Oceňovanie amerických opcií Beáta Stehlíková Finančné deriváty, FMFI UK, LS 2012/2013 Oceňovanie amerických opcií — p. 1/27 -f Európske a americké typy derivátov • Uvažujme put opciu s expiračnou cenou 150 USD - teda právo predať akciu za 150 USD. Nech expirácia opcie je o mesiac. ° ak je opcia európskeho typu: toto právo môžeme využiť v čase expirácie - teda o mesiac ° ak je opcia amerického typu: toto právo môžeme využiť kedykoľvek odteraz do času expirácie • Ak táto opcia stojí 20 USD a dnešná cena akcie je 110 USD: ° ak je opcia európskeho typu: zisk závisí od toho, ako sa bude cena akcie ďalej vyvíjať ° ak je opcia amerického typu: kúpime opciu a hneď ju uplatníme —» okamžitý bezrizikový zisk • Cvičenie: Vymyslite podobný príklad pre call. Oceňovanie amerických opcií — p. 2/27 Európske a americké typy derivátov Ohraničenie, ktoré musí byť splnené, aby nebola príležitosť na bezrizikový zisk (t.j. arbitráž): cena amerického derivátu nesmie byť pod payoffom Európske typy derivátov: call na akciu vyplácajúcu dividendy, put na akúkoľvek akciu 40 30 V 20 10 0 80 60 V 40 20 0 50 60 70 80 90 100 110 120 S 0 20 40 60 80 100 120 S cena amerického derivátu sa tu teda nerovná cene európskeho Oceňovanie amerických opcií — p. 3/27 -f Európske a americké typy derivátov • Európske typy derivátov - pokračovanie: call na akciu nevyplácajúcu dividendy 14 12 10 V 8 6 4 2 45 50 55 60 65 70 75 S cena je stále nad payoffom v súlade s tým, čo už vieme z finančnej matematiky: cena amerického derivátu sa rovná cene európskeho t Oceňovanie amerických opcií — p. 4/27 -f Európske a americké typy derivátov • Je to takto aj vo všeobecnosti - dokážeme: ° Ak akcia nevypláca dividendy, tak cena call opcie je vždy nad payoffom. ° Ak akcia vypláca dividendy, cena call opcie vždy pretne payoff. ° Cena put opcie vždy pretne payoff. Základná myšlienka: budeme počítať limitu podielu V(S,ť)/(S-E), aWS^ oc (pre call), resp. 5^0+ (pre put) • Preto: ° Cena amerického callu na akciu bez dividend sa rovná cene európskeho callu ° Cenu amerického callu na akciu s dividendami a cenu putu na hocijakú akciu treba počítať inak -\ Oceňovanie amerických opcií — p. 5/27 -f Americké typy derivátov • Nemôžeme zobrať: cena = max (euróska opcia, payoff) -graf musí byť hladká funkcia • Prečo musí byť hladká - matematické odvodenie: Ševčovič, Stehlíková, Mikula: Analytické a numerické metódy oceňovania finančných derivátov, str. 155-156 • Ako bude riešenie vyzerať (hladké napojenie na payoff v bode £/(£)): 40 30 V 20 10 0 50 60 70 80 90 100 110 120 S -\ Oceňovanie amerických opcií — p. Q/27 -f Americké typy derivátov • Priebeh riešenia (pre call): ° ak S < S f (t): cena spĺňa Black-Scholesovu PDR, opciu držíme (neuplatňujeme) ° ak S > S f (t): cena sa rovná payoffu, opciu uplatníme) ° ak S = S f (t): cena má v tomto bode rovnakú hodnotu (kvôli spojitosti) aj deriváciu (kvôli hladkosti napojenia) ako payoff • S f (t) - hranica predčasného uplatnenia, matematicky je to voľná hranica Oceňovanie amerických opcií — p. 7/27 Matematická formulácia úlohy • Pre call opciu: ° funkcia V (S,t) je riešením Black-Scholesovej PDR dV a2 2d2V dV ^Í + YS dší + {r-q)Sdš-rV = 0 na časovo závislej oblasti 0 < t < T, 0 < S < S f (t). ° Koncová podmienka: V(S,T) = max(S-£,0). ° Okrajové podmienky na hranici S = 0 a S = Sj(t) pre 0 < t < T: V(0,í)=0, V(Sf(t),t)=Sf(t)-E, ^(Sf(t),t) = l Oceňovanie amerických opcií — p. 8/27 Matematická formulácia úlohy • Čo treba zmeniť pre put opciu: časovo závislú oblasť na 0 < t < T, S > S f (ť) koncovú podmienku na V (S,T) = max(E - S,0) okrajové podmienky na o o o y (+00, ŕ) =0, V(Sf(t),t)=E-Sf(t),^(Sf(t),t) = -1 Oceňovanie amerických opcií — p. 9/27 Výstup Vyriešením úlohy dostaneme: cenu opcie V (S, t) v závislosti od ceny akcie a času hranicu predčasného uplatnenia - t.j. či pre daný čas a cenu akcie opciu uplatniť, alebo nie o o (f) 200 190 180 170 160 call opciu uplatníme call opciu držíme 0 0.2 0.4 0.6 0.8 t 85 80 75 70 ?65 C/5 60 55 50 put opciu držíme put opciu uplatníme 0 0.2 0.4 0.6 t 0.8 1 Oceňovanie amerických opcií — p. 10/27 Analýza priebehu hranice S f (ť) • Predmet výskumu vo finančnej matematike • Ukážeme si jednu ohraničenie na Sf(t) pre call opciu • Budeme ho potrebovať pri odvodení numerickej schémy oceňovania amerických opcií Oceňovanie amerických opcií — p. 11/27 Ohraničenie pre S f (ť) • Zoberieme Black-Scholesovu PDR pre S < Sfi dV 1 2q2&V .qdV -dt+2* S dŠí + {r-q)SdŠ-rV = ° • Spravíme limitu S Sf, pričom využijeme: ° prechádzajúcu lemu ° konvexnosť V vzhľadom na S ° okrajovú podmienku Dostaneme: (r - q)Sf(t) - r(Sf(t) - E) < 0 Sf(t) > -E • Takže: Sf (t) > Emax(l,r/q) Oceňovanie amerických opcií — p. 12/27 \- Ukážky výskumu vo fin. mat. • J. N. Dewyne, S. D. Howison, J. Rupf, P. Wilmott (1993): Some mathematical results in the pricing of American options. Euro. Journal on Applied Mathematics 4, 381-398 Asymptotika pre call opciu, akr < q at -^T: Sf(t) w E(l + 0.638aVT - t) Oceňovanie amerických opcií — p. 13/27 Ukážky výskumu vo fin. mat. • D. Ševčovič (2001): Analysis of the free boundary for the pricing of an American Call option. Euro. Journal on Applied Mathematics 12, 25-37. Nelineárna integrálna rovnica pre S f (t) a jej numerické riešenie 9 S. R Zhu (2006): A new analytical approximation formula for the optimal exercise boundary of American put options. International Journal of Theoretical and Applied Finance 9, 1141-1177. Aproximácia Sf (t) v analytickom tvare Oceňovanie amerických opcií — p. 14/27 Oceň. pomocou lin. komplementarity • Označme V (S, t) cenu americkej opcie a V(S) jej payoff • Vieme, že musí platiť V(S,t) > V(S) • Ukážeme (pre prípad callu), že ° ak S < S f : nastáva rovnosť ° ak S > Sf : vtedy = S-E (lebo Sf>E)\ dosadíme do ľavej strany a využijeme, že Sf > Er/q • Súčasne vidíme, že nemôžu byť ostré obe nerovnosti súčasne Oceňovanie amerických opcií — p. 15/27 Oceň. pomocou lin. komplementarity • Máme teda úlohu o lineárnej komplementaritě: ov i ,qov -m+rs d^+{r-q)Sdš-rV-° V(S,t) > V(S) ov 1 2a2d2v , .