0) = 0
f (+) = 
f (-) = -
f -
5
3
= -
50
27
f (-1) = -2
f -
4
3
= -
52
27
-1-5/3
0
-2
Nakreslíme lokální minimum a maximum.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
-
0
+ 
-5
3
MAX
-1
min  
-4
3
in. 
f (0) = 0
f (+) = 
f (-) = -
f -
5
3
= -
50
27
f (-1) = -2
f -
4
3
= -
52
27
-1-4/3-5/3
0
-2
Nakreslíme inflexní bod. Funkce v něm klesá.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
-
0
+ 
-5
3
MAX
-1
min  
-4
3
in. 
f (0) = 0
f (+) = 
f (-) = -
f -
5
3
= -
50
27
f (-1) = -2
f -
4
3
= -
52
27
-1-4/3-5/3
0
-2
Spojíme nakreslené části do grafu.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
-
0
+ 
-5
3
MAX
-1
min  
-4
3
in. 
f (0) = 0
f (+) = 
f (-) = -
f -
5
3
= -
50
27
f (-1) = -2
f -
4
3
= -
52
27
-1-4/3-5/3
0
-2
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y =
2(x2 - x + 1)
(x - 1)2
D( f ) = R \ {1}, y(0) = 2, není průs. s osou x
y(0) =
2(0 - 0 + 1)
(0 - 1)2
= 2
2(x2 - x + 1)
(x - 1)2
= 0
x2
- x + 1 = 0
+

1
+
lim
x1+
2(x2 - x + 1)
(x - 1)2
=
2
+0
= +
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y =
2(x2 - x + 1)
(x - 1)2
D( f ) = R \ {1}, y(0) = 2, není průs. s osou x
y(0) =
2(0 - 0 + 1)
(0 - 1)2
= 2
2(x2 - x + 1)
(x - 1)2
= 0
x2
- x + 1 = 0
+

1
+
lim
x1+
2(x2 - x + 1)
(x - 1)2
=
2
+0
= +
Určíme definiční obor z podmínky
x - 1 = 0.
Platí
x = 1.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y =
2(x2 - x + 1)
(x - 1)2
D( f ) = R \ {1}, y(0) = 2, není průs. s osou x
y(0) =
2(0 - 0 + 1)
(0 - 1)2
= 2
2(x2 - x + 1)
(x - 1)2
= 0
x2
- x + 1 = 0
+

1
+
lim
x1+
2(x2 - x + 1)
(x - 1)2
=
2
+0
= +
ˇ Určíme průsečík s osou y.
ˇ Dosadíme x = 0 a hledáme y(0).
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y =
2(x2 - x + 1)
(x - 1)2
D( f ) = R \ {1}, y(0) = 2, není průs. s osou x
2(x2 - x + 1)
(x - 1)2
= 0
x2
- x + 1 = 0
+

1
+
lim
x1+
2(x2 - x + 1)
(x - 1)2
=
2
+0
= +
lim
x1-
2(x2 - x + 1)
(x - 1)2
=
2
+0
= +
ˇ Určíme průsečík s osou x.
ˇ Dosadíme y = 0 a řešíme rovnici
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y =
2(x2 - x + 1)
(x - 1)2
D( f ) = R \ {1}, y(0) = 2, není průs. s osou x
2(x2 - x + 1)
(x - 1)2
= 0
x2
- x + 1 = 0
+

1
+
lim
x1+
2(x2 - x + 1)
(x - 1)2
=
2
+0
= +
lim
x1-
2(x2 - x + 1)
(x - 1)2
=
2
+0
= +
Čitatel musí být nula.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y =
2(x2 - x + 1)
(x - 1)2
D( f ) = R \ {1}, y(0) = 2, není průs. s osou x
2(x2 - x + 1)
(x - 1)2
= 0
x2
- x + 1 = 0
+

1
+
lim
x1+
2(x2 - x + 1)
(x - 1)2
=
2
+0
= +
lim
x1-
2(x2 - x + 1)
(x - 1)2
=
2
+0
= +
Tato kvadratická rovnice nemá řešení, protože má záporný
diskriminant.
D = b2
- 4ac = 2 - 4.1.1 = -2 < 0
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y =
2(x2 - x + 1)
(x - 1)2
D( f ) = R \ {1}, y(0) = 2, není průs. s osou x
+

1
+
lim
x1+
2(x2 - x + 1)
(x - 1)2
=
2
+0
= +
lim
x1-
2(x2 - x + 1)
(x - 1)2
=
2
+0
= +
lim
x
2(x2 - x + 1)
(x - 1)2
= lim
x
2x2
x2
= lim
x
2
1
= 2
y
= 2
x2 - x + 1

Nakreslíme osu x a bod nespojitosti x = 1.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y =
2(x2 - x + 1)
(x - 1)2
D( f ) = R \ {1}, y(0) = 2, není průs. s osou x
+

1
+
lim
x1+
2(x2 - x + 1)
(x - 1)2
=
2
+0
= +
lim
x1-
2(x2 - x + 1)
(x - 1)2
=
2
+0
= +
lim
x
2(x2 - x + 1)
(x - 1)2
= lim
x
2x2
x2
= lim
x
2
1
= 2
y
= 2
x2 - x + 1

Víme, že y(0) = 2 > 0. Funkce je kladná na (-, 1).
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y =
2(x2 - x + 1)
(x - 1)2
D( f ) = R \ {1}, y(0) = 2, není průs. s osou x
+

1
+
lim
x1+
2(x2 - x + 1)
(x - 1)2
=
2
+0
= +
lim
x1-
2(x2 - x + 1)
(x - 1)2
=
2
+0
= +
lim
x
2(x2 - x + 1)
(x - 1)2
= lim
x
2x2
x2
= lim
x
2
1
= 2
y
= 2
x2 - x + 1

Vypočteme y(2) =
2(4 - 2 + 1)
(2 - 1)2
> 0. Funkce je kladná na (1, ).
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y =
2(x2 - x + 1)
(x - 1)2
D( f ) = R \ {1}, y(0) = 2, není průs. s osou x
+

1
+
lim
x1+
2(x2 - x + 1)
(x - 1)2
=
2
+0
= +
lim
x1-
2(x2 - x + 1)
(x - 1)2
=
2
+0
= +
lim
x
2(x2 - x + 1)
(x - 1)2
= lim
x
2x2
x2
= lim
x
2
1
= 2
y
= 2
x2 - x + 1

Určíme jednostranné limity v bodě nespojitosti
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y =
2(x2 - x + 1)
(x - 1)2
D( f ) = R \ {1}, y(0) = 2, není průs. s osou x
+

1
+
lim
x1+
2(x2 - x + 1)
(x - 1)2
=
2
+0
= +
lim
x1-
2(x2 - x + 1)
(x - 1)2
=
2
+0
= +
lim
x
2(x2 - x + 1)
(x - 1)2
= lim
x
2x2
x2
= lim
x
2
1
= 2
y
= 2
x2 - x + 1

Dosadíme x = 1.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y =
2(x2 - x + 1)
(x - 1)2
D( f ) = R \ {1}, y(0) = 2, není průs. s osou x
+

1
+
lim
x1+
2(x2 - x + 1)
(x - 1)2
=
2
+0
= +
lim
x1-
2(x2 - x + 1)
(x - 1)2
=
2
+0
= +
lim
x
2(x2 - x + 1)
(x - 1)2
= lim
x
2x2
x2
= lim
x
2
1
= 2
y
= 2
x2 - x + 1

Jmenovatel je v obou případech kladné číslo.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y =
2(x2 - x + 1)
(x - 1)2
D( f ) = R \ {1}, y(0) = 2, není průs. s osou x
+

1
+
lim
x1+
2(x2 - x + 1)
(x - 1)2
=
2
+0
= +
lim
x1-
2(x2 - x + 1)
(x - 1)2
=
2
+0
= +
lim
x
2(x2 - x + 1)
(x - 1)2
= lim
x
2x2
x2
= lim
x
2
1
= 2
y
= 2
x2 - x + 1

Určíme limity v .
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y =
2(x2 - x + 1)
(x - 1)2
D( f ) = R \ {1}, y(0) = 2, není průs. s osou x
+

1
+
lim
x1+
2(x2 - x + 1)
(x - 1)2
=
2
+0
= +
lim
x1-
2(x2 - x + 1)
(x - 1)2
=
2
+0
= +
lim
x
2(x2 - x + 1)
(x - 1)2
= lim
x
2x2
x2
= lim
x
2
1
= 2
y
= 2
x2 - x + 1

Uvažujeme jenom vedoucí členy.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y =
2(x2 - x + 1)
(x - 1)2
D( f ) = R \ {1}, y(0) = 2, není průs. s osou x
+

1
+
lim
x1+
2(x2 - x + 1)
(x - 1)2
=
2
+0
= +
lim
x1-
2(x2 - x + 1)
(x - 1)2
=
2
+0
= +
lim
x
2(x2 - x + 1)
(x - 1)2
= lim
x
2x2
x2
= lim
x
2
1
= 2
y
= 2
x2 - x + 1

Funkce má limitu v . Přímka y = 2 je asymptotou ke grafu v .
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y =
2(x2 - x + 1)
(x - 1)2
D( f ) = R \ {1}, y(0) = 2, není průs. s osou x
y
= 2
x2 - x + 1
(x - 1)2

= 2
(2x - 1)(x - 1)2 - (x2 - x + 1)2(x - 1)(1 - 0)
((x - 1)2)2
= 2(x - 1)
(2x - 1)(x - 1) - (x2 - x + 1)2
(x - 1)4
= 2
2x2 - 2x - x + 1 - (2x2 - 2x + 2)
(x - 1)3
= 2
-x - 1
(x - 1)3
= -2
x + 1
(x - 1)3
Vypočteme derivaci.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y =
2(x2 - x + 1)
(x - 1)2
D( f ) = R \ {1}, y(0) = 2, není průs. s osou x
y
= 2
x2 - x + 1
(x - 1)2

