Přirozená čísla
Úmluva: Všude v dalším budeme mezi přirozená čísla
počítat i číslo nula. Všude v této části se omezíme pouze na
konečné množiny.
Poznámka. Existují tři možnosti zavedení přirozených
čísel: jako čísla kardinální, čísla ordinální a prvky Peanovy
množiny. V praxi na školách je nejdůležitější a
nejrozšířenější zavedení přirozených čísel jako čísel
kardinálních, kdy přirozená čísla vyjadřují počty prvků
konečných množin. Ve smyslu ordinálních čísel vyjadřují
přirozená čísla počty prvků konečných dobře uspořádaných
množin, zatímco přirozená čísla jako prvky Peanovy
množiny jsou pouze symboly (nevyjadřují počet prvků).
Tato poslední možnost se sice často vyskytuje v praxi
(telefonní čísla, čísla občanských průkazů, bankovních
kont, označení vozidel MHD, tažená čísla ve Sportce
apod). Při zavádění přirozených čísel na 1. stupni ZŠ však
důsledně zavádíme přirozená čísla jako počty prvků
konečných množin, tzn. jako kardinální čísla.
Přirozená čísla jako kardinální čísla konečných množin
Víme, že dvě množiny jsou ekvivalentní, jestliže
existuje bijekce (vzájemně jednoznačné zobrazení) jedné
na druhou, což u konečných množin znamená, že obě
ekvivalentní množiny mají stejný počet prvků. Tato relace
ekvivalence na systému všech konečných množin ℳ
(označujeme ji ∼) je ekvivalencí v relačním smyslu
(zřejmě je reflexivní, symetrická a tranzitivní). Proto
generuje jednoznačným způsobem rozklad na systému
všech konečných množin ℳ. Třídy tohoto rozkladu se
nazývají kardinální čísla. Kardinálním číslem konečné
množiny M tedy rozumíme třídu ze systému ℳ, která
obsahuje množinu M a všechny množiny s ní ekvivalentní.
Místo označení kardinální číslo množiny M se často užívá
též pojmu mohutnost množiny M (píšeme  M  ). Nyní
definujeme přirozená čísla jako kardinální čísla konečných
množin.
Popíšeme-li výše uvedenou konstrukci populárně (a
matematicky ne zcela přesně), pak kardinální číslo konečné
množiny M je systém množin, který kromě dané množiny
M obsahuje všechny množiny (nekonečně mnoho), které
mají tentýž počet prvků jako množina M. Tato jediná
společná vlastnost všech těchto množin, tj. stejný počet
prvků, je vyjádřena přirozeným číslem, které je
kardinálním číslem množiny M definováno. Ve školské
matematice na ZŠ proto říkáme, že přirozená čísla
vyjadřují počty prvků konečných množin.
Definice. (Porovnávání kardinálních čísel)
Varianta 1: Nechť A, B jsou konečné množiny. Pak
definujeme  A    B , právě když množina A je
ekvivalentní s vlastní podmnožinou B*
množiny B.
Varianta 2: Nechť A, B jsou konečné množiny. Pak
definujeme  A    B , právě když existuje prosté
zobrazení celé množiny A do množiny B (nikoliv na celou
množinu B).
Definice. (Sčítání kardinálních čísel)
Nechť A, B jsou konečné množiny, nechť platí A  B = .
Pak definujeme
 A  +  B  =  A  B  .
Poznámka. Povšimněme si nyní omezující podmínky
A  B =  v předchozí definici. V případě jejího
vypuštění bude pro součet kardinálních čísel množin A, B
platit vztah  A  +  B    A  B , přičemž číslo na levé
straně této neostré nerovnosti je obecně větší než číslo na
pravé straně o počet prvků průniku obou množin. Platí tedy
rovnost
 A  +  B    A  B  =  A  B .
Pokud jsou tedy množiny A, B disjunktní, pak A  B= 0 a
předchozí rovnost přejde v definici sčítání kardinálních
čísel podle definice.
Definice. (Násobení kardinálních čísel)
Nechť A, B jsou konečné množiny. Pak definujeme
 A    B  =  A  B  .
Poznámka. Lze ukázat, že obě operace definované
definicemi 1.24. a 1.25. mají všechny vlastnosti, které
očekáváme od operací sčítání a násobení přirozených čísel.
