Fyzika pro chemiky II – příklady ke cvičením
Ústav fyziky kondenzovaných látek, PřF MU Brno
letní semestr 2015
1. Příklady z optiky
1. Rovinná elektromagnetická vlna o frekvenci f = 5.45×1014
Hz polarizovaná v rovině x, y se šíří ve směru osy
x ve vakuu (ε0 = 8.854 × 10−12
F·m−1
, µ0 = 4π × 10−7
H·m−1
). Intenzita elektrického pole má amplitudu
E0.
(a) Určete rychlost elektromagnetického vlnění c, vlnovou délku λ a barvu, která této vlnové délce odpovídá.
(b) Napište rovnice elektromagnetické vlny E = E(r, t), B = B(r, t), kde r(x, y, z) je polohový vektor.
(c) Ověřte, zda tyto funkce vyhovují vlnové rovnici.
2. Paprsek se šíří prostředím s indexem lomu na = 1 podél osy kolmé na rozhraní ve vzdálenosti y od ní. Dopadá
na rozhraní s prostředím o indexu lomu n, které má tvar kulové plochy o poloměru r, přičemž r ≫ y. Ve
kterém bodě protne paprsek optickou osu?
3. Předmět, který zobrazujeme tenkou čočkou s ohniskovou vzdáleností f, má velikost Y = 2 cm a je umístěn
ve vzdálenosti a = 10 cm od čočky. Ohnisková vzdálenost je: (A) f = −4 cm, (B) f = 5 cm.
(a) Proveďte grafickou konstrukci obrazu.
(b) Vypočítejte vzdálenost obrazu od čočky.
(c) Vypočítejte zvětšení obrazu m.
(d) Určete, zda je obraz skutečný nebo zdánlivý.
4. Stínítko se dvěma malými otvory vzdálenými d = 0.1 mm je osvětleno rtuťovou výbojkou. Ze spektra Hg
je přes filtr propuštěno pouze zelené monochromatické světlo s vlnovou délkou λ = 546 nm. Na rovinném
stínítku ve vzdálenosti D = 2 m od prvního stínítka pozorujeme interferenční jev (Youngův pokus). Určete
polohu (úhlovou i délkovou na stínítku):
(a) prvního minima ϑm1, ym1,
(b) desátého maxima ϑM10, yM10.
(c) Nakreslete závislost intenzity světla I na vzdálenosti y od středu stínítka.
5. Při Youngově interferenčním pokusu prochází jeden paprsek kyvetou 2 cm dlouhou s planparalelními skleněnými
stěnami. Je-li kyveta vyplněna vzduchem, pozorujeme interferenční jev. Je-li kyveta naplněna chlórem,
posune se interferenční jev o 20 proužků. Celé uspořádání je v termostatu, který udržuje konstantní teplotu.
Pokus provádíme se světlem čáry D sodíku (λ = 589 nm).
(a) Vypočítejte index lomu chlóru, je-li index lomu vzduchu n = 1.000276.
(b) Kterým směrem se posunují interferenční proužky při plnění kyvety chlórem?
1
6. Mýdlová bublina vytvoří uvnitř drátěného oka vodní film o tloušťce 320 nm. Index lomu vody je n = 1.33 a
index lomu vzduchu je n0 = 1.00.
(a) Jakou barvu bude mít bílé světlo po kolmém odrazu od tohoto filmu?
(b) Vypočítejte vlnové délky λM1, λM2, λm1, λm2 pro první dvě maxima a pro první dvě minima intenzity
odraženého světla.
(c) Určete změnu fáze ϕ1 při odrazu na prvním a ϕ2 při odrazu na druhém rozhraní.
7. Antireflexní vrstva na skleněné čočce s indexem lomu ns = 1.5 je vyrobena napařením tenké vrstvy MgF2,
která má index lomu n = 1.38, na povrch skla. Vypočítejte tloušťku d antireflexní vrstvy tak, aby minimální
intenzita odraženého světla ležela uprostřed viditelného spektra (vlnová délka λ = 550 nm). Index lomu
vzduchu je n0 = 1.00.