= 2
(2x - 1)(x - 1)2 - (x2 - x + 1)2(x - 1)(1 - 0)
((x - 1)2)2
= 2(x - 1)
(2x - 1)(x - 1) - (x2 - x + 1)2
(x - 1)4
= 2
2x2 - 2x - x + 1 - (2x2 - 2x + 2)
(x - 1)3
= 2
-x - 1
(x - 1)3
= -2
x + 1
(x - 1)3
ˇ Užijeme vzorec pro derivaci podílu.
u
v

=
uv - uv
v2
.
ˇ Užijeme vzorec pro derivaci složené funkce při derivovánívýrazu
(x - 1)2
.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y =
2(x2 - x + 1)
(x - 1)2
D( f ) = R \ {1}, y(0) = 2, není průs. s osou x
y
= 2
x2 - x + 1
(x - 1)2

= 2
(2x - 1)(x - 1)2 - (x2 - x + 1)2(x - 1)(1 - 0)
((x - 1)2)2
= 2(x - 1)
(2x - 1)(x - 1) - (x2 - x + 1)2
(x - 1)4
= 2
2x2 - 2x - x + 1 - (2x2 - 2x + 2)
(x - 1)3
= 2
-x - 1
(x - 1)3
= -2
x + 1
(x - 1)3
Vytkneme (x - 1).
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y =
2(x2 - x + 1)
(x - 1)2
D( f ) = R \ {1}, y(0) = 2, není průs. s osou x
y
= 2
x2 - x + 1
(x - 1)2

= 2
(2x - 1)(x - 1)2 - (x2 - x + 1)2(x - 1)(1 - 0)
((x - 1)2)2
= 2(x - 1)
(2x - 1)(x - 1) - (x2 - x + 1)2
(x - 1)4
= 2
2x2 - 2x - x + 1 - (2x2 - 2x + 2)
(x - 1)3
= 2
-x - 1
(x - 1)3
= -2
x + 1
(x - 1)3
Roznásobíme závorky a zkrátíme (x - 1).
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y =
2(x2 - x + 1)
(x - 1)2
D( f ) = R \ {1}, y(0) = 2, není průs. s osou x
y
= 2
x2 - x + 1
(x - 1)2

= 2
(2x - 1)(x - 1)2 - (x2 - x + 1)2(x - 1)(1 - 0)
((x - 1)2)2
= 2(x - 1)
(2x - 1)(x - 1) - (x2 - x + 1)2
(x - 1)4
= 2
2x2 - 2x - x + 1 - (2x2 - 2x + 2)
(x - 1)3
= 2
-x - 1
(x - 1)3
= -2
x + 1
(x - 1)3
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y =
2(x2 - x + 1)
(x - 1)2
D( f ) = R \ {1}, y(0) = 2, není průs. s osou x
y
= 2
x2 - x + 1
(x - 1)2

= 2
(2x - 1)(x - 1)2 - (x2 - x + 1)2(x - 1)(1 - 0)
((x - 1)2)2
= 2(x - 1)
(2x - 1)(x - 1) - (x2 - x + 1)2
(x - 1)4
= 2
2x2 - 2x - x + 1 - (2x2 - 2x + 2)
(x - 1)3
= 2
-x - 1
(x - 1)3
= -2
x + 1
(x - 1)3
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y =
2(x2 - x + 1)
(x - 1)2
D( f ) = R \ {1}, y(0) = 2, není průs. s osou x
y
= -2
x + 1
(x - 1)3
, x1 = -1. . . lok. minimum, y(-1) =
3
2
-2
x + 1
(x - 1)3
= 0
x + 1 = 0
x = -1

-1
min 

1

y
= -2
x + 1
3

Ř ešíme rovnici y
= 0.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y =
2(x2 - x + 1)
(x - 1)2
D( f ) = R \ {1}, y(0) = 2, není průs. s osou x
y
= -2
x + 1
(x - 1)3
, x1 = -1. . . lok. minimum, y(-1) =
3
2
-2
x + 1
(x - 1)3
= 0
x + 1 = 0
x = -1

-1
min 

1

y
= -2
x + 1
3

Čitatel musí být nula. Stacionárním bodem je tedy x = -1.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y =
2(x2 - x + 1)
(x - 1)2
D( f ) = R \ {1}, y(0) = 2, není průs. s osou x
y
= -2
x + 1
(x - 1)3
, x1 = -1. . . lok. minimum, y(-1) =
3
2

-1
min 

1

y
= -2
x + 1
(x - 1)3

= -2
1(x - 1)3 - (x + 1)3(x - 1)2(1 - 0)
((x - 1)3)2
= -2(x - 1)2 (x - 1) - (x + 1)3
(x - 1)6
= -2
-2x - 4
4
= 4
x + 2
4
Zakreslíme stacionární bod a bod nespojitosti.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y =
2(x2 - x + 1)
(x - 1)2
D( f ) = R \ {1}, y(0) = 2, není průs. s osou x
y
= -2
x + 1
(x - 1)3
, x1 = -1. . . lok. minimum, y(-1) =
3
2

-1
min 

1

y
= -2
x + 1
(x - 1)3

= -2
1(x - 1)3 - (x + 1)3(x - 1)2(1 - 0)
((x - 1)3)2
= -2(x - 1)2 (x - 1) - (x + 1)3
(x - 1)6
= -2
-2x - 4
4
= 4
x + 2
4
Určíme y
(-2).
y
(-2) = -2
-2 + 1
(-2 - 1)3
= -2
záporná hodnota
záporná hodnota
< 0
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y =
2(x2 - x + 1)
(x - 1)2
D( f ) = R \ {1}, y(0) = 2, není průs. s osou x
y
= -2
x + 1
(x - 1)3
, x1 = -1. . . lok. minimum, y(-1) =
3
2

-1
min 

1

y
= -2
x + 1
(x - 1)3

= -2
1(x - 1)3 - (x + 1)3(x - 1)2(1 - 0)
((x - 1)3)2
= -2(x - 1)2 (x - 1) - (x + 1)3
(x - 1)6
= -2
-2x - 4
4
= 4
x + 2
4
Určíme y
(0).
y
(0) = -2
0 + 1
(0 - 1)3
= -2
kladná hodnota
záporná hodnota
> 0
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y =
2(x2 - x + 1)
(x - 1)2
D( f ) = R \ {1}, y(0) = 2, není průs. s osou x
y
= -2
x + 1
(x - 1)3
, x1 = -1. . . lok. minimum, y(-1) =
3
2

-1
min 

1

y
= -2
x + 1
(x - 1)3

= -2
1(x - 1)3 - (x + 1)3(x - 1)2(1 - 0)
((x - 1)3)2
= -2(x - 1)2 (x - 1) - (x + 1)3
(x - 1)6
= -2
-2x - 4
4
= 4
x + 2
4
Lokální minimum pro x = -1. Funkční hodnota je
y(-1) =
2((-1)2 - (-1) + 1)
(-1 - 1)2
=
2.3
4
=
3
2
.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y =
2(x2 - x + 1)
(x - 1)2
D( f ) = R \ {1}, y(0) = 2, není průs. s osou x
y
= -2
x + 1
(x - 1)3
, x1 = -1. . . lok. minimum, y(-1) =
3
2

-1
min 

1

y
= -2
x + 1
(x - 1)3

= -2
1(x - 1)3 - (x + 1)3(x - 1)2(1 - 0)
((x - 1)3)2
= -2(x - 1)2 (x - 1) - (x + 1)3
(x - 1)6
= -2
-2x - 4
4
= 4
x + 2
4
y
(2) = -2
2 + 1
(2 - 1)3
= -2
3
1
< 0
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y =
2(x2 - x + 1)
(x - 1)2
D( f ) = R \ {1}, y(0) = 2, není průs. s osou x
y
= -2
x + 1
(x - 1)3
, x1 = -1. . . lok. minimum, y(-1) =
3
2
y
= -2
x + 1
(x - 1)3

= -2
1(x - 1)3 - (x + 1)3(x - 1)2(1 - 0)
((x - 1)3)2
= -2(x - 1)2 (x - 1) - (x + 1)3
(x - 1)6
= -2
-2x - 4
(x - 1)4
= 4
x + 2
(x - 1)4
y
= 4
x + 2
(x - 1)4
, x2 = -2
Vypočteme druhou derivaci.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y =
2(x2 - x + 1)
(x - 1)2
D( f ) = R \ {1}, y(0) = 2, není průs. s osou x
y
= -2
x + 1
(x - 1)3
, x1 = -1. . . lok. minimum, y(-1) =
3
2
y
= -2
x + 1
(x - 1)3

= -2
1(x - 1)3 - (x + 1)3(x - 1)2(1 - 0)
((x - 1)3)2
= -2(x - 1)2 (x - 1) - (x + 1)3
(x - 1)6
= -2
-2x - 4
(x - 1)4
= 4
x + 2
(x - 1)4
y
= 4
x + 2
(x - 1)4
, x2 = -2
ˇ Použijeme pravidlo pro derivaci podílu.
ˇ Jmenovatel budeme derivovat jako složenou funkci.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y =
2(x2 - x + 1)
(x - 1)2
D( f ) = R \ {1}, y(0) = 2, není průs. s osou x
y
= -2
x + 1
(x - 1)3
, x1 = -1. . . lok. minimum, y(-1) =
3
2
y
= -2
x + 1
(x - 1)3

= -2
1(x - 1)3 - (x + 1)3(x - 1)2(1 - 0)
((x - 1)3)2
= -2(x - 1)2 (x - 1) - (x + 1)3
(x - 1)6
= -2
-2x - 4
(x - 1)4
= 4
x + 2
(x - 1)4
y
= 4
x + 2
(x - 1)4
, x2 = -2
Vytkneme (x - 1)2
v čitateli.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y =
2(x2 - x + 1)
(x - 1)2
D( f ) = R \ {1}, y(0) = 2, není průs. s osou x
y
= -2
x + 1
(x - 1)3
, x1 = -1. . . lok. minimum, y(-1) =
3
2
y
= -2
x + 1
(x - 1)3

