Kolektivní a kooperativní jevy — zadání příkladu na BEC
1. Numerické řešení Grossovy-Pitaevského rovnice
Pro přibližný popis kondenzátu slabě interagujících atomů v pasti lze použít Grossovu-Pitaevského rovnici
2m
V2 + Fext(r)+#2(r)
která byla odvozena zahrnutím kontaktní interakce V{r — r') = gS(r — r') na úrovni přiblížení středního pole. Interakční parametr g se obvykle vyjadřuje pomocí rozptylové délky a jako
4Tvh2a
m
Vlnová funkce kondenzátu <j){r) splňuje normovači podmínku
b2(r) d3r = N
kde ./V je počet atomů v pasti a potenciál pasti Vext nabývá pro izotropní harmonickou past tvaru
1
-mu^r2
Zavedeme charakteristickou délku ano = \/VmwHO a převedeme GP rovnici do bezrozměrných veličin £ = r/aHo , 4> = ^/JNo^q , \± = /i/^HO :
„9      9        Na ~9
-V|+É2+8tt-02
s aHO
(0
s normovaním
!(Č)d3Č = 1
Parametr A = 87r(./Va/aHo) ma význam poměru interakční energie odhadnuté jako E-mí oc gN\N'/'a^o) a kinetické energie neinteragujících bosonů odhadnuté jako E^in oc N^Hliho. Řešení GP rovnice odpovídá vlnové funkci základního stavu a je tedy sféricky symetrické. Můžeme položit 0(£) = a obdržet finální rovnici
d_2
"de
2 +f + A4>2(0
U(Š) = s okrajovými podmínkami   u{0) = 0, u(oo) = 0
jejíž řešení je třeba nalézt numericky. Vyřešte tuto rovnici pro parametr Na/a^o = 0, 1, 10 a 100 a graficky znázorněte odpovídající 0 v závislosti na £.
Poznámky k numerickému řešení:
Potenciál V = A <j)2 vystupující v rovnici určíme iteračním postupem, v iteraci n + 1 použijeme k výpočtu V založený na 0 získané v iteraci n. Pro velké hodnoty A je nutné stabilizovat iterační postup tlumením změn potenciálu podle předpisu T/^n+1-> —> (1 — X)V^ + XA((f>^)2, kde horní index značí pořadí iterace a A je vhodně zvolené číslo menší než 1.
Jednou z možností, jak nalézt vlnovou funkci základního stavu pro daný potenciál £2 + A02(£), je použití mříže diskrétních bodů £j = (,ma,xj/n, j = 0... n (s např. £max = 6, n = 300) a nahrazení druhé derivace diferencí —d2u/d^2 ~ (2uj —Uj+i — Uj^i)/(^max/n)2. Řešení diferenciální rovnice se tím převede na diagonalizaci tridiagonální matice reprezentující operátor — d2/d£2 + £2 + A02(£) a vlnová funkce základního stavu je obsažena ve vhodně normovaném vektoru příslušejícím nejnižší vlastní hodnotě. Okrajové podmínky zohledníme položením uq = 0 a un = 0.