Přirozená čísla jako ordinální čísla konečných množin
Poznamenejme úvodem, že teorie ordinálních čísel je ve
své podstatě „aplikace teorie kardinálních čísel na
uspořádané množiny“. Víme již, že množina je ostře
lineárně uspořádaná, jestliže je na ní definována relace
antireflexivní, antisymetrická, tranzitivní a souvislá
(označujeme ji [M]). Pro každou konečnou ostře lineárně
uspořádanou množinu pak platí, že každý její prvek má
jednoznačně určené pořadí (jako např. ve frontě osob u
pokladny v supermarketu). Lze tedy vždy označit první
(nejmenší) a poslední (největší) prvek této množiny. Každá
ostře lineárně uspořádaná konečná množina je též současně
dobře uspořádaná (každá její neprázdná podmnožina má
první prvek). Na systému G všech konečných dobře
uspořádaných množin je definována relace podobnost 
(jde o analogii relace ekvivalence množin z teorie
kardinálních čísel).
Dvě dobře uspořádané množiny [A], [B] jsou podobné,
píšeme [A]  [B], jestliže existuje podobné zobrazení
f množiny [A] na množinu [B], pro které platí:
(1) f je vzájemně jednoznačné zobrazení množiny [A] na
množinu [B], tedy A ∼ B;
(2) zobrazení f zachovává uspořádání (mezi vzory a jejich
obrazy).
Populárně lze konstatovat, že dvě konečné dobře
uspořádané množiny jsou podobné, mají-li stejný počet
prvků.
Relace podobnost  je reflexivní, symetrická a tranzitivní,
je to tedy rovněž relace ekvivalence. Lze tedy analogicky
definovat rozklad G systému G určený ekvivalencí  .
Třídy rozkladu systému G se nazývají ordinální čísla.
Ordinálním číslem konečné dobře uspořádané množiny [M]
tedy rozumíme třídu ze systému G, která obsahuje množinu
[M] a všechny uspořádané množiny s ní podobné.
Ordinální číslo uspořádané množiny [M] budeme
označovat ord [M].
Popíšeme-li výše uvedenou konstrukci populárně (a
matematicky ne zcela přesně), pak ordinální číslo konečné
dobře uspořádané množiny [M] je systém dobře
uspořádaných množin, který kromě dané dobře uspořádané
množiny [M] obsahuje všechny dobře uspořádané množiny
(nekonečně mnoho), které mají tentýž počet prvků jako
množina [M]. Tato jediná společná vlastnost všech těchto
množin, tj. stejný počet prvků, je vyjádřena přirozeným
číslem, které je ordinálním číslem množiny [M]
definováno. Lze tedy říci, že přirozená čísla vyjadřují
počty prvků konečných dobře uspořádaných množin.
Poznámka: Další informace o ordinálních číslech uvedeme
rovněž pouze populární formou. Jde o formálně složité
formulace, přičemž ordinální čísla se v praxi na 1. stupni
ZŠ používají jen velmi málo (sned jen u příkladů
využívajících číselné osy).
Definice. Nechť [M] je uspořádaná množina, nechť
a  [M]. Pak úsek dobře uspořádané množiny [M]
příslušný prvku a zapisujeme U(a) a definujeme jako dobře
uspořádanou podmnožinu všech takových prvků množiny
[M], které předchází v uspořádání před prvkem a
v původním pořadí určeném v množině [M].
Poznámka. Populárně si lze představit úsek takto. Nechť
uspořádaná množina [M] je reprezentována frontou osob
stojící u pokladny v obchodě. Zvolíme-li libovolnou osobu
ve frontě, pak úsek příslušný této osobě je část fronty před
tímto člověkem beze změny pořadí. Jakmile bude
obsloužen tento úsek, je zvolená osoba na řadě. Je zřejmé,
že úsek dobře uspořádané množiny [M] je vždy její vlastní
podmnožinou.
Definice. (Porovnávání ordinálních čísel)
Varianta 1: Nechť [A], [B] jsou konečné dobře uspořádané
množiny. Pak definujeme ord [A]  ord [B], právě když
dobře uspořádaná množina [A] je podobná s některým
úsekem dobře uspořádané množiny [B].
Varianta 2: Nechť A, B jsou konečné množiny. Pak
definujeme ord [A]  ord [B], právě když existuje podobné
zobrazení celé množiny [A] do množiny [B] (nikoliv na
celou množinu B).
Definice. (Sčítání ordinálních čísel)
Nechť [A], [B] jsou konečné dobře uspořádané množiny,
nechť platí A  B = . Pak definujeme
ord [A] + ord [B] = ord [A  B] .
Definice. (Násobení ordinálních čísel)
Nechť [A], [B] jsou konečné dobře uspořádané množiny.
Pak definujeme
ord [A]  ord [B] = ord [A  B] .
Poznámka. U definic sčítání i násobení ordinálních čísel je
třeba určit také uspořádání v množinách [A  B], [A  B].
Tato uspořádání uvedeme opět pouze populární formou.
Uspořádání v množině [A  B] můžeme verbálně popsat
pomocí tří podmínek:
1. Uspořádání prvků v množině [A] zůstává beze změny.
2. Uspořádání prvků v množině [B] zůstává beze změny.
3. Nejprve se do uspořádané množiny [A  B] zařadí
množina [A], za ní pak množina [B].