= -2
1(x - 1)3 - (x + 1)3(x - 1)2(1 - 0)
((x - 1)3)2
= -2(x - 1)2 (x - 1) - (x + 1)3
(x - 1)6
= -2
-2x - 4
(x - 1)4
= 4
x + 2
(x - 1)4
y
= 4
x + 2
(x - 1)4
, x2 = -2
Upravíme.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y =
2(x2 - x + 1)
(x - 1)2
D( f ) = R \ {1}, y(0) = 2, není průs. s osou x
y
= -2
x + 1
(x - 1)3
, x1 = -1. . . lok. minimum, y(-1) =
3
2
y
= -2
x + 1
(x - 1)3

= -2
1(x - 1)3 - (x + 1)3(x - 1)2(1 - 0)
((x - 1)3)2
= -2(x - 1)2 (x - 1) - (x + 1)3
(x - 1)6
= -2
-2x - 4
(x - 1)4
= 4
x + 2
(x - 1)4
y
= 4
x + 2
(x - 1)4
, x2 = -2
Obdrželi jsme druhou derivaci.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y =
2(x2 - x + 1)
(x - 1)2
D( f ) = R \ {1}, y(0) = 2, není průs. s osou x
y
= -2
x + 1
(x - 1)3
, x1 = -1. . . lok. minimum, y(-1) =
3
2
y
= 4
x + 2
(x - 1)4
, x2 = -2
4
x + 2
(x - 1)4
= 0
x + 2 = 0
x = -2

-2
in. 

1

Ř ešíme y
= 0.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y =
2(x2 - x + 1)
(x - 1)2
D( f ) = R \ {1}, y(0) = 2, není průs. s osou x
y
= -2
x + 1
(x - 1)3
, x1 = -1. . . lok. minimum, y(-1) =
3
2
y
= 4
x + 2
(x - 1)4
, x2 = -2
4
x + 2
(x - 1)4
= 0
x + 2 = 0
x = -2

-2
in. 

1

Jediné řešení je x = -2.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y =
2(x2 - x + 1)
(x - 1)2
D( f ) = R \ {1}, y(0) = 2, není průs. s osou x
y
= -2
x + 1
(x - 1)3
, x1 = -1. . . lok. minimum, y(-1) =
3
2
y
= 4
x + 2
(x - 1)4
, x2 = -2

-2
in. 

1

Určíme intervaly konvexnosti a konkavity.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y =
2(x2 - x + 1)
(x - 1)2
D( f ) = R \ {1}, y(0) = 2, není průs. s osou x
y
= -2
x + 1
(x - 1)3
, x1 = -1. . . lok. minimum, y(-1) =
3
2
y
= 4
x + 2
(x - 1)4
, x2 = -2

-2
in. 

1

y
(-3) = 4
-3 + 2
kladná hodnota
< 0
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y =
2(x2 - x + 1)
(x - 1)2
D( f ) = R \ {1}, y(0) = 2, není průs. s osou x
y
= -2
x + 1
(x - 1)3
, x1 = -1. . . lok. minimum, y(-1) =
3
2
y
= 4
x + 2
(x - 1)4
, x2 = -2

-2
in. 

1

y
(0) = 4
0 + 2
kladná hodnota
> 0
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y =
2(x2 - x + 1)
(x - 1)2
D( f ) = R \ {1}, y(0) = 2, není průs. s osou x
y
= -2
x + 1
(x - 1)3
, x1 = -1. . . lok. minimum, y(-1) =
3
2
y
= 4
x + 2
(x - 1)4
, x2 = -2

-2
in. 

1

Inflexní bod v bodě x = -2. Funkční hodnota je
y(-2) =
14
9
.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y =
2(x2 - x + 1)
(x - 1)2
D( f ) = R \ {1}, y(0) = 2, není průs. s osou x
y
= -2
x + 1
(x - 1)3
, x1 = -1. . . lok. minimum, y(-1) =
3
2
y
= 4
x + 2
(x - 1)4
, x2 = -2

-2
in. 

1

y
(2) = 4
2 + 1
kladná hodnota
> 0
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
+

1
+ 
-1
min

1
 
-2
in. 

1

f (0) = 2
f () = 2
f (1) = +
f (-1) =
3
2
f (-2) =
14
9
Shrneme dosavadní znalosti.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
+

1
+ 
-1
min

1
 
-2
in. 

1

f (0) = 2
f () = 2
f (1) = +
f (-1) =
3
2
f (-2) =
14
9
x
y
1-1-2
Nakreslíme souřadnou soustavu.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
+

1
+ 
-1
min

1
 
-2
in. 

1

f (0) = 2
f () = 2
f (1) = +
f (-1) =
3
2
f (-2) =
14
9
x
y
1-1-2
2
Vyznačíme průsečík s osou y.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
+

1
+ 
-1
min

1
 
-2
in. 

1

f (0) = 2
f () = 2
f (1) = +
f (-1) =
3
2
f (-2) =
14
9
x
y
1-1-2
2
Funkce v tomto bodě roste.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
+

1
+ 
-1
min

1
 
-2
in. 

1

f (0) = 2
f () = 2
f (1) = +
f (-1) =
3
2
f (-2) =
14
9
x
y
1-1-2
2
Nakreslíme funkci v okolí svislé asymptoty.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
+

1
+ 
-1
min

1
 
-2
in. 

1

f (0) = 2
f () = 2
f (1) = +
f (-1) =
3
2
f (-2) =
14
9
x
y
1-1-2
2
Nakreslíme funkci v okolí vodorovné asymptoty.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
+

1
+ 
-1
min

1
 
-2
in. 

1

f (0) = 2
f () = 2
f (1) = +
f (-1) =
3
2
f (-2) =
14
9
x
y
1-1-2
2
Nakreslíme lokální minimum funkce.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
+

1
+ 
-1
min

1
 
-2
in. 

1

f (0) = 2
f () = 2
f (1) = +
f (-1) =
3
2
f (-2) =
14
9
x
y
1-1-2
2
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y = ln
x2
x + 2
D( f ) = (-2, 0)  (0, ); není ani sudá ani lichá;
y = 0  ln
x2
x + 2
= 0 
x2
x + 2
= 1
x2
= x + 2
x2
- x - 2 = 0
x1,2 =
1 

1 + 8
2
x1 = 2  D( f )
x2 = -1  D( f )
+ - - +
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y = ln
x2
x + 2
D( f ) = (-2, 0)  (0, ); není ani sudá ani lichá;
y = 0  ln
x2
x + 2
= 0 
x2
x + 2
= 1
x2
= x + 2
x2
- x - 2 = 0
x1,2 =
1 

1 + 8
2
x1 = 2  D( f )
x2 = -1  D( f )
+ - - +
Funkce y(x) je definována pro x + 2 = 0 a
x2
x + 2
> 0.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y = ln
x2
x + 2
D( f ) = (-2, 0)  (0, ); není ani sudá ani lichá;
y = 0  ln
x2
x + 2
= 0 
x2
x + 2
= 1
x2
= x + 2
x2
- x - 2 = 0
x1,2 =
1 

1 + 8
2
x1 = 2  D( f )
x2 = -1  D( f )
+ - - +
Plyne z nesymetričnosti definičního oboru.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y = ln
x2
x + 2
D( f ) = (-2, 0)  (0, ); není ani sudá ani lichá;
y = 0  ln
x2
x + 2
= 0 
x2
x + 2
= 1
x2
= x + 2
x2
- x - 2 = 0
x1,2 =
1 

1 + 8
2
x1 = 2  D( f )
x2 = -1  D( f )
+ - - +
Hledáme průsečíky s osou x.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y = ln
x2
x + 2
D( f ) = (-2, 0)  (0, ); není ani sudá ani lichá;
y = 0  ln
x2
x + 2
= 0 
x2
x + 2
= 1
x2
= x + 2
x2
- x - 2 = 0
x1,2 =
1 

1 + 8
2
x1 = 2  D( f )
x2 = -1  D( f )
+ - - +
Položíme funkci y(x) rovnu 0 .
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y = ln
x2
x + 2
D( f ) = (-2, 0)  (0, ); není ani sudá ani lichá;
y = 0  ln
x2
x + 2
= 0 
x2
x + 2
= 1
x2
= x + 2
x2
- x - 2 = 0
x1,2 =
1 

1 + 8
2
x1 = 2  D( f )
x2 = -1  D( f )
+ - - +
Odlogaritmováním dostaneme kvadratickou rovnici.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y = ln
x2
x + 2
D( f ) = (-2, 0)  (0, ); není ani sudá ani lichá;
y = 0  ln
x2
x + 2
= 0 
x2
x + 2
= 1
x2
= x + 2
x2
- x - 2 = 0
x1,2 =
1 

1 + 8
2
x1 = 2  D( f )
x2 = -1  D( f )
+ - - +
Vynásobíme jmenovatelem x + 2
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y = ln
x2
x + 2
D( f ) = (-2, 0)  (0, ); není ani sudá ani lichá;
y = 0  ln
x2
x + 2
= 0 
x2
x + 2
= 1
x2
= x + 2
x2
- x - 2 = 0
x1,2 =
1 

1 + 8
2
x1 = 2  D( f )
x2 = -1  D( f )
+ - - +
a převedeme na levou stranu.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y = ln
x2
x + 2
D( f ) = (-2, 0)  (0, ); není ani sudá ani lichá;
y = 0  ln
x2
x + 2
= 0 
x2
x + 2
= 1
x2
= x + 2
x2
- x - 2 = 0
x1,2 =
1 