„dv dt + 2a s as* + (r- q)S^ - rv\ {V(S} t) - V(S)) = 0 pre S g (0,00), 0 < r < T. Oceňovanie amerických opcií — p. 16/27 \- Oceň. pomocou lin. komplementarity • Postupnosť transformácií z predch. prednášok: V (S, t) -> Z (x, r) -> u(x,t) • Úloha pre u(x, r) v prípade callu: pre x g R, 0 < r < T, kde ° g(x, r) = EeaxJr^T max(0, ex - 1) je transformovaný payoff {a, f3 v prechádzajúcej prednáške) ° g(x, 0) je začiatočná podmienka u(x, 0) • Pre put sa zmení: g(x, r) = EeaxJr^T max(0,1 - ex) du > 0, u(x,t) — g(x,r) > 0 dr 2 dx2 Oceňovanie amerických opcií — p. 17/27 Numerické riešenie • Pripomeňme si: du a2 d2u\ dí~Yd^J K^r)-#(^r)) = 0, du a2 d2u Diskretizácia ako pri implicitnej metóde pre európske opcie: Auj+1 > uj + V, uj+1 > gj+1 pre j = 0,1, ...,m - 1 {AuJ+1 - v? - V)i(ui+1 - gJ+1)% = 0 pre každé i Oceňovanie amerických opcií — p. 18/27 Numerické riešenie Matica A a vektor b zostávajú rovnaké: / 1 + 27 A = 7 0 0 -7 0 1 + 27 -7 o \ -7 1 + 27 -7 o -7 1 + 27 y &>' = (7^+1,0,...,0,7^+1)t kde 7 = Oceňovanie amerických opcií — p. 19/27 -f PSOR metóda • Na každej časovej vrstve teda riešime úlohu typu Au > 6, u > g, (Au - b)i(ui - gi) = 0 pre každé i. • Definujme postupnosť u° 0, up+1 max (Tuup + cu, g) pre p = 1, 2, kde Tu, cu sú z klasickej SOR metódy a maximum berieme po zložkách • Projektovaný SOR označuje sa ako PSOR metóda alebo PSOR algoritmus -\ Oceňovanie amerických opcií — p. 20/27 PSOR metóda PSOR po zložkách u- = max A jl AíjUj +(1 - u)v%, g% Oceňovanie amerických opcií — p. 21/27 \- Konvergencia algoritmu k riešeniu • Postupnosť up konverguje k nejakej limite u - dokáže sa BanachOVOU vetOU O pevnom bode [Ševčovič, Stehlíková, Mikula: Analytické a numerické metódy oceňovania finančných derivátov, str. 182-183] • Táto limita je riešením: ° u^1 > gi aj limita spĺňa ui > gi +(1 - cj)u? aj limita spĺňa ui > f-% (bi - Y,3<1 Auu3 ~ Ej>i Ajufj + (1 - U))Ui využijeme Au > 0,uj > 0 -> dostaneme (Au)i > bi ° ak m > gi , tak od určitého indexu p0 je u? > gi , pre tieto indexy: Oceňovanie amerických opcií — p. 22/27 -\ Konvergencia algoritmu k riešeniu <+1ľj<í 1 - ^-«?)+(i - ^k, v limite pre p -> oo dostaneme (Aľh = => podmienka (a/ - 6)í(^í - ä) = 0 je splnená Oceňovanie amerických opcií — p. 23/27 Ukážka numerických výsledkov Oceňovanie americkej call a put opcie (na porovnanie bodkami cena európskej opcie) 30 40 50 60 70 80 10 20 30 40 50 60 70 S S • Na cvičení: Implementácia PSOR algoritmu, výpočet ceny opcie ako na tomto obázku • Súčasť 3. písomky: Ocenenie konkrétnej americkej opcie -\ Oceňovanie amerických opcií — p. 24/27 \- Ukážka numerických výsledkov • 3D graf s vyznačenou voľnou hranicou pre call opciu: Oceňovanie amerických opcií — p. 25/27 Ukážka numerických výsledkov • Numerický výpočet voľnej hranice a porovnanie s "odmocninovou" aproximačnou formulou 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 -1 Oceňovanie amerických or>cií — r>. 26/27 -f Ukážka numerických výsledkov • M. Lauko, D. Ševčovič: Comparison of numerical and analytical approximations of the early exercise boundary of American put options, ANZIAM journal 51, 2010, 430-448. Porovnanie aproximačných formúl pre put opciu: fl O DuCE D.M Q.06 DJOfi 0 Qj05 D.I (LIE 02 0.25 T = 4 x 1CT3 (1 day) 71 = 0.08 (1 month) T = 0.25 (3 months) t Oceňovanie amerických opcií — p. 27/27