8. Pozorujeme-li Newtonovy kroužky (λ = 450 nm), které vznikají mezi ploskovypuklou čočkou a rovnou destičkou,
je poloměr třetího světlého kroužku 1.06 mm. Nahradíme-li modrý filtr červeným, je poloměr pátého
světlého kroužku 1.77 mm. Určete poloměr křivosti R čočky a vlnovou délku λc červeného světla.
9. Mřížka má 1000 vrypů na milimetr. Jaká je šířka vrypu, když interferenční maximum pátého řádu vymizí?
2
2. Příklady z kvantové fyziky
1. Teplota Slunce je na většině jeho povrchu T = 5800 K, v oblasti slunečních skvrn je však pouze 4000 K.
Vypočtěte poměr intenzity záření Slunce v oblasti skvrn a normálního povrchu Slunce. Jaká je intenzita
záření emitovaného Sluncem v oblasti skvrn?
2. Výstupní práce následujících kovů jsou: cesium φCs = 2.1 eV; měď φCu = 4.7 eV; zinek φZn = 4.3 eV.
(a) Jaká je mezní vlnová délka fotonů, které ještě způsobí emisi elektronů z těchto kovů?
(b) Které z těchto kovů nemohou emitovat elektrony, pokud jsou ozářeny viditelným světlem (400 až
700 nm)?
(c) Jaká může být maximální kinetická energie elektronu emitovaného krystalem zinku ozářeným UV zářením
λ = 200 nm?
3. Rentgenové záření o vlnové délce 0.0665 nm se rozptyluje na volných elektronech (Comptonův jev).
(a) Jakou největší vlnovou délku záření lze pozorovat u rozptýlených fotonů?
(b) Pod jakým úhlem rozptylu toto záření pozorujeme?
4. α-částice je vyslána přímo na jádro atomu zlata. α-částice má 2 protony, jádro zlata má 79 protonů. Jaká je
minimální kinetická energie, aby se α-částice přiblížila k jádru Au na vzdálenost 5×10−14
m? Předpokládejte,
že jádro Au setrvává po celou dobou srážky v klidu.
5. S použitím Bohrova modelu vypočtěte poloměr oběžné dráhy elektronu v atomu vodíku pro stavy n = 1
a n = 3. Určete také rychlost elektronů a jejich energii v těchto stavech. Jaká bude vlnová délka fotonu
vyzářeného při přechodu elektronu ze stavu n = 3 do stavu n = 1?
6. Elektron má de Broglieho vlnovou délku 2.8 × 10−10
m. Určete:
(a) velikost jeho hybnosti,
(b) jeho kinetickou energii v Joulech a eV.
7. Najděte nejnižší energetickou hladinu částic:
(a) elektronu me = 9.11 × 10−31
kg v nekonečně hluboké kvantové jámě o šířce 5 × 10−10
m (≈ rozměr
atomu),
(b) protonu mp = 1.67 × 10−27
kg v nekonečně hluboké kvantové jámě o šířce 1.1 × 10−14
m (průměr jádra
střední velikosti).
Výsledky dávají řádový odhad energií elektronů na elektronových slupkách a nukleárních částic vázaných
v jádře.
8. Najděte energie elektronu ve třírozměrné kvantové jámě pro 3 nejnižší energiové stavy. Jáma má tvar krychle
o stranách délky L = 5 × 10−10
m. Energie spočtěte v elektronvoltech.
9. Uvažte atom vodíku ve stavu n = 4.
(a) Jaká je maximální velikost orbitálního momentu L jeho elektronu?
(b) Jaká je maximální hodnota velikosti z-složky orbitálního momentu Lz jeho elektronu?
(c) Jaký je minimální úhel mezi L a osou z?