1 + 8
2
x1 = 2  D( f )
x2 = -1  D( f )
+ - - +
Podle vzorce vypočítáme kořeny.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y = ln
x2
x + 2
D( f ) = (-2, 0)  (0, ); není ani sudá ani lichá;
y = 0  ln
x2
x + 2
= 0 
x2
x + 2
= 1
x2
= x + 2
x2
- x - 2 = 0
x1,2 =
1 

1 + 8
2
x1 = 2  D( f )
x2 = -1  D( f )
+ - - +
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y = ln
x2
x + 2
D( f ) = (-2, 0)  (0, ); není ani sudá ani lichá;
y = 0  ln
x2
x + 2
= 0 
x2
x + 2
= 1
x2
= x + 2
x2
- x - 2 = 0
x1,2 =
1 

1 + 8
2
x1 = 2  D( f )
x2 = -1  D( f )
+ - - +
Oba leží v definičním oboru funkce.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y = ln
x2
x + 2
D( f ) = (-2, 0)  (0, ); není ani sudá ani lichá;
-2
+
-1
-
0
-
2
+
lim
x
ln
x2
x + 2
= ln lim
x
x2
x + 2
= ln lim
x
x
1
= 
lim
x-2+
ln
x2
x + 2
= ln lim
x-2+
x2
x + 2
= ln lim
x-2+
4
x + 2
=
4
0+
= 
lim
x0
ln
x2
x + 2
= ln lim
x0
x2
x + 2
= ln lim
x0
x2
2
= ln
0+
2
= -
Na reálnou osu naneseme nulové body a body, kde funkce není
definována
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y = ln
x2
x + 2
D( f ) = (-2, 0)  (0, ); není ani sudá ani lichá;
-2
+
-1
-
0
-
2
+
lim
x
ln
x2
x + 2
= ln lim
x
x2
x + 2
= ln lim
x
x
1
= 
lim
x-2+
ln
x2
x + 2
= ln lim
x-2+
x2
x + 2
= ln lim
x-2+
4
x + 2
=
4
0+
= 
lim
x0
ln
x2
x + 2
= ln lim
x0
x2
x + 2
= ln lim
x0
x2
2
= ln
0+
2
= -a dosazením bodů z jednotlivých intervalů zjistíme znaménko funkce.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y = ln
x2
x + 2
D( f ) = (-2, 0)  (0, ); není ani sudá ani lichá;
-2
+
-1
-
0
-
2
+
lim
x
ln
x2
x + 2
= ln lim
x
x2
x + 2
= ln lim
x
x
1
= 
lim
x-2+
ln
x2
x + 2
= ln lim
x-2+
x2
x + 2
= ln lim
x-2+
4
x + 2
=
4
0+
= 
lim
x0
ln
x2
x + 2
= ln lim
x0
x2
x + 2
= ln lim
x0
x2
2
= ln
0+
2
= -a dosazením bodů z jednotlivých intervalů zjistíme znaménko funkce.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y = ln
x2
x + 2
D( f ) = (-2, 0)  (0, ); není ani sudá ani lichá;
-2
+
-1
-
0
-
2
+
lim
x
ln
x2
x + 2
= ln lim
x
x2
x + 2
= ln lim
x
x
1
= 
lim
x-2+
ln
x2
x + 2
= ln lim
x-2+
x2
x + 2
= ln lim
x-2+
4
x + 2
=
4
0+
= 
lim
x0
ln
x2
x + 2
= ln lim
x0
x2
x + 2
= ln lim
x0
x2
2
= ln
0+
2
= -a dosazením bodů z jednotlivých intervalů zjistíme znaménko funkce.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y = ln
x2
x + 2
D( f ) = (-2, 0)  (0, ); není ani sudá ani lichá;
lim
x
ln
x2
x + 2
= ln lim
x
x2
x + 2
= ln lim
x
x
1
= 
lim
x-2+
ln
x2
x + 2
= ln lim
x-2+
x2
x + 2
= ln lim
x-2+
4
x + 2
=
4
0+
= 
lim
x0
ln
x2
x + 2
= ln lim
x0
x2
x + 2
= ln lim
x0
x2
2
= ln
0+
2
= -
y
=
x + 2
x2
2x(x + 2) - x2
(x + 2)2
2
Vypočteme limitu funkce v +
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y = ln
x2
x + 2
D( f ) = (-2, 0)  (0, ); není ani sudá ani lichá;
lim
x
ln
x2
x + 2
= ln lim
x
x2
x + 2
= ln lim
x
x
1
= 
lim
x-2+
ln
x2
x + 2
= ln lim
x-2+
x2
x + 2
= ln lim
x-2+
4
x + 2
=
4
0+
= 
lim
x0
ln
x2
x + 2
= ln lim
x0
x2
x + 2
= ln lim
x0
x2
2
= ln
0+
2
= -
y
=
x + 2
x2
2x(x + 2) - x2
(x + 2)2
2
Podle věty o limitě složené funkce zaměníme pořadí limity a logaritmu.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y = ln
x2
x + 2
D( f ) = (-2, 0)  (0, ); není ani sudá ani lichá;
lim
x
ln
x2
x + 2
= ln lim
x
x2
x + 2
= ln lim
x
x
1
= 
lim
x-2+
ln
x2
x + 2
= ln lim
x-2+
x2
x + 2
= ln lim
x-2+
4
x + 2
=
4
0+
= 
lim
x0
ln
x2
x + 2
= ln lim
x0
x2
x + 2
= ln lim
x0
x2
2
= ln
0+
2
= -
y
=
x + 2
x2
2x(x + 2) - x2
(x + 2)2
2
Pro řešení limity použijeme např. L'Hospitalovo pravidlo.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y = ln
x2
x + 2
D( f ) = (-2, 0)  (0, ); není ani sudá ani lichá;
lim
x
ln
x2
x + 2
= ln lim
x
x2
x + 2
= ln lim
x
x
1
= 
lim
x-2+
ln
x2
x + 2
= ln lim
x-2+
x2
x + 2
= ln lim
x-2+
4
x + 2
=
4
0+
= 
lim
x0
ln
x2
x + 2
= ln lim
x0
x2
x + 2
= ln lim
x0
x2
2
= ln
0+
2
= -
y
=
x + 2
x2
2x(x + 2) - x2
(x + 2)2
2
Funkce ln x pro x   diverguje.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y = ln
x2
x + 2
D( f ) = (-2, 0)  (0, ); není ani sudá ani lichá;
lim
x
ln
x2
x + 2
= ln lim
x
x2
x + 2
= ln lim
x
x
1
= 
lim
x-2+
ln
x2
x + 2
= ln lim
x-2+
x2
x + 2
= ln lim
x-2+
4
x + 2
=
4
0+
= 
lim
x0
ln
x2
x + 2
= ln lim
x0
x2
x + 2
= ln lim
x0
x2
2
= ln
0+
2
= -
y
=
x + 2
x2
2x(x + 2) - x2
(x + 2)2
2
Chování funkce na levém okraji definičního oboru určíme výpočtem
limity funkce v bodě -2 zprava.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y = ln
x2
x + 2
D( f ) = (-2, 0)  (0, ); není ani sudá ani lichá;
lim
x
ln
x2
x + 2
= ln lim
x
x2
x + 2
= ln lim
x
x
1
= 
lim
x-2+
ln
x2
x + 2
= ln lim
x-2+
x2
x + 2
= ln lim
x-2+
4
x + 2
=
4
0+
= 
lim
x0
ln
x2
x + 2
= ln lim
x0
x2
x + 2
= ln lim
x0
x2
2
= ln
0+
2
= -
y
=
x + 2
x2
2x(x + 2) - x2
(x + 2)2
2
Zaměníme pořadí limity a logaritmu,
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y = ln
x2
x + 2
D( f ) = (-2, 0)  (0, ); není ani sudá ani lichá;
lim
x
ln
x2
x + 2
= ln lim
x
x2
x + 2
= ln lim
x
x
1
= 
lim
x-2+
ln
x2
x + 2
= ln lim
x-2+
x2
x + 2
= ln lim
x-2+
4
x + 2
=
4
0+
= 
lim
x0
ln
x2
x + 2
= ln lim
x0
x2
x + 2
= ln lim
x0
x2
2
= ln
0+
2
= -
y
=
x + 2
x2
2x(x + 2) - x2
(x + 2)2
2
částečně dosadíme a
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y = ln
x2
x + 2
D( f ) = (-2, 0)  (0, ); není ani sudá ani lichá;
lim
x
ln
x2
x + 2
= ln lim
x
x2
x + 2
= ln lim
x
x
1
= 
lim
x-2+
ln
x2
x + 2
= ln lim
x-2+
x2
x + 2
= ln lim
x-2+
4
x + 2
=
4
0+
= 
lim
x0
ln
x2
x + 2
= ln lim
x0
x2
x + 2
= ln lim
x0
x2
2
= ln
0+
2
= -
y
=
x + 2
x2
2x(x + 2) - x2
(x + 2)2
2
dostáváme limitu typu
4
0+
,
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y = ln
x2
x + 2
D( f ) = (-2, 0)  (0, ); není ani sudá ani lichá;
lim
x
ln
x2
x + 2
= ln lim
x
x2
x + 2
= ln lim
x
x
1
= 
lim
x-2+
ln
x2
x + 2
= ln lim
x-2+
x2
x + 2
= ln lim
x-2+
4
x + 2
=
4
0+
= 
lim
x0
ln
x2
x + 2
= ln lim
x0
x2
x + 2
= ln lim
x0
x2
2
= ln
0+
2
= -
y
=
x + 2
x2
2x(x + 2) - x2
(x + 2)2
2
což je nekonečno.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y = ln
x2
x + 2
D( f ) = (-2, 0)  (0, ); není ani sudá ani lichá;
lim
x
ln
x2
x + 2
= ln lim
x
x2
x + 2
= ln lim
x
x
1
= 
lim
x-2+
ln
x2
x + 2
= ln lim
x-2+
x2
x + 2
= ln lim
x-2+
4
x + 2
=
4
0+
= 
lim
x0
ln
x2
x + 2
= ln lim
x0
x2
x + 2
= ln lim
x0
x2
2
= ln
0+
2
= -
y
=
x + 2
x2
2x(x + 2) - x2
(x + 2)2
2
Chování funkce v okolí dalšího nedefinovaného bodu 0 určíme
výpočtem limity funkce v bodě 0 zprava a zleva.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y = ln
x2
x + 2
D( f ) = (-2, 0)  (0, ); není ani sudá ani lichá;
lim
x
ln
x2
x + 2
= ln lim
x
x2
x + 2
= ln lim
x
x
1
= 
lim
x-2+
ln
x2
x + 2
= ln lim
x-2+
x2
x + 2
= ln lim
x-2+
4
x + 2
=
4
0+
= 
lim
x0
ln
x2
x + 2
= ln lim
x0
x2
x + 2
= ln lim
x0
x2
2
= ln
0+
2
= -
y
=
x + 2
x2
2x(x + 2) - x2
(x + 2)2
2
Zaměníme pořadí limity a logaritmu,
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y = ln
x2
x + 2
D( f ) = (-2, 0)  (0, ); není ani sudá ani lichá;
lim
x
ln
x2
x + 2
= ln lim
x
x2
x + 2
= ln lim
x
x
1
= 
lim
x-2+
ln
x2
x + 2
= ln lim
x-2+
x2
x + 2
= ln lim
x-2+
4
x + 2
=
4
0+
= 
lim
x0
ln
x2
x + 2
= ln lim
x0
x2
x + 2
= ln lim
x0
x2
2
= ln
0+
2
= -
y
=
x + 2
x2
2x(x + 2) - x2
(x + 2)2
2
částečně dosadíme a
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y = ln
x2
x + 2
D( f ) = (-2, 0)  (0, ); není ani sudá ani lichá;
lim
x
ln
x2
x + 2
= ln lim
x
x2
x + 2
= ln lim
x
x
1
= 
lim
x-2+
ln
x2
x + 2
= ln lim
x-2+
x2
x + 2
= ln lim
x-2+
4
x + 2
=
4
0+
= 
lim
x0
ln
x2
x + 2
= ln lim
x0
x2
x + 2
= ln lim
x0
x2
2
= ln
0+
2
= -
y
=
x + 2
x2
2x(x + 2) - x2
(x + 2)2
2
v obou případech dostáváme typ
0+
2
,
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y = ln
x2
x + 2
D( f ) = (-2, 0)  (0, ); není ani sudá ani lichá;
lim
x
ln
x2
x + 2
= ln lim
x
x2
x + 2
= ln lim
x
x
1
= 
lim
x-2+
ln
x2
x + 2
= ln lim
x-2+
x2
x + 2
= ln lim
x-2+
4
x + 2
=
4
0+
= 
lim
x0
ln
x2
x + 2
= ln lim
x0
x2
x + 2
= ln lim
x0
x2
2
= ln
0+
2
= -
y
=
x + 2
x2
2x(x + 2) - x2
(x + 2)2
2
proto lze dosadit do logaritmu, který je definován pouze pro pravé
okolí nuly.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y = ln
x2
x + 2
D( f ) = (-2, 0)  (0, ); není ani sudá ani lichá;
y
=
x + 2
x2
2x(x + 2) - x2
(x + 2)2
=
1
x2
x2 + 4x
x + 2
=
x(x + 4)
x2(x + 2)
=
x + 4
x(x + 2)
y
=
x + 4
x(x + 2)
,Funkce y(x) je složená, proto nejdříve derivujeme vnější složku
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y = ln
x2
x + 2
D( f ) = (-2, 0)  (0, ); není ani sudá ani lichá;
y
=
x + 2
x2
2x(x + 2) - x2
(x + 2)2
=
1
x2
x2 + 4x
x + 2
=
x(x + 4)
x2(x + 2)
=
x + 4
x(x + 2)
y
=
x + 4
x(x + 2)
,a násobíme derivací vnitřní složky. Tu derivujeme jako podíl.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y = ln
x2
x + 2
D( f ) = (-2, 0)  (0, ); není ani sudá ani lichá;
y
=
x + 2
x2
2x(x + 2) - x2
(x + 2)2
=
1
x2
x2 + 4x
x + 2
=
x(x + 4)
x2(x + 2)
=
x + 4
x(x + 2)
y
=
x + 4
x(x + 2)
,Zelené části se zkrátí,
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y = ln
x2
x + 2
D( f ) = (-2, 0)  (0, ); není ani sudá ani lichá;
y
=
x + 2
x2
2x(x + 2) - x2
(x + 2)2
=
1
x2
x2 + 4x
x + 2
=
x(x + 4)
x2(x + 2)
=
x + 4
x(x + 2)
y
=
x + 4
x(x + 2)
,v čitateli vytkneme x
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y = ln
x2
x + 2
D( f ) = (-2, 0)  (0, ); není ani sudá ani lichá;
y
=
x + 2
x2
2x(x + 2) - x2
(x + 2)2
=
1
x2
x2 + 4x
x + 2
=
x(x + 4)
x2(x + 2)
=
x + 4
x(x + 2)
y
=
x + 4
x(x + 2)
,a zkrátíme.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y = ln
x2
x + 2
D( f ) = (-2, 0)  (0, ); není ani sudá ani lichá;
y
=
x + 4
x(x + 2)
,
y
= 0
x + 4
x(x + 2)
= 0
x + 4 = 0
x = -4 / D( f )
-2

