Pracovní text a úkoly ke cvičením MF002
5   Oceňování evropské call/put opce
Označme Vt cenu opce (derivátu) a St cenu podkladové akcie v čase ř. Předpokldámě, že opce má stanovenu realizační cenu (strike price) K a splatnost (maturity) T. Dále počítáme s úrokovou mírou r a předpokládáme, že podkladová akcie S má konstantní volatilitu cr > 0.
Evropská call opce C na akcii S dává majiteli právo koupit tuto akcii v čase t za cenu
Vi
Sr-K
Podobně, evropská put opce P na akcii S dává majiteli právo prodat tuto akcii v čase t za cenu
VTP = (K-ST) + .
Oceňováním opce (derivátu) ve finanční matematice rozumíme nalezení současné ceny opce V0 ze znalosti charakteristik K, T, r, cr a současné ceny (spot price) akcie S0.
Blackův-Scholesův-Mertonův vzorec počítá současnou cenu V0C evropské call opce,
yQc = S0$(z)-Ke-rT $(z-<jVt),
kde
cr
Put-call parita (put-call parity) je princip, kterým dáváme do souvislosti cenu akcie S a cenu call opce C a put opce P na tuto akcii. Uvažujme dvě portfolia. Portofilo 1 je složeno z obligace B s výnosem K v čase T a z call opce C na akcii S s realizační cenou K a splatností T. Portofilo 2 je složeno z jednoho podílu akcie S a z put opce P na stejnou akcii S a se stejnou realizační cenou K a splatností T.
Sami si doplňte (místo ?) tabulky výplat při splatnosti pro obě portfolia.
portfolio 1	ST >K	ST<K	portfolio 2	ST >K	ST<K
obligace B	?	?	akcie S	?	?
call opce C	?	?	put opce P	?	?
celkem	ST	K	celkem	ST	K
Pro kontrolu máte uvedeny celkové výplaty pro obě portfolia. Jejich porovnáním odvodíme matematický vztah pro ceny akcie a opcí v libovolném čase 0 < t < T. Speciálně pro současné ceny z put-call parity dostáváme užitečný vztah
Ke-rT + VC=So + yP_
Na minulých cvičeních jsme si ukázali postup, jak ze znalosti časové řady ceny akcie odhadnout úrokovou míru r a volatilitu cr. Takto odhadnutá volatilita se nazývá historickou volatilitou, neboť se počítá zpětně ze znalosti skutečných cen akcie.
Jiný způsob odhadu volality cr akcie vychází z předpokladue znalosti tržní hodnoty opce (derivátu) na tuto akcii. Předpokldámě, že známe charakteristiky určité opce a její tržní hodnotu V0. Tzv. implikovaná volatilita (implied volalitity) je takové cr, které po dosazení do Blackova-Scholesova-Mertonova vzorce vytvoří cenu rovnou právě hodnotě V0.
Implikovaná volatilita existuje a je jednoznačně určená, pokud cena call opce splňuje podmínku
S0-Ke~rT <VQC <S0,
krajní body jsou přitom určeny jako limitní případy pro cr —> 0 a cr —> oo.
Ondřej Pokora, ÚMS PřF MU Brno, aktualizace 28. dubna 2014
1
5.1 Úkoly
Za otazníky doplňte správné výplaty v tabulkách výše.
Pomocí put-call parity odvoďte vzorec pro současnou cenu     evropské put opce,
V0P =Jfe"rľ$(ffv/r-z)-S0$(-z).
VR si definujte funkce call a put pro výpočet současné ceny call a put opce podle Blackova-Scholesova-Mertonova vzorce. Jako parametry funkcí zvolte <T, r, T, K, S (ideálně v tomto pořadí).
1 call  <-  function   (sigma,   r,  T,  K,   S) {
2 #   . . .
3 #  doplňte  vzorec  pro  vypočet V~C_0
4 #    . . .
5 }
6
7 put  <-  function   (sigma,   r,  T,  K,   S) {
8 # ...
9 #  doplňte  vzorec  pro  vypočet V~P_0
10 #   . . .
n }
Nyní uvažujme např. roční úrokovou míru 1 %, a předpokládejme, že akcie má volatilitu 0,3 a její současná hodnota je 100 USD. Call opce s realizační cenou 120 USD s dobou do splatnosti půl roku bude mít cenu 2,6 USD, analogická put opce bude mít cenu 22 USD:
call   (0.3,   0.01,   0.5,   120, 100)
2
3 put   (0.3 ,   0.01 ,   0.5 ,   120 , 100)
Vyzkoušejte si výpočet cen opcí pro další hodnoty parametrů.
V grafech si zobrazujte závislosti V0C, resp. VQP, na současné ceně akcie S0. Do jednoho grafu si kreslete více křivek, u nichž budete měnit ještě jiný parametr, např. dobu do splatnosti T, nebo volatilitu cr. Do obrázku si přikreslete i výplatní funkci Vj , resp. Vj .
Analogicky zkoumejte další závislosti, např. na volatilitě cr a době do splatnosti T. Zkoumejte např. asymptotické vlasnosti cen opcí, když cr —> 0, cr—> oo, T —> 0, T —> oo, r —> 0, nebo S —> K.
Vykreslené chování závislostí matematicky vysvětlete a interpretujte i z pohledu finanční matematiky.
2
Závislost V0C na S0 pro několik hodnot volatility <r:
3
Jakou hodnotu má implikovaná volatilita akcie, jejíž současná hodnota akcie je 85, USD, když cena call opce s realizační cenou 80 USD s dobou do splatnosti 0,5 roku je 11,12 USD při roční úrokové míře 1 %? Vykreslíme si závislost V0C pro určitý interval volatilit cr a vložíme vodorovnou čáru pro V0C = 11,12 USD:
OJ _
CO -
CD —
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
sigma
Vidíme, že implikovaná volatilita existuje a je určena jednoznačně průsečíkem křivky s vodorovnou čárou. Pro přesné řešení implikované volatility musíme najít takové cr, aby platilo V0C = 11,12 USD. Závislost V0C na <j však není lineární, jak je z grafu vidět. Pro nalezení kořenu rovnice
V0C-11,12 = 0
proto použijeme některou z iteračních metod numerické matematiky, např. Newtonovu metodu. V R si tuto funkci proměnné cr s nulovou pravou stranou definujeme a pro nalezení jejího kořene použijeme funkci uniroot.
1 fn <-  function   (u) {
2 call   (u,   0.01,   0.5,   80,   85.2) 11.12
3 }
4
5 reseni  <-  uniroot   (fn,   c   (0, 0.5))
6 reseni$root
Obdržíme výsledek, že implikovaná volatilita uvažované akcie je rovna 0,346.
Vyzkoušejte si výpočet implikované volatility pro jiné hodnoty parametrů a také pomocí znalosti ceny V0P put opce.
4