Příklad: Nechť [A] = {a, b, c}, [B] = {u, v}. Pak
[A  B] = {a, b, c, u, v}.
Uspořádání v množině [A  B] můžeme verbálně popsat
pomocí následujících dvou podmínek. Připomeňme, že
množina A  B obsahuje uspořádané dvojice.
Nechť [a1, b1], [a2, b2]  A  B libovolně.
1. Je-li b1  b2 , pak [a1, b1]  [a2, b2];
2. Je-li b1 = b2 a současně a1  a2, pak [a1, b1]  [a2, b2].
Rozhodující je tedy druhá složka, v případě její rovnosti
pak rozhoduje první složka.Tomuto uspořádání se říká
lexikografické, lidově též princip telefonního seznamu.
Považujeme-li v telefonním seznamu dvojici „jméno,
příjmení“ za uspořádanou dvojici, pak rozhodující je
příjmení. V případě stejného příjmení pak rozhoduje
křestní jméno, např.
Antonín Novák
Břetislav Novák
Cyril Novák
Čestmír Novák
Dušan Novák
Emil Novák
. . .
Xaver Novák
Zdeněk Novák
Příklad: [A] = {a, b, c}, [B] = {u, v}. Pak
[A  B] = {[a, u], [b, u], [c, u], [a, v], [b, v], [c, v]}.
Peanova množina
Axiomy Peanovy množiny P
Jednou ze základních charakteristik množiny všech
přirozených čísel je to, že každé přirozené číslo má svého
bezprostředního následovníka (pro každé n N je to číslo
n + 1). Tento „fakt“ znají už žáci na 1. stupni ZŠ a je často
didakticky využíván při výuce. Existence následovníka
využijeme při teoretickém zavedení množiny přirozených
čísel. Nejprve axiomaticky definujeme tzv. Peanovu množinu
a potom ukážeme, že tato množina je univerzálním modelem
množiny všech přirozených čísel.
(A1) Ke každému prvku x množiny P existuje jeho
následovník, který budeme označovat x\
.
(A2) V množině P existuje prvek e P, který není
následovníkem žádného prvku množiny P.
(A3) Různé prvky mají různé následovníky.
(A4) Axiom úplné indukce. Nechť M  P. Jestliže platí:
a) e M ,
b) ( x P) x M  x\
 M , pak M = P.
Věta 1.1. Nechť x P, pak platí:
(1) x  x\
,
(2) x  e  ( u P) x = u\
.
Část (1) předchozí věty říká, že každý prvek je různý od
svého následovníka. Ze druhé části pak plyne, že každý prvek
x Peanovy množiny s výjimkou prvku e je následovníkem
nějakého prvku u P. Tento prvek u budeme nazývat
předchůdce prvku x a značit /
x.
Věta 1.2. Peanova množina je nekonečná množina.
Definice 1.3: Nechť a P je libovolný prvek. Nechť množina
U(a)  P je pro každý prvek a P definována takto:
(1) a  U(a),
(2) Jestliže existuje /
a, pak /
a  U(a),
(3) x U(a)  /
x U(a) (pokud /
x existuje).
Pak množinu U(a) budeme nazývat úsek Peanovy množiny
příslušný k prvku a .
Poznámka 1.4. Je zřejmé, že pro každé a P je příslušný
úsek U(a) konečná množina.
Poznámka 1.5. Z předchozího plyne, že Peanovu množinu
můžeme považovat za teoretický model množiny přirozených
čísel. V tomto případě prvek e je roven číslu 0, následovník x\
je roven číslu x + 1 a modely úseků příslušných ke každému
přirozenému číslu chápanému jako prvek množiny P si lze
představit takto: U(1) = {0}, U(2) = {0, 1}, U(3) = {0, 1, 2},
U(4) = {0, 1, 2, 3} atd. Je zřejmé, že počet prvků každého
úseku je určen přirozeným číslem, jemuž daný úsek přísluší.
Proto i v dalším textu je možné představit si porovnávání
prvků Peanovy množiny (relaci uspořádání v množině P) a
následně i operace sčítání a násobení v množině P pomocí
množiny přirozených čísel. I když teoretický postup je opačný
(z obecné teorie v množině P plynou speciální vlastnosti
v množině přirozených čísel), je pro pochopení podstaty
vhodné už na tomto místě využít množiny přirozených čísel
jako modelu Peanovy množiny P. Poznamenejme dále, že
existuje i možnost vybudovat axiomaticky Peanovu množinu
tak, že prvek e je roven číslu 1. V tom případě je samozřejmě
nutné všechny definice a tvrzení přeformulovat.