0
Hledáme stacionární body.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y = ln
x2
x + 2
D( f ) = (-2, 0)  (0, ); není ani sudá ani lichá;
y
=
x + 4
x(x + 2)
,
y
= 0
x + 4
x(x + 2)
= 0
x + 4 = 0
x = -4 / D( f )
-2

0
Dosadíme vypočtenou derivaci funkce.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y = ln
x2
x + 2
D( f ) = (-2, 0)  (0, ); není ani sudá ani lichá;
y
=
x + 4
x(x + 2)
,
y
= 0
x + 4
x(x + 2)
= 0
x + 4 = 0
x = -4 / D( f )
-2

0
Zlomek je roven nule právě tehdy, když je roven nule jeho čitatel.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y = ln
x2
x + 2
D( f ) = (-2, 0)  (0, ); není ani sudá ani lichá;
y
=
x + 4
x(x + 2)
,
y
= 0
x + 4
x(x + 2)
= 0
x + 4 = 0
x = -4 / D( f )
-2

0

Vypočtená hodnota neleží v definičním oboru funkce, proto funkce
nemá žádný stacionární bod.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y = ln
x2
x + 2
D( f ) = (-2, 0)  (0, ); není ani sudá ani lichá;
y
=
x + 4
x(x + 2)
,
-2

0

y
=
x + 4
x(x + 2)

=
x(x + 2) - (x + 4)(2x + 2)
x2(x + 2)2
=
x2 + 2x - 2x2 - 8x - 2x - 8
x2(x + 2)2
x2 + 8x + 8
Znaménko derivace se tedy může měnit jen v bodech, kde není
definována.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y = ln
x2
x + 2
D( f ) = (-2, 0)  (0, ); není ani sudá ani lichá;
y
=
x + 4
x(x + 2)
,
-2

0

y
=
x + 4
x(x + 2)

=
x(x + 2) - (x + 4)(2x + 2)
x2(x + 2)2
=
x2 + 2x - 2x2 - 8x - 2x - 8
x2(x + 2)2
x2 + 8x + 8
Do červeně označené derivace dosadíme body z jednotlivých intervalů.
Kladné znaménko znamená, že zde funkce roste, záporné, že klesá.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y = ln
x2
x + 2
D( f ) = (-2, 0)  (0, ); není ani sudá ani lichá;
y
=
x + 4
x(x + 2)
,
-2

0

y
=
x + 4
x(x + 2)

=
x(x + 2) - (x + 4)(2x + 2)
x2(x + 2)2
=
x2 + 2x - 2x2 - 8x - 2x - 8
x2(x + 2)2
x2 + 8x + 8
Do červeně označené derivace dosadíme body z jednotlivých intervalů.
Kladné znaménko znamená, že zde funkce roste, záporné, že klesá.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y = ln
x2
x + 2
D( f ) = (-2, 0)  (0, ); není ani sudá ani lichá;
y
=
x + 4
x(x + 2)
,
y
=
x + 4
x(x + 2)

=
x(x + 2) - (x + 4)(2x + 2)
x2(x + 2)2
=
x2 + 2x - 2x2 - 8x - 2x - 8
x2(x + 2)2
= -
x2 + 8x + 8
x2(x + 2)2
2
Druhou derivaci dostaneme derivací první,
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y = ln
x2
x + 2
D( f ) = (-2, 0)  (0, ); není ani sudá ani lichá;
y
=
x + 4
x(x + 2)
,
y
=
x + 4
x(x + 2)

=
x(x + 2) - (x + 4)(2x + 2)
x2(x + 2)2
=
x2 + 2x - 2x2 - 8x - 2x - 8
x2(x + 2)2
= -
x2 + 8x + 8
x2(x + 2)2
2
kterou derivujeme jako podíl.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y = ln
x2
x + 2
D( f ) = (-2, 0)  (0, ); není ani sudá ani lichá;
y
=
x + 4
x(x + 2)
,
y
=
x + 4
x(x + 2)

=
x(x + 2) - (x + 4)(2x + 2)
x2(x + 2)2
=
x2 + 2x - 2x2 - 8x - 2x - 8
x2(x + 2)2
= -
x2 + 8x + 8
x2(x + 2)2
2
V čitateli nelze nic vytknout, proto jej roznásobíme
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y = ln
x2
x + 2
D( f ) = (-2, 0)  (0, ); není ani sudá ani lichá;
y
=
x + 4
x(x + 2)
,
y
=
x + 4
x(x + 2)

