– 1 –
DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE
TVAROVÁNÍ KLASTŮ BĚHEM TRANSPORTU
Model: tvar jílových bloků (klastů) se mění při rotaci kolem náhodně se měnící osy v intervalu [0,
2π]). Aktuální tvar lze vyjádřit hodnotou sféricity ψψψψ:
3 2
)IL(/S=Ψ kde L, I, a S představují rozměry bloku (m) na dlouhé, střední a krátké ose.
„Rovnovážný“ tvar při transportu (tj. sférický tvar) je dán podmínkou ψψψψ = 1. Odchylka od tohoto
tvaru je 1-ψψψψ. Lze předpokládat, že velká odchylka (extrémně nepravidelný tvar) se bude při rotaci
měnit rychleji než malá odchylka. Přírůstek sféricity s počtem otáček dΨ/dn pak bude úměrný
odchylce 1-ψψψψ:
( )Ψ−=
Ψ
1k
dn
d
Řešení 1
Separace proměnných: ( )
dnk
1
d
=
Ψ−
Ψ
Integrace (neurčitý integrál): ( ) ∫∫ =
Ψ−
Ψ
dnk
1
d
Substituce: ;dYd;1
d
dY
;Y1 −=Ψ−=
Ψ
=Ψ− ∫∫ =− dnkdY
Y
1
CknYln +−=
Resubstituce: Ckn)1ln( +−=Ψ−
Integrace:
Výpočet C z počátečních podmínek: n=0 Ψ=Ψ0
)1ln(kn)1ln( 0Ψ−+−=Ψ−
Úprava: )1ln(eln)1ln( 0
kn
Ψ−+=Ψ− −
( ))1(eln)1ln( 0
kn
Ψ−=Ψ− − kn
0
e
1
1 −
=
Ψ−
Ψ−
Integrál
∫= dx)x(fy
dx
dy
'y)x(f == )x(f
dx
dy
= dx)x(fdy =
∫∫ = dx)x(fdy 21 C)x(FCy +=+ C)x(Fy +=
– 2 –
Řešení 2 ( )
dnk
1
d
=
Ψ−
Ψ
Integrace (určitý integrál):
( ) ∫∫
=
Ψ
Ψ
=
Ψ−
Ψ
n
0n
dnk
1
d
0
Substituce:
0000 Y1Y1;Y1;dYd;1
d
dY
;Y1 −=Ψ⇒=Ψ−−=Ψ−=Ψ−=
Ψ
=Ψ−
[ ] [ ]n
0
Y
Y nkYln 0
−=Integrace:
kn
0
e
1
1 −
=
Ψ−
Ψ−
∫∫
=
=−
n
0n
Y
Y
dnk
Y
dY
0
( ) kn
0
0 eln
1
1
lnkn)Yln(Yln −
=
Ψ−
Ψ−
⇒−=− ( ) nk
0 e11 −
Ψ−−=Ψ
KINETIKA REAKCE
Rozpouštění a precipitace amorfních gelů SiO2
44
k
k
22 SiOHOH2SiO
b
f
←
→
+ 4422
44
SiOHb
2
OHSiOf
SiOH
a}A{kaa}A{k
dt
da
−=+
Řešení
Separace proměnných: dt}A{
akaak
da
4422
44
SiOHb
2
OHSiOf
SiOH
=
−
+
Substituce:
dY
k
1
dak
da
dY
Yakaak
b
SiOHb
SiOH
SiOHb
2
OHSiOf 44
44
4422
−=⇒−=⇒=−
dt}A{
Y
dY
k
1
b
=− ∫∫ −= dt}A{k
Y
dY
b Ct}A{kYln b +−=
( ) Ct}A{kakaakln bSiOHb
2
OHSiOf 4422
+−=−
Integrace:
Resubstituce:
Počáteční podmínky:
t = 0 → aH4SiO4 = a0
H4SiO4
( ) ( )0
SiOHb
2
OHSiOf
t}A{k
SiOHb
2
OHSiOf 4422
b
4422
akaaklnelnakaakln −+=− −
( ) t}A{k0
SiOH
t}A{k2
OHSiO
b
f
SiOH
b
44
b
2244
eae1aa
k
k
a −−
+−=
aSiO2 = konst
aH2O = konst
{A} = konst
– 3 –
KONCENTRACE Rn V JESKYNI
Individuální toky Rn [Bq s-1
] jsou definovány: Tok j1 je dán součinem exhalace E (Bq m-2
s-1
) díky
rozpadu 238
U a ploše stěn S [m2
]:
j1 = E S
Toky Rn spojené s ventilací jeskyně
j2 = u cRn(in) a j4 = - u cRn,
kde u je objemová rychlost proudění vzduchu [m3
s-1
] a cRn(in) je koncentrace radonu [Bq m-3
] na
vstupu do jeskyně.
Tok j3 odpovídající α-rozpadu radonu
j3 = - λ cRn V
kde λ je rozpadová konstanta 222
Rn [s-1
], cRn je aktuální koncentrace 222
Rn [Bq m-3
], a V je objem
jeskyně [m3
]. Znaménko udává směr toku!
Celkový tok Rn do jeskyně j = dnRn/dt, (přírůstek Rn v jeskyni za čas) je dán sumou všech toků
Rn)in(RnRn
RnRn
cucuVcSE
dt
cdV
dt
nd
−+λ−==
( ) Rn)in(Rn
Rn
cuVcuSE
dt
cdV
+λ−+=
Řešení
t
V
uV
0
Rn
t
V
uV
)in(Rn
Rn ece1
uV
cuES
c
+λ
−
+λ
−
+








−





+λ
+
=
( )
dt
V
1
cuVcuSE
cd
Rn)in(Rn
Rn =
+λ−+
Separace proměnných:
( ) ( )
( ) Rn
Rn
Rn)in(Rn dc
uV
dZ
uV
dc
dZ
ZcuVcuSE =
+λ
−⇒+λ−=⇒=+λ−+
Substituce:
dt
V
uV
Z
Zd
dt
V
1
Z
Zd
uV
1 +λ
−=⇒=
+λ
−
Integrace:
∫∫
+λ
−= dt
V
uV
Z
Zd
Ct
V
uV
Zln +
+λ
−=
( )( ) Ct
V
uV
cuVcuSEln Rn)in(Rn +
+λ
−=+λ−+Dosazení:
Výpočet konstanty - počáteční podmínky: t =0 → cRn = c0
Rn
( )( ) ( )( )Rn)in(Rn
t
V
uV
Rn)in(Rn cuVcuSElnelncuVcuSEln +λ−++=+λ−+
+λ
−
Po úpravách: