M6150 Funkcionálna analýza I Lineárne funkcionály Peter Šepitka leto 2023 Obsah 1 Hahnova–Banachova veta 2 Spojité lineárne funkcionály 3 Duálne priestory 4 Druhé duálne priestory 5 Slabá topológia a Banachova–Steinhausova veta Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus Obsah 1 Hahnova–Banachova veta 2 Spojité lineárne funkcionály 3 Duálne priestory 4 Druhé duálne priestory 5 Slabá topológia a Banachova–Steinhausova veta Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus V tejto prednáške budeme pracovať s normovanými lineárnymi priestormi X nad telesom reálnych/komplexných čísiel T a študovať vlastnosti lineárnych funkcionálov f : X → T. Obzvlášť sa budeme zaoberať spojitými lineárnymi funkcionálmi na normovaných lineárnych priestoroch X. Príklad 1 Pre pevný index k0 ∈ N je zobrazenie f : l2 → T definované f(x) := xk0 pre každé x = {xk}∞ k=1 ∈ l2 lineárnym funkcionálom na priestore l2 . Príklad 2 Pre daný kompaktný interval [a, b] ⊆ R uvažujme lineárny priestor X = C[a, b] spojitých funkcií na [a, b]. Klasickým príkladom lineárneho funkcionálu na priestore X je zobrazenie f : X → R dané predpisom f(u) := b a u(x) y(x) dx, u ∈ X, (1) kde y ∈ C[a, b] je pevne zvolená funkcia. Podobne i zobrazenie δx0 (u) := u(x0), u ∈ X, (2) kde x0 ∈ [a, b] je pevne zvolený bod, je lineárny funkcionál na priestore X. Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus Definícia 1 (Konvexný funkcionál a pseudonorma na lineárnom priestore) Nech X je lineárny priestor nad T. Reálny funkcionál p : X → R sa označuje prívlastkom konvexný, ak spĺňa vlastnosti p(x + y) ≤ p(x) + p(y), p(λx) = λ p(x) pre každé x, y ∈ X a λ ∈ [0, ∞). (3) Konvexný funkcionál p na priestore X, pre ktorý naviac platí p(λx) = |λ| p(x) pre každé x ∈ X a λ ∈ T, (4) sa nazýva pseudonorma (seminorma) na lineárnom priestore X. Poznámka 1 Z Definície 1 vyplýva, že každý konvexný funkcionál p na lineárnom priestore X spĺňa p(0) = 0 a každá pseudonorma na X je nezáporná. Príklad 3 Príkladom pseudonormy na lineárnom priestore X = B[a, b], kde [a, b] ⊆ R je daný interval, je zobrazenie p : X → R dané predpisom p(f) := |f(a)|, f ∈ X. (5) Funkcionál p v (5) však nie je normou na X, ako môžeme ľahko ukázať. Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus Hahnova–Banachova veta Dostávame sa k jednému z najdôležitejších výsledkov funkcionálnej analýzy. Nasledujúce tvrdenie a jeho rôzne varianty tvoria základné piliere, bez ktorých sa nezaobídeme pri budovaní väčšiny teórií v modernej analýze. Je dôležité poznamenať, že nevyhnutnou ingredienciou v dôkaze tvrdenia je predpoklad axiómy výberu realizovaný platnosťou Kuratowského–Zornovej lemy (Dodatky, Lema 4). Definícia 2 (Predĺženie lineárneho funkcionálu) Nech X je lineárny priestor nad T a A ⊆ X je daný lineárny podpriestor. Nech fA : A → T je lineárny funkcionál na A. Hovoríme, že lineárny funkcionál f : X → T na priestore X je predĺženie (rozšírenie) funkcionálu fA, ak pre každý vektor x ∈ A platí rovnosť f(x) = fA(x). Veta 1 (Algebraická Hahnova–Banachova) Nech X je reálny lineárny priestor a A ⊆ X je daný lineárny podpriestor. Nech p : X → R je konvexný funkcionál na X a fA : A → R je lineárny funkcionál na A, pričom platí fA(x) ≤ p(x) pre každý vektor x ∈ A. Potom existuje lineárny funkcionál f : X → R na X, ktorý je predĺžením funkcionálu fA a spĺňa nerovnosť f(x) ≤ p(x) pre každý vektor x ∈ X. Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus Dôkaz Vety 1. Skôr, než pristúpime k dôkazu samotnému tvrdenia, odvodíme jedno pozorovanie. Nech y, z ∈ A sú ľubovoľné vektory. Vďaka konvexnosti funkcionálu p platí fA(y) − fA(z) = fA(y − z) ≤ p(y − z) = p(y + u − z − u) ≤ p(y + u) + p(−z − u) ⇓ −fA(z) − p(−z − u) ≤ −fA(y) + p(y + u) pre každý vektor u ∈ X. (6) Využitím relácie (6) môžeme potom pre ľubovoľné u ∈ X definovať čísla cI (u) := inf {−fA(y) + p(y + u), y ∈ A} , (7) cS(u) := sup {−fA(z) − p(−z − u), z ∈ A} . (8) Zrejme platí cS(u) ≤ cI (u) pre každý vektor u ∈ X. Ak podpriestor A = X, potom predložené tvrdenie platí triviálne. Predpokladajme preto, že A ⊆ X je vlastný lineárny podpriestor, t.j., A X. Dokážeme, že lineárny funkcionál fA je možné predĺžiť na istý väčší (v zmysle inklúzie) lineárny podpriestor A′ ⊆ X tak, aby sa zachovala nerovnosť požadovaná vo tvrdení. Zvoľme pevne nejaký vektor u ∈ X \ A a položme A′ := Lin R {A, u} = {x + tu, x ∈ A, t ∈ R}. (9) Možina A′ v (9) je lineárny podpriestor v X spĺňajúci A A′ . Zvoľme reálne číslo c tak, aby cS(u) ≤ c ≤ cI (u), kde cS(u), cI (u) sú pre daný vektor u zave- Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus Dôkaz Vety 1 (pokračovanie). dené v (7) a (8). Definujme zobrazenie fA′ : A′ → R s predpisom fA′ (x′ ) := fA(x) + tc pre každý vektor x′ = x + tu ∈ A′ . (10) Vďaka jednoznačnosti vyjadrenia vektorov podpriestoru A′ v (9) je zobrazenie fA′ v (10) zavedené korektne, pričom sa jedná o lineárny funkcionál na A′ , ktorý je v zhode s Definíciou 2 predĺžením funkcionálu fA. Naviac, ukážeme, že platí fA′ (x′ ) ≤ p(x′ ) pre každé x′ ∈ A′ . (11) Podľa predpokladov je táto nerovnosť splnená na podpriestore A. Vyberme preto vektor x′ ∈ A′ \ A, t.j., v súlade s (9) platí x′ = x + tu pre vhodné x ∈ A a t ∈ R \ {0}. Uvažujme najprv prípad t > 0. Kombináciou identít (7) a (10) s nerovnosťou c ≤ cI (u) dostávame fA′ (x′ ) (10) = fA(x) + tc ≤ fA(x) + tcI (u) (7) ≤ fA(x) + t [−fA(y) + p(y + u)] (12) pre každé y ∈ A. Následne, položiac v (12) y := x t ∈ A a využijúc vlastnosti funkcionálov fA a p potom máme fA′ (x′ ) (12) ≤ fA(x)+t −fA x t + p x t + u = fA(x)−fA(x)+p(x+tu) = p(x′ ). V prípade t < 0 postupujeme analogicky. Pomocou rovností (8) a (10) a nerovnosti cS(u) ≤ c postupne odvodíme Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus Dôkaz Vety 1 (pokračovanie). fA′ (x′ ) (10) = fA(x) + tc ≤ fA(x) + tcS(u) (8) ≤ fA(x) + t [−fA(z) − p(−z − u)] (13) pre každé z ∈ A. Majúc na zreteli, že −t > 0, pre z := x t ∈ A má (13) tvar fA′ (x′ ) (13) ≤ fA(x)+t −fA x t − p − x t − u = fA(x)−fA(x)+p(x+tu) = p(x′ ). Ukázali sme teda existenciu predĺženia každého lineárneho funkcionálu, ktorý pôsobí na ľubovoľnom vlastnom lineárnom podpriestore v X a spĺňa nerovnosť v zadaní tvrdenia. Uvažujme teraz množinu U všetkých možných predĺžení ˜f lineárneho funkcionálu fA, ktoré zachovávajú nerovnosť ˜f(x) ≤ p(x) na svojich definičných oboroch. Množina U je zrejme vzhľadom na reláciu predĺženia čiastočne usporiadaná. Ak R ⊆ U je nejaký reťazec, potom lineárny funkcionál ¯f, ktorý je definovaný na zjednotení definičných oborov všetkých funkcionálov z R, a ktorý na definičnom obore každého z nich nadobúda jeho hodnoty, je zrejme horné ohraničenie množiny R. Podľa Kuratowského–Zornovej lemy má teda množina U aspoň jeden maximálny prvok f. Jedná sa práve o hľadaný lineárny funkcionál. Z jeho maximality a z prvej časti dôkazu vyplýva, že f je nutne definovaný na celom priestore X. A keďže f ∈ U, je predĺžením lineárneho funkcionálu fA, ktoré spĺňa nerovnosť f(x) ≤ p(x) pre každé x ∈ X. Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus Poznámka 2 Tvrdenie vo Vete 1 je možné obohatiť nasledujúcim dovetkom. Ak konvexný funkcionál p je naviac pseudonorma na priestore X, potom lineárny funkcionál f spĺňa nerovnosť |f(x)| ≤ p(x) pre každé x ∈ X. Skutočne, platí − p(x) (4) = −p(−x) ≤ −f(−x) = f(x) ≤ p(x) ⇒ |f(x)| ≤ p(x) (14) pre každý vektor x ∈ X. Analogická algebraická Hahnova–Banachova veta sa dá formulovať i pre komplexný lineárny priestor X. V tomto prípade však predpoklad konvexnosti funkcionálu p musíme v kontexte Definície 1 prirodzene zosilniť na požiadavku, aby funkcionál p bola pseudonorma na priestore X. Lema 1 Nech X je komplexný lineárny priestor. Potom zobrazenie f : X → C je komplexný lineárny funkcionál na X práve vtedy, keď existuje reálny lineárny funkcionál g : X → R s vlastnosťou f(x) = g(x) − ig(ix) pre každé x ∈ X. Dôkaz Lemy 1. Nech f : X → C je komplexný lineárny funkcionál na X. Uvažujme rozklad Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus Dôkaz Lemy 1 (pokračovanie). f(x) = Ref(x) + i Imf(x), x ∈ X, (15) kde Ref, Imf : X → R sú reálne funkcionály na X. Položme g := Ref. Reálny funkcionál g je lineárny na reálnom priestore X, ako vyplýva z výpočtov g(x + y) = Ref(x + y) = 1 2 f(x + y) + f(x + y) = 1 2 f(x) + f(y) + f(x) + f(y) = 1 2 f(x) + f(x) + 1 2 f(y) + f(y) = g(x) + g(y), x, y ∈ X, g(λx) = Ref(λx) = 1 2 f(λx) + f(λx) = 1 2 λf(x) + λ f(x) = 1 2 λf(x) + λf(x) = λ 1 2 f(x) + f(x) = λg(x), x ∈ X, λ ∈ R. Z rovnosti f(ix) = if(x) pre každé x ∈ X odvodíme vzťah medzi reálnymi funkcionálmi Ref a Imf. Konkrétne pomocou (15) dostávame f(ix) = Ref(ix) + i Imf(ix), if(x) = i Ref(x) − Imf(x), x ∈ X ⇓ Ref(x) = Imf(ix), Imf(x) = −Ref(ix), x ∈ X. (16) Z druhej rovnosti v (16) máme Imf(x) = −g(ix), z čoho podľa (15) získame Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus Dôkaz Lemy 1 (pokračovanie). f(x) = g(x) − ig(ix) pre každé x ∈ X. Naopak, ak g : X → R je lineárny funkcionál na reálnom priestore X, potom zobrazenie f(x) := g(x) − ig(ix) je komplexný lineárny funkcionál na komplexnom priestore X. Skutočne, platí f(x + y) = g(x + y) − ig (i(x + y)) = g(x) + g(y) − ig(ix) − ig(iy) = g(x) − ig(ix) + g(y) − ig(iy) = f(x) + f(y), f(λx) = f ((α + iβ)x) = g ((α + iβ)x) − ig (i(α + iβ)x) = αg(x) + βg(ix) − iαg(ix) + iβg(x) = (α + iβ) (g(x) − ig(ix)) = λ (g(x) − ig(ix)) = λf(x), pre každé x, y ∈ X a λ = α + iβ ∈ C. Dôkaz je hotový. Veta 2 (Algebraická Hahnova–Banachova) Nech X je komplexný lineárny priestor a A ⊆ X je daný lineárny podpriestor. Nech p : X → R je pseudonorma na X a fA : A → C je lineárny funkcionál na A, pričom platí |fA(x)| ≤ p(x) pre každý vektor x ∈ A. Potom existuje lineárny funkcionál f : X → C na X, ktorý je predĺžením funkcionálu fA a spĺňa nerovnosť |f(x)| ≤ p(x) pre každý vektor x ∈ X. Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus Dôkaz Vety 2. Nech gA : A → R je reálny lineárny funkcionál na reálnom podpriestore A, ktorý odpovedá funkcionálu fA v kontexte Lemy 1, t.j., platí fA(x) = gA(x) − igA(ix), x ∈ A. (17) Z reprezentácie v (17) a z predpokladov tvrdenia máme nerovnosť |gA(x)| ≤ |fA(x)| ≤ |p(x)|, x ∈ A. (18) Podľa Vety 1 a relácie (14) v Poznámke 2 z nerovnosti (18) vyplýva, že existuje reálny lineárny funkcionál g : X → R na reálnom priestore X, ktorý je predĺžením funkcionálu gA a spĺňa |g(x)| ≤ p(x) pre každé x ∈ X. Uvažujme zobrazenie f(x) := g(x) − ig(ix), x ∈ X. (19) V súlade s Lemou 1 je funkcia f : X → C komplexný lineárny funkcionál na komplexnom priestore X. Vzhľadom na (17) sa jedná o predĺženie funkcionálu fA na celý lineárny priestor X. Zvoľme vektor x ∈ X a vyberme ϕ ∈ [−π, π) tak, že f(x) = |f(x)| eiϕ . Potom f(e−iϕ x) = e−iϕ f(x) = |f(x)| je reálne číslo, a tak v súlade s (19) platí f(e−iϕ x) = g(e−iϕ x). Následne dostávame |f(x)| = f(e−iϕ x) = g(e−iϕ x) ≤ p(e−iϕ x) (4) = e−iϕ p(x) = p(x). (20) Nakoľko vektor x ∈ X bol vybraný ľubovoľne, nerovnosť (20) platí pre každé x ∈ X. Lineárny funkcionál f spĺňa závery tvrdenia a dôkaz je kompletný. Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus Obsah 1 Hahnova–Banachova veta 2 Spojité lineárne funkcionály 3 Duálne priestory 4 Druhé duálne priestory 5 Slabá topológia a Banachova–Steinhausova veta Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus V ďalšej časti prednášky sa budeme zaoberať spojitými lineárnymi funkcionálmi na lineárnych normovaných priestoroch nad daným telesom T. Definícia 3 (Ohraničenosť funkcionálu) Nech X je normovaný lineárny priestor nad T s normou · a f : X → T je funkcionál. Hovoríme, že funkcionál f je ohraničený, ak obraz f(A) každej množiny A ⊆ X ohraničenej v norme · je množina ohraničená v priestore E. Veta 3 Nech X je normovaný lineárny priestor nad T s normou · a f : X → T je lineárny funkcionál. Potom funkcionál f je spojitý na priestore X práve vtedy, keď je spojitý aspoň v jednom bode x ∈ X. Dôkaz Vety 3. Stačí zrejme dokázať platnosť implikácie “⇐”, nakoľko implikácia “⇒” je triviálna. Prepdokladajme, že lineárny funkcionál f je spojitý v nejakom vektore x ∈ X. Zvoľme ε > 0. Potom existuje δ > 0 s vlastnosťou ak pre ˜x ∈ X platí ˜x − x < δ, potom |f(˜x) − f(x)| < ε. (21) Nech y ∈ X je ľubovoľný vektor a uvažujme ˜y ∈ X také, že ˜y−y < δ. Keďže Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus Dôkaz Vety 3. (˜y − y + x) − x = ˜y − y < δ, v súlade s linearitou f a reláciou v (21) platí |f(˜y) − f(y)| = |[f(˜y) − f(y) + f(x)] − f(x)| = |f(˜y − y + x) − f(x)| (21) < ε. Funkcionál f je teda spojitý v y. Nakoľko vektor y ∈ X bol vybraný ľubovoľne, zobrazenie f je spojité na celom priestore X, čo kompletizuje dôkaz. Veta 4 Nech X je normovaný lineárny priestor nad T s normou · a f : X → R je lineárny funkcionál. Potom funkcionál f je spojitý na priestore X práve vtedy, keď je ohraničený na nejakom okolí nulového vektora. Dôkaz Vety 4. Ak lineárny funkcionál f je spojitý na priestore X, tak potom je spojitý i v nulovom vektore. Obzvlášť, pre ε = 1 máme zaručenú existenciu čísla δ > 0 takého, že platí |f(x)| = |f(x) − f(0)| < 1 pre každý vektor x ∈ X spĺňajúci x < δ. To znamená, že funkcionál f je ohraničený na otvorenej guli B(0, δ). Naopak, predpokladajme, že funkcionál f je ohraničený na nejakom okolí nulového vektora, t.j., existujú kladné reálne čísla c, r s vlastnosťou Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus Dôkaz Vety 4 (pokračovanie). |f(x)| ≤ c pre každý vektor x ∈ B(0, r). (22) Zvoľme ľubovoľne ε > 0 a položme δ := εr c . Potom pre každé x ∈ X také, že x < δ, platí c ε x = c ε x < r, a tak vektor c ε x ∈ B(0, r). Následne |f(x) − f(0)| = |f(x)| = ε c f c ε x = ε c f c ε x (22) < ε c c = ε, a tak funkcionál f je spojitý v nulovom vektore. Napokon, podľa Vety 3 je zobrazenie f spojité na celom priestore X. Dôkaz je hotový. Poznámka 3 Výsledky Viet 3 a 4 predstavujú fundamentálnu vlastnosť lineárnych funkcionálov pôsobiacich na normovaných lineárnych priestoroch. Konkrétne, spojitosť daného lineárneho funkcionálu na priestore X je ekvivalentná s jeho ohraničenosťou na nejakom okolí nulového vektora. Príklad 4 (Normované lineárne priestory konečnej dimenzie) Nech X je konečno rozmerný normovaný lineárny priestor nad T s normou · . Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus Príklad 4 (Normované lineárne priestory konečnej dimenzie) Potom každé zobrazenie f ∈ X∗ je spojité na X. Toto pozorovanie je dôsledkom skutočnosti, že každé dve normy na danom normovanom lineárnom priestore sú ekvivalentné. Označme n := dim X a uvažujme lineárny funkcionál f : X → T. Nech B = {x1, . . . , xn} ⊆ X je nejaká pevná Hamelova báza priestoru X. Potom pre každý vektor x ∈ X platí f(x) = λ1 f(x1) + · · · + λn f(xn), kde x = λ1 x1 + · · · λn xn, (23) t.j., n-tica (λ1, . . . , λ2) ∈ Tn predstavuje súradnice vektora x vzhľadom na Hamelovu bázu B. Položme M := max{|f(xk)|, k ∈ {1, . . . , n}} a uvažujme na lineárnom priestore X súčtovú normu tvaru x 1 := |λ1| + · · · + |λn|, x = λ1 x1 + · · · λn xn. (24) Nie je ťažké overiť, že zobrazenie · 1 v (24) je skutočne normou na X. Ukážeme, že funkcionál f je ohraničený vzhľadom na normu · 1. Skutočne, pre každý vektor x ∈ X postupne máme |f(x)| (23) = |λ1 f(x1) + · · · + λn f(xn)| ≤ M |λ1| + · · · + |λn| (24) = M x 1. (25) Nerovnosť v (25) znamená, že lineárny funkcionál f je ohraničený na každom okolí nulového vektora. Podľa Vety 4 je zobrazenie f spojité v normovanom lineárnom priestore (X, · 1). A nakoľko normy · a · 1 sú ekvivalentné, lineárny funkcionál f je spojitý na priestore X i vzhľadom na normu · . Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus Výsledok Vety 4 umožňuje zaviesť významnú charakteristiku spojitých lineárnych funkcionálov na normovaných lineárnych priestoroch. Definícia 4 (Norma lineárneho funkcionálu) Nech X je normovaný priestor nad T s normou · a f : X → T je spojitý lineárny funkcionál. Hodnota definovaná predpisom f := sup{|f(x)|, x ∈ X, x ≤ 1} (26) sa nazýva norma lineárneho funkcionálu f. Poznámka 4 Spojitosť a linearita zobrazenia f podľa Poznámky 3 zaručujú, že funkcionál f je ohraničený na nejakom okolí nulového vektora. V kontexte Definície 3 je preto číslo v (26) konečné a nezáporné pre každý spojitý lineárny funkcionál f ∈ X∗ . Nie je ťažké ukázať, že normu f v (26) možno ekvivalentne vyjadriť v tvaroch f = sup{|f(x)|, x ∈ X, x = 1}, f = sup |f(x)| x , x ∈ X \ {0} . (27) Obzvlášť, z druhej formuly v (27) vyplýva dôležitá nerovnosť |f(x)| ≤ f x pre každý vektor x ∈ X. (28) Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus Príklad 5 V Príklade 4 sme ukázali, že v normovanom lineárnom priestore X konečnej dimenzie je každý lineárny funkcionál spojitý na X. Uvažujme dim X = n ∈ N a zvoľme nejakú pevnú Hamelovu bázu B ⊆ X. Ak na priestore X uvažujeme súčtovú normu · 1 definovanú v (24), potom vzhľadom na nerovnosti (25) a (28) pre každý lineárny funkcionál f ∈ X∗ platí f 1 ≤ M, kde číslo M := max{|f(u)|, u ∈ B}. (29) Na druhej strane, M = |f(u0)| pre nejaký vektor u0 ∈ B a u0 1 = 1 podľa (24), preto v súlade s (26) máme f 1 ≥ M. Preto dostávame rovnosť f 1 = M (29) = max{|f(u)|, u ∈ B}. (30) Analogicky sa dá odvodiť, že ak v priestore X uvažujeme maximálnu normu x ∞ := maxu∈B |λu|, kde x = u∈B λuu, odpovedajúca norma každého lineárneho funkcionálu f ∈ X∗ má tvar f ∞ = u∈B |f(u)|. (31) Napokon pre euklidovskú normu x 2 = u∈B |λu|2 1 2 , kde x = u∈B λuu, odvodíme, že f 2 = u∈B |f(u)|2 1 2 pre každý lineárny funckionál f ∈ X∗ . Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus Príklad 6 Pre daný intervale [a, b] ⊆ R nech BI [a, b] je množina všetkých reálnych funkcií, ktoré sú definované, ohraničené a lebesgueovsky integrovateľné na intervale [a, b]. Z predchádzajúcich prednášok vieme, že BI [a, b] je reálny lineárny priestor, na ktorom je možné zaviesť normu u B := sup x∈[a,b] |u(x)|, u ∈ BI [a, b]. (32) Uvažujme lineárny funkcionál f : BI [a, b] → R tvaru f(u) := b a u(x) dx, u ∈ BI [a, b]. (33) Funkcionál f v (33) je ohraničený na istom okolí identicky nulovej funkcie na [a, b], keďže pre každé u ∈ BI [a, b] spĺňajúce u B ≤ 1 platí |f(u)| (33) = b a u(x) dx ≤ b a |u(x)| dx (32) ≤ u B ≤1 b a dx ≤ b − a. (34) Zobrazenie f je teda podľa Vety 4 spojité na priestore BI [a, b]. Obzvlášť, v súlade s (26) vyplýva z nerovnosti (34) pre normu f odhad f ≤ b − a. Na druhej strane, pre konštantnú funkciu u(x) ≡ 1 na [a, b] podľa (32) a (33) platí u B = 1 a |f(u)| = b − a, takže norma funkcionálu f spĺňa f = b − a. Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus Príklad 7 Dá sa ukázať, že lineárny funkcionál f v (1) z Príkladu 2 je spojitý na normovanom lineárnom priestore (C[a, b], · C ), pričom pre jeho normu platí f = b a |y(x)| dx. (35) Poznámka 5 (Geometrický význam normy spojitého lineárneho funkcionálu) Nech X je normovaný lineárny priestor nad T s normou · a f : X → R je nenulový spojitý lineárny funkcionál. Množina Ef = {x ∈ X, f(x) = 1} (36) je nadrovina v lineárnom priestore X rovnobežná s podpriestorom Ker f (Dodatky, Poznámka 18). Nech d je vzdialenosť vektora 0 od množiny Ef , t.j., d := ρ(Ef , 0) = inf{ x , x ∈ X, f(x) = 1}. (37) Nie je ťažké ukázať, že množina Ef v (36) je uzavretá v normovanom lineárnom priestore X, a keďže zrejme 0 ∈ Ef , číslo d > 0. Dokážeme rovnosť d = 1 f , (38) Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus Poznámka 5 (Geometrický význam normy spojitého lineárneho funkcionálu) kde f je norma funkcionálu f definovaná v (26). Skutočne, vzhľadom na charakter množiny Ef v (36) podľa nerovnosti (28) platí 1 = |f(x)| (28) ≤ f x , a tak x ≥ 1 f pre každé x ∈ Ef , takže d ≥ 1 f (39) v súlade s (37). Na druhej strane, z druhej identity v (27) v Poznámke 4 vyplýva, že pre každé kladné číslo ε < f existuje nenulový vektor x ∈ X s vlastnosťou 0 < f − ε < |f(x)| x . (40) Položme ˜x := x f(x) . Keďže f(˜x) = 1 a ˜x = x |f(x)| , využijúc (36) a (40) máme ˜x (36) ∈ Ef a ˜x = x |f(x)| (40) < 1 f − ε , (41) takže v zhode s (37) platí d < 1 f −ε . Napokon, limitovaním tejto nerovnosti pre ε → 0+ dostávame d ≤ 1 f , čo završuje dôkaz formuly (38). Vidíme teda, že normu každého nenulového spojitého lineárneho funkcionálu f pôsobiaceho na normovanom priestore X možno geometricky interpretovať ako prevrátenú hodnotu vzdialenosti nadroviny Ef v (36) od nulového vektora v X. Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus Príklad 8 Aplikujúc výsledok (38) odvodený v Poznámke 5 na Príklad 5 dostávame, že vzdialenosť množiny všetkých riešení lineárnej rovnice a1 x1 + · · · + an xn = 1, (a1, . . . , an) ∈ Tn \ {0}, xk ∈ T, k ∈ {1, . . . , n}, od nulového vektora je rovná 1√ |a1|2+···+|an|2 . Podobne, v Príklade 6 platí, že vzdialenosť množiny všetkých funkcií u ∈ BI [a, b] spĺňajúcich b a u(x) dx = 1 od funkcie identicky nulovej na intervale [a, b] je rovná číslu 1 b−a . Veta 5 (Hahnova–Banachova pre normované lineárne priestory) Nech X je normovaný lineárny priestor nad T s normou · , A ⊆ X je normovaný podpriestor a fA : A → T je spojitý lineárny funkcionál na A. Potom existuje spojité predĺženie f : X → T funkcionálu fA na celý priestor X, ktoré zachováva normu funkcionálu fA, t.j., platí rovnosť f = fA A. Dôkaz Vety 5. Označme c := fA A a definujme funkcionál p : X → R predpisom p(x) := c x , x ∈ X. (42) Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus Dôkaz Vety 5 (pokračovanie). Z vlastností normy · vieme, že zobrazenie p v (42) je pseudonorma na priestore X, pričom podľa (28) platí pre každý vektor x ∈ A nerovnosť |fA(x)| (28) ≤ fA A x = c x (42) = p(x). (43) Na základe Vety 1 v kombinácii s Poznámkou 2 a Vety 2 máme zaručenú existenciu predĺženia funkcionálu fA na celý priestor X, ktoré zachováva nerovnosť (43). Presnejšie, existuje lineárny funkcionál f : X → T s vlastnosťami f(x) = fA(x) pre každé x ∈ A a |f(x)| ≤ p(x) = c x pre každé x ∈ X. (44) V súlade s (44) a Definíciou 3 je funkcionál f ohraničený na okolí nulového vektora, a teda podľa Vety 4 je spojitý na X. Obzvlášť, z druhej rovnosti v (27) a nerovnosti v (44) vyplýva, že f ≤ c. Na druhej strane, platí c = fA A, A ⊆ X a f = fA na podpriestore A. Preto máme c (26) = sup{|f(x)|, x ∈ A, x ≤ 1} ≤ sup{|f(x)|, x ∈ X, x ≤ 1} (26) = f . To dokazuje, že platí rovnosť f = fA A. Dôkaz je kompletný. Práve výsledok Vety 5 sa vo väčšine klasickej literatúry označuje názvom Hahnova–Banachova veta. Dodajme, že tvrdenie sa štandarne formuluje pre prípad reálneho normovaného lineárneho priestoru X. Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus Dôsledok 1 Nech X je normovaný lineárny priestor nad T s normou · a x0 ∈ X je nenulový vektor. Potom existuje spojitý lineárny funkcionál f : X → T spĺňajúci f(x0) = x0 a f = 1. (45) Dôkaz Dôsledku 1. Označme A := Lin T {x0} a definujme zobrazenie fA : A → T dané predpisom fA(x) := λ x0 pre x = λ x0 ∈ A. (46) Lineárny podpriestor A ⊆ X je nenulový a uzavretý v normovanom priestore X a zobrazenie fA v (46) je ohraničený lineárny funkcionál na A, nakoľko |fA(x)| (46) = |λ| x0 = λ x0 = x pre každé x = λ x0 ∈ A. (47) Podľa Vety 4 je preto funkcionál fA spojitý na priestore A. Naviac, pre jeho normu fA A vzhľadom na A platí fA A (27) = sup{|fA(x)|, x ∈ A, x = 1} (47) = sup{ x , x ∈ A, x = 1} = 1. (48) Podľa Vety 5 existuje spojitý lineárny funkcionál f pôsobiaci na celom priestore X a spĺňajúci rovnosti v (45). Dôkaz je kompletný. Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus Poznámka 6 Z Dôsledku 1 vyplývajú dva významné výsledky. Prvý z nich je záruka existencie aspoň jedného netriviálneho spojitého lineárneho funkcionálu f : X → T pre každý nenulový normovaný lineárny priestor X nad T. Druhý výsledok je skutočnosť, že množina všetkých nenulových spojitých lineárnych funkcionálov pôsobiacich na danom nenulovom normovanom lineárnom priestore X je “dostatočne bohatá”. Presnejšie, pre ľubovoľné dva rôzne vektory x, y ∈ X vždy existuje spojitý lineárny funkcionál f : X → T, ktorý ich oddeľuje, t.j., platí f(x) = f(y). Vyplýva to z Dôsledku 1, v ktorom stačí položiť x0 := x − y. Dôsledok 2 Nech X je normovaný lineárny priestor nad T s normou · , A X je normovaný lineárny podpriestor a x0 ∈ X \ A je daný vektor. Označme d := ρ(A, x0) > 0. Potom existuje spojitý lineárny funkcionál f : X → T spĺňajúci f(x) = 0 pre každé x ∈ A, f(x0) = d a f = 1. (49) Dôkaz Dôsledku 2. Postupujeme podobne ako v dôkaze Dôsledku 1. Uvažujme lineárny priestor Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus Dôkaz Dôsledku 2 (pokračovanie). ˜A := Lin T {A, x0} = {y + λx0, y ∈ A, λ ∈ T}. (50) Priestor ˜A je normovaný lineárny podpriestor v X, t.j., množina ˜A je uzavretá v X. Vďaka predpokladu x0 /∈ A je reprezentácia prvkov množiny ˜A v (50) jednoznačná. Z definície vzdialenosti d = ρ(A, x0) dostávame 0 < d ≤ x0 − y pre každé y ∈ A. (51) Na podpriestore ˜A uvažujme funkcionál f ˜A s predpisom f ˜A(x) := λd, x (50) = y + λx0 ∈ ˜A, y ∈ A, λ ∈ T. (52) Nie je ťažké overiť, že f ˜A v (52) je lineárny funkcionál na ˜A spĺňajúci f ˜A(x) = 0 pre každý vektor x ∈ A a f ˜A(x0) = d. Naviac, pre každý vektor x ∈ ˜A \ A platí |f ˜A(x)| (52) = |λ| d = |λ| d x x (50) = |λ| d y + λx0 x = |λ| d |λ| · y λ + x0 x = d x0 − − y λ x (51) ≤ d d x = x , (53) pričom predposlednom kroku sme využili fakt, že vektor − y λ ∈ A. Z nerovnosti (53) v súlade s Definíciou 3 máme, že lineárny funkcionál f ˜A je ohraničený. Pod- Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus Dôkaz Dôsledku 2 (pokračovanie). ľa Poznámky 3 je teda zobrazenie f spojité na ˜A. Naviac, pre normu f ˜A ˜A vzhľadom na ˜A pomocou odhadu (53) a toho, že f ˜A(A) = {0} ⊆ T, dostávame f ˜A ˜A (27) = sup |f ˜A(x)| x , x ∈ ˜A \ {0} (53) ≤ 1. (54) Na druhej strane, existuje postupnosť {yk}∞ k=1 ⊆ A s vlastnosťou lim k→∞ x0 − yk = lim k→∞ ρ(x0, yk) = d. (55) Nakoľko x0 − yk ∈ ˜A pre každé k ∈ N, z vlastností funkcionálu f ˜A máme lim k→∞ f ˜A(x0 − yk) = lim k→∞ [f ˜A(x0) − f ˜A(yk) 0 ] = lim k→∞ f ˜A(x0) d = d, (56) |f ˜A(x0 − yk)| (28) ≤ f ˜A ˜A x0 − yk pre každý index k ∈ N. (57) Limitovaním nerovnosti (57) pre k → ∞ a využitím relácií (55) a (56) získame d ≤ f ˜A ˜A d, a tak 1 ≤ f ˜A ˜A. Preto norma f ˜A ˜A = 1. Napokon Veta 5 zaručuje existenciu spojitého predĺženia f : X → T funkcionálu f ˜A, ktoré spĺňa f = f ˜A ˜A = 1. Dôkaz je kompletný. Tvrdenie Dôsledku 1 je špeciálnym prípadom Dôsledku 2 pre A := {0} ⊆ X. Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus Obsah 1 Hahnova–Banachova veta 2 Spojité lineárne funkcionály 3 Duálne priestory 4 Druhé duálne priestory 5 Slabá topológia a Banachova–Steinhausova veta Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus V tejto sekcii budeme analyzovať množinu všetkých spojitých lineárnych funkcionálov na danom normovanom lineárnom priestore (X, · ) nad daným telesom T. Jedná sa zrejme vždy o podmnožinu algebraického duálneho priestoru X∗ (Dodatky, Definícia 14). Nie je ťažké si premyslieť, že množina všetkých spojitých lineárnych funkcionálov na priestore X vytvára lineárny podpriestor v X∗ nad T. Definícia 5 (Duálny priestor normovaného lineárneho priestoru) Nech X je normovaný lineárny priestor nad T. Lineárny priestor všetkých spojitých lineárnych funkcionálov f : X → T sa nazýva duálny priestor/adjungovaný priestor priestoru X a označuje sa symbolom X′ . Veta 6 Nech X je normovaný lineárny priestor nad T s normou · . Potom duálny priestor X′ zavedený v Definícii 5 je je normovaným lineárnym priestorom vzhľadom na normu definovanú predpisom (26) v Definícii 4. Dôkaz Vety 6. Ukážeme, že zobrazenie definované v (26) je skutočne normou na priestore X′ . Zrejme f ≥ 0 pre každé f ∈ X′ , pričom v súlade s (27) platí f = 0 práve vtedy, keď f(x) = 0 pre každý vektor x ∈ X, t.j., f je nulový funkcionál na X. Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus Dôkaz Vety 6 (pokračovanie). Rovnosť λf = |λ| f pre každé f ∈ X′ a každé λ ∈ T je podľa (26) evidentná. Napokon dokážeme platnosť trojuholníkovej nerovnosti. Zvoľme dva funkcionály f, g ∈ X′ . V súlade s prvou formulou v (27) máme f + g (27) = sup{|f(x) + g(x)|, x ∈ X, x = 1}. (58) Pre každý vektor x ∈ S(0, 1) platí |f(x)| ≤ f a |g(x)| ≤ g , a tak následne |f(x) + g(x)| ≤ |f(x)| + |g(x)| ≤ f + g , x ∈ S(0, 1). (59) Kombináciou (58) a (59) získame nerovnosť f + g ≤ f + g . Príklad 9 (Duálne priestory normovaných priestorov konečnej dimenzie) V Príkladoch 4 a 5 sme skúmali lineárne funkcionály na normovanom lineárnom priestore (X, · ) konečnej dimenzie. V kontexte Definície 5 môžeme konštatovať, že vzhľadom na každú danú normu · platí X′ = X∗ , t.j., lineárny podpriestor X′ vždy splýva s algebraickým duálnym priestorom X∗ . V Príklade 10 dokážeme, že pre každý duálny priestor X′ , t.j., vzhľadom na každú normu · v X, platí dim X′ = dim X. To znamená, že duálny priestor (X′ , · ) je homeomorfný s (X, · ). Obzvlášť, duálne priestory k normovaným lineárnym priestorom s rovnakým podkladovým priestorom sú vzájomne homeomorfné. Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus Veta 7 (Úplnosť duálneho priestoru) Nech X je normovaný lineárny priestor nad T s normou · a X′ je duálny priestor. Potom X′ je Banachov priestor vzhľadom na normu v (26). Dôkaz Vety 7. Nech {fk}∞ k=1 ⊆ X′ je cauchyovská postupnosť spojitých lineárnych funkcionálov na priestore X, t.j., pre každé ε > 0 existuje nε ∈ N tak, že pre každé dva indexy n, m ≥ nε platí fn − fm < ε. (60) Využitím nerovnosti (28) pre každé dva indexy n, m ≥ nε dostávame |fn(x) − fm(x)| (28) ≤ fn − fm x (60) < ε x pre každý vektor x ∈ X. (61) Z relácie (61) ihneď vyplýva, že pre každý pevný vektor x ∈ X je číselná postupnosť {fk(x)}∞ k=1 cauchyovská, a teda vďaka úplnosti euklidovského priestoru E i konvergentná. Existuje preto funkcionál f : X → T daný predpisom f(x) := lim k→∞ fk(x), x ∈ X. (62) Ukážeme, že f ∈ X′ , t.j., že zobrazenie f je spojitý lineárny funkcionál na X. Linearitu zobrazenia f možno ľahko vidieť z jeho definície v (62) a z linearity funkcionálov fk, k ∈ N. Naviac, limitovaním nerovnosti (61) pre n → ∞ máme Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus Dôkaz Vety 7 (pokračovanie). |f(x) − fm(x)| ≤ ε x pre každý index m ≥ nε a každé x ∈ X. (63) Podľa (63) a Definície 3 je preto pre každé pevne zvolené ε > 0 lineárny funkcionál f − fm pre m ≥ nε ohraničený na okoliach nulového vektora, a teda v súlade s Vetou 4 je spojitý na celom priestore X. Vďaka spojitosti každého z lineárnych funkcionálov fk, k ∈ N, na X je potom spojitý i lineárny funkcionál f = (f − fm) + fm, m ≥ nε, na priestore X. Takže skutočne f ∈ X′ v zhode s Definíciou 5. Napokon dokážeme, že uvažovaná postupnosť {fk}∞ k=1 konverguje podľa (62) k funkcionálu f nielen bodovo na X, ale i v norme duálneho priestoru X′ . Kombináciou druhej formuly v (27) a nerovnosti (63) dostávame, že pre každé m ≥ nε je f − fm (27) = sup |f(x) − fm(x)| x , x ∈ X \ {0} (63) ≤ ε. (64) To znamená, že postupnosť {fk}∞ k=1 je konvergentná v norme priestoru X′ s limitou f ∈ X′ . Duálny priestor (X′ , · ) je teda úplný a dôkaz je hotový. Poznámka 7 Poznamenajme, že výsledok Vety 7 platí pre každý normovaný lineárny priestor X bez ohľadu na to, či je alebo nie je Banachov priestor. Špeciálne, ak priestor Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus Poznámka 7 X nie je úplný a ˜X označuje jeho úplný obal, potom sa dá dokázať, že odpovedajúce duálne priestory X′ a ˜X′ sú izometricky izomorfné. Hlavná myšlienka je založená na skutočnosti, že pre každý funkcionál f ∈ X′ existuje jediné spojité predĺženie ˜f ∈ ˜X′ spĺňajúce ˜f ˜X = f X . Naopak, zúžením každého funkcionálu ˜f ∈ ˜X na priestor X dostaneme spojitý lineárny funkcionál f na X. Priradenie f → ˜f preto sprostredkováva izometriu duálnych priestorov X′ a ˜X′ . Veta 8 Nech X je normovaný lineárny priestor nad T s normou · a X′ je duálny priestor. Ak (X′ , · ) je separabilný normovaný lineárny priestor, potom aj normovaný lineárny priestor (X, · ) je separabilný. Dôkaz Vety 8. Predpokladajme, že duálny priestor (X′ , · ) je separabilný. Každá množina A ⊆ X′ je ako metrický podpriestor separabilná. Teda aj jednotková sféra S′ (0, 1) := {f ∈ X′ , f = 1} (65) je v (X′ , · ) separabilná. Nech {fk}∞ k=1 ⊆ S′ (0, 1) je postupnosť, ktorá je hus- Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus Dôkaz Vety 8 (pokračovanie). tá v množine S′ (0, 1), t.j., pre každý funkcionál f ∈ S′ (0, 1) a každé ε > 0 existuje index k ∈ N tak, že platí nerovnosť f − fk ≤ ε. (66) Nakoľko každý z funkcionálov fk, k ∈ N, má jednotkovú normu, v súlade s prvou rovnosťou v (27) máme sup {|fk(x)|, x ∈ X, x = 1} = 1 pre každé k ∈ N. (67) Z rovnosti (67) a z vlastností supréma následne vyplýva, že pre každý index k ∈ N existuje vektor xk ∈ X taký, že xk = 1, |fk(xk)| > 1 2 . (68) Uvažujme racionálny lineárny obal postupnosti {xk}∞ k=1 ⊆ X zostrojenej v (68) vzhľadom na priestor X, t.j., A := Lin Q {xk, k ∈ N}. (69) Množina A v (69) predstavuje súbor všetkých konečných lineárnych kombinácií vektorov xk, k ∈ N, s racionálnymi koeficientami. Nie je ťažké si premyslieť, že A je najviac spočítateľná množina. Ukážeme, že množina A ⊆ X je hustá v priestore (X, · ), t.j., platí X = A. Predpokladajme, že A X. Potom mno- Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus Dôkaz Vety 8 (pokračovanie). žina X \ A je neprázdna. Zvoľme nejaký vektor y ∈ X \ A. Podľa Dôsledku 2 (pre A := A a x0 := y) existuje spojitý lineárny funkcionál f na X spĺňajúci vlastnosti v (49), t.j., f(x) = 0 pre každé x ∈ A, f(y) = ρ(A, y) > 0, f = 1. (70) Obzvlášť, v súlade s (65) a (69) platí f ∈ S′ (0, 1) a f(xk) = 0 pre každé k ∈ N. Využijúc relácie v (28) a (68), pre každí index k ∈ N máme 1 2 (68) < |fk(xk)| = [fk(xk) − f(xk)] + f(xk) ≤ |fk(xk) − f(xk)| + |f(xk)| 0 = |fk(xk) − f(xk)| (28) ≤ fk − f xk (68) = fk − f . Posledná nerovnosť je však v rozpore s odhadom (66) pre hodnotu ε = 1 2 . To znamená, že spočítateľná množina A v (69) je hustá v X, čo následne implikuje separabilitu priestoru (X, · ). Dôkaz je kompletný. Poznámka 8 Je nutné zdôrazniť, že opačné tvrdenie k Vete 8 vo všeobecnosti neplatí, t.j., duálny priestor X′ separabilného priestoru X nemusí byť nutne separabilný. Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus Jednou zo základných a dôležitých úloh funkcionálnej analýzy je stanoviť všetky spojité lineárne funkcionály na danom normovanom lineárnom priestore (X, · ) nad telesom T, t.j., popísať duálny priestor (X′ , · ). V nasledujúcm tvrdení klasifikujeme všetky spojité lineárne funkcionály na Hilbertovom priestore. Veta 9 (Fréchetova–Rieszova reprezentačná) Nech X je Hilbertov priestor nad T so skalárnym súčinom ·, · a indukovanou normou · a nech X′ je duálny priestor. Potom pre každý spojitý lineárny funkcionál f ∈ X′ existuje jediný vektor xf ∈ X s vlastnosťou f(x) = x, xf pre každé x ∈ X a f = xf . (71) Dôkaz Vety 9. Nech f ∈ X′ je daný nenulový spojitý lineárny funkcionál. Vďaka spojitosti a linearite zobrazenia je jadro Ker f je uzavretý lineárny podpriestor v X s kodimenziou 1 (Dodatky, Veta 28). Z vlastností Hilbertovho priestoru X následne vyplýva, že X = Ker f ⊕ (Ker f)⊥ , pričom dim (Ker f)⊥ = 1. Preto bez ujmy na všeobecnosti existuje nenulový vektor x0 ∈ (Ker f)⊥ s f(x0) = 1 taký, že každý vektor x ∈ X sa dá jednoznačne vyjadriť v tvare (Dodatky, Veta 26) x = f(x) x0 + y, y ∈ Ker f. (72) Definujme vektor xf ∈ X predpisom Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus Dôkaz Vety 9 (pokračovanie). xf := x0 x0 2 . (73) Využitím vlastností skalárneho súčinu ·, · pre každé x ∈ X platí x, xf (72),(73) = f(x) x0 + y, x0 x0 2 = f(x) x0 2 x0, x0 + 1 x0 2 y, x0 0 = f(x) x0 2 x0 2 = f(x), (74) čo ihneď dokazuje prvú formulu v (71). Obzvlášť, pomocou reprezentácie v (74) a Cauchyho–Schwarzovej–Buňakovského nerovnosti dostávame |f(x)| = | x, xf | ≤ x xf pre každý vektor x ∈ X. (75) V zhode s druhou formulou v (27) ľahko vidíme, že podľa (75) pre normu f platí f ≤ xf . Na druhej strane, |f(xf )| = | xf , xf | = xf 2 , takže |f(xf )| xf = xf , a teda, opäť podľa (27), máme xf ≤ f . Preto f = xf , ukázajúc druhú identitu v (71). Zostáva overiť jednoznačnosť vektora xf v (73) pre daný funkcionál f. Ak vektor x′ f ∈ X spĺňa f(x) = x, x′ f pre každé x ∈ X, potom Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus Dôkaz Vety 9 (pokračovanie). so zreteľom na (74) platí x, x′ f = x, xf , a tak x, x′ f − xf = 0 na H. Obzvlášť, x′ f −xf 2 = x′ f −xf , x′ f −xf = 0, a tak x′ f = xf . Napokon, dodajme, že v prípade nulového lineárneho funkcionálu f = 0 na X pre odpovedajúci vektor xf v (71) platí xf = 0. Dôkaz je teraz úplný. Poznámka 9 Z vlastností skalárneho súčinu ·, · vyplýva, že pre každý daný vektor y ∈ X je zobrazenie fy dané predpisom fy(x) := x, y , x ∈ X, (76) spojitý lineárny funkcionál na X, t.j., fy ∈ X′ . Podľa Vety 9 je priradenie X ∋ y → fy := ·, y ∈ X′ , (77) bijektívne zobrazenie medzi priestormi X a X′ zachovávajúce normu, t.j., izometria priestorov X a X′ . Naviac, zobrazenie ·, · X′ : X′ × X′ → T definované f, g := xf , xg , f, g ∈ X′ , (78) kde vektory xf , xg ∈ X sú jednoznačne určené podľa (71), predstavuje skalárny súčin na priestore X′ , ktorý indukuje normu funkcionálu v (26). Nie je ťažké o- Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus Poznámka 9 veriť, že zobrazenie v (77) je aditívne. V prípade reálneho Hilbertovho priestoru sa jedná dokonca o lineárne, t.j., platí fλy(x) (76) = x, λy = λ x, y (76) = λfy(x) pre každé x, y ∈ X a každé λ ∈ R, teda fλy = λfy pre každý vektor y ∈ X a každý skalár λ ∈ R. Pre komplexný Hilbertov priestor X je zobrazenie v (77) antilineárne, t.j., platí fλy = λfy pre každé y ∈ X a každé λ ∈ C. Poznámka 10 Zobrazenie v (77) a zavedenie skalárneho súčinu (78) na X′ implikujú, že duálny priestor X′ je Hilbertov priestor, ktorý je izometrický s priestorom X. Z definície (78) naviac vyplýva, že každá ortonormálna báza S ⊆ X priestoru X sa pomocou (77) bijektívne zobrazí na nejakú ortonormálnu bázu S′ ⊆ X′ duálneho priestoru X′ . To znamená, že Hilbertove priestory X a X′ majú rovnakú Hilbertovu dimenziu, t.j., dimH X = dimH X′ . Preto duálny priestor X′ je izometricky izomorfný s priestorom X. Dodajme, že v súlade s Poznámkou 9 sa v prípade reálneho priestoru X tento izometrický izomorfizmus realizuje napríklad pomocou zobrazenia v (77). Toto však neplatí, ak X je komplexný Hilbertov priestor, keďže v tomto prípade zobrazenie v (77) nie je lineárne. Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus Príklad 10 Pre dané n ∈ N uvažujme normovaný lineárny priestor X nad T s danou normou · , pričom dim X = n. Nech B = {e1, . . . , en} ⊆ X je daná Hamelova báza lineárneho priestoru X. V Príklade 4 sme ukázali, že každý lineárny funkcionál f : X → T je spojitý na X, pričom platí f(x) = x1 f(e1) + · · · + xn f(en) pre každé x = x1 e1 + · · · + xn en ∈ X. (79) Uvažujme množinu lineárnych funkcionálov B′ = {g1, . . . , gn} ⊆ X′ spĺňajúcich gi(ej ) := 1, i = j, 0, i = j, i, j ∈ {1, . . . , n}. (80) V súlade s (79) potom pre každé x ∈ X platí gi(x) (79),(80) = xi, i ∈ {1, . . . , n}, (81) z čo následne, s ohľadom na (79), vyplýva pre každé f ∈ X′ reprezentácia f = f(e1) g1 + · · · + f(en) gn. (82) Množina B′ je lineárne nezávislá v lineárnom priestore X′ a zo zreteľom na (82) predstavuje Hamelovu bázu duálneho priestoru X′ . Jedná sa o duálnu Hamelovu bázu vzhľadom na Hamelovu bázu B. Skaláry Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus Príklad 10 fk := f(ek), k ∈ {1, . . . , n}, (83) sú v zhode s (82) súradnice daného funkcionálu f ∈ X′ vzhľadom na bázu B′ . Duálny priestor X′ je teda n-rozmerný normovaný lineárny priestor nad T s normou funkcionálu · , ktorá je indukovaná danou normou · na priestore X podľa (26). Je potrebné zdôrazniť, že rôzne normy na X indukujú rôzne normy na X′ . Napríklad pre každé zvolené p ∈ (1, ∞) platí, že norma x p = n k=1 |xk|p 1 p indukuje normu f q := n k=1 |fk|q 1 q , (84) kde q ∈ (1, ∞) je číslo konjugované s p, t.j., platí 1 p + 1 q = 1. Podobne norma x 1 = n k=1 |xk| indukuje normu f ∞ = max k∈{1,...,n} |fk|, (85) norma x ∞ = max k∈{1,...,n} |xk| indukuje normu f 1 = n k=1 |fk|. (86) Špeciálne, ak X je n-rozmerný Hilbertov priestor, t.j., norma · = · 2, potom podľa (84) s p = 2 = q je na duálnom priestore X′ indukovaná opäť euklidovská norma · 2, t.j., X′ je n-rozmerný Hilbertov priestor nad T. Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus Príklad 11 V tomto príklade ilustrujeme výsledky prezentované v Príklade 10 v prípade normy · p pre hodnotu p = 3. Konkrétne, ukážeme, že na normovanom lineárnom priestore X nad T s danou dimenziou n ∈ N norma x = n k=1 |xk|3 1 3 , x = x1 e1 + · · · + xn en, (87) indukuje podľa (84) s q = 3 2 na jeho duálnom priestore X′ normu f = n k=1 |fk| 3 2 3 2 , f = f1 g1 + · · · + fn gn. (88) Skutočne, využitím Hölderovej nerovnosti (Dodatky, Veta 2) pre každý daný lineárny funkcionál f ∈ X′ , ktorý je v súlade s (82) a (83) reprezentovaný pomocou n-tice (f1, . . . , fn) ∈ Tn , a pre každý vektor x ∈ X reprezentovaný v zhode s (87) pomocou n-tice (x1, . . . , xn) ∈ Tn postupne platí |f(x)| (79),(83) = n k=1 xk fk ≤ n k=1 |xk fk| Hölder ≤ n k=1 |xk|3 1 3 n k=1 |fk| 3 2 2 3 Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus Príklad 11 (87) = x n k=1 |fk| 3 2 2 3 , a tak f (27) ≤ n k=1 |fk| 3 2 2 3 . (89) Na druhej strane, špeciálnou voľbou ˜xk := fk√ |fk| , k ∈ {1, . . . , n}, máme |f(˜x)| (79),(83) = n k=1 ˜xk fk = n k=1 |fk| 3 2 1 3 n k=1 |fk| 3 2 2 3 =   n k=1 fk |fk| 3   1 3 n k=1 |fk| 3 2 2 3 = n k=1 |˜xk|3 1 3 n k=1 |fk| 3 2 2 3 (87) = ˜x n i=1 |fi| 3 2 2 3 , čo v súlade s druhou formulou v (27) znamená, že n k=1 |fk| 3 2 2 3 ≤ f . (90) Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus Príklad 11 Kombináciou nerovností v (89) a (90) potom dostávame identitu v (88). Príklad 12 (Duálne priestory priestorov lp ) Pre dané reálne číslo p > 1 je duálny priestor normovaného lineárneho priestoru lp izometricky izomorfný s normovaným lineárnym priestorom lq , kde q > 1 je číslo konjugované s p, t.j., platí 1 p + 1 q = 1. Konkrétne, pre každý spojitý lineárny funkcionál F ∈ (lp )′ existuje jediná postupnosť f = {fk}∞ k=1 ∈ lq taká, že F (x) = ∞ k=1 xkfk pre každé x = {xk}∞ k=1 ∈ lp , pričom F = f q . (91) Poznamenajme, že vďaka Hölderovej nerovnosti (Dodatky, Veta 4) je nekonečný číselný rad v (91) absolútne konvergentný pre každé {xk}∞ k=1 ∈ lp . Postupnosť f = {fk}∞ k=1 je definovaná predpisom fk := F (ek), ek = {δkn}∞ n=1, k ∈ N. (92) Izometrický izomorfizmus normovaných lineárnych priestorov (lp )′ a lq je realizovaný prostredníctvom zobrazenia Φ : (lp )′ → lq , Φ(F ) = f, kde postupnosť f je definovaná v (92). (93) Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus Príklad 13 (Duálne priestory priestorov l1 a l∞ ) Duálny priestor normovaného lineárneho priestoru l1 je izometricky izomorfný s normovaným lineárnym priestorom l∞ . Konkrétne, pre každý spojitý lineárny funkcionál F ∈ (l1 )′ existuje jediná postupnosť f = {fk}∞ k=1 ∈ l∞ taká, že F (x) = ∞ k=1 xkfk pre každé x = {xk}∞ k=1 ∈ l1 , pričom F = f ∞. (94) Nekonečný číselný rad v (94) je absolútne konvergentný pre každú postupnosť {xk}∞ k=1 ∈ l1 . Postupnosť f = {fk}∞ k=1 je definovaná analogicky ako v (92). Izometrický izomorfizmus normovaných lineárnych priestorov (l1 )′ a l∞ je realizovaný prostredníctvom zobrazenia Φ : (l1 )′ → l∞ , Φ(F ) = f, kde postupnosť f je definovaná v (92). (95) Na druhej strane, duálny priestor (l∞ )′ nie je izometricky izomorfný s normovaným lineárnym priestorom l1 . Je to jednoduchý dôsledok Vety 8. Keďže priestor l∞ nie je separabilný, v súlade s Vetou 8 nemôže byť separabilný ani jeho duálny priestor (l∞ )′ . Priestor l1 však separabilný je, a preto nemôže byť izometricky izomorfný s duálnym priestorom (l∞ )′ . Platí však, že priestor l1 je izometricky izomorfný s vhodným vlastným podpriestorom duálneho priestoru (l∞ )′ , t.j., existuje izometrický monomorfizmus priestoru l1 do priestoru (l∞ )′ . Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus Príklad 14 (Duálne priestory priestorov c0 a c) Duálne priestory oboch normovaných lineárnych priestorov c0 a c sú izometricky izomorfné s normovaným lineárnym priestorom l1 . Pre každý spojitý lineárny funkcionál F ∈ (c0)′ existuje jediná postupnosť f = {fk}∞ k=1 ∈ l1 s vlastnosťou F (x) = ∞ k=1 xkfk pre každé x = {xk}∞ k=1 ∈ c0, pričom F = f 1. (96) Nekonečný číselný rad v (96) je absolútne konvergentný pre každú postupnosť {xk}∞ k=1 ∈ c0. Postupnosť f = {fk}∞ k=1 je definovaná analogicky ako v (92). Izometrický izomorfizmus normovaných lineárnych priestorov (c0)′ a l1 je realizovaný prostredníctvom zobrazenia Φ : (c0)′ → l1 , Φ(F ) = f, kde postupnosť f je definovaná v (92). (97) Podobne, pre každý spojitý lineárny funkcionál F ∈ c′ existuje jediná postupnosť f = {fk}∞ k=0 ∈ l1 s vlastnosťou F (x) = df0 + ∞ k=1 xkfk pre každé x = {xk}∞ k=1 ∈ c, pričom F = f 1, (98) kde d := limk→∞ xk. Nekonečný číselný rad v (98) je absolútne konvergentný pre každú postupnosť {xk}∞ k=1 ∈ c. Postupnosť f = {fk}∞ k=0 je definovaná Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus Príklad 14 (Duálne priestory priestorov c0 a c) f0 := F (e), fk := F (ek), e = {1}∞ n=1, ek = {δkn}∞ n=1, k ∈ N. (99) Izometrický izomorfizmus normovaných lineárnych priestorov c′ a l1 je realizovaný prostredníctvom zobrazenia Φ : c′ → l1 , Φ(F ) = f, kde postupnosť f je definovaná v (99). (100) Príklad 15 (Duálne priestory priestorov Lp ) Nech (X, M, µ) je daný merateľný priestor a p ∈ [1, ∞) dané reálne číslo. Duálny priestor (Lp (X, µ))′ pre p > 1 je izometricky izomorfný s normovaným lineárnym priestorom Lq (X, µ), kde q > 1 je číslo konjugované s p, t.j., platí 1 p + 1 q = 1. Konkrétne, pre každý spojitý lineárny funkcionál F ∈ (Lp (X, µ))′ existuje funkcia g ∈ Lq (X, µ)), určená jednoznačne skoro všade na množine X (vzhľadom na mieru µ), s vlastnosťou F (f) = X fg dµ pre každé f ∈ Lp (X, µ), pričom F = g q. (101) Ak miera µ je σ-konečná, potom duálny priestor (L1 (X, µ))′ je izometricky izomorfný s normovaným lineárnym priestorom L∞ (X, µ), pričom funkcionály F ∈ (L1 (X, µ))′ sa dajú reprezentovať analogickým spôsobom ako v (101). Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus Príklad 16 (Duálny priestor priestoru spojitých funkcií) Nech [a, b] ⊆ R je daný uzavretý a ohraničený interval. Duálny priestor normovaného lineárneho priestoru (C[a, b], · C ) je izometricky izomorfný s istým normovaným podpriestorom priestoru (BV[a, b], · BV ) funkcií s konečnou variáciou na [a, b]. Konkrétne, pre každý spojitý lineárny funkcionál f ∈ (C[a, b])′ existuje jediná sprava spojitá funkcia g ∈ BV[a, b] s g(a) = 0 taká, že platí f(u) = b a u(t) dg(t) pre každé u ∈ C[a, b] a f = g BV = b a (g). (102) Integrál v (102) je Riemannov–Stieltjesov integrál vzhľadom na danú funkciu g. Ide o rozšírenie Riemannovho integrálu, kde sa pre zvolené konečné delenie Dm : a = x0 < x1 < · · · < xm−1 < xm = b, m ∈ N, (103) a danú funkciu u ohraničenú na [a, b] uvažujú integrálne súčty tvaru S(u; g, Dm, ξ1, . . . , ξm) := m k=1 f(ξk) (g(tk) − g(tk−1)) , ξk ∈ [tk, tk−1]. (104) Dá sa ukázať, že ak funkcia u je spojitá na [a, b] a funkcia g má konečnú variáciu na [a, b], potom pre každú nulovú postupnosť delení {Dm}∞ m=1 intervalu [a, b] postupnosť súčtov v (104) vždy konverguje nezávisle na výbere čísiel ξ1, . . . , ξm, Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus Príklad 16 (Duálny priestor priestoru spojitých funkcií) a to k rovnakej hodnote. Toto číslo definuje integrál v (102). Stručne naznačíme odvodenie formúl v (102). Zvoľme spojitý lineárny funkcionál f : C[a, b] → T. V súlade s Vetou 5 existuje jeho spojité rozšírenie F na normovaný lineárny priestor (B[a, b], · B ) so zachovaním normy, t.j., f = F . Uvažujme systém funkcií et(s) := 1, s ∈ [a, t), 0, s ∈ [t, b], t ∈ [a, b]. (105) Zrejme {et}t∈[a,b] ⊆ B[a, b], a preto definujme funkciu g : [a, b] → ∞ predpisom g(t) := F (et), t ∈ [a, b]. (106) Z (106) platí, že g(a) = 0 a funkcia g má konečnú variáciu na [a, b], pričom b a (g) ≤ F = f . (107) Následne, uvažujúc delenia Dm, m ∈ N, v (103), každú funkciu u ∈ C[a, b] aproximujeme postupnosťou schodovitých funkcií {ym}∞ m=1 ⊆ B[a, b] tvaru ym(t) := m k=1 u(tk) etk (t) − etk−1 (t) , t ∈ [a, b]. (108) Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus Príklad 16 (Duálny priestor priestoru spojitých funkcií) Pre každú nulovú postupnosť {Dm}∞ m=1 je daná funkcia u rovnomernou limitou postupnosti {ym}∞ m=1 na intervale [a, b], t.j., limm→∞ ym − u B = 0. Preto lim m→∞ F (ym) = F (u) = f(u) pre každé u ∈ C[a, b]. (109) Na druhej strane, podľa (108) pre každé u ∈ C[a, b] a m ∈ N máme F (ym) (108) = m k=1 u(tk) F (etk ) − F (etk−1 ) (106) = m k=1 u(tk) (g(tk) − g(tk−1)) ⇓ lim m→∞ F (ym) = lim m→∞ m k=1 u(tk) (g(tk) − g(tk−1)) = b a u(t) dg(t). (110) Kombináciou rovností (109) a (110) dostávame prvú formulu v (102). Naviac, |f(u)| (102) = b a u(t) dg(t) ≤ b a |u(t)| |dg(t)| ≤ u C b a (g), u ∈ C[a, b], a tak f ≤ b a (g). V súlade s (107) napokon platí f = b a (g) = g BV . Je zrejmé, že pre každú funkciu g ∈ BV[a, b] s g(a) = 0 je zobrazenie f v (102) spojitý lineárny funkcionál na C[a, b] s normou spĺňajúcou formulu v (102). Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus Obsah 1 Hahnova–Banachova veta 2 Spojité lineárne funkcionály 3 Duálne priestory 4 Druhé duálne priestory 5 Slabá topológia a Banachova–Steinhausova veta Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus Nasledujúca sekcia je venovaná štúdiu spojitých lineárnych funkcionálov na duálnych priestoroch normovaných lineárnych priestorov nad telesom T. Definícia 6 (Druhý duálny priestor normovaného lineárneho priestoru) Nech X je normovaný lineárny priestor nad T s normou · a X′ je odpovedajúci duálny priestor. Normovaný lineárny priestor všetkých spojitých lineárnych funkcionálov na X′ , t.j., duálny priestor (X′ )′ , sa nazýva druhý duálny priestor priestoru X a označujeme ho X′′ . Veta 10 Nech X je normovaný lineárny priestor nad T s normou · a X′ je duálny priestor. Potom pre každý vektor x ∈ X je zobrazenie Fx : X′ → T definované Fx(f) := f(x), f ∈ X′ , (111) spojitý lineárny funkcionál na priestore X′ , pričom platí Fx = x . Dôkaz Vety 10. Zvoľme nejaký nenulový vektor x ∈ X. Je zrejmé, že zobrazenie Fx definované v (111) je lineárny funkcionál pôsobiaci na duálnom priestore X′ , keďže Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus Dôkaz Vety 10 (pokračovanie). Fx(α f + β g) (111) = (α f + β g)(x) = α f(x) + β g(x) (111) = α Fx(f) + β Fx(g) (112) pre každé f, g ∈ X′ a α, β ∈ T. Naviac, v súlade s nerovnosťou (28) máme |Fx(f)| (111) = |f(x)| (28) ≤ x f pre každé f ∈ X′ . (113) Nerovnosť (113) podľa Definície 3 a Vety 4 znamená, že zobrazenie Fx v (111) je ohraničené na okolí nulového funkcionálu, a teda spojité na celom X′ . Preto Fx je spojitý lineárny funkcionál na X′ , t.j., Fx ∈ X′′ . Pre jeho normu platí Fx (27) = sup |Fx(f)| f , f ∈ X′ \ {0} (113) ≤ x . (114) Na druhej strane, z Dôsledku 1 vieme, že pre daný nenulový vektor x existuje spojitý lineárny funkcionál f : X → T spĺňajúci f(x) = x a f = 1, teda |Fx(f)| (111) = |f(x)| = x = x f , a tak |Fx(f)| f = x . (115) V zhode s druhou formulou v (27) to znamená, že norma Fx ≥ x . Preto platí Fx = x . Napokon dodajme, že v prípade voľby x = 0 je odpovedajúce zobrazenie Fx v (111) zrejme identicky nulový funkcionál na X′ , a teda opäť Fx ∈ X′′ s Fx = 0 = x . Dôkaz je teraz kompletný. Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus Poznámka 11 (Kanonické vnorenie do druhého duálneho priestoru) Výsledok Vety 10 ukazuje, že na každom danom normovanom lineárnom priestore X je korektne definované zobrazenie π : X → X′′ s predpisom π(x) := Fx s Fx zavedeným v (111) pre x ∈ X. (116) Zobrazenie π v (116) sa štandardne označuje ako prirodzené zobrazenie priestoru X do jeho druhého duálneho priestoru X′′ . Zrejme sa jedná o lineárne zobrazenie, nakoľko využitím (111) pre každé x, y ∈ X, α, β ∈ T a f ∈ X′ máme Fα x+β y(f) = f(α x + β y) = α f(x) + β f(y) = α Fx(f) + β Fy(f), (117) a tak v súlade s (116) platí π(α x + β y) = α π(x) + β π(y). Naviac, podľa druhej časti Vety 10 je prirodzené zobrazenie π izometrické, t.j., π(x) (116) = Fx = x pre každý vektor x ∈ X. (118) Obzvlášť, π je spojitá injekcia. Z tohto dôvodu sa preto o prirodzenom zobrazení π často hovorí ako o kanonickom vnorení priestoru X do priestoru X′′ . Definícia 7 (Reflexívny normovaný lineárny priestor) Normovaný lineárny priestor X sa nazýva reflexívny, ak prirodzené zobrazenie π : X → X′′ zavedené v (116) je surjektívne, t.j., platí rovnosť π(X) = X′′ . Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus Poznámka 12 Z Definície 7 a Poznámky 11 ihneď vyplýva, že každý reflexívny normovaný lineárny priestor X je izometricky izomorfný s druhým duálnym priestorom X′′ . Príslušný izomorfizmus je sprostredkovaný prirodzeným zobrazením π v (116), keďže v tomto prípade sa jedná o lineárnu bijekciu medzi normovanými lineárnymi priestormi X a X′′ , ktorá zachováva normu. Následne, so zreteľom na Vetu 7, každý reflexívny priestor je nutne Banachov, t.j., úplný normovaný lineárny priestor. Je však potrebné zdôrazniť, že opačné tvrdenia neplatia. Konkrétne, z izometrického izomorfizmu priestorov X a X′′ vo všeobecnosti nevyplýva reflexívnosť priestoru X. Klasickým príkladom nereflexívneho normovaného lineárneho priestoru X, ktorý je izometricky izomorfný so svojim druhým duálnym priestorom X′′ , je tzv. Jamesov priestor. Základné nereflexívne Banachove priestory uvedieme v Príkladoch 20, 21 a 23. Veta 11 (Pettisovo kritérium reflexívnosti Banachových priestorov) Nech X je Banachov priestor nad T. Nasledujúce tvrdenia sú ekvivalentné. (i) Priestor X je reflexívny. (ii) Duálny priestor X′ je reflexívny. Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus Poznámka 13 Podľa Vety 7 je duálny priestor X′ každého normovaného lineárneho priestoru X úplný. Podľa Vety 11 je tak X′ reflexívny práve vtedy, keď je reflexívny X′′ . Príklad 17 (Reflexívnosť priestorov s konečnou dimenziou) Každý normovaný lineárny priestor X s konečnou dimenziou n ∈ N je reflexívny. Vyplýva to z pozorovania v Príklade 10, podľa ktorého duálny priestor X′ má opäť dimenziu n. Obzvlášť, druhý duálny priestor X′′ je n-rozmerný normovaný lineárny priestor. A nakoľko každé homomorfné vnorenie lineárnych priestorov s rovnakou konečnou dimenziou je nutne surjektívne, prirodzené zobrazenie π v (116) je izometrický izomorfizmus priestorov X a X′′ . Príklad 18 (Reflexívnosť Hilbertovho priestoru) Každý Hilbertov priestor X je reflexívny. Tento významný a klasický výsledok je bezprostredným dôsledkom lineárnej izometrie priestorov X a X′ , a následne i priestorov X′ a X′′ , diskutovanej v Poznámke 10. V oboch prípadoch je uvedený izomorfizmus realizovaný pomocou skalárnych súčinov v súlade s (77) a (78). Na druhej strane, obraz každého vektora x ∈ X v prirodzenom zobrazení π : X → X′′ je možné reprezentovať práve skalárnym súčinom x, · . Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus Príklad 19 (Reflexívnosť priestorov lp ) Dôležitým príkladom reflexívnych normovaných lineárnych priestorov, ktoré nie sú nutne Hilbertovými priestormi, sú priestory lp pre p ∈ (1, ∞). Podľa Príkladu 12 je pre dané p > 1 duálny priestor (lp )′ izometricky izomorfný s priestorom lq a duálny priestor (lq )′ je izometricky izomorfný s priestorom lp , kde q > 1 je číslo konjugované s p, t.j., platí 1 p + 1 q = 1. Celkovo je teda priestor lp izometricky izomorfný so svojim druhým duálnym priestorom (lp )′′ , pričom jedna z týchto izometrií je sprostredkovaná práve prirodzeným zobrazením π v (116). Tento záver vyplýva z nasledujúcich úvah. Vďaka Hölderovej nerovnosti (Dodatky, Veta 4) platí, že pre každú dvojicu postupností {Fk}∞ k=1 ∈ lp a {fk}∞ k=1 ∈ lq je nekonečný číselný rad ∞ k=1 Fkfk (119) absolútne konvergentný. Podľa výsledkov v Príklade 12 môžeme súčet radu v (119) interpretovať dvomi spôsobmi, konkrétne ako hodnotu funkcionálu F ∈ (lp )′′ (reprezentovaného pomocou {Fk}∞ k=1) na funkcionále f ∈ (lp )′ (reprezentovaného pomocou {fk}∞ k=1), t.j., F(f); hodnotu funkcionálu f ∈ (lp )′ (reprezentovaného pomocou {fk}∞ k=1) na vektore {Fk}∞ k=1, t.j., f({Fk}∞ k=1) = [π({Fk}∞ k=1)](f) podľa (116). Platí F = π({Fk}∞ k=1) pre každé F ∈ (lp )′′ , a tak π je surjektívne zobrazenie. Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus Príklad 20 (Nereflexívnosť priestorov l1 a l∞ ) Normovaný lineárny priestor l1 nie je reflexívny. Vyplýva to z Príkladu 13, podľa ktorého druhý duálny priestor (l1 )′′ je izometricky izomorfný s duálnym priestorom (l∞ )′ , avšak l1 nie je izometricky izomorfný s (l∞ )′ . Preto priestor l1 nie je izometricky izomorfný so svojím druhým duálnym priestorom (l1 )′′ , a teda v súlade s Poznámkou 12 nemôže byť ani reflexívny. Obzvlášť, duálny priestor (l∞ )′ nie je reflexívny. A keďže l∞ je Banachov priestor, z Vety 11 vyplýva, že ani normovaný lineárny priestor l∞ nemôže byť reflexívny. Príklad 21 (Nereflexívnosť priestorov c a c0) Normované lineárne priestory c a c0 sú Banachove priestory. Podľa Príkladu 14 vieme, že obidva duálne priestory c′ a (c0)′ sú izometricky izomorfné s normovaným lineárnym priestorom l1 , a teda v zhode s Príkladom 20 sa jedná o nereflexívne priestory. Následne podľa Vety 11 sú priestory c a c0 nereflexívne. Príklad 22 (Reflexívnosť/nereflexívnosť priestorov Lp ) Využitím Príkladu 15 môžeme úplne analogické závery vysloviť aj o normovaných lineárnych priestoroch Lp (X, µ), p ∈ [1, ∞), a L∞ (X, µ). Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus Príklad 23 (Nereflexívnosť priestoru spojitých funkcií) Ďalším významným príkladom nereflexívneho Banachovho priestoru je normovaný lineárny priestor (C[a, b], · C ), kde [a, b] ⊆ R je daný interval. Výnimočnosť priestoru (C[a, b], · C ) je zvýraznená i skutočnosťou, že nie je izometricky izomorfný s duálnym priestorom žiadneho normovaného lineárneho priestoru. Poznámka 14 Napokon ešte dodajme, že v prípade reflexívnych normovaných priestorov možno tvrdenie vo Vete 8 obrátiť. Presnejšie, reflexívny normovaný lineárny priestor X je separabilný práve vtedy, keď je separabilný jeho duálny priestor X′ . Veta 12 (Jamesovo kritérium reflexívnosti Banachových priestorov) Nech X je Banachov priestor nad T. Nasledujúce tvrdenia sú ekvivalentné. (i) Priestor X je reflexívny. (ii) Pre každý spojitý lineárny funkcionál f ∈ X′ platí f = max{|f(x)|, x ∈ X, x ≤ 1}. (120) Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus Obsah 1 Hahnova–Banachova veta 2 Spojité lineárne funkcionály 3 Duálne priestory 4 Druhé duálne priestory 5 Slabá topológia a Banachova–Steinhausova veta Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus V tomto kurze sme v normovaných lineárnych priestoroch nad T zatiaľ vždy pracovali s topológiu, ktorá je indukovaná odpovedajúcou normou. Táto topológia má mnoho významných vlastností. Spomeňme napríklad správanie sa spojitých zobrazení na kompaktných množinách, kde spojitosť a kompaktnosť uvažujeme práve v “normovej” topológii. Na druhej strane sme však ukázali, že takýchto kompaktných množín nie je “dostatočne veľa”. Obzvlášť, v priestoroch s nekonečnou dimenziou žiadna uzavretá guľa/sféra nie je kompaktná. Z tohto pohľadu je teda “normová” topológia príliš silný koncept a v tejto sekcii ju budeme i označovať prívlastkom silná (topológia). Z praktických aplikácii je preto vhodné na normovaných lineárnych priestoroch uvažovať aj iné topológie, ktoré by umožňovali zostrojiť “dostatočne veľa” kompaktných množín, obvzlášť v nekonečno rozmerných priestoroch. Takéto topológie budeme označovať prívlastkom slabé. Ich tvar