Integrace goniometrických funkcí. Lenka Přibylová 28. července 2006 H H ©Lenka Přibylová, 20060 Obsah siní , —=-------- ax............................. 3 cosz x +1 sin2 x cos3 x dx ............................ 11 -—dx................................ 20 siní Q B3 ©LenkaPnbylová^OOóQ Najděte srní COS2 X dx. ©Lenka Přibylová, 2006| XT • IV / SIM Najdete / ----*—— dx. cos 2x + l smx cos 2x + l dx BEI Funkce je vzhledem k funkci cos x rac. lomená a v násobení se sin x. (ty Lenka ťřibylová, 2UU6 £ XT • IV / SIM Najdete / ----*—— dx. cos 2x + l smx cos 2x + l dx = cosx = t Zavedeme substituci cosx = t. —i...i...... . ... g XT • IV / SIM Najdete / ----*—— dx. cos 2x + l smx cos 2x + l dx = cosx = t sinxdx = dř Diferencujeme. ^^^^HB^^^^^W^^^^J XT • IV / SIM Najdete / ----*—— dx. cos 2x + l smx cos 2x + l dx = cosx = t — sin x dx = dt sin x dx = - dt Vyjádříme sin x dx. ^^^^HB^^^^^W^^^^J XT • IV / SIM Naidete / ----=-------- dx. ' cosz x + 1 smx cos2 x +1 dx = cos x = t — sin x áx = dt sin xdx = - dt dt e + i Dosadíme. —i...i...... . ... g XT • IV / SIM Najdete / ----*—— dx. cos 2x + l smx cos 2x + l dx = cosx = t — sin x dx = dt sin x dx = - dt dt e + i = — arctg t + c Integrujeme. ^^^^HB^^^^^W^^^^J XT • IV / SIM Najdete / ----*—— ax. cos 2x + l sinx cos 2X + 1 dx = cos x = t — sin x dx = dt sin x dx = - dt dt e + i = — arctg t + c = — arctg(cos x) + c BEI Navrátíme se k původní proměnné. ^^^^HB^^^^^W^^^^J Najděte / sin2 x cos3 x dx. ] sin2 x cos3 x dx = ©Lenka Přibylová, 2006| Najděte / sin2 x cos3 x dx. ] sin2 x cos3 x dx = / sin2 xcos2 x cos x dx Funkce, které jsou vzhledem ke cos x v liché mocnině, je vhodné rozepsat vytknutím cos x Najděte / sin2 x cos3 x dx. ] sin2 x cos3 x dx = / sin2 xcos2 x cos x dx = / sin2x(l-sin2x)cosxdx a přepisem pomocí vzorce cos2 x = 1 — sin2 x (analogicky pro sin x). ^^^^HB^^^^^W^^^^J Najděte / sin2 x cos3 x dx. ] sin2 x cos3 x dx = / sin2 xcos2 x cos x dx = / sin2x(l-sin2x)cosxdx = sinx = t Zavedeme substituci sinx = t. —I...I...... . ... g Najděte / sin2 x cos3 x dx. ] sin2 x cos3 x dx = / sin2 xcos2 x cos x dx = / sin2x(l-sin2x)cosxdx = sinx = t cosxdx = dř Diferencujeme. ^^^^HB^^^^^W^^^^J Najděte / sin2 x cos3 x dx. ] sin2 x cos3 x dx = / sin2 xcos2 x cos x dx = / sin2x(l-sin2x)cosxdx = sinx = t cosxdx = dř : / ř2(l-ř2)dř Dosadíme. —I...I...... . ... g Najděte / sin2 x cos3 x dx. ] sin2 x cos3 x dx = / sin2 xcos2 x cos x dx = / sin2x(l-sin2x)cosxdx = = ít2(l-t2)dt = ft2-řdt sinx = t cosxdx = dř Roznásobíme. —I...I...... . ... g Najděte / sin2 x cos3 x dx. ] sin2 x cos3 x dx = / sin2 xcos2 x cos x dx = / sin2x(l-sin2x)cosxdx = sinx = t cosxdx = dř = ť(l-ndt= tl-rdt = ř3 t5 + c Integrujeme. ^^^^H^^^^^^^^^^^J Najděte / sin2 x cos3 x dx. ] sin2 x cos3 x dx = / sin2 xcos2 x cos x dx = / sin2x(l-sin2x)cosxdx = sinx = t cosxdx = dř = ť(l-ndt= tl-rdt = ř3 t5 + c sin3 x sin5 x + c NavrátÍE bei Q jg os Navrátíme se k původní proměnné. ^^^^HB^^^^^W^^^^J Najděte siní dx. ©Lenka Přibylová, 2006| Najděte siní dx. siní dx Integrand je vzhledem k funkci sin x v liché mocnině, proto budeme volit substituci t = cos x. Musíme tedy dostat do čitatele sinx. yU,kalJ!ibylova,2UU6| | Najděte siní dx. 1 , f sin x , dx = —^— dx siní sin2x I Rozšířím eeI El la laa Rozšíříme zlomek. —I...I...... . ... g Najděte siní dx. 1 , f sin x , dx = / —^— dx = siní sin2x siní COS2 X dx Jmenovatel přepíšeme pomocí vzorce sin2 x = 1 — cos2 x. ^^^^HB^^^^^W^^^^J Najděte siní dx. siní dx = siní sin2x dx = siní COS2 X dx cosx = t Zavedeme substituci cosx = t. —I...I...... . ... g Najděte siní dx. siní dx = siní sin2x dx = siní 1 COS2 X dx cosi = t ■sinidi = dř Diferencujeme. ^^^^HB^^^^^W^^^^J Najděte siní dx. siní dx = siní sin2x dx = siní COS2 X dx cosx = t — sin x dx = dt sin x dx = - dt Vyjádříme sin x dx. ^^^^HB^^^^^W^^^^J Najděte siní dx. siní dx = siní sin2 x dx = siní COS2 X cosx = t — sin x dx = dt sin x dx = - dt dx dŕ 1-ŕ2 Dosadíme. —I...I...... . ... g Najděte siní dx. siní dx = siní sin2x dx = siní COS2 X cosx = t — sin x dx = dt sin x dx = - dt dx dŕ 1-ŕ2 = —In 1 + ř 1-ř + c Integrujeme. ^^^^HB^^^^^W^^^^J Najděte siní dx. siní dx = siní sin2i dx = siní COS2 X COSI = t — sin i di = dt sin i di = - dt = —In 2 1 +COSI 1 — COSI c = dl dŕ 1-í2 = —In 1 + ŕ 1-í + c BEI Navrátíme se k původní proměnné. ^^^^HB^^^^^W^^^^J Najděte siní dx. siní dx = siní sin2x dx = siní COS2 X cosx = t — sin x dx = dt sin x dx = - dt = —In 1 +COSX 1 — cosx dx dř 1 ~ = — In t2 2 c = - In 2 1 — cosx 1 +COSX 1 + ř 1-ř + c + c Lze upravit. ^^^^HB^^^^^W^^^^J Konec H H ©Lenka Přibylová, 20060