Pracovní text a úkoly ke cvičením MF002
2   Brownův most
Brownův most na intervalu [0,1] je náhodný proces Xt definovaný předpisem
Xt = (Wt\W1 = 0) ,      t G [0,1] ,
kde Wt je Wienerův proces na intervalu [0,1]. Tzn. Xt je Wienerův proces podmíněný hodnotou v koncovém čase t = 1. Jednou z možností jak takový proces explicitně popsat, je
Xt = Wt-tW1 ,       t G [0,1] .
2.1 Úkoly
Využijte předchozího vztahu a napište skript, který bude generovat trajektorii Brownova mostu. Nejdříve si vygenerujte trajektorii Wienerova procesu Wt na intervalu [0,1] a pak ji transformujte na Brownův mostXf. Do obrázku pak vykreslete několik jeho trajektorií:
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
t
Vygenerujte si 100,1000, příp. i 10000, trajektorií Brownova mostu a spočítejte střední hodnotu a rozptyl pro každé ř e [0,1]. Obě závislosti pak vykreslete do grafu. Jakým dvěma funkcím odpovídají tyto závislosti?
Ondřej Pokora, ÚMS PřF MU Brno, aktualizace 17. března 2014
1
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
t
3   Geometrický Brownův pohyb
Cena akcie je modelována pomocí stochastické diferenciální rovnice (SDR)
dXř = rXt dt + crXt dWt ,
kde parametr r je úroková míra a parametr cr > 0 volatilita. Pro jednoznačné řešení je nutno doplnit i počáteční hodnotu X0 > 0. V jednoduchém modelu uvažujeme konstantní parametry, tedy nezávislé na čase. Řešením této SDR je nezáporný náhodný proces Xt zvaný geometrický Brownův pohyb, jehož trajektorie jsou pro hodnoty X0 = 100, r = 0acr = 0,2 znázorněny na následujícím obrázku.
Výše uvedenou SDR lze přepsat do diferenčního tvaru
AX(ř) = rX(t)At + crX(t)AW . Odtud dostáváme vztah pro generování trajektorií geometrického Brownova pohybu
X(t + At) =X(t) + AX(t) =X(t) + rX(t)At + crX(t)AW . Clen AW je přírůstek Wienerova procesu na intervalu délky Ař (viz přechozí cvičení).
2
3.1 Úkoly
Pomocí for-cyklu nebo funkce sapply napište skript, který bude generovat trajektorie geometrického Brow-nova pohybu s parametry X0, r, cr. Vygenerujte pak několik trajektorií geometrického Brownova pohybu na intervalu [0,1] s paramety X0 = 100, r = 0 a cr = 0.2, jak je naznačeno na obrázku výše.
Měňte hodnoty parametrů X0 > 0, r, cr > 0 a sledujte chování trajektorií v závislosti na těchto změnách.
Ověřte si, že následujícím způsobem generovaný náhodný proces je také geometrický Brownův pohyb Xt:
1 generuj .gBp  <-  function   (t,   dt,  X0,   r,   sigma) {
2 dW <-  rnorm   (length   (t)       1)   *  sqrt (dt)
3 dX  <-  1  + r  *  dt  +  sigma  * dW X  <-  cumprod   (c   (X0   ,   dX))
5 }
Vygenerujte si 100, 1000 (příp. 10000), trajektorií geometrického Brownova pohybu. Zvolte několik časů, např. ř = 0.2, ř = 0.8, a zkoumejte pravděpodobnostní rozložení hodnot Xt, můžete využít emirickou distribuční funkci, histogramy, Kolmogorovův-Smirnovův test. ..Pro každý čas ř e [0,1] spočítejte střední hodnotu a směrodatnou odchylku realizací a obě závislosti vykreslete do grafu.
Měňte hodnoty parametrů X0, r, cr a závislosti a pomocí grafů se pokuste vusledovat, jak střední hodnota a směrodatná odchylka procesu Yt závisí na hodnotách těchto parametrů.
3
0.000
0.002
Density 0.004 0.006
0.008
0.010
50
100
geometricky Brownuv pohyb 150       200       250 300
350
o
350
vyber
n:100 m:0
Totéž potom proveďte se zlogaritmovanými hodnotami procesu,
Yt = lnXt.
Pro přirozený logaritmus je v R funkce log.
Zkoumejte a graficky zobrazujte rozdělení pravděpodobnosti, střední hodnotu a směrodatnou odchylku procesu Yt.
Podaří se vám nalézt takovou kombinaci parametrů, aby střední hodnota procesu Yt byla konstatní?
5
Např. následující graf zobrazuje závislosti střední hodnoty a směrodatné odchylky procesu Yt na čase t G [0; 1] pro hodnoty parametrů X0 = 1, r = 1, cr = 1:
1
a totéž pro X0 = 1, r = 0, cr = 1:
t
6