Relace uspořádání v množině P
Definice 1.6: Nechť a, b  P. Pak platí: a  b  a  U(b) .
Poznámka 1.7. Je zřejmé, že relace  z definice 1.6. je
antireflexivní, antisymetrická a tranzitivní, jedná se tedy
skutečně o ostré uspořádání v množině P. Pro každé dva různé
prvky a, b množiny P vždy platí právě jeden ze vztahů a
U(b), b U(a), proto je uspořádání  lineární.
Věta 1.8. Nechť a, b  P. Pak platí:
(1) ( a  P) a  a\
;
(2) Mezi prvky a, a\
neexistuje žádný prvek x množiny P
s vlastností a  x  a\
);
(3) Množina (P,  ) je dobře uspořádaná množina.
Operace sčítání v množině P
Věta 1.9. Na množině P existuje právě jedna operace +
(sčítání) taková, že pro každou dvojici x, y prvků množiny P
platí:
(1) x + e = x ,
(2) x + y\
= (x + y)\
.
Věta 1.10. Operace + je v množině P asociativní a
komutativní a má neutrální prvek.
Operace násobení v množině P
Věta 1.11. Na množině P existuje právě jedna operace 
(násobení) taková, že pro každou dvojici x, y prvků množiny
P platí:
(1) x  e = e ,
(2) x  y\
= x  y + x .
Věta 1.12. Operace  je v množině P asociativní, komutativní,
má neutrální prvek a s operací sčítání je svázána
distributivním zákonem:
 x, y, z  P: x  (y + z) = x  y + x  z .
Věta 1.19. Algebraická struktura (P, +, ) je komutativní
polookruh s neutrálním prvkem.
Poznámka 1.20. Z definice množiny P a popsaných
vlastností relace uspořádání a operací sčítání a násobení v této
množině vyplývá, že polookruh všech přirozených čísel
(N, +, ) je jedním z možných modelů polookruhu (P, +, ).
Roli prvku e hraje číslo 0, následovníkem čísla x je číslo
x + 1, úsek množiny N příslušný číslu n obsahuje všechna
přirozená čísla od čísla 0 po číslo n  1 atd. Je samozřejmé, že
provádění operací sčítání a násobení podle vět 1.9. a 1.11. se
nikde v praxi nepoužívá.
Přirozená čísla a jejich vlastnosti
Existují tři možnosti zavedení přirozených čísel: jako čísla
kardinální, čísla ordinální a prvky formálně zavedené Peanovy
množiny. V praxi na školách je nejdůležitější a nejrozšířenější
zavedení přirozených čísel jako čísel kardinálních, kdy
přirozená čísla vyjadřují počty prvků konečných množin. Ve
smyslu ordinálních čísel vyjadřují přirozená čísla počty prvků
konečných dobře uspořádaných množin, zatímco přirozená
čísla jako prvky Peanovy množiny jsou pouze symboly
(nevyjadřují počet prvků). Tato poslední možnost se sice často
vyskytuje v praxi (telefonní čísla, čísla občanských průkazů,
bankovních kont, označení vozidel MHD, tažená čísla ve
Sportce apod), při výuce však důsledně zavádíme přirozená
čísla jako počty prvků konečných množin, tzn. jako kardinální
čísla. Některé základní vlastnosti přirozených čísel nyní
uvedeme (jde pouze o výběr).
Definice 1. 21. (dělení se zbytkem v množině přirozených
čísel)
Pro každá dvě přirozená čísla a, b (b  0) existuje jediná
dvojice přirozených čísel q, z (z  b) s vlastností a = b  q + z.
Číslo a se nazývá dělenec, číslo b se nazývá dělitel, číslo q se
nazývá neúplný podíl a číslo z se nazývá zbytek.
Definice 1. 22. Nechť a, b jsou libovolná přirozená čísla.
Nechť existuje přirozené číslo x s vlastností a = b + x. Potom
přirozené číslo x nazveme rozdílem přirozených čísel a, b a
píšeme x = a  b.
Definice 1. 23. Nechť a, b jsou libovolná přirozená čísla.
Nechť existuje přirozené číslo x s vlastností a = b  x. Potom
přirozené číslo x nazveme podílem přirozených čísel a, b a
píšeme x = a : b.
Poznámka 1. 24. Vlastnosti sčítání, násobení a porovnávání: :
Sčítání: ND, K, A, EN
Násobení: ND, K, A, EN  D +
Porovnávání: AR, AS, T, SO (ostré lineární uspořádání).
Z vlastnosti SO plyne, že každá dvě přirozená čísla lze
porovnat.
