1
Reálná čísla
Víme, že uspořádání množiny racionálních čísel je
husté, tzn. mezi každá dvě různá racionální čísla
lze „vložit“ další racionální číslo. Např. mezi čísly
a určitě existuje racionální číslo
. Zdá se tedy, že číselná osa je „zcela
vyplněná“ obrazy racionálních čísel. To však není
pravda, na číselné ose jsou ještě mezery. Např.
číslo , které určitě existuje (délka úhlopříčky ve
čtverci o straně 1), není racionální.
Důkaz: Provedeme sporem. Nechť = , kde
p, q jsou celá nenulová kladná čísla a platí
D(p, q) = 1 (jsou nesoudělná). Pak p = q 
p2
= 2q2
 p2
je sudé číslo  p je sudé číslo, tedy
p = 2u. Dosadíme do vztahu p = q. Potom platí
2u = q  q = u  q2
= 2u2
 q2
je sudé
číslo  q je sudé číslo, tedy q = 2v. Srovnáme-li
nyní získané vztahy p = 2u, q = 2v, dostáváme
spor s předpokladem, že čísla p, q jsou nesoudělná.
Předpoklad = tedy neplatí, číslo nelze
vyjádřit zlomkem a tedy není racionální.
Existují tedy iracionální čísla. Je jich
nekonečně mnoho a jejich desetinný rozvoj je
nekonečný a neperiodický. Každá mezera na
2
číselné ose racionálních čísel vyjadřuje jedno číslo
iracionální. Platí R = Q  I. Algebraická struktura
(R, +, ∙) je komutativní těleso.
Konstrukce iracionálních čísel:
Cantorův axiom spojitosti:
Průnik do sebe zařazených úseček je neprázdný.
Hledané iracionální číslo postupně
aproximujeme na číselné ose zleva a zprava
racionálními čísly (tím vytváříme posloupnost do
sebe zařazených úseček), přičemž po provedení
nekonečně mnoha aproximací obdržíme hodnotu
hledaného iracionálního čísla (je třeba uznání
aktuálního nekonečna). V praxi po konečně mnoha
krocích, až dosáhneme požadované přesnosti,
proces ukončíme. Např. .
12
= 1; 22
= 4, 1  2  2
(1,4)2
= 1,96; (1,5)2
= 2,25 , 1,4  2  1,5
(1,41)2
= 1,9881; (1,42)2
= 2,0164 , 1,41  2  1,42
(1,414)2
= 1,999396; (1,415)2
= 2,002225 , 1,414  2  1,415
atd.
Proces postupné aproximace iracionálního čísla lze i
programovat. Příkladem může být přibližné určení
Eulerova čísla e. Víme, že 2  e  4 . Eulerovo číslo lze
aproximovat pro n  N pomocí nerovností
n
)
n
1
1(   e 
1n
)
n
1
1( 
 .