=
x(x + 2) - (x + 4)(2x + 2)
x2(x + 2)2
=
x2 + 2x - 2x2 - 8x - 2x - 8
x2(x + 2)2
= -
x2 + 8x + 8
x2(x + 2)2
2
a příslušné mocniny sečteme.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y = ln
x2
x + 2
D( f ) = (-2, 0)  (0, ); není ani sudá ani lichá;
y
=
x + 4
x(x + 2)
, y
= -
x2 + 8x + 8
x2(x + 2)2
,
y
= 0
-
x2 + 8x + 8
x2(x + 2)2
= 0
x2
+ 8x + 8 = 0
x1,2 =
-8 

64 - 32
2
x1,2 = -4  2

2

Hledáme inflexní body.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y = ln
x2
x + 2
D( f ) = (-2, 0)  (0, ); není ani sudá ani lichá;
y
=
x + 4
x(x + 2)
, y
= -
x2 + 8x + 8
x2(x + 2)2
,
y
= 0
-
x2 + 8x + 8
x2(x + 2)2
= 0
x2
+ 8x + 8 = 0
x1,2 =
-8 

64 - 32
2
x1,2 = -4  2

2

Dosadíme vypočtenou druhou derivaci funkce.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y = ln
x2
x + 2
D( f ) = (-2, 0)  (0, ); není ani sudá ani lichá;
y
=
x + 4
x(x + 2)
, y
= -
x2 + 8x + 8
x2(x + 2)2
,
y
= 0
-
x2 + 8x + 8
x2(x + 2)2
= 0
x2
+ 8x + 8 = 0
x1,2 =
-8 

64 - 32
2
x1,2 = -4  2

2

Zlomek je roven nule právě tehdy, když je roven nule jeho čitatel.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y = ln
x2
x + 2
D( f ) = (-2, 0)  (0, ); není ani sudá ani lichá;
y
=
x + 4
x(x + 2)
, y
= -
x2 + 8x + 8
x2(x + 2)2
,
y
= 0
-
x2 + 8x + 8
x2(x + 2)2
= 0
x2
+ 8x + 8 = 0
x1,2 =
-8 

64 - 32
2
x1,2 = -4  2

2

Podle vzorce vypočítáme kořeny kvadratické rovnice.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y = ln
x2
x + 2
D( f ) = (-2, 0)  (0, ); není ani sudá ani lichá;
y
=
x + 4
x(x + 2)
, y
= -
x2 + 8x + 8
x2(x + 2)2
,
y
= 0
-
x2 + 8x + 8
x2(x + 2)2
= 0
x2
+ 8x + 8 = 0
x1,2 =
-8 

64 - 32
2
x1,2 = -4  2

2

Upravíme.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y = ln
x2
x + 2
D( f ) = (-2, 0)  (0, ); není ani sudá ani lichá;
y
=
x + 4
x(x + 2)
, y
= -
x2 + 8x + 8
x2(x + 2)2
,
x1 = -4 - 2

2 / D( f )
x2 = -4 + 2

2
.
= -1.17  D( f )
-2

-4 + 2

2
in. 
0

x1 není inflexní bod, protože neleží v definičním oboru funkce,
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y = ln
x2
x + 2
D( f ) = (-2, 0)  (0, ); není ani sudá ani lichá;
y
=
x + 4
x(x + 2)
, y
= -
x2 + 8x + 8
x2(x + 2)2
,
x1 = -4 - 2

2 / D( f )
x2 = -4 + 2

2
.
= -1.17  D( f )
-2

-4 + 2

2
in. 
0

x2 leží v definičním oboru funkce.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y = ln
x2
x + 2
D( f ) = (-2, 0)  (0, ); není ani sudá ani lichá;
y
=
x + 4
x(x + 2)
, y
= -
x2 + 8x + 8
x2(x + 2)2
,
x1 = -4 - 2

2 / D( f )
x2 = -4 + 2

2
.
= -1.17  D( f )
-2

-4 + 2

2
in. 
0

Znaménko druhé derivace se tedy může měnit jen v bodech, kde není
definována a v bodě x2.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y = ln
x2
x + 2
D( f ) = (-2, 0)  (0, ); není ani sudá ani lichá;
y
=
x + 4
x(x + 2)
, y
= -
x2 + 8x + 8
x2(x + 2)2
,
x1 = -4 - 2

2 / D( f )
x2 = -4 + 2

2
.
= -1.17  D( f )
-2

-4 + 2

2
in. 
0

Do červeně označené druhé derivace dosadíme body z jednotlivých
intervalů. Kladné znaménko znamená, že je zde funkce konvexní,
záporné, že je konkávní.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y = ln
x2
x + 2
D( f ) = (-2, 0)  (0, ); není ani sudá ani lichá;
y
=
x + 4
x(x + 2)
, y
= -
x2 + 8x + 8
x2(x + 2)2
,
x1 = -4 - 2

2 / D( f )
x2 = -4 + 2

2
.
= -1.17  D( f )
-2

-4 + 2

2
in. 
0

funkce se v x2 mění z konvexní na konkávní,
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y = ln
x2
x + 2
D( f ) = (-2, 0)  (0, ); není ani sudá ani lichá;
y
=
x + 4
x(x + 2)
, y
= -
x2 + 8x + 8
x2(x + 2)2
,
x1 = -4 - 2

2 / D( f )
x2 = -4 + 2

2
.
= -1.17  D( f )
-2

-4 + 2

2
in. 
0

x2 je proto inflexním bodem,
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y = ln
x2
x + 2
D( f ) = (-2, 0)  (0, ); není ani sudá ani lichá;
y
=
x + 4
x(x + 2)
, y
= -
x2 + 8x + 8
x2(x + 2)2
,
x1 = -4 - 2

2 / D( f )
x2 = -4 + 2

2
.
= -1.17  D( f )
-2

-4 + 2

2
in. 
0

    c Lenka Přibylová, 2006 ×
-2
+
-1
-
0
-
2
+
-2

0

-2

-4 + 2

2
in. 
0

f (-1) = 0
f (2) = 0
f () = 
f (0) = -
f (-4 + 2

2)
.
=
0.505
Vypíšeme nejdůležitější výsledky.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
-2
+
-1
-
0
-
2
+
-2

0

-2

-4 + 2

2
in. 
0

f (-1) = 0
f (2) = 0
f () = 
f (0) = -
f (-4 + 2

2)
.
=
0.505
-2 x
y
0 1-1
2
Zakreslíme souřadný systém. Pro hodnoty menší nebo rovny -2 a v 0
funkce není definována.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
-2
+
-1
-
0
-
2
+
-2

0

-2

-4 + 2

2
in. 
0

f (-1) = 0
f (2) = 0
f () = 
f (0) = -
f (-4 + 2

2)
.
=
0.505
-2 x
y
0 1-1
2
Vyznačíme průsečíky s osou x. Funkce klesá v bodě -1 a roste v bodě 2.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
-2
+
-1
-
0
-
2
+
-2

0

-2

-4 + 2

2
in. 
0

f (-1) = 0
f (2) = 0
f () = 
f (0) = -
f (-4 + 2

2)
.
=
0.505
-2 x
y
0 1-1
2
Nakreslíme funkci v okolí svislých asymptot.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
-2
+
-1
-
0
-
2
+
-2

0

-2

-4 + 2

2
in. 
0

f (-1) = 0
f (2) = 0
f () = 
f (0) = -
f (-4 + 2

2)
.
=
0.505
in.-2 x
y
0 1-1
2
Vyznačíme inflexní bod a spojíme graf.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y = (x + 1)ex
D( f ) = R; průsečík s osou y je [0, 1], průsečík s osou
y je [-1, 0],
(x + 1)ex
= 0
x + 1 = 0
x = -1
-
-1
+
f (-2) = (-2 + 1)  e-2
= -e-2
< 0
f (0) = 1 > 0
lim
x
(x + 1)ex
=    = 
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y = (x + 1)ex
D( f ) = R; průsečík s osou y je [0, 1], průsečík s osou
y je [-1, 0],
(x + 1)ex
= 0
x + 1 = 0
x = -1
-
-1
+
f (-2) = (-2 + 1)  e-2
= -e-2
< 0
f (0) = 1 > 0
lim
x
(x + 1)ex
=    = 
Definiční obor je celá množina R.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y = (x + 1)ex
D( f ) = R; průsečík s osou y je [0, 1], průsečík s osou
y je [-1, 0],
(x + 1)ex
= 0
x + 1 = 0
x = -1
-
-1
+
f (-2) = (-2 + 1)  e-2
= -e-2
< 0
f (0) = 1 > 0
lim
x
(x + 1)ex
=    = 
Dosadíme x = 0 do předpisu funkce f (x) a dostaneme průsečík s osou
y.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y = (x + 1)ex
D( f ) = R; průsečík s osou y je [0, 1], průsečík s osou
y je [-1, 0],
(x + 1)ex
= 0
x + 1 = 0
x = -1
-
-1
+
f (-2) = (-2 + 1)  e-2
= -e-2
< 0
f (0) = 1 > 0
lim
x
(x + 1)ex
=    = 
Ř ešením rovnice y = 0 dostaneme průsečík s osou x.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y = (x + 1)ex
D( f ) = R; průsečík s osou y je [0, 1], průsečík s osou
y je [-1, 0],
(x + 1)ex
= 0
x + 1 = 0
x = -1
-
-1
+
f (-2) = (-2 + 1)  e-2
= -e-2
< 0
f (0) = 1 > 0
lim
x
(x + 1)ex
=    = 
ˇ Součin je roven nule právě tehdy, když je roven nule jeden z
činitelů.
ˇ Činitel ex
je vždy kladné číslo.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y = (x + 1)ex
D( f ) = R; průsečík s osou y je [0, 1], průsečík s osou
y je [-1, 0],
(x + 1)ex
= 0
x + 1 = 0
x = -1
-
-1
+
f (-2) = (-2 + 1)  e-2
= -e-2
< 0
f (0) = 1 > 0
lim
x
(x + 1)ex
=    = 
Průsečík s osou x je x = -1.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y = (x + 1)ex
D( f ) = R; průsečík s osou y je [0, 1], průsečík s osou
y je [-1, 0],
(x + 1)ex
= 0
x + 1 = 0
x = -1
-
-1
+
f (-2) = (-2 + 1)  e-2
= -e-2
< 0
f (0) = 1 > 0
lim
x
(x + 1)ex
=    = 
ˇ Na osu x zaneseme průsečík.
ˇ Nemáme žádné body nespojitosti.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y = (x + 1)ex
D( f ) = R; průsečík s osou y je [0, 1], průsečík s osou
y je [-1, 0],
(x + 1)ex
= 0
x + 1 = 0
x = -1
-
-1
+
f (-2) = (-2 + 1)  e-2
= -e-2
< 0
f (0) = 1 > 0
lim
x
(x + 1)ex
=    = 
Funkční hodnota f (-2) je záporná a protože se znaménko na intervalu
(-, -1) nemůže změnit, je funkce záporná na celém tomto intervalu.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y = (x + 1)ex
D( f ) = R; průsečík s osou y je [0, 1], průsečík s osou
y je [-1, 0],
(x + 1)ex
= 0
x + 1 = 0
x = -1
-
-1
+
f (-2) = (-2 + 1)  e-2
= -e-2
< 0
f (0) = 1 > 0
lim
x
(x + 1)ex
=    = 
Funkce je kladná v x = 0, tedy také na (-1, ).
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y = (x + 1)ex
D( f ) = R; průsečík s osou y je [0, 1], průsečík s osou
y je [-1, 0],
lim
x
(x + 1)ex
=    = 
lim
x-
(x + 1)ex
= (-)  e-
= (-)  0
= lim
x-
x + 1
e-x
=
-