Celá čísla
Motivace 2.0. Známe již polookruh všech přirozených čísel a
známe tedy všechny jeho vlastnosti a pravidla pro počítání
s přirozenými čísly. Problémem ale je, že v oboru přirozených
čísel nelze neomezeně odčítat ani dělit. Problém s odečítáním
vyřešíme zavedením celých čísel. Obor celých čísel musí mít
tedy následující vlastnosti:
1. Musí v něm platit všechna pravidla a vlastnosti operací jako
v oboru přirozených čísel.
2. Musí být zajištěno neomezené odčítání každých dvou
celých čísel.
3. Přirozená čísla musí být součástí (podmnožinou) celých
čísel. Matematicky říkáme, že polookruh přirozených čísel lze
izomorfně vnořit do oboru integrity celých čísel.
Konstrukce 2.1. Při konstrukci oboru integrity celých čísel
postupujeme takto:
Vyjdeme z kartézského součinu N  N, na kterém definujeme
pro každé dvě dvojice [a, b], [c, d] N  N relaci ∼
vztahem:
[a, b] ∼ [c, d] = a + d = b + c.
Tato relace je ekvivalence (je reflexivní, symetrická a
tranzitivní), existuje tedy rozklad kartézského součinu N  N
na třídy.
Definice 2.2. Třídy rozkladu kartézského součinu NN
určeného ekvivalencí ∼ se nazývají celá čísla. Celá čísla jsou
tedy třídy navzájem ekvivalentních uspořádaných dvojic
přirozených čísel.
Poznámka 2.3. Z definice relace ekvivalence ∼ plyne, že
všechny navzájem ekvivalentní uspořádané dvojice
přirozených čísel mají tentýž rozdíl mezi první a druhou
složkou. Tento rozdíl určuje celé číslo, danou třídou
definované. V dalším textu o celých číslech je proto nutno
rozlišovat mezi případem, kdy [a, b] bude označovat tuto
jednu konkrétní uspořádanou dvojici přirozených čísel a
případem, kdy bude hrát roli reprezentující dvojice nějakého
celého čísla. V tomto druhém případě budeme užívat tučného
označení [a, b]. Platí tedy např.
[4, 2] = {[2, 0], [3, 1], [4, 2], [5, 3], [6, 4], ...}.
Celé číslo je vždy reprezentováno nekonečnou množinou
navzájem ekvivalentních uspořádaných dvojic přirozených
čísel. Podle dohodnutého označení je nutno také rozlišovat
následující vztahy: Např. pro uspořádané dvojice [5, 3], [6, 4]
platí [5, 3]  [6, 4], [5, 3] ∼ [6, 4], pro dvě celá čísla [5, 3],
[6, 4] ale platí rovnost [5, 3] = [6, 4], protože obě tyto dvojice
jsou reprezentanty téže třídy rozkladu systému N  N.
Poznamenejme, že v dalším textu budeme pro zjednodušení
označovat celá čísla velkými tučnými písmeny, např. A, B, ....
Toto označení není v rozporu s uvedenou konstrukcí; vždy lze
přejít k reprezentaci pomocí uspořádaných dvojic, např. A =
[a, b], B = [c, d], ....
Operace s celými čísly a jejich vlastnosti
Definice 2.4. Sčítání na množině celých čísel je definováno
předpisem
[a, b] + [c, d] = [a + c, b + d].
Věta 2.5. Operace + z předchozí definice je komutativní,
asociativní, má neutrální prvek 0 reprezentovaný dvojicí [n, n]
pro libovolné n N a ke každému celému číslu A = [a, b]
existuje právě jedno opačné číslo  A = [b, a].
Věta 2.6. Algebraická struktura (Z, +) je komutativní grupa,
ve které jsou řešitelné základní rovnice, tj rovnice A + X = B
má vždy řešení v množině Z pro každá dvě celá čísla A, B.
Věta 2.7. V grupě (Z, +) existuje právě jedna inverzní operace
k operaci sčítání. Tato operace se nazývá odčítání a je
definována vztahem A  B = A + (B).
Poznámka 2.8. Z předchozí věty a věty 2.6. lze odvodit
početní pravidlo pro operaci odčítání:
[a, b]  [c, d] = [a + d, b + c].
Povšimněme si, že v definici odčítání vystupují na pravé
straně pouze součty přirozených čísel, tzn. operace odčítání je
neomezeně definovaná a tedy algebraická struktura (Z, ) je
grupoid. Tento grupoid není pologrupou, protože operace
odčítání zřejmě není asociativní ani komutativní.
Definice 2.9. Na množině Z definujme binární operaci 
následujícím způsobem:
[a, b]  [c, d] = [ac + bd, ad + bc].
Tuto operaci nazveme násobením v množině celých čísel.
Tato operace je v množině Z neomezeně definovaná, struktura
(Z, ) je tedy grupoid.
Věta 2.10. Grupoid (Z, ) je asociativní, komutativní a má
neutrální prvek 1 reprezentovaný dvojicí [n+1,n] pro
libovolné n N .