10. Spočítejte energiový rozdíl mezi stavy ms = 1
2 (spin up) a ms = −1
2 (spin down) atomu vodíku ve stavu 1s,
když je umístěn do magnetického pole 1.45 T paralelního s negativním směrem osy z. Který z těchto dvou
stavů má nižší energii?
11. Kα čára rtg záření detekovaného ze vzorku ostřelovaného elektrony má energii 7.46 keV. Atomy jakého prvku
obsahuje vzorek?
12. Spočtěte frekvenci, energii a vlnovou délku spektrální čáry Kα pro
(a) Ca (Z = 20),
(b) Cd (Z = 48).
3
3. Příklady z fyziky kondenzovaných látek
1. (a) Najděte úhel θ mezi nejbližšími sousedními vazbami v mřížce křemíku. Zvažte, že každý atom křemíku
je vázán ke čtyřem nejbližším sousedům, a ty jsou ve vrcholech pravidelného čtyřstěnu, jehož všechny
stěny jsou rovnostranné trojúhelníky.
(b) Najděte délku vazby z údaje, že atomy ve vrcholech čtyřstěnu jsou od sebe vzdáleny 388 pm.
2. (a) Vypočtěte mřížkový parametr a mědi, víte-li že hustota mědi je 8940 kg·m−3
, hmotové číslo je 63.55 a
elementární buňka mědi je kubická plošně centrovaná (atomy mědi se nachází ve vrcholech krychle a ve
středech stěn – viz obrázek níže).
(b) Ukažte, že koncentrace vodivostních elektronů je n = 8.4310 × 1028
m−3
.
Krystalová struktura mědi.
3. Pomocí následujícího vztahu určete Fermiho energii mědi
EF =
3
16
√
2π
2/3
h2
m
n2/3
a poté ověřte, že Fermiho rychlost je vF = 1.6 × 106
m·s−1
.
4. Vypočtěte driftovou rychlost elektronů v měděném drátu o průměru 1 mm, víte-li, že drátem teče proud
o velikosti 1 mA. Tento výsledek porovnejte s Fermiho rychlostí z předchozího příkladu.
5. Určete relaxační dobu τ elektronů v mědi, je-li její měrný odpor 1.7 × 10−8
Ω·m.
6. Porovnejte plazmovou frekvenci mědi s plazmovou frekvencí ionosféry. Elektronová hustota elektronů v nejnižší
vrstvě ionosféry (vrstva D) je v poledne nD = 1 × 109
m−3
a v nejvyšší vrstvě F2 je nF = 1 × 1012
m−3
.
Jak souvisí vypočtené hodnoty s pásmy radiové komunikace?
7. Jaká je pravděpodobnost, že stav 0.062 eV nad Fermiho energií bude obsazen při
(a) T = 0 K,
(b) T = 320 K?
8. (a) Jaká je maximální vlnová délka světla, které vybudí elektron z valenčního pásu diamantu do vodivostního
pásu? Pás zakázaných energií je 5.5 eV.
(b) V jaké části elektromagnetického spektra tato vlnová délka leží?
9. Krystal chloridu draselného (KCl) má šířku zakázaného pásu 7.6 eV. Je tento krystal průhledný nebo neprůhledný
pro světlo o vlnové délce λ = 140 nm?
10. Čistý křemík má za pokojové teploty koncentraci elektronů ve vodivostním pásu 5 × 1015
m−3
a stejnou
koncentraci děr ve valenčním pásu. Předpokládejme, že jeden atom z každých 107
atomů křemíku je nahrazen
atomem fosforu.
(a) Jaký typ vodivosti bude mít tento dotovaný polovodič, n nebo p?
(b) Jakou koncentraci nosičů náboje přidá fosfor?
(c) Jaký je podíl koncentrace nosičů náboje (elektronů ve vodivostním pásu či děr ve valenčním pásu)
v dotovaném křemíku a v čistém křemíku?
4