odvodíme na základe optimálneho zoslabenia pojmu konvergencia postupnosti v normovaných lineárnych priestoroch. Definícia 8 (Slabá ohraničenosť v normovanom lineárnom priestore) Nech X je normovaný lineárny priestor nad T s normou · a A ⊆ X je množina. Hovoríme, že množina A je slabo ohraničená v X, ak pre každý spojitý lineárny funkcionál f : X → T je množina f(A) := {f(x), x ∈ A} ohraničená v E. (121) Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus Poznámka 15 Nech X′ je duálny priestor normovaného lineárneho priestoru X. V kontexte Definície 8 budeme ohraničenosť množiny A ⊆ X v zmysle normy · označovať termínom silná ohraničenosť v priestore X. Pomocou nerovnosti (28) platiacej pre každé f ∈ X′ ľahko overíme, že každá silno ohraničená množina A ⊆ X je v súlade s (121) zároveň i slabo ohraničená v priestore X. V nasledujúcom texte ukážeme, že v každom normovanom lineárnom priestore X nad T koncepty silnej a slabej ohraničenosti množín A ⊆ X splývajú. Dokážeme to ako dôsledok série niekoľkých tvrdení. Lema 2 Nech X je normovaný lineárny priestor nad T s normou · a X′ je duálny priestor. Nech {xk}∞ k=1 ⊆ X je postupnosť vektorov taká, že existuje uzavretá guľa B′ ⊆ X′ s vlastnosťou množina {f(xk), f ∈ B′ , k ∈ N} ⊆ T je ohraničená. (122) Potom postupnosť noriem { xk }∞ k=1 je ohraničená v E. Dôkaz Lemy 2. Nech fB ∈ X′ je stred a r ∈ (0, ∞) je polomer gule B′ , t.j., platí Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus Dôkaz Lemy 2 (pokračovanie). B′ = {f ∈ X′ , f − fB ≤ r}. (123) Podľa(123) množina všetkých funkcionálov 1 r (f − fB), f ∈ B′ , predstavuje uzavretú guľu B′ [0, 1] v X′ . V súlade s (122) nech K > 0 je také, že |f(xk)| ≤ K pre každé f ∈ B′ a k ∈ N. (124) Využitím trojuholníkovej nerovnosti následne máme 1 r (f − fB)(xk) = 1 r f(xk) − 1 r fB(xk) ≤ |f(xk)| r + |fB(xk)| r (124) ≤ 2K r (125) pre každý funkcionál f ∈ B′ a každý index k ∈ N. V kontexte vyššie uvedených pozorovaní to znamená, že pre guľu B′ [0, 1] platí relácia |g(xk)| ≤ 2K r pre každé g ∈ B′ [0, 1] a k ∈ N. (126) Pre každé k ∈ N uvažujme spojitý lineárny funkcionál Fxk : X′ → T definovaný v (111). Podľa Vety 10 platí xk = Fxk . Využitím formúl (26) a (111) v kombinácii s nerovnosťu (126) potom dostávame xk = Fxk (26) = sup |Fxk (g)|, g ∈ B′ [0, 1] (111) = sup{|g(xk)|, g ∈ B′ [0, 1]} (126) ≤ 2K r pre každé k ∈ N. (127) Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus Dôkaz Lemy 2 (pokračovanie). Podľa (127) je teda postupnosť noriem { xk }∞ k=1 je ohraničená v E. Veta 13 Nech X je normovaný lineárny priestor nad T s normou · a {xk}∞ k=1 ⊆ X je slabo ohraničená postupnosť v kontexte Definície 8. Potom postupnosť {xk}∞ k=1 je silno ohraničená v priestore X. Dôkaz Vety 13. Nech X′ je duálny priestor priestoru X. Tvrdenie dokážeme sporom. Predpokladajme teda, že postupnosť {xk}∞ k=1 nie je ohraničená v norme priestoru X, t.j., postupnosť noriem { xk }∞ k=1 nie je ohraničená v E. Vo svetle Lemy 2 to znamená, že pre každú nedegenerovanú uzavretú guľu B′ ⊆ X′ je množina MB′ := {f(xk), f ∈ B′ , k ∈ N} ⊆ R (128) neohraničená v E. Nech B′ 0 ⊆ X′ je nejaká uzavretá guľa s polomerom r0 = 1. Nakoľko odpovedajúca množina MB′ 0 v (128) nie je ohraničená, existuje index k0 ∈ N a funkcionál f0 ∈ B′ 0 tak, že platí |f0(xk0 )| > 1. Obzvlášť, funkcionál Fxk0 ∈ X′′ v (111) spĺňa |Fxk0 (f0)| > 1. Vďaka spojitosti zobrazenia Fxk0 existuje uzavretá guľa B′ 1 ⊆ B′ 0 so stredom f0 a polomerom r1 < 1 2 taká, že Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus Dôkaz Vety 13 (pokračovanie). |f(xk0 )| (111) = |Fxk0 (f)| > 1 pre každý funkcionál f ∈ B′ 1. (129) Vyššie uvedené argumenty teraz aplikujeme na uzavretú guľu B′ 1. Príslušná množina MB′ 1 v (128) opäť nie je ohraničená v E, preto existuje index k1 > k0 a uzavretá guľa B′ 2 ⊆ B′ 1 s polomerom r2 < 1 4 taká, že |f(xk1 )| > 2 pre každý funkcionál f ∈ B′ 2. (130) Existuje teda rastúca postupnosť indexov {kn}∞ n=0 a odpovedajúca postupnosť do seba vložených uzavretých gulí {B′ n}∞ n=0 v duálnom priestore X′ tak, že polomer B′ n je menší než 1 2n a |f(xkn )| > n pre každý funkcionál f ∈ B′ n. (131) Normovaný lineárny priestor X′ je podľa Vety 7 úplný, a tak postupnosť {B′ n}∞ n=0 má neprázdny prienik v X′ , t.j., existuje jediný funkcionál ˜f ∈ X′ spĺňajúci ˜f ∈ ∞ n=0 B′ n. Obvzlášť, v súlade s (131) platí nerovnosť | ˜f(xkn )| > n pre každý index n ∈ N. (132) Z (132) vyplýva, že postupnosť { ˜f(xk)}∞ k=1 nie je ohraničená v E. Podľa Definície 8 to však znamená, že postupnosť {xk}∞ k=1 nie je slabo ohraničená v X. To je spor, preto postupnosť {xk}∞ k=1 musí byť silno ohraničená v X. Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus Veta 14 Nech X je normovaný lineárny priestor nad T s normou · . Každá množina A ⊆ X, ktorá je slabo ohraničená v X, je i silno ohraničená v X. Inými slovami, slabá a silná ohraničenosť množín v normovaných lineárnych priestoroch splývajú. Dôkaz Vety 14. Nech A ⊆ X je slabo ohraničená množina v priestore X. Predpokladajme, že A nie je silno ohraničená v X. To znamená, že existuje postupnosť vektorov {xk}∞ k=1 ⊆ A s vlastnosťou limk→∞ xk = ∞. Z predpokladu slabej ohraničenosti množiny A vyplýva, že postupnosť {xk}∞ k=1 je slabo ohraničená v priestore X. V súlade s Vetou 13 je teda postupnosť noriem { xk }∞ k=1 ohraničená v E, čo však zrejme odporuje jej definícii. Množina A je preto silno ohraničená v priestore X a dôkaz je kompletný. Nasledujúca časť prednášky bude venovaná slabým topológiám v normovanom lineárnom priestore X a jeho duálnom priestore X′ . Existuje niekoľko spôsobov zavedenia slabej topológie na prestore X. Pre nás bude východiskovým bodom vhodné zoslabenie pojmu konvergencia postupnosti {xk}∞ k=1 ⊆ X v priestore X. Dôležitou požiadavkou je, aby spojité lineárne funkcionály f ∈ X′ zostali “spojité” i vzhľadom na “slabú” konvergenciu. Podľa Heineho podmienky Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus funkcia g : X → T je spojitá v bode x ∈ X práve vtedy, keď pre každú postupnosť xk → x platí g(xk) → g(x) pre n → ∞. Chceme, aby z predpokladu “slabej” konvergencie postupnosti {xk}∞ k=1 ⊆ X k vektoru x ∈ X nutne vyplývala konvergencia postupnosti {f(xk)}∞ k=1 ⊆ T k hodnote f(x) ∈ T v E pre každé x ∈ X a každý funkcionál f ∈ X′ . Definícia 9 (Slabá konvergencia v normovanom lineárnom priestore) Nech X je normovaný lineárny priestor nad T s normou · . Hovoríme, že postupnosť vektorov {xk}∞ k=1 ⊆ X konverguje slabo v priestore X k vektoru x ∈ X, ak pre každý spojitý lineárny funkcionál f : X → T na X je postupnosť {f(xk)}∞ k=1 ⊆ T konvergentná v E s limitou f(x) ∈ T. Vektor x nazývame slabou limitou postupnosti {xk}∞ k=1 v priestore X a píšeme xk ⇀ x pre k → ∞. Poznámka 16 Podobne ako v Poznámke 15 budeme konvergenciu v norme · označovať prívlastkom silná. V súlade s Definíciou 9 každá silno konvergentná postupnosť {xk}∞ k=1 ⊆ X s limitou x ∈ X je i slabo konvergentná v X s rovnakou slabou limitou x. Táto skutočnosť je dôsledkom spojitosti funkcionálov f ∈ X′ . Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus Veta 15 Nech X je normovaný lineárny priestor nad T s normou · a {xk}∞ k=1 ⊆ X je daná postupnosť vektorov. Platia nasledujúce tvrdenia. (i) Postupnosť {xk}∞ k=1 má najviac jednu slabú limitu v X. (ii) Ak xk ⇀ x pre k → ∞, kde x ∈ X, potom každá vybraná podpostupnosť {xkn }∞ n=1 je slabo konvergentná v X s limitou x. (iii) Ak {xk}∞ k=1 slabo konverguje v X, potom je silno ohraničená v X. Dôkaz Vety 15. (i) Ak platí xk ⇀ x a xk ⇀ y pre k → ∞, kde x, y ∈ X sú rôzne vektory, potom podľa Poznámky 6 existuje spojitý lineárny funkcionál f : X → T s vlastnosťou f(x) = f(y). V súlade s Definíciou 9 má teda číselná postupnosť {f(xk)}∞ k=1 ⊆ T dve rôzne limity f(x) a f(y) v E, čo však je zrejmý spor. Preto postupnosť {xk}∞ k=1 môže mať najviac jednu slabú limitu v priestore X. (ii) Tvrdenie vyplýva zo skutočnosti, že pre každý funkcionál f ∈ X′ , kde X′ je duálny priestor, je {f(xkn )}∞ n=1 ⊆ T vybraná podpostupnosť konvergentnej číselnej postupnosti {f(xk)}∞ k=1 v E s limitou f(x). Preto limn→∞ f(xkn ) = f(x), a tak v zhode s Definíciou 9 je v priestore X slabo konvergentná i postupnosť {xkn }∞ n=1 s rovnakou slabou limitou x. Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus Dôkaz Vety 15 (pokračovanie). (iii) Z kombinácie Definícií 8 a 9 vyplýva, že každá postupnosť, ktorá slabo konverguje v priestore X, je slabo ohraničená v X. Následne Veta 14 zaručuje jej silnú ohraničenosť v X. Dôkaz je kompletný. Veta 16 Nech X je normovaný lineárny priestor nad T s normou · a X′ je duálny priestor. Postupnosť {xk}∞ k=1 ⊆ X je slabo konvergentná v priestore X s limitou x ∈ X práve vtedy, keď je silno ohraničená v priestore X a existuje množina A′ ⊆ X′ s vlastnosťami Lin T A′ = X′ a lim k→∞ g(xk) = g(x) pre každý funkcionál g ∈ A′ . (133) Dôkaz Vety 16. Platnosť implikácie “⇒” je priamym dôsledkom Definície 9 a Vety 15(iii). Zameriame sa preto na dôkaz implikácie “⇐”. Nech postupnosť {xk}∞ k=1 ⊆ X je silno ohraničená v X a nech existuje množina A′ ⊆ X′ spĺňajúca relácie v (133) pre nejaký prvok x ∈ X. Obzvlášť, existuje K > 0 také, že platí x ≤ K, xk ≤ K pre každý index k ∈ N. (134) Z prvej relácie v (133) vyplýva, že pre každý funkcionál f ∈ X′ existuje postup- Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus Dôkaz Vety 16 (pokračovanie). nosť {gl}∞ l=1 ⊆ Lin T A′ s vlastnosťou liml→∞ f − gl = 0. V súlade s druhou rovnosťou v (133) každý funkcionál gl, l ∈ N, spĺňa formulu lim k→∞ gl(xk) = gl(x). (135) Zvoľme pevne funkcionál f ∈ X′ a nech ε > 0 je dané. Podľa definície postupnosti {gl}∞ l=1 existuje index lε ∈ N s vlastnosťou f − glε < ε 3K . (136) Následne, rovnosť (135) s l := lε zaručuje existenciu indexu kε ∈ N spĺňajúceho |glε (x) − glε (xk)| < ε 3 pre každé k ≥ kε. (137) Pomocou nerovností (28), (134), (136) a (137) potom pre každé k ≥ kε máme |f(x) − f(xk)| = [f(x) − glε (x)] + [glε (x) − glε (xk)] + [glε (xk) − f(xk)] ≤ |f(x) − glε (x)| + |glε (x) − glε (xk)| + |glε (xk) − f(xk)| (28),(137) < f − glε x + ε 3 + f − glε xk (134),(136) < ε 3K · K + ε 3 + ε 3K · K = ε. (138) Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus Dôkaz Vety 16 (pokračovanie). Získaná nerovnosť (138) znamená, že limk→∞ f(xk) = f(x). Keďže funkcionál f ∈ X′ bol zvolený ľubovoľne, v súlade s Definíciou 9 je postupnosť {xk}∞ k=1 slabo konvergentná v X so slabou limitou x. Dôkaz je hotový. Príklad 24 (Slabá konvergencia v priestoroch s konečnou dimenziou) V normovanom lineárnom priestore X s konečnou dimenziou n ∈ N je slabá konvergencia ekvivalentná s konvergenciou v danej norme · . Nech B = {e1, . . . , en} ⊆ X je daná Hamelova báza priestoru X a B′ = {g1, . . . , gn} ⊆ X′ je duálna báza v Príklade 10. Nech postupnosť xk ⇀ x ∈ X pre k → ∞. Píšme x = x1 e1 + x2 e2 + · · · + xn en, xk = xk 1 e1 + xk 2 e2 + · · · + xk n en, k ∈ N. (139) Podľa rovností v (81) v Príklade 10 a reprezentácií v (139) platí gi(xk ) = xk i , gi(x) = xi, k ∈ N, i ∈ {1, . . . , n}. (140) Keďže gi ∈ X′ pre každé i ∈ {1, . . . , n}, v súlade s Definíciou 9 máme lim k→∞ xk i (140) = lim k→∞ gi(xk ) = gi(x) (140) = xi, pre každé i ∈ {1, . . . , n}. (141) Rovnosti v (141) znamenajú súradnicovú konvergenciu postupnosti {xk }∞ k=1 vzhľadom na bázu B, ktorá je ekvivalentná s konvergenciou v norme · . Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus Príklad 25 (Slabá konvergencia v priestoroch lp ) Pri charakterizácii slabej konvergencie v priestore lp , kde hodnota p > 1, využijeme výsledok Vety 16. Pre každé n ∈ N označme en := {δkn}∞ k=1, kde δkn je Kroneckerov symbol. (142) Je zrejmé, že postupnosť en ∈ lp pre každé n ∈ N. Ďalej uvažujme množinu A′ := {gn : lp → T, n ∈ N} ⊆ (lp )′ (143) spojitých lineárnych funkcionálov na lp tvaru gm(en ) := 1, m = n, 0, m = n, m, n ∈ N. (144) Z detailnej konštrukcie duálneho priestoru (lp )′ v Príklade 12 môžeme ľahko usúdiť, že množina A′ v (143) spĺňa rovnosť Lin T A′ = (lp )′ a pre každú postupnosť x = {xk}∞ k=1 ∈ lp platí gn(x) = xn, n ∈ N. (145) Pomocou Vety 16 potom nie je ťažké si premyslieť, že postupnosť {xn }∞ n=1 ⊆ lp , t.j., xn = {xn k }∞ k=1 ∈ lp pre každé n ∈ N, je slabo konvergentná v priestore lp so slabou limitou x = {xk}∞ k=1 ∈ lp práve vtedy, keď platia podmienky Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus Príklad 25 (Slabá konvergencia v priestoroch lp ) (i) postupnosť {xn }∞ n=1 je silno ohraničená v lp , t.j., číselná postupnosť { xn p}∞ n=1 je ohraničená v E, (ii) postupnosť {xn }∞ n=1 po zložkách konverguje k vektoru x, t.j., platí lim n→∞ xn k = xk pre každé k ∈ N. (146) Poznamenajme, že na rozdiel od predchádzajúceho Príkladu 24 v tomto prípade slabá konvergencia nie je ekvivalentná so silnou konvergenciou. Napríklad postupnosť {en }∞ n=1 ⊆ lp definovaná v (142) konverguje slabo k identicky nulovej postupnosti, keďže je očividne silno ohraničená a máme lim n→∞ en k (142) = lim n→∞ δkn = 0 pre každé pevné k ∈ N. Na druhej strane, postupnosť {en }∞ n=1 nemá v priestore lp silnú limitu, pretože nie je ani cauchyovská vzhľadom na normu · p. Skutočne, pre každé dva rôzne indexy m, n ∈ N platí em − en p = 2 1 p , ako sa možeme ľahko presvedčiť. Príklad 26 (Slabá konvergencia v priestore l1 – Schurova veta) V priestore l1 slabá konvergencia a konvergencia v norme · 1 splývajú. Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus Príklad 27 (Slabá konvergencia v priestore spojitých funkcií) V prípade normovaného lineárneho priestoru (C[a, b], · C ), kde [a, b] ⊆ R je daný kompaktný interval, má slabá konvergencia obzvlášť významnú interpretáciu. Dá sa ukázať, že postupnosť funkcií {uk}∞ k=1 ⊆ C[a, b] je slabo konvergentná v priestore (C[a, b], · ) so slabou limitou u ∈ C[a, b] práve vtedy, keď (i) postupnosť {uk}∞ n=1 je rovnomerne ohraničená, t.j., existuje kladná konštanta K taká, že platí |uk(x)| ≤ K pre každé k ∈ N a každé x ∈ [a, b], (147) (ii) postupnosť {uk}∞ n=1 konverguje bodovo k funkcii u na intervale [a, b], t.j., lim k→∞ uk(x) = u(x) pre každé x ∈ [a, b]. (148) Príklad 28 (Slabá a silná konvergencia v Hilbertovom priestore) Nech X je Hilbertov priestor nad T s normou · indukovanou daným skalárnym súčinom. Platí, že postupnosť {xk}∞ k=1 ⊆ X konverguje v norme k vektoru x ∈ X práve vtedy, keď je slabo konvergentná v X so slabou limitou x a limk→∞ xk = x . Doplňme, že táto ekvivalencia platí nielen v Hilbertových priestoroch, ale v každom unitárnom lineárnom priestore nad T. Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus Stručne teraz načrtneme konštrukciu slabej topológie, ktorá indukuje slabú konvergenciu zavedenú v Definícii 9. Nech X je daný normovaný lineárny priestor nad T s normou · a X′ je duálny priestor. Nie je ťažké overiť, že pre každý lineárny funkcionál f : X → T je zobrazenie |f| pseudonorma na X. Uvažujme systém pseudonoriem |f|, f ∈ X′ . (149) Pomocou systému zobrazení (149) definujme pre daný vektor x ∈ X, daný konečný systém funkcionálov f1, . . . , fm ∈ X′ a dané ε > 0 množinu Ox(f1, . . . , fm, ε) := {y ∈ X, |fi(y − x)| < ε, i ∈ {1, . . . , m}} . (150) Množinu G ⊆ X nazveme slabo otvorenou, ak pre každý vektor x ∈ G existuje ε > 0 a funkcionály f1, . . . , fm ∈ X′ s vlastnosťou Ox(f1, . . . , fm, ε) ⊆ G. Definícia 10 (Slabá topológia na normovanom lineárnom priestore) Nech X je normovaný lineárny priestor nad T s normou · a X′ je duálny priestor. Systém všetkých slabo otvorených množín G ⊆ X vytvára na priestore X topológiu, ktorá sa nazýva slabá topológia a budeme ju označovať Tw. Doplnky množín systému Tw budeme označovať ako slabo uzavreté množiny v topologickom priestore (X, Tw). Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus Propozícia 1 Nech X je normovaný lineárny priestor nad T s normou · a X′ je duálny priestor. Platia nasledujúce základné výsledky. (i) Slabá topológia Tw spĺňa Hausdorffovu axiómu oddeliteľnosti. (ii) Platí inklúzia Tw ⊆ T , kde T je silná topológia na priestore X indukovaná normou · . To znamená, že každá slabo otvorená množina G ⊆ X je aj silno otvorená, a každá slabo uzavretá množina F ⊆ X je aj silno uzavretá. (iii) Pre každý vektor x ∈ X, každý funkcionál f ∈ X′ a každé ε je množina Ox(f, ε) v (150) slabo otvorená a množina Ox(f, ε) := {y ∈ X, |f(y − x)| ≤ ε} je slabo uzavretá. (151) Nasledujúce tvrdenie ukazuje presnú súvislosť medzi medzi slabou konvergenciou a slabou topológiou. Propozícia 2 Nech X je normovaný lineárny priestor nad T s normou · . Daná postupnosť {xk}∞ k=1 ⊆ X konverguje slabo k vektoru x ∈ X práve vtedy, keď konverguje k vektoru x vzhľadom na slabú topológiu Tw na priestore X. Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus Dôkaz Propozície 2. Nech xk ⇀ x pre k → ∞. Podľa Definície 9 platí limk→∞ f(xk) = f(x) pre každý funkcionál f ∈ X′ . Zvoľme ε > 0 a konečný systém funkcionálov f1, . . . , fm ∈ X′ . Pre každý index i ∈ {1, . . . , m} existuje ki ε ∈ N s vlastnosťou |fi(xk − x)| = |fi(xk) − fi(x)| < ε pre každé k ≥ ki ε. (152) Položme kε := max ki ε, i ∈ {1, . . . , m} . V súlade s (150) a (152) potom slabé okolie Ox(f1, . . . , fm, ε) vektora x obsahuje každý člen xk s indexom k ≥ kε. To znamená, že limk→∞ xk = x vzhľadom na slabú topológiu Tw zavedenú v Definícii 10. Naopak, predpokladajme, že postupnosť {xk}∞ k=1 ⊆ X konverguje k vektoru x ∈ X vzhľadom na slabú topológiu Tw. Zvoľme funkcionál f ∈ X′ . Pre každé ε > 0 existuje index kε ∈ N s vlastnosťou, že xk ∈ O(f, ε) pre každé k ≥ kε. Podľa (150) potom máme |f(xk) − f(x)| = |f(xk − x)| < ε pre každé k ≥ kε. (153) Nerovnosť (153) znamená, že limk→∞ f(xk) = f(x). Keďže funkcionál f ∈ X′ bol zvolený ľubovoľne, v zhode s Definíciou 9 postupnosť {xk}∞ k=1 konverguje slabo k vektoru x v priestore X. Dôkaz je hotový. V niektorých dôležitých smeroch sa slabé topológie na nekonečno rozmerných normovaných lineárnych priestoroch nad T správajú podstatne odlišne než silné topológie indukované normami, resp. metrikami. Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus Propozícia 3 Nech X je normovaný lineárny priestor nad T s normou · a dim X = ∞. (i) Každá neprázdna slabo otvorená množina G ⊆ X je neohraničená v X. (ii) Toplogický priestor (X, Tw) nie je metrizovateľný. (iii) Slabý uzáver jednotkovej sféry S[0, 1] v normovanom lineárnom priestore X je uzavretá jednotková guľa B[0, 1] v priestore X. Výsledok v Propozícii 3(iii) hovorí, že na rozdiel od uzáverov množín A ⊆ X v silnej topológii, slabé uzávery množín A ⊆ X nepozostávajú iba zo slabých limitných bodov postupností v A. Názorne to ukazuje Príklad 26 pre priestor l1 . Propozícia 4 (Charakterizácie reflexívnosti Banachových priestorov) Nech X je Banachov priestor nad T. Nasledujúce tvrdenia sú ekvivalentné. (i) Priestor X je reflexívny. (ii) Uzavretá jednotková guľa B[0, 1] ⊆ X je slabo kompaktná – Banachova– Bourbakiho charakterizácia. (iii) Z každej ohraničenej postupnosti v X je možné vybrať slabo konvergentnú podpostupnosť – Eberleinova–Šmuljanova charakterizácia. Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus Princíp rovnomernej ohraničenosti Dostávame sa k druhému základnému pilieru funkcionálnej analýzy s mnohostranným aplikáciami v rôznych oblastiach matematiky. Všeobecný výsledok popisuje vlastnosti množín spojitých lineárnych operátorov na Banachových priestoroch, avšak v tejto prednáške sa obmedzíme iba na verziu príslušného tvrdenia týkajúceho sa spojitých lineárnych funkcionálov. Definícia 11 (Bodová a rovnomerná ohraničenosť v duálnom priestore) Nech X je normovaný lineárny priestor nad T s normou · a X′ je duálny priestor. Hovoríme, že množina A′ ⊆ X′ je bodovo ohraničená v duálnom priestore X′ , ak pre každý vektor x ∈ X je množina A′ x := {f(x), f ∈ A′ } ohraničená v E. (154) Množina A′ ⊆ X je rovnomerne ohraničená v duálnom priestore X′ , ak je ohraničená v norme X′ , t.j., existuje K > 0 tak, že f ≤ K pre každé f ∈ A′ . Bodovú ohraničenosť množiny A′ ⊆ X′ v (154) môžeme ekvivalentne vyjadriť sup {|f(x)|, f ∈ A′ } < ∞ pre každé x ∈ X. (155) Rovnomerná ohraničenosť množiny A′ ⊆ X′ znamená sup { f , f ∈ A′ } < ∞. Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus Poznámka 17 V súlade s Definíciou 11 nie je ťažké overiť, že každá rovnomerne ohraničená množina A′ ⊆ X′ je zároveň i bodovo ohraničená v priestore X′ . Ak totiž pre nejaké K > 0 je f ≤ K pre každé f ∈ A′ , potom podľa (28) máme |f(x)| (28) ≤ f x ≤ K x pre každé x ∈ X. (156) Množina A′ x v (154) je teda pre každý daný vektor x ∈ X ohraničená v E. Opačné tvrdenie však neplatí, t.j., bodová ohraničenosť množiny A ⊆ X′ v prípade všeobecného normovaného lineárneho priestoru X neimplikuje jej rovnomernú ohraničenosť v X′ . Ilustrujeme to v Príklade 29. Poznámka 18 (∗-slabá ohraničenosť v duálnom priestore) Poznamenajme, že bodová ohraničenosť množín duálneho priestoru X′ zavedená v Definícii 11 sa v niektorej literatúre označuje termínom ∗-slabá ohraničenosť. Opodstatnenie tohto pomenovania súvisí so symetriou podmienok (121) a (154). Okrem toho ukážeme, že na duálnom priestore X′ je možné popri slabej konvergencii a slabej topológii predstavených Definíciách 9 a 10 zaviesť ďalší typ konvergencie a topológie, ktoré sa štandardne nazývajú ∗-slabá konvergencia a ∗-slabá topológia v duálnom priestore X′ . Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus Príklad 29 Uvažujme normovaný lineárny priestor X tvaru X := {x = {xk}∞ k=1, x má konečne veľa nenulových členov} , (157) na ktorom uvažujeme normu priestoru l1 , t.j., x 1 = ∞ k=1 |xk| pre x ∈ X. Nech X′ je odpovedajúci duálny priestor a A′ označuje množinu funkcionálov fn : X → T, n ∈ N, s predpisom fn(x) := nxn, n ∈ N, x = {xk}∞ k=1 ⊆ X. (158) Nie je ťažké overiť, že pre každé n ∈ N je zobrazenie fn v (158) spojitý lineárny funkcionál na X, t.j., A′ ⊆ X′ . Zvoľme vektor x = {xk}∞ k=1 ⊆ X a položme Kx := max k∈N |xk|, nx := max{k ∈ N, xk = 0}. (159) Využitím relácií v (158) a (159) potom pre každý index n ∈ N dostávame |fn(x)| (158) = n |xn| (159) = n |xn|, n ≤ nx, 0, n > nx, (159) ≤ nxKx, (160) a teda odpovedajúca množina A′ x v (154) je ohraničená. V súlade s Definíciou 11 to znamená, že množina A′ je bodovo ohraničená v X′ . Nie je však rovnomerne ohraničená v X′ , nakoľko pre každé n ∈ N je |fn(en )| = n, kde en ∈ X je postupnosť v (142). A keďže en 1 = 1, podľa (27) platí fn ≥ n. Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus Veta 17 (Princíp rovnomernej ohraničenosti) Nech X je Banachov priestor nad T s normou · a X′ je duálny priestor. Potom pre každú množinu A′ ⊆ X′ sú nasledujúce tvrdenia ekvivalentné. (i) Platí sup { f , f ∈ A′ } < ∞. (ii) Platí sup {|f(x)|, f ∈ A′ } < ∞ pre každý vektor x ∈ X. Dôkaz Vety 17. V súlade s (155) sme platnosť implikácie “⇒” komentovali v Poznámke 17. Predpokladajme, že množina A′ je bodovo ohraničená v duálnom priestore X′ , t.j., platí podmienka (155). Pre každé dané n ∈ N definujme množinu Fn := f∈A′ {x ∈ X, |f(x)| ≤ n} . (161) Vďaka spojitosti funkcionálov f ∈ A′ je každá z množín Fn, n ∈ N, ako prienik uzavretých množín, uzavretá. Zvoľme vektor x ∈ X. Podľa predpokladu (155) existuje nx ∈ N také, že sup {|f(x)|, f ∈ A′ } ≤ nx, t.j., platí |f(x)| ≤ nx pre každé f ∈ A. V súlade s (161) potom máme x ∈ Fnx . Obzvlásť, teda dostávame inklúziu X ⊆ n∈N Fn. Na druhej strane, triviálne n∈N Fn ⊆ X. Platí teda reprezentácia X = n∈N Fn. Keďže priestor X je úplný, podľa Baire- Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus Dôkaz Vety 17 (pokračovanie). ovej vety o kategóriách existuje index m ∈ N s vlastnosťou, že množina Fm v (161) nie je riedka v priestore X, t.j., (Fm)o = Fo m = ∅. Inými slovami, množina Fm má aspoň jeden vnútorný bod. Existuje teda vektor x ∈ Fm a ε > 0 také, že B(x, 2ε) ⊆ Fm. Zvoľme ľubovoľný vektor z ∈ B[0, 1], t.j., s z ≤ 1. Potom vektor yε := x + εz leží v otvorenej guli B(x, 2ε), keďže yε − x = εz ≤ ε < 2ε, a tak platí yε ∈ Fm. (162) Následne pre každý funkcionál f ∈ A′ postupne dostávame |f(z)| = f 1 ε (yε − x) = 1 ε |f(yε) − f(x)| ≤ 1 ε |f(yε)| + 1 ε |f(x)| (161),(162) ≤ 1 ε m + 1 ε m = 2m ε , z čoho vyplýva f ≤ 2m ε . (163) Posledná nerovnosť v (163) znamená, že množina A′ je ohraničená v norme duálneho priestoru X′ . Podľa Definície 11 je množina A′ rovnomerne ohraničená v X′ , t.j. platí sup { f , f ∈ A′ } < ∞. Dôkaz je kompletný. Poznámka 19 Dôležitým predpokladom vo Vete 17 je úplnosť normovaného lineárneho priestoru X. Poznamenajme, že v Príklade 29 skúmaný priestor X v (157) nie je Banachov. Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus Priamym dôsledkom Vety 17 je nasledujúca Banachova–Steinhausova veta. Veta 18 (Banachova–Steinhausova) Nech X je Banachov priestor nad T s normou · a X′ je duálny priestor. Nech {fk}∞ k=1 ⊆ X′ je postupnosť funkcionálov s vlastnosťou pre každé x ∈ X existuje lim k→∞ fk(x) =: f(x). (164) Potom zobrazenie f : X → T je spojitý lineárny funkcionál na priestore X a platí f ≤ lim inf k→∞ fk . (165) Dôkaz Vety 18. Podľa predpokladu (164) je postupnosť {fk(x)}∞ k=1 ⊆ T pre každý vektor x ∈ X konvergentná, a teda ohraničená v E. V súlade s (154) v Definícii 11 je teda postupnosť funkcionálov {fk}∞ k=1 bodovo ohraničená v X′ . Následne podľa Vety 17 je {fk}∞ k=1 rovnomerne ohraničená v duálnom priestore X′ , t.j., v zhode s Definíciou 11 existuje K > 0 také, že fk ≤ K pre každé k ∈ N. Funkcionál f definovaná podmienkou (164) je zrejme lineárny. Naviac, pre každý vektor x ∈ B[0, 1] ⊆ X postupne dostávame |f(x)| (164) = lim k→∞ |fk(x)| = lim inf k→∞ |fk(x)| (28) ≤ lim inf k→∞ fk x ≤ lim inf k→∞ fk ≤ K. Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus Dôkaz Vety 18 (pokračovanie). Z odvodenej nerovnosti vyplýva, že lineárny funkcionál f je ohraničený na množine B[0, 1], a teda v súlade s Poznámkou 3 spojitý na priestore X. Napokon podľa (26) platí nerovnosť (165). Dôkaz je hotový. Príklad 30 (Aplikácie princípu rovnomernej ohraničenosti) Tvrdenie Vety 17 má mnohé významné a ďalekosiahlé aplikácie v matematickej analýze. V spektrálnej analýze sa napríklad pomocou neho dá dokázať existencia spojitej funkcie f : [−π, π] → T, ktorej trigonometrický Fourierov rad diverguje v bode t = 0. V klasickej teórii nekonečných číselných radov z Vety 17 vyplýva, že ak postupnosť {yk}∞ k=1 ⊆ T má vlastnosť, že pre každú postupnosť {xk}∞ k=1 ∈ l2 je nekonečný rad ∞ k=1 xkyk absolútne konvergentný, potom {yk}∞ k=1 ∈ l2 . Zvyšok prednášky venujeme slabým topológiám v duálnych priestoroch. Nech X je daný normovaný lineárny priestor nad T s normou · a X′ je duálny priestor. Na priestore X′ môžeme zaviesť slabú topológiu podľa Definície 10, ktorú zostrojíme pomocou systému pseudonoriem |F|, F ∈ X′′ . Existuje však i ďašia významná “slabá” topológia v X′ . Motivovaný výsledkom Vety 18 najprv vhodne zoslabíme konvergenciu na priestore X′ . Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus Definícia 12 (∗-slabá konvergencia v duálnom priestore) Nech X je normovaný lineárny priestor nad T a X′ je duálny priestor. Hovoríme, že postupnosť funkcionálov {fk}∞ k=1 ⊆ X′ konverguje ∗-slabo v priestore X′ k funkcionálu f ∈ X′ , ak pre každý vektor x ∈ X je postupnosť {fk(x)}∞ k=1 konvergentná v E s limitou f(x). Funkcionál f nazývame ∗-slabou limitou postupnosti {fk}∞ k=1 v duálnom priestore X′ a píšeme fk ∗ ⇀ f pre k → ∞. Poznámka 20 Podobne ako v Poznámke 16 každá silno konvergentná postupnosť {fk}∞ k=1 ⊆ X′ s limitou f ∈ X′ je i ∗-slabo konvergentná v priestore X′ s rovnakou ∗-slabou limitou f. Táto skutočnosť vyplýva z nerovnosti (28), podľa ktorej platí |fk(x) − f(x)| = |(fk − f)(x)| (28) ≤ fk − f x pre každé x ∈ X. (166) Ak limk→∞ fk = f v norme duálneho priestoru X′ , t.j., limk→∞ fk − f = 0, potom podľa (166) máme limk→∞ |fk(x) − f(x)| = 0 pre každý vektor x ∈ X. V kontexte Definície 12 to potom znamená, že postupnosť {fk}∞ k=1 konverguje ∗-slabo k funkcionálu f, t.j., fk ∗ ⇀ f pre k → ∞. Opačná implikácia samozrejme vo všeobecnosti neplatí, ako ukazujeme v Príklade 31. Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus Príklad 31 Uvažujme normovaný lineárny priestor X = c0. Z Príkladu 14 vieme, že odpovedajúci duálny priestor X′ je izometricky izomorfný s priestorom l1 , pričom príslušná korešpondencia má podľa (96) tvar X′ ∋ f ↔ λ = {λk}∞ k=1 ∈ l1 , f(x) = ∞ k=1 λk xk, x = {xk}∞ k=1 ∈ X. (167) Nech {fn}∞ n=1 ∈ X′ je postupnosť funkcionálov, ktorá v kontexte ekvivalencie (167) odpovedá postupnosti {en }∞ n=1, kde en = {δkn}∞ k=1 ∈ l1 pre každé n ∈ N. Každý z funkcionálov fn, n ∈ N, teda spĺňa fn(x) (167) = xn pre každé x = {xk}∞ k=1 ∈ X. (168) Platí limk→∞ xk = 0 pre každé {xk}∞ k=1 ∈ X, a tak z (168) vyplýva lim n→∞ fn(x) (168) = lim n→∞ xn = 0 pre každý prvok x = {xk}∞ k=1 ∈ X. (169) Podľa Definície 12 teda postupnosť {fn}∞ n=1 ∗-slabo konverguje v duálnom priestore X′ k nulovému funkcionálu, t.j., fk ∗ ⇀ 0 pre k → ∞. Nejedná sa však o silnú konvergenciu v priestore X′ , pretože pre každý daný index n ∈ N máme fn(en ) = 1, a keďže x = 1, platí fn ≥ 1. Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus Príklad 32 Podľa Príkladov 2 a 7 pre danú funkciu y spojitú na I = [−1, 1] je zobrazenie f(u) := 1 −1 u(x) y(x) dx, kde u je funkcia spojitá na [−1, 1], spojitý lineárny funkcionál na normovanom lineárnom priestore X = C[−1, 1] s normou · C . Uvažujme postupnosť {yk}∞ k=1 ⊆ X spĺňajúcu vlastnosti yk(x) ≥ 0, x ∈ [−1, 1], yk ≡ 0 na I \ − 1 k , 1 k , 1 −1 yk(x) dx = 1. (170) Systém {yk}∞ k=1 v (170) definuje postupnosť funkcionálov {fk}∞ k=1 ⊆ X′ tvaru fk(u) := 1 −1 u(x) yk(x) dx, u ∈ X. (171) Pomocou (171), formuly (35) a podmienok v (170) nie je ťažké overiť, že fk (171),(35) = 1 −1 |yk(x)| dx (170) = 1 k − 1 k yk(x) dx = 1. (172) Dokážeme, že postupnosť {fk}∞ k=1 konverguje ∗-slabo v duálnom priestore X′ k funkcionálu δ0 ∈ X′ z Príkladu 2 s predpisom Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus Príklad 32 δ0(u) := u(0), u ∈ X. (173) Skutočne, pre každý index k ∈ N a každý vektor u ∈ X postupne platí |fk(u) − δ0(u)| (171),(173) = 1 −1 u(x) yk(x) dx − u(0) (170) = 1 −1 [u(x) − u(0)] yk(x) dx ≤ 1 −1 |u(x) − u(0)| yk(x) dx (170) = 1/k −1/k |u(x) − u(0)| yk(x) dx = |u(ηk) − u(0)| 1 k − 1 k yk(x) dx (170) = |u(ηk) − u(0)| pre isté ηk ∈ − 1 k , 1 k . (174) Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus Príklad 32 V predposlednom kroku v (174) sme využili kombináciu vety o strednej hodnote a Bolzanovej vety pre spojitú funkciu |u−u(0)| na kompaktnom intervale − 1 k , 1 k . A keďže postupnosť {ηk}∞ k=1 očividne spĺňa limk→∞ ηk = 0, máme lim k→∞ |fk(u) − δ0(u)| (174) = lim k→∞ |u(ηk) − u(0)| = |u(0) − u(0)| = 0 pre každé u ∈ X, a tak podľa Definície 12 platí fk ∗ ⇀ δ0 pre k → ∞. Naviac, platí δ0 = 1, ako sa môžeme ľahko presvedčiť. Na druhej strane, dá sa ukázať, že uvažovaná postupnosť {fk}∞ k=1 pre žiadnu voľbu funkcií yk, k ∈ N, spĺňajúcich vlastnosti (170) nekonverguje silno, t.j., v norme duálneho priestoru X′ . Dôkaz je založený na pozorovaní, že postupnosť {fk}∞ k=1 nie je cauchyovská v norme priestoru X′ , a teda nemôže byť ani silno konvergentná v priestore X′ . Veta 19 Nech X je Banachov priestor nad T s normou · a X′ je duálny priestor. Postupnosť {fk}∞ k=1 ⊆ X′ je ∗-slabo konvergentná v priestore X′ s limitou f ∈ X′ práve vtedy, keď je silno ohraničená v priestore X′ a existuje množina A ⊆ X s vlastnosťami Lin T A = X a lim k→∞ fk(x) = f(x) pre každý vektor x ∈ A. (175) Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus Myšlienka konštrukcie ∗-slabej topológie v duálnom priestore X′ je podobná ako pri slabej topológii v normovanom lineárnom priestore X. Pre každý funkcionál f ∈ X′ definujeme ∗-slabé okolia tvaru O∗ f (x1, . . . , xm, ε) := g ∈ X′ , |(g − f)(xi)| < ε, i ∈ {1, . . . , m} , (176) kde x1, . . . , xm ∈ X je konečný systém vektorov a ε > 0. Množinu G′ ⊆ X′ nazveme ∗-slabo otvorenou, ak pre každý funkcionál f ∈ G′ existuje ε > 0 a vektory x1, . . . , xm ∈ X s vlastnosťou Of (x1, . . . , xm, ε) ⊆ G′ . Definícia 13 (∗-slabá topológia na duálnom priestore) Nech X je normovaný lineárny priestor nad T s normou · a X′ je duálny priestor. Systém všetkých ∗-slabo otovrených množín G′ ⊆ X′ vytvára na priestore X′ topológiu, ktorá sa nazýva ∗-slabá topológia a označujeme ju Tw∗ . Doplnky množín systému Tw∗ budeme označovať ako ∗-slabo uzavreté množiny v topologickom priestore (X, Tw∗ ). Pre topológiu Tw∗ platia analogické tvrdenia ako pre slabú topológiu na normovanom lineárnom priestore X. Nasledujúce tvrdenie sumarizuje základné vlastnosti ∗-slabej topológie na duálnom priestore X′ . Ich dôkazy je možné viesť podobným spôsobom ako v prípade slabej topológie na priestore X. Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus Propozícia 5 Nech X je normovaný lineárny priestor nad T s normou · a X′ je duálny priestor. Platia nasledujúce základné výsledky. (i) Topológia Tw∗ spĺňa Hausdorffovu axiómu oddeliteľnosti. (ii) Platí inklúzia Tw∗ ⊆ T , kde T je silná topológia na duálnom priestore X′ indukovaná normou · v (26). (iii) Postupnosť {fk}∞ k=1 ⊆ X′ konverguje ∗-slabo k funkcionálu f ∈ X′ práve vtedy, keď konverguje k funkcionálu f vzhľadom na ∗-slabú topológiu Tw∗ na duálnom priestore X′ . (iv) Ak X je Banachov priestor nekonečnej dimenzie, potom topologický priestor (X, Tw∗ ) nie je metrizovateľný. Poznamenajme, že v duálnom priestore X′ môžeme okrem pojmov ∗-slabá ohraničenosť a konvergencia zavedených v Definíciách 11 a 12 uvažovať i štandardnú slabú ohraničenosť a konvergenciu v zmysle Definícií 8 a 9, v ktorých budeme X′ chápať ako východiskový normovaný lineárny priestor a druhý duálny priestor X′′ ako k nemu odpovedajúci duálny priestor. Konkrétne, množina spojitých lineárnych funkcionálov A′ ⊆ X′ je slabo ohraničená v priestore X′ , ak pre každý spojitý lineárny funkcionál F : X′ → T je množina Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus F (A′ ) := {F (f), f ∈ A′ } ohraničená v E. (177) Podobne, postupnosť {fk}∞ k=1 ⊆ X′ je slabo konvergentná v X′ so slabou limitou f ∈ X′ , ak pre každý funkcionál F ∈ X′′ je limk→∞ F(fk) = F(f). Propozícia 6 Nech X je normovaný lineárny priestor nad T a X′ je duálny priestor. Nech Tw∗ a Tw sú ∗-slabá a slabá topológia na X′ . Platí inklúzia Tw∗ ⊆ Tw, pričom rovnosť nastáva práve vtedy, keď X je reflexívny priestor. Dôkaz Propozície 6. Vďaka kanonickému vnoreniu π v (116) a (111) a jeho vlastnostiam platí (g − f)(x) = g(x) − f(x) (111) = Fx(g) − Fx(f) (116) = [π(x)](g) − [π(x)](f) = [π(x)](g − f), x ∈ X, f, g ∈ X′ . (178) Následne, pre každé ∗-slabé okolie O∗ f ({xi}m i=1, ε) máme O∗ f ({xi}m i=1, ε) (176) = g ∈ X′ , {|(g − f)(xi)| < ε}m i=1 (178) = g ∈ X′ , {|[π(xi)](g − f)| < ε}m i=1 (150) = Of ({π(xi)}m i=1, ε). Hahn–Banach Spojitosť Duál Druhý duál Banach–Steinhaus Dôkaz Propozície 6 (pokračovanie). Posledná rovnosť ukazuje, že každé ∗-slabé okolie v duálnom priestore X′ je zároveň i slabým okolím v X′ . To dokazuje inklúziu Tw∗ ⊆ Tw. Rovnosť nastáva práve vtedy, keď prirodzené zobrazenie π v (116) je surjektívne, t.j., v súlade s Definíciou 7 práve vtedy, keď normovaný lineárny priestor X je reflexívny. Obsahom posledných dvoch tvrdení je kompaktnosť v slabých topológiách. Prvý výsledok ukazuje, že hoci slabá topológia nie je vo všeobecnosti metrizovateľná, slabo kompaktné množiny sa správajú podobne ako klasické kompaktné množiny. Druhé tvrdenie hovorí, že ∗-slabá kompaktnosť v duálnych priestoroch vykazuje niektoré vlastnosti klasickej kompaktnosti v priestoroch konečnej dimenzie. Veta 20 (Eberleinova–Šmuljanova) V slabej topológii každého Banachovho priestoru X nad T pojmy (relatívna) kompaktnosť, (relatívna) spočítateľná kompaktnosť a (relatívna) sekvenciálna kompaktnosť množín v X vzájomne splývajú. Veta 21 (Banachova–Alaogluova) V duálnom priestore X′ každého normovaného lineárneho priestoru X nad T je uzavretá jednotková guľa B′ [0, 1] kompaktná v ∗-slabej topológii v X′ .