Věta 2.11. V grupoidu (Z, ) pro každá tři celá čísla x, y, z,
x  0 platí implikace
x  y = x  z  y = z .
Věta 2.12. Operace násobení je v množině celých čísel
svázána s operací sčítání distributivním zákonem, tj.
A, B, C  Z: A  (B + C) = A  B + A  C.
Věta 2.13. Algebraická struktura (Z, +, ) je komutativní
okruh s neutrálním prvkem, který není tělesem. V tomto
okruhu neexistují vlastní dělitelé nuly, je to tedy obor
integrity.
Poznámka 2.14. V oboru integrity všech celých čísel (Z, +, )
platí řada tvrzení, běžně užívaných při výpočtech. Uveďme
některé příklady.
Věta 2.15. Nechť A, B, C  Z. Pak platí:
(1) (A) = A;
(2) (A + B) = (A) + (B);
(3) (A  B) = B  A;
(4) (A  (B  C) = (A + C)  B;
(5) (A)  B = A  (B) = (A  B).
Poznámka 2.16. Operace dělení není v množině Z neomezeně
definované, proto nemůže existovat obecný vzorec pro
výpočet podílu každých dvou celých čísel. Chceme-li zjistit
podíl dvou celých čísel A : B = X, je nutno postupovat podle
definice podílu. Vztah A : B = X přepíšeme na tvar A = B  X ,
dosadíme za A, B reprezentující uspořádané dvojice a řešíme
součin A = B  X jako rovnici. V případě, že podíl existuje, je
možno ho tímto postupem určit.
Relace uspořádání v množině celých čísel
Definice 2.17. Nechť A = [a, b] je celé číslo. Řekneme, že
toto číslo je kladné a píšeme A  0, právě když platí a  b.
Je-li a = b, pak číslo A = 0 ; ve zbývajícím případě pro a  b
říkáme, že celé číslo A je záporné a píšeme A  0.
Poznámka 2.18. Je zřejmé, že jeden z předchozích případů
vždy musí nastat. Každé celé číslo je tedy buďto kladné nebo
záporné nebo je rovno nule. Existuje tedy rozklad množiny
všech celých čísel na čísla kladná, nulu a čísla záporná.
Definice 2.19. Nechť A, B jsou celá čísla. Řekneme, že
A  B, právě když platí A B  0. Je-li A B = 0, pak A = B;
ve zbývajícím případě pro A  B  0 pak platí A  B.
Poznámka 2.20. Je zřejmé, že i v předchozí definici jeden
z případů vždy musí nastat. Relace uspořádání všech celých
čísel je tedy lineární.
Věta 2.21. Nechť A je celé číslo. Pak platí:
(1) A  0   A  0.
(2) A  0   A  0.
Věta 2.22. Nechť A, B jsou kladná celá čísla. Potom jejich
součet A + B i součin A  B jsou také kladná celá čísla.
Poznámka 2.23. Výše definovaná relace uspořádání
v množině všech celých čísel je spojena s operacemi v této
množině řadou vztahů. Uveďme alespoň některé.
Věta 2.24. Nechť A, B, C, D jsou libovolná celá čísla. Pak
platí:
(1) Jestliže A  B a C  0, potom AC  BC;
(2) Jestliže A + C  B + C, potom A  B;
(3) Jestliže AC  BC a C  0, potom A  B;
(4) Jestliže AC  BC a C  0, potom A  B;
(5) Jestliže A  B a C  D, potom A + C  B + D;
(6) Jestliže A  B a C  D a C  0 a B  0, potom A  C 
B  D .
Věta 2.25. Nechť A, B jsou libovolná celá čísla, přičemž B 
0. Pak existuje jednoznačně určená dvojice celých čísel Q, R
(přičemž 0  R  B) s vlastností A = B  Q + R. Číslo A se
nazývá dělenec, číslo B dělitel, číslo Q je podíl (někdy též
neúplný podíl) a číslo R je zbytek. Proces nalezení čísel Q,
R se nazývá dělení se zbytkem v množině celých čísel.
Definice 2.26. Absolutní hodnotu A  celého čísla A
definujeme takto:
(1) Je-li A  0, pak A = A ;
(2) Je-li A  0, pak A = A.
Věta 2.27. Nechť A, B jsou libovolná celá čísla, pak platí:
(1) A = A;
(2) A  A;
(3) A2
= A2
;
(4) A  B = A B;
(5) A + B  A+ B;
(6) A  B  A B.
Poznámka 2.28. Vnoření  : N  Z grupoidu N do grupy
Z je definováno pro každý prvek n  N předpisem
(n) = {[n,0]; n N}. Každé celé kladné (tj. přirozené) číslo
n je tedy reprezentováno dvojicí [n, 0], číslo nula je
reprezentováno dvojicí [0, 0] a každé celé záporné číslo  n je
reprezentováno dvojicí [0, n].
Racionální čísla
Motivace 3.0. Známe již obor integrity všech celých čísel a
známe tedy všechny jeho vlastnosti a pravidla pro počítání
s celými čísly. Problémem ale je, že v oboru celých čísel nelze
neomezeně dělit. Problém s dělením vyřešíme zavedením
racionálních čísel. Obor racionálních čísel musí mít tedy
následující vlastnosti:
1. Musí v něm platit všechna pravidla a vlastnosti operací jako
v oboru celých čísel.
2. Musí být zajištěno neomezené dělení každých dvou
racionálních čísel (kromě dělení nulou).
3. Celá čísla musí být součástí (podmnožinou) racionálních
čísel. Matematicky říkáme, že obor integrity celých čísel lze
izomorfně vnořit do tělesa racionálních čísel.
Konstrukce 3.1. Při konstrukci tělesa racionálních čísel
postupujeme takto:
Vyjdeme z kartézského součinu C  C  {0}, na kterém
definujeme pro každé dvě dvojice [a, b], [c, d] C  C  {0}
relaci ∼ vztahem:
[a, b] ∼ [c, d] = a  d = b  c.
Tato relace je ekvivalence (je reflexivní, symetrická a
tranzitivní), existuje tedy rozklad kartézského součinu
C  C {0} na třídy.
Definice 3.2. Třídy rozkladu kartézského součinu C  C  {0}
určeného ekvivalencí ∼ se nazývají racionální čísla.
Racionální čísla jsou tedy třídy navzájem ekvivalentních
uspořádaných dvojic celých čísel.
Poznámka 3.3. V dalším budeme kartézský součin
C  C  {0} označovat M a nazývat množina všech zlomků.
Protože se racionální čísla běžně vyjadřují pomocí zlomků,
budeme uspořádané dvojice z množiny M zapisovat jako
zlomky, tedy místo [a, b] budeme psát
b
a
. Odtud je také
zřejmé, proč se v množině M pro druhé složky všech dvojic
nepřipouští číslo nula.
Poznámka 3.4. Racionální čísla jsou podle této konstrukce
třídami rozkladu množiny M určeného ekvivalencí ∼, tedy
třídami navzájem ekvivalentních zlomků. Vnoření  : C  Q
okruhu C do tělesa Q je definováno pro každý prvek z  C
předpisem  (z) = .
Poznámka 3.5. Analogicky jako u celých čísel budeme
rozlišovat jeden konkrétní zlomek od racionálního čísla.
Tučným označením
b
a
budeme označovat stav, kdy tento
zlomek bude reprezentovat racionální číslo, zatímco běžným
způsobem
b
a
budeme označovat tento jeden konkrétní zlomek.
Platí tedy např.
4
3
= { ...,
28
21
,
12
3
,
8
6
,
4
3


}. Poznamenejme, že
v dalším textu budeme pro zjednodušení označovat racionální
čísla velkými tučnými písmeny, např. A, B, .... Toto označení
není, tak jako u celých čísel, v rozporu s uvedenou konstrukcí;
vždy lze přejít k reprezentaci pomocí uspořádaných dvojic,
např. A =
2
1
a
a
, B =
2
1
b
b
, ....
Věta 3.6. Operace sčítání v množině všech racionálních čísel
je definována vztahem
bd
bcad
d
c
b
a 
 . Tato operace je
komutativní, asociativní, má neutrální prvek, ke každému
racionálnímu číslu existuje právě jedno číslo opačné a jsou
řešitelné základní rovnice. Algebraická struktura (Q, +) je
tedy komutativní grupa.
Poznámka 3.7. V grupě (Q, +) platí analogické vlastnosti a
vztahy jako v grupě (C, +), není tedy nutné je na tomto místě
znovu uvádět. Poznamenejme jen, že neutrálním prvkem je
číslo 0 reprezentované třídou
b
0
a opačným racionálním číslem
k číslu
b
a
je číslo b
a
, které lze reprezentovat buďto třídou
b
a
nebo třídou
b
a

.
Poznámka 3.8. Analogicky jako pro celá čísla lze zavést
operaci odčítání jako přičtení opačného prvku, tedy A  B =
A + (B). Takto lze snadno odvodit běžně užívaný vztah pro
odčítání zlomků:
bd
bcad
d
c
b
a 
 .
Poznámka 3.9. Operace odčítání má v množině všech
racionálních čísel tytéž vlastnosti jako v množině celých čísel
(tj. není komutativní ani asociativní).