= lim
x-
1
-e-x = lim
x-
-ex
= -e-
= 0
f (+) = , f (-) = 0;
-
-1
+
y
= (x + 1)
 ex
+ (x + 1)  (ex
)
= 1  ex
+ (x + 1)  ex
ˇ Vypočteme limity v . Začneme limitou v +.
ˇ Platí  + 1 =  a lim
x
ex
= .
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y = (x + 1)ex
D( f ) = R; průsečík s osou y je [0, 1], průsečík s osou
y je [-1, 0],
lim
x
(x + 1)ex
=    = 
lim
x-
(x + 1)ex
= (-)  e-
= (-)  0
= lim
x-
x + 1
e-x
=
-

= lim
x-
1
-e-x = lim
x-
-ex
= -e-
= 0
f (+) = , f (-) = 0;
-
-1
+
y
= (x + 1)
 ex
+ (x + 1)  (ex
)
= 1  ex
+ (x + 1)  ex
Vypočteme limitu v -. "Dosadíme" x = - a dostaneme
- + 1 = - a lim
x-
ex
= 0. Dostáváme neurčitý výraz 0 × . K
výpočtu tedy musíme použít jinou metodu.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y = (x + 1)ex
D( f ) = R; průsečík s osou y je [0, 1], průsečík s osou
y je [-1, 0],
lim
x
(x + 1)ex
=    = 
lim
x-
(x + 1)ex
= (-)  e-
= (-)  0
= lim
x-
x + 1
e-x
=
-

= lim
x-
1
-e-x = lim
x-
-ex
= -e-
= 0
f (+) = , f (-) = 0;
-
-1
+
y
= (x + 1)
 ex
+ (x + 1)  (ex
)
= 1  ex
+ (x + 1)  ex
ˇ Přepíšeme výraz na zlomek ex
=
1
e-x
. Limita je ve tvaru, kdy
je možno použít L'Hospitalovo pravidlo.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y = (x + 1)ex
D( f ) = R; průsečík s osou y je [0, 1], průsečík s osou
y je [-1, 0],
lim
x
(x + 1)ex
=    = 
lim
x-
(x + 1)ex
= (-)  e-
= (-)  0
= lim
x-
x + 1
e-x
=
-

= lim
x-
1
-e-x = lim
x-
-ex
= -e-
= 0
f (+) = , f (-) = 0;
-
-1
+
y
= (x + 1)
 ex
+ (x + 1)  (ex
)
= 1  ex
+ (x + 1)  ex
Použijeme L'Hospitalovo pravidlo (derivujeme zvlášt'čitatel a
jmenovatel). Funkci e-x
derivujeme jako
složenou:(e-x
)
= e-x
(-x)
= e-x
 (-1)
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y = (x + 1)ex
D( f ) = R; průsečík s osou y je [0, 1], průsečík s osou
y je [-1, 0],
lim
x
(x + 1)ex
=    = 
lim
x-
(x + 1)ex
= (-)  e-
= (-)  0
= lim
x-
x + 1
e-x
=
-

= lim
x-
1
-e-x = lim
x-
-ex
= -e-
= 0
f (+) = , f (-) = 0;
-
-1
+
y
= (x + 1)
 ex
+ (x + 1)  (ex
)
= 1  ex
+ (x + 1)  ex
Zjednodušíme.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y = (x + 1)ex
D( f ) = R; průsečík s osou y je [0, 1], průsečík s osou
y je [-1, 0],
lim
x
(x + 1)ex
=    = 
lim
x-
(x + 1)ex
= (-)  e-
= (-)  0
= lim
x-
x + 1
e-x
=
-

= lim
x-
1
-e-x = lim
x-
-ex
= -e-
= 0
f (+) = , f (-) = 0;
-
-1
+
y
= (x + 1)
 ex
+ (x + 1)  (ex
)
= 1  ex
+ (x + 1)  ex
Dosadíme. Z grafu funkce vidíme, že lim
x-
ex
= e-
= 0.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y = (x + 1)ex
D( f ) = R; průsečík s osou y je [0, 1], průsečík s osou
y je [-1, 0],
f (+) = , f (-) = 0;
-
-1
+
y
= (x + 1)
 ex
+ (x + 1)  (ex
)
= 1  ex
+ (x + 1)  ex
= ex
(1 + x + 1)
= ex
(x + 2)
y
= ex
(x + 2); stac. bod je x = -2; f (-2) = -e-2 .
= -0.14

-2
min 
 x x
Vyšetříme chování derivace.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y = (x + 1)ex
D( f ) = R; průsečík s osou y je [0, 1], průsečík s osou
y je [-1, 0],
f (+) = , f (-) = 0;
-
-1
+
y
= (x + 1)
 ex
+ (x + 1)  (ex
)
= 1  ex
+ (x + 1)  ex
= ex
(1 + x + 1)
= ex
(x + 2)
y
= ex
(x + 2); stac. bod je x = -2; f (-2) = -e-2 .
= -0.14

-2
min 
 x x
Funkci y = (x + 1)  ex
derivujeme jako součin:
(u  v)
= u
 v + u  v
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y = (x + 1)ex
D( f ) = R; průsečík s osou y je [0, 1], průsečík s osou
y je [-1, 0],
f (+) = , f (-) = 0;
-
-1
+
y
= (x + 1)
 ex
+ (x + 1)  (ex
)
= 1  ex
+ (x + 1)  ex
= ex
(1 + x + 1)
= ex
(x + 2)
y
= ex
(x + 2); stac. bod je x = -2; f (-2) = -e-2 .
= -0.14

-2
min 
 x x    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y = (x + 1)ex
D( f ) = R; průsečík s osou y je [0, 1], průsečík s osou
y je [-1, 0],
f (+) = , f (-) = 0;
-
-1
+
y
= (x + 1)
 ex
+ (x + 1)  (ex
)
= 1  ex
+ (x + 1)  ex
= ex
(1 + x + 1)
= ex
(x + 2)
y
= ex
(x + 2); stac. bod je x = -2; f (-2) = -e-2 .
= -0.14

-2
min 
 x x
Vytkneme ex
.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y = (x + 1)ex
D( f ) = R; průsečík s osou y je [0, 1], průsečík s osou
y je [-1, 0],
f (+) = , f (-) = 0;
-
-1
+
y
= (x + 1)
 ex
+ (x + 1)  (ex
)
= 1  ex
+ (x + 1)  ex
= ex
(1 + x + 1)
= ex
(x + 2)
y
= ex
(x + 2); stac. bod je x = -2; f (-2) = -e-2 .
= -0.14

-2
min 
 x x
Zjednodušíme.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y = (x + 1)ex
D( f ) = R; průsečík s osou y je [0, 1], průsečík s osou
y je [-1, 0],
f (+) = , f (-) = 0;
-
-1
+
y
= ex
(x + 2); stac. bod je x = -2; f (-2) = -e-2 .
= -0.14

-2
min 
y
= ex
 (x + 2) + ex
 1
= ex
(x + 2 + 1)
= ex
(x + 3)
y
= ex
(x + 3); y
= 0 pro x = -3, f (-3) = -2e-3 .
= -0.01
 in. 
Dostáváme derivaci.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y = (x + 1)ex
D( f ) = R; průsečík s osou y je [0, 1], průsečík s osou
y je [-1, 0],
f (+) = , f (-) = 0;
-
-1
+
y
= ex
(x + 2); stac. bod je x = -2; f (-2) = -e-2 .
= -0.14

