Základy matematiky a statistiky
pro humanitní obory
II
Vojtěch Kovář
Fakulta informatiky, Masarykova univerzita
Botanická 68a, 602 00 Brno, Czech Republic
xkovar3@fi.muni.cz
část 2
Vojtěch Kovář (FI MU Brno) PLIN004 část 2 1 / 7
Obsah přednášky
Obsah přednášky
Kombinatorika
Základní kombinatorická pravidla
Pravděpodobnost
Příklady
Vojtěch Kovář (FI MU Brno) PLIN004 část 2 2 / 7
Kombinatorika Kombinatorika
Kombinatorika
▶ Motivace
▶ vědět kolik možností (situací) může nastat
▶ umožňuje výpočet pravděpodobností
▶ Znáte ze SŠ
▶ kombinační čísla, faktoriály
▶ vzorečky pro variace, kombinace, permutace (s opakováním
nebo bez, ...)
▶ Cíl přednášky
▶ odnaučit se vzorečky
▶ řešit kombinatorické problémy „úvahou” (selským rozumem)
Vojtěch Kovář (FI MU Brno) PLIN004 část 2 3 / 7
Základní kombinatorická pravidla Základní kombinatorická pravidla
Základní kombinatorická pravidla
▶ Pravidlo součtu
▶ pro disjunktní množiny A1, A2, ..., An o velikostech p1, p2, ..., pn
▶ množina A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An má velikost p1 + p2 + ... + pn
▶ Pravidlo součinu
▶ počet všech uspořádaných k-tic, takových, že
▶ 1. člen lze vybrat n1 způsoby, druhý člen n2 způsoby, ..., k-tý
člen nk způsoby
▶ je n1 ∗ n2 ∗ ... ∗ nk
Vojtěch Kovář (FI MU Brno) PLIN004 část 2 4 / 7
Pravděpodobnost
Pravděpodobnost
▶ Už znáte ze SŠ
▶ pravděpodobnost jevu A je podíl m/n
▶ kde m je počet situací, kdy jev A nastal
▶ kde n je počet všech možných situací
▶ Omezení tohoto modelu
▶ situace musí být perfektně rovnocenné
▶ ano: vyvážená kostka, uspořádané možnosti
▶ ne: nevyvážená kostka, součet při házení dvěma kostkami
Vojtěch Kovář (FI MU Brno) PLIN004 část 2 5 / 7
Příklady Příklady
Příklady
▶ Př. 1: Tři po sobě jdoucí hody mincemi (záleží na pořadí)
▶ Kolik různých výsledků můžeme dostat?
▶ pravidlo součinu: 2 ∗ 2 ∗ 2 = 8
▶ Jaká je pravděpodobnost, že nám padne aspoň dvakrát panna?
▶ počet možností, kdy padne panna aspoň dvakrát?
▶ 4 (p-p-p, p-p-o, p-o-p, o-p-p)
▶ → 4/8 = 0.5
Vojtěch Kovář (FI MU Brno) PLIN004 část 2 6 / 7
Příklady Příklady
Příklady
▶ Př. 2: Kolika způsoby lze seřadit množinu {1, 2, ..., n} ?
▶ první prvek vybíráme z n prvků, druhý z n − 1 prvků atd.
▶ pravidlo součinu: n ∗ (n − 1) ∗ (n − 2) ∗ ... = n!
▶ Př. 3: Kolik je různých posloupností s prvky 1, 1, 2, 3, 3, 3 ?
▶ počet všech uspořádání: 6!
▶ ale některá uspořádání jsou identická
▶ vždy můžeme prohodit obě jedničky
▶ → počet možností podělíme 2
▶ vždy můžeme prohodit všechny trojky
▶ → počet možností podělíme 6 (= 3!, počet možných seřazení
3 prvků)
▶ → výsledek: 6!/12 = 60
Vojtěch Kovář (FI MU Brno) PLIN004 část 2 7 / 7