Věta 3.10. Operace násobení v množině všech racionálních
čísel je definována vztahem
bd
ac
d
c
b
a
 . Tato operace je
v množině Q komutativní, asociativní a má neutrální prvek.
Tímto neutrálním prvkem je číslo 1 reprezentované třídou
zlomků
a
a
. Algebraická struktura (Q, ) je komutativní
pologrupa s neutrálním prvkem. Operace násobení je
distributivní vzhledem k operaci sčítání v množině všech
racionálních čísel.
Poznámka 3.11. Budeme-li zkoumat i existenci inverzních
prvků a řešitelnost základních rovnic vzhledem k operaci
násobení v množině Q, snadno zjistíme, že jediným prvkem,
který neumožňuje platnost těchto vlastností, je číslo 0. Po jeho
odstranění z množiny Q můžeme vyslovit následující větu.
Věta 3.12.
(1) Algebraická struktura (Q  {0}, ) je komutativní grupa.
(2) Algebraická struktura (Q ,+, ) je komutativní těleso.
Poznámka 3.13. Inverzním prvkem k racionálnímu číslu
b
a
je
číslo
a
b
. Toto číslo vždy jednoznačně existuje (b  0 podle
konstrukce racionálních čísel a a  0 podle předpokladu
z poznámky 3.11. a věty 3.12.), nazývá se převrácené číslo
k číslu
b
a
a označuje
1
b
a







. Při označení racionálního čísla A
se převrácené číslo kromě zápisu A1
zapisuje též
A
1
.
V množině Q  {0} jsme nyní připraveni k definici operace
dělení.
Definice 3.14. Dělení v množině Q  {0} je definováno jako
násobení převráceným číslem, tj. A : B = A  B1
. Vyjádřeno
pomocí definice operace násobení a převráceného čísla
dostáváme
bc
ad
d
c
:
b
a
 .
Poznámka 3.16. Připomeňme znovu, že existence
převráceného čísla i operace dělení jsou neomezeně
definovány v množině Q  {0}, tedy že skutečně nemůže dojít
k „dělení nulou“. Pro operace dělení a násobení platí rovněž
řada vlastností, z nichž uvedeme např.:
Věta 3.17. Nechť A, B, C  Q. Pak platí:
(1) (A1
)1
= A;
(2) (A  B)1
= A1
 B1
;
(3) (A  B1
)1
= B  A1
;
(4) (A  B1
)  C 1
= A  (B  C)1
;
(5) A  (B  C 1
)1
= (A  C)  B1
.
Relace uspořádání v množině racionálních čísel
Definice 3.18. Nechť A =
b
a
je racionální číslo. Řekneme, že
toto číslo je kladné a píšeme A  0, právě když platí a i b jsou
buďto obě současně kladná celá čísla nebo obě současně
záporná celá čísla. Je-li a = 0, pak číslo A = 0 ; ve zbývajícím
případě (jedno z čísel a,b je kladné celé číslo a jedno záporné)
říkáme, že racionální číslo A je záporné a píšeme A  0.
Poznámka 3.19. Je zřejmé, že jeden z předchozích případů
vždy musí nastat. Každé racionální číslo je tedy buďto kladné
nebo záporné nebo je rovno nule. Existuje tedy rozklad
množiny všech racionálních čísel na čísla kladná, nulu a čísla
záporná.
Definice 3.20. Nechť A, B jsou racionální čísla. Řekneme, že
A  B, právě když platí A  B  0. Je-li A  B = 0, pak
A = B ; ve zbývajícím případě pro A  B  0 pak platí A  B.
Poznámka 3.21. Je zřejmé, že i v předchozí definici jeden
z případů vždy musí nastat. Relace uspořádání všech
racionálních čísel je tedy lineární.
Poznámka 3.22. Pro relaci uspořádání v množině racionálních
čísel a její spojení s operacemi v množině Q platí analogické
vztahy jako v množině celých čísel, stejně je definována i
absolutní hodnota racionálního čísla. Platí zajímavá vlastnost
relace uspořádání racionálních čísel, která v množinách
přirozených ani celých čísel platit nemohla.
Definice 3.23. Uspořádání v množině racionálních čísel je
husté, tzn.
 x, y  Q, x  y;  z Q: x  z  y .
Poznámka 3.24. Definice hustého uspořádání říká, že „mezi
každá dvě různá racionální čísla lze vložit další racionální
číslo“.
Desetinné rozvoje racionálních čísel
Věta 3.25. Každé racionální číslo lze vyjádřit pomocí
desetinného rozvoje, přičemž tento desetinný rozvoj je buďto
ukončený nebo je periodický. Ukončený je právě tehdy, je-li
dané racionální číslo tvaru qp
52
a

, tj. obsahuje-li rozklad jeho
jmenovatele na prvočinitele pouze prvočísla 2 nebo 5.