Písemná část zkoušky z didaktiky matematiky, 1. termín
1. V oboru reálných čísel řešte nerovnici
3- \4-x\ 2(x-ll)
3- \x + 3\ ~ 30 + 5)
2. V jedné z polorovin s hraniční přímkou p je dána kružnice k a dva body A a B, které mají od přímky p různou vzdálenost. Sestrojte tětivu XY kružnice k tak, aby platilo XY || p a |AX"| = \BY\. Zapište rozbor, postup konstrukce a určete, kolik může mít úloha řešení (pro každý možný počet načrtněte odpovídající situaci).
3. Pro které hodnoty reálného parametru p má rovnice x + logi (9X — p) = 0 právě dvě řešení v oboru reálných čísel?
4. Kružnice h\(S\,r{) a ^(S^,^) se protínají v bodech K a L. Vyberme libovolně body X G ki a Y G k2 tak, aby bod K byl vnitřním bodem úsečky XY.
a) Zdůvodněte, proč velikost úhlu XLY nezávisí na výběru bodů laľ.
b) Vyjádřete |ÄX| pomocí r\ a r2, víte-li že úhel XLY je pravý.
Písemná část zkoušky z didaktiky matematiky, 2. termín
3 _ |x + 1|
1. V oboru reálných čísel řešte rovnici Jx + 5 — 4 =   . -.
2. V rovině jsou dány dva body A, S a úsečka délky v, přičemž v < \AS\. Sestrojte kosočtverec ABCD o výšce v tak, aby bod S byl středem strany BC. Zapište rozbor, postup konstrukce a určete počet řešení. (Návod: uvažte, kde leží kolmý průmět P bodu A na přímku BC a kde kolmý průmět Q bodu S na přímku AB.)
(5x \ --1 1 = —2, kde P '
číslo p je kladný reálný parametr.
4. V rovině je dána kružnice k(S, 5 cm) a bod M tak, že |5"M| = 7 cm. Bodem M prochází přímka p, která na kružnici k vytíná tětivu AB délky 2 cm.
a) Vypočtěte \MA\ a \MB\.
b) Vypočtěte cos ^AMS) a odpověď zapište zlomkem v základním tvaru.
Písemná část zkoušky z didaktiky matematiky, 3. termín
1. Stanovte definiční obor a pak vyřešte nerovnici logx+e ^log2 = 0-
2. V rovině jsou dány dva různé body S a R. Sestrojte rovnoramenný trojúhelník ABC s vnitřním úhlem 80° při hlavním vrcholu C tak, aby bod S byl středem základny AB a bod R byl patou výšky z vrcholu A na rameno BC. Zapište rozbor, postup konstrukce a určete, kolik má úloha řešení.
3. Kolik je v desítkové soustavě všech pětimístných přirozených čísel, v jejichž zápisu vystupují aspoň dvě číslice 9? Odpověď zapište jedním číslem v desítkové soustavě (použijte kalkulačku).
4. Kružnice ki(Si,ri) a ^(S^,^) mají vnější dotyk v bodě C, přitom r\ > r2. Vnější společná tečna se obou kružnic dotýká v bodech A a B.
a) Vysvětlete, proč je úhel ACB pravý.
b) Vyjádřete |AB| pomocí r\ a r2-
Písemná část zkoušky z didaktiky matematiky, 4. termín
log5(x2 - 4x - 11)
1. Stanovte definiční obor a pak vyřešte nerovnici -^-- ^ 0.
óxz + ox — 2
2. Sestrojte trojúhelník ABC, jsou-li dány velikosti b, (5 a tc. Zapište pouze podrobný rozbor a přesný postup konstrukce.
3. Kolik je v desítkové soustavě všech šestimístných přirozených čísel, které nemají žádnou číslici menší než 3 a ve kterých nestojí nikde vedle sebe dvě liché číslice? Odpověď zapište jedním číslem v desítkové soustavě (použijte kalkulačku). Návod: Počítaná čísla rozdělte do skupin podle toho, kolik mají sudých a kolik lichých číslic.
4. Do kružnice o poloměru R = 3\/6cm je vepsán trojúhelník ABC, ve kterém platí a = 2\/3Ôcm,     = 2\/5cm a a > 90°. Vypočtěte délky zbylých stran bac.
Písemná část zkoušky z didaktiky matematiky, 5. termín
1. Stanovte definiční obor a pak vyřešte nerovnici x + ^Jl2 - \x2 -4x\ ú 6.
2. V rovině jsou dány kružnice &i(5i, 3cm) a ^(S^, 5cm), přičemž jSiS^I = 9 cm. Sestrojte obdélník ABCD tak, aby jeho strana AB měla délku 2 cm a aby vrcholy A, D ležely na kružnici ki a vrcholy B, C na kružnici k^. Zapište rozbor (se slovním vysvětlením, proč platí AB || S1S2) a přesný postup konstrukce.
3. V oboru W. řešte rovnici sin(| — x) + cos(| — x) = VŠ.
4. Pro která čísla x je čtvrtý člen rozvoje (podle binomické věty) mocniny
2 / 1
Xl+logx -|_
roven číslu 200?