DIFERENCIÁLNÍ POČET
Při odvozování funkčních závislostí je většinou jednodušší nalézt tuto závislost v diferenciálním tvaru.
Např. rychlost reakce (změna /přírůstek, úbytek/ koncentrace s časem) je přímo (lineárně) úměrná koncentraci výchozích látek, celkové ploše povrchu, tlaku plynné složky atd.
Aplikace: Hledání lokálních extrémů
Minimum a maximum funkce
Směrnice tečny křivky v daném bodě je rovna nule! Např. funkce y = - x3 - 3x2 + 2x + 3    s derivací y = - 3x2 - 6x + 2
Hledáme hodnoty x, kdy derivace fce y' je rovna nule. Pak:    - 3x2 - 6x + 2 = 0
Kořeny rovnice jsou: xi = - 2,29 a X2 = 0,29. V těchto „pozicích" jsou lokální extrémy.
1 lil :         :   \ : l                              l              \ l l                              l               1 l 1     ,     ,     ,     ,     1     ,     ,     \   ,     1     ,     ,     , 1 ,	i " i i	M f' 'ň1	■ X :         : : Vi                          i i V                          i i ,    ,     ,     ,    |\,    ,     ,    ,     1     ,    ,     , ,
1                             1                   \       1 I 5        -4 \-3 \ i		f u 1 í	1               1 V                 1 1 l          j \      ?     x \ i      Y        i i
ítmi
-2-
Konvexní (vydutá) křivka: f"(x) > 0 (směrnice funkce v daném bodě s přírůstkem x roste). 6x-6>0 x<-l
Konkávni (vypuklá) křivka: f'(x) < 0 (směrnice funkce v daném bodě s přírůstkem x klesá). -6x-6<0 x>-l
Jestliže f"(x) > 0 minimum (směrnice funkce za extrémem roste s přírůstkem x). Pokud f"(xl) < 0 maximum (směrnice funkce za extrémem klesá s přírůstkem x): f"(x) = - 6x - 6
f'(-2,29) = 7,75 (minimum) f"(0,29) = - 7,75 (maximum)
Inflexní bod:
konvexní část křivky přechází na konkávni nebo opačně f"(x) = 0 y" = - 6x - 6 pak   x = -1
Derivace složené funkce
y = f (u) dy   dy du
Mějme funkce Derivace podle x:  — = —--
u = f (x) dx   du dx
Příklad: Intenzita pufrace: směrnice na křivce f = f(pH)
F =
Kw [H] cf [H] " V
+
1
'    [H] K2
+
K,
[H]
dF _ jlF^ d[H] dpH   ~ d[H] dpH
pH = -log[H] 10"pH = [H]
pH lnlO = ln[H]     - 2,3 pH = ln[H]
[H] = e"2'3pH
d[H] dpH
-2,3 e
-2,3pH
d[H] dpH
fl + m +   [H]2 ^
K^
K,K
1^2
ln 10"pH = ln[H] ln e-2'3pH = ln[H]
= -2,3 [H]
-3 -
Diferenciální počet funkce více proměnných
Nechť u = f(x,y,z,...t), pak parciální (částečný) diferenciál vzhledem k proměnné x je
dxu = u'x dx,
nebo detailněji rozepsáno
dxu =—dx
x ox
kde      je parciální derivace u podle x. Vyjadřuje, jak se změní u s diferenciální změnou proměnné ox
x! Geometricky: směrnice k vícerozměrné ploše v daném bodě ve směru osy x!
Pokud postupně diferencujeme u podle všech proměnných, pak dostaneme
totální diferenciál.
,    ou ,    ou ,    ou ,        ou , du = — dx +—dy +—dz + ... +—dt ox       oy       oz ot
Geometricky: fce u(x,y), du se rovná přírůstku souřadnice u v bodě u(x+dx, y+dy) oproti
původnímu bodu u(x,y)
(x se změnilo o dx a y o dy).
Body leží na tangenciální (tečné) ploše k ploše u (funkční závislost)!
Příklad: Totální diferenciál Gibbsovy funkce:
dG(T,p,ni) = ^dT + ^dp + |^dn1+|^dn2... + |GUni
oT Op OTLj On2 OTlj
dGCr,p,ni) = §dT + ^dp + 2;gdni
dG(T, p, nt) = -SdT + Vdp + \l{án{
Parciální diferenciály (derivace) vyšších řádů:
Diferenciál druhého řádu funkce u(x,y)
d u =—r-dx ox2
Smíšený diferenciál (nezávisí na pořadí derivací)
-4-
a2 d2u
au--dx dy
3x 3y
Totální diferenciál druhého řádu
.2     č)u,2   ~č)u,   , 3u,2
d u=—=-(br+2-dxdy+—-dy
dx 3x 3y 3y2