-2
min 
y
= ex
 (x + 2) + ex
 1
= ex
(x + 2 + 1)
= ex
(x + 3)
y
= ex
(x + 3); y
= 0 pro x = -3, f (-3) = -2e-3 .
= -0.01
 in. 
ˇ Derivace je rovna nule právě tehdy, když (x + 2) = 0 , jelikož
ex
= 0. Dostáváme stacionární bod x = -2.
ˇ Dosadíme f (-2) = (-2 + 1)e-2
= -e-2
a s pomocí kalkulá-
toru dostaneme f (-2)
.
= -0.14.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y = (x + 1)ex
D( f ) = R; průsečík s osou y je [0, 1], průsečík s osou
y je [-1, 0],
f (+) = , f (-) = 0;
-
-1
+
y
= ex
(x + 2); stac. bod je x = -2; f (-2) = -e-2 .
= -0.14

-2
min 
y
= ex
 (x + 2) + ex
 1
= ex
(x + 2 + 1)
= ex
(x + 3)
y
= ex
(x + 3); y
= 0 pro x = -3, f (-3) = -2e-3 .
= -0.01
 in. 
Na reálnou osu zaneseme stacionární bod. Nemáme žádné body
nespojitosti.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y = (x + 1)ex
D( f ) = R; průsečík s osou y je [0, 1], průsečík s osou
y je [-1, 0],
f (+) = , f (-) = 0;
-
-1
+
y
= ex
(x + 2); stac. bod je x = -2; f (-2) = -e-2 .
= -0.14

-2
min 
y
= ex
 (x + 2) + ex
 1
= ex
(x + 2 + 1)
= ex
(x + 3)
y
= ex
(x + 3); y
= 0 pro x = -3, f (-3) = -2e-3 .
= -0.01
 in. 
Zvolíme např. x = -3 a dosadíme do první derivace:
y
(-3) = e-3
(-3 + 2) = -e-3
< 0. Funkce v bodě x = -3 klesá a
totéž platí na celém intervalu (-, -2).
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y = (x + 1)ex
D( f ) = R; průsečík s osou y je [0, 1], průsečík s osou
y je [-1, 0],
f (+) = , f (-) = 0;
-
-1
+
y
= ex
(x + 2); stac. bod je x = -2; f (-2) = -e-2 .
= -0.14

-2
min 
y
= ex
 (x + 2) + ex
 1
= ex
(x + 2 + 1)
= ex
(x + 3)
y
= ex
(x + 3); y
= 0 pro x = -3, f (-3) = -2e-3 .
= -0.01
 in. 
Dosazením x = 0 do první derivace máme
y
(0) = e0
(0 + 2) = 2 > 0. Funkce v bodě roste x = 0 a to také platí
na celém intervalu (-2, ).
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y = (x + 1)ex
D( f ) = R; průsečík s osou y je [0, 1], průsečík s osou
y je [-1, 0],
f (+) = , f (-) = 0;
-
-1
+
y
= ex
(x + 2); stac. bod je x = -2; f (-2) = -e-2 .
= -0.14

-2
min 
y
= ex
 (x + 2) + ex
 1
= ex
(x + 2 + 1)
= ex
(x + 3)
y
= ex
(x + 3); y
= 0 pro x = -3, f (-3) = -2e-3 .
= -0.01
 in. 
V bodě x = -2 má funkce lokální minimum.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y = (x + 1)ex
D( f ) = R; průsečík s osou y je [0, 1], průsečík s osou
y je [-1, 0],
f (+) = , f (-) = 0;
-
-1
+
y
= ex
(x + 2); stac. bod je x = -2; f (-2) = -e-2 .
= -0.14

-2
min 
y
= ex
 (x + 2) + ex
 1
= ex
(x + 2 + 1)
= ex
(x + 3)
y
= ex
(x + 3); y
= 0 pro x = -3, f (-3) = -2e-3 .
= -0.01
 in. 
Spočteme y
. Derivujeme y
= ex
 (x + 2) jako součin
(u  v)
= u
 v + u  v
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y = (x + 1)ex
D( f ) = R; průsečík s osou y je [0, 1], průsečík s osou
y je [-1, 0],
f (+) = , f (-) = 0;
-
-1
+
y
= ex
(x + 2); stac. bod je x = -2; f (-2) = -e-2 .
= -0.14

-2
min 
y
= ex
 (x + 2) + ex
 1
= ex
(x + 2 + 1)
= ex
(x + 3)
y
= ex
(x + 3); y
= 0 pro x = -3, f (-3) = -2e-3 .
= -0.01
 in. 
Zjednodušíme.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y = (x + 1)ex
D( f ) = R; průsečík s osou y je [0, 1], průsečík s osou
y je [-1, 0],
f (+) = , f (-) = 0;
-
-1
+
y
= ex
(x + 2); stac. bod je x = -2; f (-2) = -e-2 .
= -0.14

-2
min 
y
= ex
(x + 3); y
= 0 pro x = -3, f (-3) = -2e-3 .
= -0.01

-3
in. 
Máme druhou derivaci.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y = (x + 1)ex
D( f ) = R; průsečík s osou y je [0, 1], průsečík s osou
y je [-1, 0],
f (+) = , f (-) = 0;
-
-1
+
y
= ex
(x + 2); stac. bod je x = -2; f (-2) = -e-2 .
= -0.14

-2
min 
y
= ex
(x + 3); y
= 0 pro x = -3, f (-3) = -2e-3 .
= -0.01

-3
in. 
Hledáme bod, ve kterém platí y
= 0. Protože ex
je vždy různá od
nuly, musí platit (x + 3) = 0, proto x = -3.
f (-3) = (-3 + 1)e-3
= -2e-3 .
= -0.01
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y = (x + 1)ex
D( f ) = R; průsečík s osou y je [0, 1], průsečík s osou
y je [-1, 0],
f (+) = , f (-) = 0;
-
-1
+
y
= ex
(x + 2); stac. bod je x = -2; f (-2) = -e-2 .
= -0.14

-2
min 
y
= ex
(x + 3); y
= 0 pro x = -3, f (-3) = -2e-3 .
= -0.01

-3
in. 
Nakreslíme reálnou osu s kritickým bodem. Nemáme žádný bod
nespojitosti, proto se druhá derivace může měnit pouze v bodě x = -3.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y = (x + 1)ex
D( f ) = R; průsečík s osou y je [0, 1], průsečík s osou
y je [-1, 0],
f (+) = , f (-) = 0;
-
-1
+
y
= ex
(x + 2); stac. bod je x = -2; f (-2) = -e-2 .
= -0.14

-2
min 
y
= ex
(x + 3); y
= 0 pro x = -3, f (-3) = -2e-3 .
= -0.01

-3
in. 
Funkce ke na intervalu (-, -3) konkávní, protože -4  (-, -3)
a y
(-4) = e-4
(-4 + 3) = -e-4
< 0.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y = (x + 1)ex
D( f ) = R; průsečík s osou y je [0, 1], průsečík s osou
y je [-1, 0],
f (+) = , f (-) = 0;
-
-1
+
y
= ex
(x + 2); stac. bod je x = -2; f (-2) = -e-2 .
= -0.14

-2
min 
y
= ex
(x + 3); y
= 0 pro x = -3, f (-3) = -2e-3 .
= -0.01

-3
in. 
Funkce je konvexní na intervalu (-3, ), protože -2  (-3, ) a v
bodě x = -2 je lok. minimum a y
(-2) = e-2
(-2 + 3) = e-2
> 0.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
y = (x + 1)ex
D( f ) = R; průsečík s osou y je [0, 1], průsečík s osou
y je [-1, 0],
f (+) = , f (-) = 0;
-
-1
+
y
= ex
(x + 2); stac. bod je x = -2; f (-2) = -e-2 .
= -0.14

-2
min 
y
= ex
(x + 3); y
= 0 pro x = -3, f (-3) = -2e-3 .
= -0.01

-3
in. 
Bod x = -3 je tedy inflexní.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
-
-1
+ 
-2
min  
-3
in. 
f (0) = 1
f (-1) = 0
f (-2)
.
= -0.14
f (-3)
.
= -0.01
f (+) = 
f (-) = 0
Shrneme dosažené výpočty.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
-
-1
+ 
-2
min  
-3
in. 
f (0) = 1
f (-1) = 0
f (-2)
.
= -0.14
f (-3)
.
= -0.01
f (+) = 
f (-) = 0
0 x
y
-1-2-3
Nakreslíme souřadný systém.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
-
-1
+ 
-2
min  
-3
in. 
f (0) = 1
f (-1) = 0
f (-2)
.
= -0.14
f (-3)
.
= -0.01
f (+) = 
f (-) = 0
0 x
y
-1-2-3
Označíme průsečík s osou x: x = -1. Funkce v tomto bodě roste.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
-
-1
+ 
-2
min  
-3
in. 
f (0) = 1
f (-1) = 0
f (-2)
.
= -0.14
f (-3)
.
= -0.01
f (+) = 
f (-) = 0
0 x
y
1
-1-2-3
Označíme průsečík s osou y: y = 1. Funkce v tomto bodě roste.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
-
-1
+ 
-2
min  
-3
in. 
f (0) = 1
f (-1) = 0
f (-2)
.
= -0.14
f (-3)
.
= -0.01
f (+) = 
f (-) = 0
0 x
y
1
-1-2-3
Nakreslíme značky v blízkosti asymptoty v -. Je třeba si uvědomit,
že v blízkosti - je funkce záporná a klesající, proto bude graf pod
asymptotou.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
-
-1
+ 
-2
min  
-3
in. 
f (0) = 1
f (-1) = 0
f (-2)
.
= -0.14
f (-3)
.
= -0.01
f (+) = 
f (-) = 0
0 x
y
1
-1-2-3
Nakreslíme lokální minimum v bodě x = -2.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
-
-1
+ 
-2
min  
-3
in. 
f (0) = 1
f (-1) = 0
f (-2)
.
= -0.14
f (-3)
.
= -0.01
f (+) = 
f (-) = 0
0 x
y
1
-1-2-3
Spojíme nakreslené části do grafu.
    c Lenka Přibylová, 2006 ×
KONEC
    c Lenka Přibylová, 2006 ×